Gebrochenrationale Funktionen

Die gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, die aus dem Quotienten zweier ganzrationaler Funktionen besteht.

Falls du nicht mehr so ganz auf dem Schirm hast, was denn nochmal eine ganzrationale Funktion war, würden wir die empfehlen den dazugehörigen Artikel zu lesen!

Zur Erinnerung: Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion

Unter einer ganzrationalen Funktion bzw. Polynomfunktion n-ten Grades versteht man eine reelle Funktion der Form:

dabei gilt:

Die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion

Eine Funktion f(x) ist eine gebrochen-rationale Funktion, wenn sie als Quotient der beiden ganzrationalen Funktionen g(x) und h(x) dargestellt werden kann. Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt.

Daraus leitet sich die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationalen Funktion ab.

Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form: sind.

Die Bezeichnungen einer gebrochen-rationalen Funktion

Die Parameter des Funktionsterms nennst du folgendermaßen:

• werden Koeffizienten des Zählers bzw. Nenners genannt
• n, n-1, 2 ,1 ,0 werden die Exponenten des Zählers bzw. Nenners genannt
• Grad der gebrochen-ganzrationalen Funktion/Polynomfunktion: der höchste vorkommende Exponent des Zählers (hier n)

Gebrochen-rationale Funktionen werden in zwei Kategorien unterteilt: Die echt gebrochen-rationale Funktion und die unecht gebrochen-rationale Funktion.

Die echt gebrochen-rationale Funktion

Bei einer echt gebrochen-rationalen Funktion ist der Grad des Zählerpolynoms g(x) kleiner als der Grad des Nennerpolynoms h(x).

Der folgende Bruch zeigt dir eine Beispielfunktion für die echt gebrochen-rationale Funktion. Hier ist der Grad des Zählerpolynoms 4 und der Grad des Nennerpolynoms 5. Da 4 kleiner als 5 ist, liegt eine echt gebrochen-rationale Funktion vor.

Beispielgraphen für die echt gebrochen-rationale Funktion

Hier siehst du die Hyperbel der Funktion

Hier siehst du den Graphen der Funktion mit einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel:

Die unecht gebrochen-rationale Funktion

Bei einer unecht gebrochen-rationalen Funktion ist der Grad des Zählerpolynoms g(x) größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms h(x). Du kannst die Funktion mithilfe der Polynomdivision in eine Funktion zerlegen, die sowohl einen ganzrationalen, als auch einen gebrochen-rationalen Anteil hat.

Der folgende Bruch zeigt dir eine Beispielfunktion für die unecht gebrochen-rationale Funktion. Hier ist der Grad des Zählerpolynoms 4 und der Grad des Nennerpolynoms 3. Da 4 größer als 3 ist, liegt eine unecht gebrochen-rationale Funktion vor.

Beispielgraphen für die unecht gebrochen-rationale Funktion

Eine unecht gebrochen-rationale Funktion kann beispielsweise eine Parabel oder eine lineare Funktion sein.

Hier siehst du die lineare Funktion :

Hier musst du eine sehr wichtige Sache beachten. Du hast sicherlich schon einmal von der „hebbaren Definitionslücke“ gehört. Die Funktion f(x) entspricht nicht der Nennerfunktion h(x)=x. Die beiden Funktionen unterscheiden sich nämlich hinsichtlich ihres Definitionsbereiches. Die Funktion f(x) hat an der Stelle x=0 einen kleinen Punkt, an dem sie nicht definiert ist, während die Funktion h(x) durchgängig definiert ist.

Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn sich der Nennerterm aus dem Zählerterm kürzen lässt.

Hier siehst du die Parabel zur Funktion :

Beispielaufgaben

Oft kannst du bei gebrochen-rationalen Funktionen gewisse Eigenschaften einfach ablesen, beispielsweise die Lage und Art der Asymptoten. In den folgenden Beispielen zeigen wir dir, wie das funktioniert.

Beispielaufgabe 1: Polstelle mit Vorzeichenwechsel

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei x=1. Das kannst du ganz einfach ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Was musst du einsetzen, damit der Nenner 0 wird? Richtig, die 1! ☺ Da die Funktion einen ungeraden Exponenten hat (nämlich 3), hat sie eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Der Nennergrad der Funktion ist größer als der Zählergrad, damit wissen wir, dass die gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote bei 0 hat.

Beispielaufgabe 2: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

Die Funktion hat eine Definitionslücke bei x=1. Das kannst du ganz einfach ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Was musst du einsetzen, damit der Nenner 0 wird? Richtig, die 1! ☺ Da die Funktion einen geraden Exponenten hat (nämlich 2), hat sie eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Nennergrad der Funktion ist größer als der Zählergrad, damit wissen wir, dass die gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote bei 0 hat.

Beispielaufgabe 3: hebbare Definitionslücke

Die Funktion hat eine hebbare Definitionslücke bei x=1. Sie ist an genau diesem einen Punkt nicht definiert. Das kannst du ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn du h(x) aus g(x) kürzen kannst.

Beispielaufgabe 4: hebbare Definitionslücke

Die Funktion hat eine hebbare Definitionslücke bei x=1. Sie ist an genau diesem einen Punkt nicht definiert. Das kannst du ablesen, indem du dir den Nenner anschaust. Eine Funktion hat eine hebbare Definitionslücke, wenn du h(x) aus g(x) kürzen kannst.

Gebrochen Rationale Funktion - Alles Wichtige auf einen Blick

• Eine gebrochen-rationale Funktion besteht aus zwei ganzrationalen Funktionen, die dividiert werden:
• Wobei g(x) und h(x) Funktionen der Form: sind.
• Je nach Zählergrad und Nennergrad, kann eine gebrochen-rationale Funktion eine Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel haben. Sie kann allerdings auch die Form einer Parabel oder einer linearen Funktion haben.
• Falls sich der Nenner aus dem Zähler kürzen lässt, hat die gebrochen-rationale Funktion eine hebbare Definitionslücke.

Unser Tipp für Euch

Ich würde dir empfehlen, dir die anderen Artikel zu den unterschiedlichen Arten von Funktionen durchzulesen und dir eine klare Übersicht zu erstellen. Es ist hilfreich zu wissen, wie die konstante Funktion, die lineare Funktion und die quadratische Funktion mit der ganzrationalen Funktion zusammenhängen. So musst du dir weniger Formeln merken. Wenn du einmal den Zusammenhang verstanden hast, kannst du eine Formel für alle verwenden und die Herleitung von Graphen, Formeln etc. fällt dir einfacher!

Deine Manuela - StudySmarter Institute