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Gebrochenrationale Funktionen

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Gebrochenrationale Funktionen

Die gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die aus dem Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen besteht.

Falls du nicht mehr so ganz auf dem Schirm hast, was denn nochmal eine ganzrationale Funktion war, würden wir die empfehlen den dazugehörigen Artikel zu lesen!

Zur Erinnerung: Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion

Unter einer ganzrationalen Funktion bzw. Polynomfunktion n-ten Grades versteht man eine reelle Funktion der Form:

dabei gilt:

Die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion

Eine Funktion f(x) ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn sie als Quotient der beiden ganzrationalen Funktionen g(x) und h(x) dargestellt werden kann. Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt.

Daraus leitet sich die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion ab.

Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form: sind.

Die Bezeichnungen einer gebrochen-rationalen Funktion

Die Parameter des Funktionsterms nennst du folgendermaßen:

  • werden Koeffizienten des Zählers bzw. Nenners genannt
  • n, n-1, 2 ,1 ,0 werden die Exponenten des Zählers bzw. Nenners genannt
  • Grad der gebrochen-ganzrationalen Funktion/Polynomfunktion: der höchste vorkommende Exponent des Zählers (hier n)

Gebrochen-rationale Funktionen werden in zwei Kategorien unterteilt: Die echt gebrochen-rationale Funktion und die unecht gebrochen-rationale Funktion.

Die echt gebrochen-rationale Funktion

Bei einer echt gebrochen-rationalen Funktion ist der Grad des Zählerpolynoms g(x) kleiner als der Grad des Nennerpolynoms h(x).

Der folgende Bruch zeigt dir eine Beispielfunktion für die echt gebrochen-rationale Funktion. Hier ist der Grad des Zählerpolynoms 4 und der Grad des Nennerpolynoms 5. Da 4 kleiner als 5 ist, liegt eine echt gebrochen-rationale Funktion vor.

Beispielgraphen für die echt gebrochen-rationale Funktion

Hier siehst du die Hyperbel der Funktion

Hier siehst du den Graphen der Funktion mit einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel:

Die unecht gebrochen-rationale Funktion

Bei einer unecht gebrochen-rationalen Funktion ist der Grad des Zählerpolynoms g(x) größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms h(x). Du kannst die Funktion mithilfe der Polynomdivision in eine Funktion zerlegen, die sowohl einen ganzrationalen, als auch einen gebrochen-rationalen Anteil hat.

Der folgende Bruch zeigt dir eine Beispielfunktion für die unecht gebrochen-rationale Funktion. Hier ist der Grad des Zählerpolynoms 4 und der Grad des Nennerpolynoms 3. Da 4 größer als 3 ist, liegt eine unecht gebrochen-rationale Funktion vor.

Beispielgraphen für die unecht gebrochen-rationale Funktion

Eine unecht gebrochen-rationale Funktion kann beispielsweise eine Parabel oder eine lineare Funktion sein.

Hier siehst du die lineare Funktion :

Hier musst du eine sehr wichtige Sache beachten. Du hast sicherlich schon einmal von der „hebbaren Definitionslücke“ gehört. Die Funktion f(x) entspricht nicht der Nennerfunktion h(x)=x. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nämlich hinsichtlich ihres Definitionsbereiches. Die Funktion f(x) hat an der Stelle x=0 einen kleinen Punkt, an dem sie nicht definiert ist, während die Funktion h(x) durchgängig definiert ist.

Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn sich der Nennerterm aus dem Zählerterm kürzen lässt.

Hier siehst du die Parabel zur Funktion :

Beispielaufgaben

Oft kannst du bei gebrochen-rationalen Funktionen gewisse Eigenschaften einfach ablesen, beispielsweise die Lage und Art der Asymptoten. In den folgenden Beispielen zeigen wir dir, wie das funktioniert.

Beispielaufgabe 1: Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei x=1. Das kannst du ganz einfach ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Was musst du einsetzen, damit der Nenner 0 wird? Richtig, die 1! ☺ Da die Funktion einen ungeraden Exponenten hat (nämlich 3), hat sie eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Der Nennergrad der Funktion ist größer als der Zählergrad, damit wissen wir, dass die gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote bei 0 hat.

Beispielaufgabe 2: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei x=1. Das kannst du ganz einfach ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Was musst du einsetzen, damit der Nenner 0 wird? Richtig, die 1! ☺ Da die Funktion einen geraden Exponenten hat (nämlich 2), hat sie eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Nennergrad der Funktion ist größer als der Zählergrad, damit wissen wir, dass die gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote bei 0 hat.

Beispielaufgabe 3: hebbare Definitionslücke

Die Funktion hat eine hebbare Definitionslücke bei x=1. Sie ist an genau diesem einen Punkt nicht definiert. Das kannst du ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn du h(x) aus g(x) kürzen kannst.

Beispielaufgabe 4: hebbare Definitionslücke

Die Funktion hat eine hebbare Definitionslücke bei x=1. Sie ist an genau diesem einen Punkt nicht definiert. Das kannst du ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn du h(x) aus g(x) kürzen kannst.

Gebrochen Rationale Funktion - Alles Wichtige auf einen Blick

  • Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus zwei ganzrationalen Funktionen, die dividiert werden:
  • Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form: sind.
  • Je nach Zählergrad und Nennergrad, kann eine gebrochen-rationale Funktion eine Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel haben. Sie kann allerdings auch die Form einer Parabel oder einer linearen Funktion haben.
  • Falls sich der Nenner aus dem Zähler kürzen lässt, hat die gebrochen-rationale Funktion eine hebbare Definitionslücke.

Unser Tipp für Euch

Ich würde dir empfehlen, dir die anderen Artikel zu den unterschiedlichen Arten von Funktionen durchzulesen und dir eine klare Übersicht zu erstellen. Es ist hilfreich zu wissen, wie die konstante Funktion, die lineare Funktion und die quadratische Funktion mit der ganzrationalen Funktion zusammenhängen. So musst du dir weniger Formeln merken. Wenn du einmal den Zusammenhang verstanden hast, kannst du eine Formel für alle verwenden und die Herleitung von Graphen, Formeln etc. fällt dir einfacher!

Deine Manuela - StudySmarter Institute

Finales Gebrochenrationale Funktionen Quiz

Frage

Wann verwendet man die Partialbruchzerlegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn du eine echt gebrochen-rationale Funktion integrieren möchtest, brauchst du die Partialbruchzerlegung, da es danach viel einfacher ist die Stammfunktion zu bilden.

Frage anzeigen

Frage

Wie funktioniert die Partialbruchzerlegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung

  • Schritt 1: Polynomdivision bei unecht gebrochen-rationalen Funktionen
  • Schritt 2: Nullstellen des Nennerpolynoms berechnen 
  • Schritt 3: Ordne jeder Nullstelle ihren Partialbruch zu (Achtung: Beachte die Vielfachheit der Nullstellen)
  • Schritt 4: Ansatz für die Partialbruchzerlegung aufstellen
  • Schritt 5: Bringe beide Teile der Funktion auf einen Hauptnenner
  • Schritt 6: Bestimme die Konstanten durch Einsetzen der zuvor berechneten Nullstellen    
Frage anzeigen

Frage

Wann führst du eine Polynomdivision durch und wann eine Partialbruchzerlegung?

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Antwort

Wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist, dann zunächst Polynomdivision, dadurch erhält man evtl. u.a. eine rationale Restfunktion, bei der der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist.

Für diese Restfunktion kann dann eine Integration nach vorheriger Partialbruchzerlegung durchgeführt werden.

Frage anzeigen

Frage

Ist der Zähler für den Ansatz der Partialbruchzerlegung relevant?

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Antwort

Nein, der Zähler wird beim Ansatz zunächst nicht beachtet. Es werden Konstanten wie A, B, C in den Zähler geschrieben.

Frage anzeigen

Frage

Wie entscheidet man, ob in den Zähler nur die Konstanten A, B, C geschrieben werden oder bei den Konstanten noch ein Faktor x dabei steht?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei den komplexen Nullstellen kannst du nicht einfach schreiben B+C, denn dadurch könnten beiden Konstanten zu einer neuen Konstanten (z.B. D) zusammengefasst werden. Damit das verhindert wird, musst du einfach eine der Konstanten mit x mulitplizieren. 

Frage anzeigen

Frage

Wann handelt es sich um eine echt gebrochen-rationale Funktion?

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Antwort

Bei den echt Gebrochenen ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad.

Frage anzeigen

Frage

Wann handelt es sich um eine unecht gebrochen-rationale Funktion?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei den unecht gebrochenen ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Voraussetzung für eine Partialbruchzerlegung?

Antwort anzeigen

Antwort

Es muss sich um eine echt gebrochen-rationale Funktion handeln. Wenn das nicht der Fall ist, musst du eine Polynomdivision durchführen.

Frage anzeigen

Frage

Welchen Schritt musst du bei unecht gebrochen-rationalen Funktion vor der Partialbruchzerlegung durchführen?

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Antwort

Möglich ist die Partialbruchzerlegung auch bei unecht gebrochen-rationalen Funktionen. Doch wird man hier, zur Einfachheit, erst einmal per Polynomdivision den Funktionsterm in einen ganz-rationalen und einen echt gebrochen-rationalen Teil aufspalten. Von dem ganz-rationalen Teil kannst du leicht eine Stammfunktion finden. Die Partialbruchzerlegung wendest  du dann nur noch auf den gebrochenen Teil an.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Ziel der Partialbruchzerlegung?

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Antwort

Ziel ist es, eine komplizierte gebrochen-rationale Funktion in mehrere unkomplizierte, leicht zu integrierende Brüche zu zerlegen. 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man Polstellen und Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen?

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Antwort

Nullstellen berechnest du, indem du die Funktion gleich 0 setzt und nach x auflöst. Polstellen berechnest du, indem du schaust, für welche x-Werte der Nenner 0 wird, denn diese Werte sind für die Funktion nicht definiert.



Frage anzeigen

Frage

Was machst du, wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Du führst eine Polynomdivision durch, bevor du mit der Partialbruchzerlegung beginnst.

Frage anzeigen

Frage

Die gebrochen rationale Funktion f hat bei x0 eine j-fache Zählernullstelle, aber keine Nennernullstelle. 


Entscheide, welche Aussagen wahr sind.

Antwort anzeigen

Antwort

f hat bei x0 eine Nullstelle.

Frage anzeigen

Frage

Die gebrochen rationale Funktion f hat bei x0 eine doppelte Nennernullstelle, aber keine Zählernullstelle.


Entscheide, welche Aussagen falsch sind.

Antwort anzeigen

Antwort

f hat bei x0 eine Nullstelle.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die drei Arten von Definitionslücken, die eine gebrochen rationale Funktion haben kann.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Polstelle mit Vorzeichenwechsel
  • Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
  • (be-)hebbare Definitionslücke
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Graph in der Umgebung einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verläuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Polstelle ist eine senkrechte Asymptote

Wenn die Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist, dann werden die Funktionswerte beim Annähern von einer Seite beliebig groß und beim Annähern von der anderen Seite beliebig klein.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Graph in der Umgebung einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel verläuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Polstelle ist eine senkrechte Asymptote.

Beim Annähern von beiden Seiten werden die Funktionswerte entweder beliebig groß, oder beliebig klein.

     
Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich ein Funktionsgraph unendlich nah annähert, sie aber nie schneidet.

Frage anzeigen

Frage

Wie erkennst Du eine Definitionslücke?

Antwort anzeigen

Antwort

Definitionslücken entstehen, wenn es für einen x-Wert keinen zugehörigen y-Wert gibt, weil die Funktion mit diesem Wert nicht berechnet werden kann. Das passiert beispielsweise, wenn der Nenner 0 wird oder ein Minus unter der Wurzel steht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Funktionsarten können Asymptoten haben?

Antwort anzeigen

Antwort

lineare Funktion

Frage anzeigen

Frage

Ist eine Definitionslücke immer auch eine senkrechte Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Um sicherzugehen, dass es sich bei einer gefundenen Definitionslücke wirklich um eine senkrechte Asymptote handelt, kannst Du den Grenzwert gegen diesen Wert bilden. Erhältst Du plus oder minus unendlich als Ergebnis, ist es wirklich eine Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Woran erkennst Du, ob eine gebrochen rationale Funktion waagrechte Asymptoten hat?

Antwort anzeigen

Antwort

Indem ich Zähler- und Nennergrad miteinander vergleiche.

Frage anzeigen

Frage

Wann hat eine gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn der Nennergrad entweder genauso groß oder größer als der Zählergrad ist, existiert eine waagrechte Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Welche Asymptoten können gemeinsam auftreten?

Antwort anzeigen

Antwort

senkrecht und waagrecht

Frage anzeigen
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