Wann ist eine gebrochen rationale Funktion symmetrisch?

Eine gebrochen rationale Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn Folgendes gilt: f(-x)=f(x)Eine gebrochen rationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn Folgendes gilt: f(-x)=-f(x)

Gebrochenrationale Funktionen

Q: Wann ist eine Funktion gebrochen rational?

Eine Funktion ist gebrochen rational, wenn sie aus einem Quotienten zweier Polynome bzw. zweier ganzrationaler Funktionen besteht.

Q: Hat jede gebrochen rationale Funktion eine Asymptote?

Nein, nicht jede gebrochen rationale Funktion hat eine Asymptote. Es gibt zum Beispiel bestimmte unechte gebrochen rationale Funktionen wie f(x) = 4x2 : x, die keine Asymptoten haben.

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Gebrochen rationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen. Was genau eine gebrochen rationale Funktion ist, wie Du ihren Definitionsbereich, ihre Nullstellen sowie Extrempunkte und Asymptoten berechnen kannst, erfährst Du hier. Außerdem bekommst Du hier eine Anleitung für eine Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen und lernst auch an Beispielen, wie Du einen Funktionsgraphen zeichnen kannst.

Gebrochen rationale Funktionen – Definition

Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen dargestellt werden kann.

$$ f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} $$

Wobei $ g(x) $ und $ h(x) $ Polynome, also ganzrationale Funktionen sind.

Gebrochen rationale Funktionen werden in unecht und echt gebrochen rationale Funktionen unterschieden. Dabei wird der Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners verglichen.

Zählergrad: höchste Potenz der Variable $x$ im Zähler der Funktion
Nennergrad: höchste Potenz der Variable $x$ im Nenner der Funktion

Unecht gebrochen rationale Funktionen

Zählergrad $\geq$ Nennergrad
Funktion $f(x)$ kann so weit gekürzt werden, dass im Nenner keine Funktion mehr steht $\to$ kein $x$ im Nenner
Bei den Nullstellen des Nenners hat die Funktion eine hebbare Lücke, für die die Funktion nicht definiert ist.

\begin{align}f(x)&=\frac{4x^3}{x^2}\\&=\frac{4x^\cancel{3}}{\cancel{x^2}}\\&=4x\end{align}

Zählergrad: $3$
Nennergrad: $2$
hebbare Lücke bei $x=0$

gebrochen rationale Funktionen Beispiel unecht StudySmarter Abb. 1 - Beispiel unecht gebrochene rationale Funktion.

Echt gebrochen rationale Funktionen

Zählergrad $<$ Nennergrad
Die Variable $x$ kann nicht aus dem Nenner der Funktion $f(x)$ gekürzt werden.

\[f(x)=\frac{5}{3x^2-10x}\]

Zählergrad: $0$
Nennergrad: $2$

gebrochen rationale Funktionen Beispiel echt StudySmarter Abb. 2 - Beispiel echt gebrochene rationale Funktion.

Definitionsbereich gebrochen rationale Funktionen

Der Definitionsbereich von gebrochen rationalen Funktionen ist generell für diejenigen $x$-Werte eingeschränkt, für die der Nenner der Funktion gleich null ist. An dieser Stelle existiert eine sogenannte Definitionslücke.

Um den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ zu bestimmen, kannst Du also wie folgt vorgehen:

Setze den Nenner der Funktion gleich null $\to h(x)=0$
Löse die Gleichung nach $x$ auf
Grenze die Lösungen $x$, also $x_1,{...},x_n$, aus den reellen Zahlen aus $\to\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{x_1,{...},x_n\}$.

Wenn sich gebrochen rationale Funktionen soweit kürzen lassen, dass sie im Nenner kein Polynom mehr haben, haben sie im Bereich der Nullstellen des Nenners eine hebbare Definitionslücke, die nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar ist. Dort ist die Funktion nicht definiert, wird aber stetig fortgesetzt.

Die Funktion $f(x)=\frac{2x^2}{x}$ kann so weit gekürzt werden, dass das Polynom im Nenner wegfällt.

\begin{align}f(x)&=\frac{2x^2}{x}\\[0.15cm]&=2x\end{align}

Nichtsdestotrotz ist die Funktion $f(x)$ für die Nullstellen im ungekürzten Nenner, also für $x=0$ nicht definiert. An der Stelle $x=0$ befindet sich also eine hebbare Definitionslücke.

Wie Du den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion an einem Beispiel berechnen kannst, findest Du in der Erklärung "Definitionslücke gebrochen rationale Funktion".

Gebrochen rationale Funktionen – Nullstellen

Um die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ zu bestimmen, genügt es, nur den Zähler $g(x)$ gleich null zu setzen. Du gehst dabei also wie folgt vor:

Setzte den Zähler $g(x)$ gleich null $\to g(x)=0$.
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
Überprüfe, ob die ermittelten Nullstellen auch wirklich im Definitionsbereich der Funktion liegen.

Konkrete Berechnungen von Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen findest Du in der Erklärung "Gebrochen rationale Funktionen Schnittpunkte ".

Gebrochen rationale Funktionen – Asymptoten

Wenn Du gebrochen rationale Funktionen auf das Verhalten im Unendlichen untersuchst, betrachtest Du dabei stets die Asymptoten.

Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne dabei diesen Wert anzunehmen.

Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:

waagrechte/horizontale Asymptote

senkrechte Asymptote

schiefe/schräge Asymptote

kurvenförmige Asymptote

Asymptotengleichung:

$y=k$

Asymptotengleichung:

$x=k$

Asymptotengleichung:

$y=mx+t$

Asymptotengleichung:

$y=ax^2+bx+c$

Grenzwert von $f(x)$:

\[\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=k\]

Grenzwert von $f(x)$:

\[\lim\limits_{x\to k}f(x)=\pm\infty\]

$k=\text{Definitionsl} \ddot{\text{u}} \text{cke}$

Grenzwert von $f(x)$:

\[\lim\limits_{x\to \pm \infty}(mx +t)=\pm\infty\]

Grenzwert von $f(x)$:

\[\lim\limits_{x\to \pm \infty}(ax^2+bx+c)=\pm\infty\]

Hat eine gebrochen rationale Funktion eine senkrechte Asymptote, divergiert sie an einer Definitionslücke. Diese Stelle der Funktion wird Polstelle genannt. Die Funktion kann an dieser Stelle gleichzeitig gegen plus und minus unendlich divergieren.

Gebrochen rationale Funktionen senkrechte Asymptote StudySmarter Abb. 3 - Senkrechte Asymptote bzw. Polstelle.

Wie die Asymptoten im Einzelnen berechnet werden, erfährst Du in der Erklärung "Asymptote berechnen".

Gebrochen rationale Funktionen ableiten

Gebrochen rationale Funktionen werden über die Quotientenregel abgeleitet.

Die erste Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ wird wie folgt berechnet:

\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x)-g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\]

$\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}$

Leite also zunächst jeweils den Zähler $g(x)$ und den Nenner $h(x)$ der gebrochen rationalen Funktion ab und setze diese dann anschließend in die Ableitungsformel der Quotientenregeln ein.

Du möchtest das Ganze mal an einem Beispiel sehen? Dann schau Dir die Erklärung "Gebrochen rationale Funktionen ableiten" an.

Gebrochen rationale Funktionen Extrempunkte – Beispiel

Genau wie ganzrationale Funktionen, können auch gebrochen rationale Funktionen Extrempunkte, also lokale Hoch- und Tiefpunkte, haben. Je nach Art der gebrochen rationalen Funktion kann es vorkommen, dass der Tiefpunkt über dem Hochpunkt liegt.

1. Bilde die erste und zweite Ableitung von $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

Nutze zum Ableiten die Quotientenregel

\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x)-g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\]

\begin{align} f(x)&= \frac{8x}{(x-1)^2}\\ \to f'(x)&=\frac{-8x-8}{(x-1)^3}\\ \to f''(x)&=\frac{16x+32}{(x-1)^4}\end{align}

2. Notwendige Bedingung

Setze die erste Ableitung gleich null, $ f'(x)=0$, und löse nach $x$ auf.

\[\to \text{potenzielle Ex}\text{tremstelle bei } x_E\]

\begin{align}f'(x)&=0\\[0.15cm] \frac{-8x-8}{(x-1)^3} &=0&&|\cdot (x-1)^3\\[0.15cm]-8x-8&=0&&|+8\\-8x&=8&&|:(-8)\\x&=-1 \\[0.15cm] \to x_E &=-1\end{align}

3. Hinreichende Bedingung

Setze $x_E$ in die zweite Ableitung ein

$f''(x_E)>0 \to \text{Tiefpunkt}$
$f''(x_E)<0 \to \text{Hochpunkt}$
$f''(x_E)=0 \to \text{keine Extremstelle}$

\begin{align} f''({\color{bl}x_E})&=\frac{16{\color{bl}x_E}+32}{({\color{bl}x_E}-1)^4}\\[0.15cm]f({\color{bl}-1})&=\frac{16\cdot {\color{bl}-1}+32}{({\color{bl}-1}-1)^4}\\[0.15cm]&=4 \,\,>0 \to \text{Tiefp}\text{unkt} \end{align}

4. Extrempunkt bilden

Setze die Extremstelle $x_E$ in die Funktion $f(x)$ ein und löse nach $y$ auf.

\[\to \text{Extrempunkt bei } E= \left(x_E|f(x_E)\right)\]

\begin{align} f({\color{bl}x_E})&=\frac{8{\color{bl}x_E}}{({\color{bl}x_E}-1)^2}\\[0.15cm]f({\color{bl}-1})&=\frac{8\cdot {\color{bl}-1}}{({\color{bl}-1}-1)^2}\\[0.15cm]&=-2 \end{align}$\to \text{Tiefp}\text{unkt bei } T=(-1|-2) $

Die gebrochen rationale Funktion $f(x)=\frac{8x}{(x-1)^2}$ hat also als einzigen Extrempunkt einen Tiefpunkt, also ein lokales Minimum.

gebrochen rationale Funktionen Extrempunkte StudySmarter Abb. 4 - Gebrochen rationale Funktion mit Tiefpunkt.

Ging Dir das etwas zu schnell? Dann schau Dir die Erklärung "Extremstellen" an.

Gebrochen rationale Funktionen zeichnen

Um eine gebrochen rationale Funktion zu zeichnen, kannst Du den folgenden Schritten folgen:

Bestimme den Definitionsbereich
Berechne die Nullstellen und zeichne sie in ein Koordinatensystem.
Berechne die Extrempunkte und zeichne diese ebenfalls in Dein Koordinatensystem.
Bestimme die Asymptoten und zeichne diese als gestrichelte Linien ins Koordinatensystem.
Zeichne jetzt den Funktionsgrafen ausgehend der Nullstellen und Extrempunkte so ein, dass er sich den Asymptoten annähert.

Schritt	Beispiel $f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-2}$
1. Bestimme den Definitionsbereich.	$\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{2\}$
2. Berechne die Nullstellen und zeichne sie in ein Koordinatensystem.	$x_1=-2$, $x_2=1$ Abb. 5 -Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Nullstellen.
3. Berechne die Extrempunkte und zeichne diese ebenfalls in Dein Koordinatensystem.	Tiefpunkt: $T=(4\|9)$ Hochpunkt: $H=(0\|1)$ Abb. 6 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Extrema.
4. Bestimme die Asymptoten und zeichne diese als gestrichelte Linien ins Koordinatensystem.	Senkrechte Asymptote: $x=2$ schräge Asymptote: $y= x+3$ Abb. 7 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Asymptoten.
5. Zeichne jetzt den Funktionsgrafen ausgehend der Nullstellen und Extrempunkte so ein, dass er sich den Asymptoten annähert.	Abb. 8 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen.

Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktionen

Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören neben dem Ermitteln der Nullstellen und des Definitionsbereiches noch weitere Schritte. In der folgenden Tabelle findest Du einen Überblick, wie Du eine vollständige Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen durchführen kannst, und worauf Du besonders achten musst.

1. Definitionsbereich bestimmen

Setze den Nenner der Funktion gleich null $\to h(x)=0$
Löse die Gleichung nach $x$ auf
Grenze die Lösungen $x$, also $x_1,{...},x_n$, aus den reellen Zahlen aus $\to\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{x_1,{...},x_n\}$.

2. Nullstellen berechnen

Setzte den Zähler $g(x)$ gleich null $\to g(x)=0$.
Löse die Gleichung nach $x$ auf.

3. y-Achsenabschnitt bestimmen

Setze $x=0$ in die $f(x)$ ein $\to y_0=f(0)$

4. Symmetrieverhalten

Achsensymmetrie zur y-Achse prüfen $\to f(-x)=f(x)$
Punktsymmetrie zum Ursprung prüfen $\to f(-x)=-f(x)$

5. Asymptote berechnen

waagrechte Asymptote: Für die Berechnung wird der Limes von $f(x)$ für $x$ gegen $\pm \infty$ gebildet.
senkrechte Asymptote: Für die Berechnung wird der Limes von $f(x)$ für $x$ gegen die Definitionslücke gebildet.
schiefe Asymptote: Berechnung mit Polynomdivision
kurvenförmige Asymptote: Berechnung mit Polynomdivision

6. Verhalten im Unendlichen

Bilde den Grenzwert jeder ermittelten Asymptoten
waagrechte Asymptote: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=k$
senkrechte Asymptote: $\lim\limits_{x\to k^\pm} f(x)=\pm\infty$ mit $k$ als Definitionslücke
schiefe Asymptote: $\lim\limits_{x\to \pm \infty}(mx +t)=\pm\infty$
kurvenförmige Asymptote: $\lim\limits_{x\to \pm \infty}(ax^2+bx+c)=\pm\infty$

7. Extremstellen

Erste und zweite Ableitung mit Quotientenregel bilden
Notwendige Bedingung: $f'(x)=0 \to$ mögliche Extremstelle bei $x_E$
Hinreichende Bedingung: Setze $x_E$ in die zweite Ableitung ein. $\to \text{wenn } f''(x_E)\neq0 \text{ ,dann } x_E= \text{Extremstelle}$

8. Monotonie

Betrachte für die Monotonie die erste Ableitung
$f'(x)>0 \to f(x) \text{ streng monoton steigend}$
$f'(x)<0 \to f(x) \text{ streng monoton fallend}$

9. Krümmungsverhalten

Betrachte für die Krümmung die zweite Ableitung
$f''(x)>0 \to f(x) \text{ links-gekrümmt}$
$f''(x)<0 \to f(x) \text{ rechts-gekrümmt}$
$f''(x)=0 \to f(x) \text{ nicht gekrümmt}$

10. Wendestellen berechnen

Zweite und dritte Ableitung mit Quotientenregel bilden
Notwendige Bedingung: $f''(x)=0 \to$ mögliche Wendestelle bei $x_W$
Hinreichende Bedingung: Setze $x_W$ in die dritte Ableitung ein. $\to \text{wenn } f'''(x_W)\neq0 \text{ ,dann } x_W= \text{Wendestelle}$

11. Wertebereich bestimmen

Welche $y$-Werte kann $f(x)$ annehmen?
Wertebereich ist abhängig von Lage und Art der Extremstellen, Asymptoten und ggf. der Definitionslücke.
Am besten zur Bestimmung den Graphen zeichnen.

Gebrochen Rationale Funktionen – Das Wichtigste

Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen dargestellt werden kann.$$ f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} $$
Definitionsbereichbestimmen:
- Setze den Nenner der Funktion gleich null $\to h(x)=0$ und löse nach $x$ auf.
- Grenze die Lösungen $x$, also $x_1,{...},x_n$, aus den reellen Zahlen aus $\to\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{x_1,{...},x_n\}$.
Nullstellenberechnen:
- Setzte den Zähler $g(x)$ gleich null $\to g(x)=0$.
- Löse die Gleichung nach $x$ auf.
Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne dabei diesen Wert anzunehmen.
- Es gibt waagrechte, senkrechte, schiefe und kurvenförmige Asymptoten.
- An einer senkrechten Asymptoten befindet sich die sogenannte Polstelle. Dort kann sie gleichzeitig gegen plus und minus Unendlich divergieren.
Gebrochen rationale Funktionen werden über die Quotientenregel abgeleitet.
Gebrochen rationale Funktionen zeichnen:
- Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen
- Schritt 2: Nullstellen bestimmen und einzeichnen
- Schritt 3: Extrempunkte bestimmen und einzeichnen
- Schritt 4: Asymptoten berechnen und einzeichnen
- Schritt 5: Funktionsgrafen ausgehend der Extrempunkte und Nullstellen so einzeichnen, dass er sich den Asymptoten annähert.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gebrochenrationale Funktionen

Eine Funktion ist gebrochen rational, wenn sie aus einem Quotienten zweier Polynome bzw. zweier ganzrationaler Funktionen besteht.

Eine gebrochen rationale Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn Folgendes gilt: f(-x)=f(x)
Eine gebrochen rationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn Folgendes gilt: f(-x)=-f(x)

Nein, nicht jede gebrochen rationale Funktion hat eine Asymptote. Es gibt zum Beispiel bestimmte unechte gebrochen rationale Funktionen wie f(x) = 4x² : x, die keine Asymptoten haben.

Finales Gebrochenrationale Funktionen Quiz

Gebrochenrationale Funktionen Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Nenne die einzelnen Schritte bei der Partialbruchzerlegung.

Antwort anzeigen

Antwort

$1.$ Nullstellen $x_0$ des Nennerpolynoms $h(x)$ ermitteln

$2.$ Funktion $f(x)$ mit faktorisiertem Nennerpolynom $h(x)$ aufstellen

$3.$ Partialbrüche nach Häufigkeit der Nullstellen aufstellen

$4.$ Funktion $\frac{g(x)}{h(x)}$ und die Summe aller Partialbrüche gleichsetzen

$5.$ Brüche auf einen Hauptnenner bringen

$6.$ Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner

$7.$ Koeffizienten $A,\,A_1,\,...\,A_n$ bestimmen durch Koeffizientenvergleich

$8.$ Koeffizienten einsetzen und Funktion $f(x)$ als Summe von Partialbrüchen darstellen

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Koeffizienten $A$ und $B$ folgender Gleichung.

\[x+1=A(x-2)+B(x-1)\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[A=-2\hspace{1cm}B=3\]

Frage anzeigen

Frage

Vereinfache die Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.

\[\frac{x-1}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B_1}{x+2}+\frac{B_2}{(x+2)^2}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[x-1=A(x+2)^2+B_1(x-1)(x+2)+B_2(x-1)\]

Frage anzeigen

Frage

Stelle die Summe der Partialbrüche für die Funktion $f(x)$ auf.

Eine Nullstelle befindet sich bei $x_1=-3$.

\[f(x)=\frac{x-2}{x^3+3x^2-1x-3}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[f(x)=\frac{x-2}{x^3+3x^2-1-3}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}+\frac{A}{x+1}\]

Frage anzeigen

Frage

Stelle die Funktion $f(x)$ mit faktorisiertem Nennerpolynom dar.

\[f(x)=\frac{x+2}{x^2-1}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[f(x)=\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}\]

Frage anzeigen

Frage

Bringe die Gleichung mit Partialbrüchen auf einen gemeinsamen Hauptnenner.

\[f(x)=\frac{x-1}{(x-2)x}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[f(x)=\frac{x-1}{(x-2)x}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x}=\frac{Ax}{(x-2)x}+\frac{B(x-2)}{(x-2)x}\]

Frage anzeigen

Frage

Stelle die Summe von Partialbrüchen für eine echt-gebrochenrationale Funktion $f(x)$ auf, dessen Nennernullstellen sich bei $x_1=0$ und $x_2=1$ befinden.

Antwort anzeigen

Antwort

\[f(x)=\frac{A}{x-0}+\frac{B}{x-1}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}\]

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob die Partialbruchzerlegung auch bei unecht-gebrochenrationalen Funktionen des Typs $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ angewandt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Partialbruchzerlegung kann nur bei echt-gebrochenrationalen Funktionen angewandt werden. Jedoch lässt sich durch Polynomdivision die unecht-gebrochenrationale Funktion $f(x)$ in einen ganzrationalen Anteil und einen echt-gebrochenrationalen Anteil überführen. Bei diesem kann die Partialbruchzerlegung angewandt werden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne einen allgemeinen Partialbruch, der zwei einfache, nicht reelle Nullstellen im Nennerpolynom der Funktion $f(x)$ beinhaltet.

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Antwort

\[\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Ansatz des Partialbruchs, wenn das Nennerpolynom $h(x)$ eine dreifache Nullstelle bei $x_0=2$ aufweist.

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Antwort

\[\dfrac{A_1}{x-2}+\dfrac{A_2}{(x-2)^2} +\dfrac{A_3}{(x-2)^3}\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, worauf eine gebrochenrationale Funktion $f(x)$ überprüft werden muss, bevor die Partialbruchzerlegung angewandt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Es muss überprüft werden, ob gebrochenrationale Funktion $f(x)$ echt-gebrochenrational oder unecht-gebrochenrational ist. Liegt eine unecht-gebrochenrationale Funktion $f(x)$ vor, so muss diese zunächst in einen ganzrationalen Anteil und einen echt-gebrochenrationalen Anteil zerlegt werden.

Frage anzeigen

Frage

Definiere das Ziel der Partialbruchzerlegung.

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Antwort

Die Partialbruchzerlegung zerlegt eine echt-gebrochenrationale Funktion $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ mit dem Zählerpolynom $g(x)$ und dem Nennerpolynom $h(x)$ in eine Summe aus Partialbrüchen.

Frage anzeigen

Frage

Ein Partialbruch für eine Nullstelle wurde wie folgt aufgestellt.

\[\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}\]

Beurteile die Art und Häufigkeit der Nullstelle.

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Antwort

einfache reelle Nullstelle

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wann die Partialbruchzerlegung bei einer gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ angewandt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Partialbruchzerlegung lässt sich bei einer echt-gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ anwenden, bei der der Grad des Zählerpolynoms $g(x)$ kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms $h(x)$.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, über welchen Partialbruch eine einfach reelle Nullstelle $x_0$ dargestellt wird.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\dfrac{A}{x-x_0}\]

Frage anzeigen

Frage

Die gebrochen rationale Funktion f hat bei x₀ eine j-fache Zählernullstelle, aber keine Nennernullstelle.

Entscheide, welche Aussagen wahr sind.

Antwort anzeigen

Antwort

f hat bei x₀ eine Nullstelle.

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Frage

Die gebrochen rationale Funktion f hat bei x₀ eine doppelte Nennernullstelle, aber keine Zählernullstelle.

Entscheide, welche Aussagen falsch sind.

Antwort anzeigen

Antwort

f hat bei x₀ eine Nullstelle.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die drei Arten von Definitionslücken, die eine gebrochen rationale Funktion haben kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Polstelle mit Vorzeichenwechsel
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
(be-)hebbare Definitionslücke

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Graph in der Umgebung einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verläuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Polstelle ist eine senkrechte Asymptote.

Wenn die Polstelle mit Vorzeichenwechsel ist, dann werden die Funktionswerte beim Annähern von einer Seite beliebig groß und beim Annähern von der anderen Seite beliebig klein.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie der Graph in der Umgebung einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel verläuft?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Polstelle ist eine senkrechte Asymptote.

Beim Annähern von beiden Seiten werden die Funktionswerte entweder beliebig groß, oder beliebig klein.

Frage anzeigen

Frage

Wie erkennst Du eine Definitionslücke?

Antwort anzeigen

Antwort

Definitionslücken entstehen, wenn es für einen $x$-Wert keinen zugehörigen $y$-Wert gibt, weil die Funktion mit diesem Wert nicht berechnet werden kann. Das passiert beispielsweise, wenn der Nenner $0$ wird oder ein Minus unter der Wurzel steht.

Frage anzeigen

Frage

Gib den Definitionsbereich für folgende Funktion an:

\[f(x)=\frac{5x^3}{x^2-1}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{-1;1\}\]

Frage anzeigen

Frage

Welche Funktionsarten können Asymptoten haben?

Antwort anzeigen

Antwort

lineare Funktion

Frage anzeigen

Frage

Ist eine Definitionslücke immer auch eine senkrechte Asymptote?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Um sicherzugehen, dass es sich bei einer gefundenen Definitionslücke wirklich um eine senkrechte Asymptote handelt, kannst Du den Grenzwert gegen diesen Wert bilden. Erhältst Du plus oder minus unendlich als Ergebnis, ist es wirklich eine Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Woran erkennst Du, ob eine gebrochen rationale Funktion waagrechte Asymptoten hat?

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Antwort

Indem ich Zähler- und Nennergrad miteinander vergleiche.

Frage anzeigen

Frage

Wann hat eine gebrochen-rationale Funktion eine waagrechte Asymptote?

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Antwort

Wenn der Nennergrad entweder genauso groß oder größer als der Zählergrad ist, existiert eine waagrechte Asymptote.

Frage anzeigen

Frage

Welche Asymptoten können gemeinsam auftreten?

Antwort anzeigen

Antwort

senkrecht und waagrecht

Frage anzeigen

Frage

Welche Asymptoten könnte die Funktion $f(x)=\dfrac{5x^3+x^2-x}{x^4+5x}$ haben?

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Antwort

Es könnte eine senkrechte Asymptote bei $x=-\sqrt[3]{5}=-1{,}71$ und eine waagrechte Asymptote bei $y=0$ vorliegen.

Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob an der Definitionslücke der Funktion $f(x)=\dfrac{5x^3-x^2-x}{x^4+5x}$ eine senkrechte Asymptote vorliegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, es existiert eine senkrechte Asymptote an der Definitionslücke.

Frage anzeigen

Frage

Es wird behauptet, eine Parabel hätte eine senkrechte Asymptote bei $x=0$. Stimmt das?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Eine Parabel hat keine Asymptote, da es keinen Wert gibt, an den sie sich annähert.

Frage anzeigen

Frage

Berechne alle Asymptoten von $f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)(x+1)}{(x+2)^2}$.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Graph von $f(x)$ hat eine senkrechte Asymptote bei $x=2$ und eine schräge Asymptote mit $y=x-3$.

Frage anzeigen

Karteikarten in Gebrochenrationale Funktionen31

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Nenne die einzelnen Schritte bei der Partialbruchzerlegung.

$1.$ Nullstellen $x_0$ des Nennerpolynoms $h(x)$ ermitteln

$2.$ Funktion $f(x)$ mit faktorisiertem Nennerpolynom $h(x)$ aufstellen

$3.$ Partialbrüche nach Häufigkeit der Nullstellen aufstellen

$4.$ Funktion $\frac{g(x)}{h(x)}$ und die Summe aller Partialbrüche gleichsetzen

$5.$ Brüche auf einen Hauptnenner bringen

$6.$ Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner

$7.$ Koeffizienten $A,\,A_1,\,...\,A_n$ bestimmen durch Koeffizientenvergleich

$8.$ Koeffizienten einsetzen und Funktion $f(x)$ als Summe von Partialbrüchen darstellen

Bestimme die Koeffizienten $A$ und $B$ folgender Gleichung.

\[x+1=A(x-2)+B(x-1)\]

\[A=-2\hspace{1cm}B=3\]

Vereinfache die Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.

\[\frac{x-1}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B_1}{x+2}+\frac{B_2}{(x+2)^2}\]

\[x-1=A(x+2)^2+B_1(x-1)(x+2)+B_2(x-1)\]

Stelle die Summe der Partialbrüche für die Funktion $f(x)$ auf.

Eine Nullstelle befindet sich bei $x_1=-3$.

\[f(x)=\frac{x-2}{x^3+3x^2-1x-3}\]

\[f(x)=\frac{x-2}{x^3+3x^2-1-3}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}+\frac{A}{x+1}\]

Stelle die Funktion $f(x)$ mit faktorisiertem Nennerpolynom dar.

\[f(x)=\frac{x+2}{x^2-1}\]

\[f(x)=\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}\]

Bringe die Gleichung mit Partialbrüchen auf einen gemeinsamen Hauptnenner.

\[f(x)=\frac{x-1}{(x-2)x}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x}\]

\[f(x)=\frac{x-1}{(x-2)x}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x}=\frac{Ax}{(x-2)x}+\frac{B(x-2)}{(x-2)x}\]

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Schritt	Beispiel \(f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-2}\)
1. Bestimme den Definitionsbereich.	\(\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{2\}\)
2. Berechne die Nullstellen und zeichne sie in ein Koordinatensystem.	\(x_1=-2\), \(x_2=1\) Abb. 5 -Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Nullstellen.
3. Berechne die Extrempunkte und zeichne diese ebenfalls in Dein Koordinatensystem.	Tiefpunkt: \(T=(4\|9)\) Hochpunkt: \(H=(0\|1)\) Abb. 6 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Extrema.
4. Bestimme die Asymptoten und zeichne diese als gestrichelte Linien ins Koordinatensystem.	Senkrechte Asymptote: \(x=2\) schräge Asymptote: \(y= x+3\) Abb. 7 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen Asymptoten.
5. Zeichne jetzt den Funktionsgrafen ausgehend der Nullstellen und Extrempunkte so ein, dass er sich den Asymptoten annähert.	Abb. 8 - Gebrochen rationale Funktionen zeichnen.

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Gebrochenrationale Funktionen

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Gebrochen Rationale Funktionen – Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gebrochenrationale Funktionen

Wann ist eine Funktion gebrochen rational?

Wann ist eine gebrochen rationale Funktion symmetrisch?

Hat jede gebrochen rationale Funktion eine Asymptote?

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