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Gebrochen rationale Funktionen gehören zu den rationalen Funktionen. Was genau eine gebrochen rationale Funktion ist, wie Du ihren Definitionsbereich, ihre Nullstellen sowie Extrempunkte und Asymptoten berechnen kannst, erfährst Du hier. Außerdem bekommst Du hier eine Anleitung für eine Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen und lernst auch an Beispielen, wie Du einen Funktionsgraphen zeichnen kannst.
Eine gebrochen rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen dargestellt werden kann.
$$ f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} $$
Wobei \( g(x) \) und \( h(x) \) Polynome, also ganzrationale Funktionen sind.
Gebrochen rationale Funktionen werden in unecht und echt gebrochen rationale Funktionen unterschieden. Dabei wird der Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners verglichen.
Art der gebrochen rationalen Funktionen | Eigenschaft | Gebrochen rationale Funktionen Beispiele |
unecht gebrochen rationale Funktionen |
| \begin{align}f(x)&=\frac{4x^3}{x^2}\\&=\frac{4x^\cancel{3}}{\cancel{x^2}}\\&=4x\end{align}
|
echt gebrochen rationale Funktionen |
| \[f(x)=\frac{5}{3x^2-10x}\]
|
Der Definitionsbereich von gebrochen rationalen Funktionen ist generell für diejenigen \(x\)-Werte eingeschränkt, für die der Nenner der Funktion gleich null ist. An dieser Stelle existiert eine sogenannte Definitionslücke.
Um den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) zu bestimmen, kannst Du also wie folgt vorgehen:
Wenn sich gebrochen rationale Funktionen soweit kürzen lassen, dass sie im Nenner kein Polynom mehr haben, haben sie im Bereich der Nullstellen des Nenners eine hebbare Definitionslücke, die nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar ist. Dort ist die Funktion nicht definiert, wird aber stetig fortgesetzt.
Die Funktion \(f(x)=\frac{2x^2}{x}\) kann so weit gekürzt werden, dass das Polynom im Nenner wegfällt.
\begin{align}f(x)&=\frac{2x^2}{x}\\[0.15cm]&=2x\end{align}
Nichtsdestotrotz ist die Funktion \(f(x)\) für die Nullstellen im ungekürzten Nenner, also für \(x=0\) nicht definiert. An der Stelle \(x=0\) befindet sich also eine hebbare Definitionslücke.
Wie Du den Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion an einem Beispiel berechnen kannst, findest Du in der Erklärung "Definitionslücke gebrochen rationale Funktion".
Um die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) zu bestimmen, genügt es, nur den Zähler \(g(x)\) gleich null zu setzen. Du gehst dabei also wie folgt vor:
Konkrete Berechnungen von Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen findest Du in der Erklärung "Gebrochen rationale Funktionen Schnittpunkte ".
Wenn Du gebrochen rationale Funktionen auf das Verhalten im Unendlichen untersuchst, betrachtest Du dabei stets die Asymptoten.
Eine Asymptote beschreibt die Annäherung eines Funktionsgraphen an einen bestimmten Wert, ohne dabei diesen Wert anzunehmen.
Es gibt verschiedene Arten von Asymptoten:
waagrechte/horizontale Asymptote | senkrechte Asymptote | schiefe/schräge Asymptote | kurvenförmige Asymptote |
Asymptotengleichung: \(y=k\) | Asymptotengleichung: \(x=k\) | Asymptotengleichung: \(y=mx+t\) | Asymptotengleichung: \(y=ax^2+bx+c\) |
Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=k\] | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to k}f(x)=\pm\infty\] \(k=\text{Definitionsl} \ddot{\text{u}} \text{cke}\) | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to \pm \infty}(mx +t)=\pm\infty\] | Grenzwert von \(f(x)\): \[\lim\limits_{x\to \pm \infty}(ax^2+bx+c)=\pm\infty\] |
Hat eine gebrochen rationale Funktion eine senkrechte Asymptote, divergiert sie an einer Definitionslücke. Diese Stelle der Funktion wird Polstelle genannt. Die Funktion kann an dieser Stelle gleichzeitig gegen plus und minus unendlich divergieren.
Abb. 3 - Senkrechte Asymptote bzw. Polstelle.
Wie die Asymptoten im Einzelnen berechnet werden, erfährst Du in der Erklärung "Asymptote berechnen".
Gebrochen rationale Funktionen werden über die Quotientenregel abgeleitet.
Die erste Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) wird wie folgt berechnet:
\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x)-g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\]
Leite also zunächst jeweils den Zähler \(g(x)\) und den Nenner \(h(x)\) der gebrochen rationalen Funktion ab und setze diese dann anschließend in die Ableitungsformel der Quotientenregeln ein.
Du möchtest das Ganze mal an einem Beispiel sehen? Dann schau Dir die Erklärung "Gebrochen rationale Funktionen ableiten" an.
Berechnungsschritt für Extrempunkte | Erklärung | Beispiel |
1. Bilde die erste und zweite Ableitung von \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) | Nutze zum Ableiten die Quotientenregel \[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x)-g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\] | \begin{align} f(x)&= \frac{8x}{(x-1)^2}\\ \to f'(x)&=\frac{-8x-8}{(x-1)^3}\\ \to f''(x)&=\frac{16x+32}{(x-1)^4}\end{align} |
2. Notwendige Bedingung | Setze die erste Ableitung gleich null, \( f'(x)=0\), und löse nach \(x\) auf. \[\to \text{potenzielle Ex}\text{tremstelle bei } x_E\] | \begin{align}f'(x)&=0\\[0.15cm] \frac{-8x-8}{(x-1)^3} &=0&&|\cdot (x-1)^3\\[0.15cm]-8x-8&=0&&|+8\\-8x&=8&&|:(-8)\\x&=-1 \\[0.15cm] \to x_E &=-1\end{align} |
3. Hinreichende Bedingung | Setze \(x_E\) in die zweite Ableitung ein
| \begin{align} f''({\color{bl}x_E})&=\frac{16{\color{bl}x_E}+32}{({\color{bl}x_E}-1)^4}\\[0.15cm]f({\color{bl}-1})&=\frac{16\cdot {\color{bl}-1}+32}{({\color{bl}-1}-1)^4}\\[0.15cm]&=4 \,\,>0 \to \text{Tiefp}\text{unkt} \end{align} |
4. Extrempunkt bilden | Setze die Extremstelle \(x_E\) in die Funktion \(f(x)\) ein und löse nach \(y\) auf. \[\to \text{Extrempunkt bei } E= \left(x_E|f(x_E)\right)\] | \begin{align} f({\color{bl}x_E})&=\frac{8{\color{bl}x_E}}{({\color{bl}x_E}-1)^2}\\[0.15cm]f({\color{bl}-1})&=\frac{8\cdot {\color{bl}-1}}{({\color{bl}-1}-1)^2}\\[0.15cm]&=-2 \end{align}\(\to \text{Tiefp}\text{unkt bei } T=(-1|-2) \) |
Die gebrochen rationale Funktion \(f(x)=\frac{8x}{(x-1)^2}\) hat also als einzigen Extrempunkt einen Tiefpunkt, also ein lokales Minimum.
Abb. 4 - Gebrochen rationale Funktion mit Tiefpunkt.
Ging Dir das etwas zu schnell? Dann schau Dir die Erklärung "Extremstellen" an.
Schritt | Beispiel \(f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-2}\) |
1. Bestimme den Definitionsbereich. | \(\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash \{2\}\) |
2. Berechne die Nullstellen und zeichne sie in ein Koordinatensystem. | \(x_1=-2\), \(x_2=1\)
|
3. Berechne die Extrempunkte und zeichne diese ebenfalls in Dein Koordinatensystem. |
|
4. Bestimme die Asymptoten und zeichne diese als gestrichelte Linien ins Koordinatensystem. |
|
5. Zeichne jetzt den Funktionsgrafen ausgehend der Nullstellen und Extrempunkte so ein, dass er sich den Asymptoten annähert. |
|
Zu einer vollständigen Kurvendiskussion gehören neben dem Ermitteln der Nullstellen und des Definitionsbereiches noch weitere Schritte. In der folgenden Tabelle findest Du einen Überblick, wie Du eine vollständige Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen durchführen kannst, und worauf Du besonders achten musst.
Schritt der Kurvendiskussion | Rechenweg für gebrochen rationale Funktionen \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) |
1. Definitionsbereich bestimmen |
|
2. Nullstellen berechnen |
|
3. y-Achsenabschnitt bestimmen |
|
4. Symmetrieverhalten |
|
5. Asymptote berechnen |
|
6. Verhalten im Unendlichen |
|
7. Extremstellen |
|
8. Monotonie |
|
9. Krümmungsverhalten |
|
10. Wendestellen berechnen |
|
11. Wertebereich bestimmen |
|
Eine Funktion ist gebrochen rational, wenn sie aus einem Quotienten zweier Polynome bzw. zweier ganzrationaler Funktionen besteht.
Nein, nicht jede gebrochen rationale Funktion hat eine Asymptote. Es gibt zum Beispiel bestimmte unechte gebrochen rationale Funktionen wie f(x) = 4x2 : x, die keine Asymptoten haben.
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