Funktion strecken

Wie verhalten sich die Parameter, wenn ein Vorgang doppelt oder halb so schnell durchgeführt wird? Wie entwickeln sich die Zahlen der Produkte im Lager, wenn man 10 % schneller produzieren würde? Um das Wievielfache ist eine Entwicklung schneller als die andere?

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Das sind alles Fragen, die sich mit dem Strecken von Funktionen beantworten lassen. Wie genau, das lernst Du hier.

    Funktion strecken – Definition

    Eine Funktion f(x) kann nicht nur direkt aufgezeichnet, sondern danach auch verändert (in der Mathematik sagt man gerne "transformiert") werden. Eine dieser Transformationen ist die Streckung.

    Die Streckung ist eine Transformation einer Funktion, bei der die Abstände der einzelnen Punkte von den Achsen aus gezielt verschoben werden.

    Dabei findet zum Beispiel keine Drehung oder Verschiebung in eine Richtung im Ganzen statt.

    Nicht zu verwechseln mit der zentrischen Streckung, die ein Objekt ausgehend von einem Punkt (etwa dem Koordinatenursprung) transformiert.

    Natürlich kann man die Funktionen nicht nur "größer" strecken, sondern auch verkleinern, das nennt man stauchen. Der Wert, der bestimmt, ob die Funktion breiter oder schmaler, größer oder kleiner wird, heißt Streckungsfaktor.

    Der Streckungsfaktor a ist der Wert, der bestimmt, in welche Richtung und wie stark die Transformation der Funktion stattfindet.

    Funktion gestauchtFunktion gestrecktkeine Veränderung

    Betrag kleiner 1

    Betrag größer als 1Betrag gleich 1
    a<1a>1a=1

    Sollte das Vorzeichen von "a" negativ sein, ist es keine reine Stauchung, sondern es findet zeitgleich eine Spiegelung an einer der Achsen statt. So ist eine Streckung um -2 letztendlich eine Streckung mit 2 und eine Spiegelung an der entsprechenden Achse, da

    -2=(-1)·2

    Da im Zweidimensionalen zwei Koordinatenachsen existieren, kann man die Funktion auch in genau zwei Richtungen strecken.

    In y-Richtung strecken

    Letztendlich ist die Streckung in y-Richtung eine Multiplikation der gesamten Funktion bzw. der Funktionswerte.

    Der Aufbau der Gleichung einer Funktion ist zum Beispiel

    y=f(x)=x4-4x2+2

    Um von einem Apfel auf zwei zu kommen, multiplizierst Du die Anzahl 1 Apfel mit 2. Um von einer ungestreckten Funktion y=f(x) auf die doppelte Streckung zu kommen, multiplizierst Du analog y beziehungsweise f(x) mit 2.

    Vereinfacht gesagt: bei einer Streckung in y-Richtung multiplizierst Du das y mit dem Streckungsfaktor a.

    Um also y zu verdoppeln, nutzt Du 2y anstatt y für die gestreckte Funktion. Damit ergibt sich für g(x):

    id="2794037" role="math" g(x)=2·y=2·f(x)=2·(x4-4x2+2)

    Daraus ergibt sich die Definition.

    Die Formel für die Streckung in y-Richtung lautet

    Graphen strecken Streckung in y-Richtung StudySmarter

    Dabei sind g(x) und f(x) Funktionen der Variable x und a ist der Streckungsfaktor.

    Mit dem Beispiel von oben kannst Du direkt ausprobieren, wie es sich auf eine Polynomfunktion auswirkt, wenn man sie mit dieser Formel streckt.

    Aufgabe 1

    Zeichne die Funktion f(x)=x4-4x2+2 in ein Koordinatensystem ein. Ermittle dazu eine in y-Richtung gestreckte Funktion von f(x) mit dem Streckungsfaktor a=2.

    Lösung

    Zur Erinnerung: die Funktionsgleichung einer Funktion, die um den Faktor a in Richtung der y-Achse gestreckt wird, lautet:g(x)=a·f(x)

    Das bedeutet in diesem Beispiel, wenn Du a und f(x) einsetzt und direkt ausmultiplizierst:

    g(x)= 2 · (x4-4x2+2) = 2x4-8x2+4

    Die Funktion f(x) und die mit dem Faktor a=2 in Richtung der y-Achse gestreckte Funktion g(x) sehen gezeichnet so aus:

    Graphen strecken gestrecktes Polynom StudySmarterAbbildung 1: In y-Richtung gestreckte Funktion

    Wie Du in der Grafik erkennen kannst, ist die Streckung der Funktion an den Extrempunkten besonders deutlich zu erkennen. Diese liegen doppelt so weit von der x-Achse entfernt, wie die Extrempunkte der Ausgangsfunktion. Das liegt daran, dass der Faktor für die Streckung in diesem Beispiel 2 beträgt.

    So funktioniert das bei allen Beispielen.

    Aufgabe 2

    Zeichne die Funktionf(x)=3·ex+2 ein.

    Ermittle f(x) um den Streckungsfaktor a=0,5 in y-Richtung gestaucht.

    Wie lautet die gestauchte Funktion g(x) ?

    Lösung

    Es ergibt sich nach der Definition von oben:

    g(x)=0,5·f(x) =0,5·3·ex+2g(x) =1,5· ex+1

    Auch grafisch kannst Du eine Veränderung beobachten.

    Graphen strecken e-funktion StudySmarterAbbildung 2: g(x) ist die gestauchte Version von der e-Funktion f(x)

    Im Beispiel kannst Du sehen, wie sich zwischen x=-6 und x=-4 der Abstand von grob eins auf grob ein halb (mit der Streckung) halbiert, bei x=1 sieht man gut wie f(x=1)=5 ist und g(x=1)=10 halb so weit entfernt von der x-Achse entfernt ist.

    Eine Stauchung um zwei entspricht einem Streckungsfaktor von a=0,5 und damit einer Division durch zwei.

    Hier hast Du noch einmal eine Übersichtstabelle, wie Funktionen sich entwickeln, wenn man sie in y-Richtung streckt und staucht:

    Streckung in y-RichtungStreckungStauchung
    Ausgangsfunktionf(x)=-x3+3x2-4f(x)=-x3+3x2-4
    Formelg(x)=a·f(x)g(x)=a·f(x)
    Streckungsfaktor a212
    transformierte Funktiong(x)=-2x3+6x2-8g(x)=-12x3+32x2-2
    grafische Darstellung

    Graphen strecken Streckung in y-Richtung StudySmarter

    Abbildung 3: Streckung in y-Richtung

    Graphen strecken Stauchung in y-Richtung StudySmarter

    Abbildung 4: Stauchung in y-Richtung

    Da sich bei der Streckung/Stauchung in y-Richtung die Werte in y-Richtung verändern, wird zwar der Schnittpunkt mit der y-Achse auch verschoben, aber die Schnittpunkte mit der x-Achse bleiben gleich.

    Strecken in x-Richtung

    Nach der Streckung in y-Richtung siehst Du nun, wie die Streckung in x-Richtung funktioniert. Hier reicht es nicht, die Funktion mit einem Vorfaktor zu multiplizieren, sondern Du ersetzt die Variable x direkt in der Funktionsgleichung.

    Die Formel für die Streckung in x-Richtung lautet

    h(x)=f1a·x

    Dabei sind h(x) und f(x) Funktionen der Variable x und a ist der Streckungsfaktor.

    Du musst also jedes x der Funktion durch den Term xa ersetzen.

    Bei der Streckung in x-Richtung teilst Du in der transformierten Funktion also jedes x durch den Streckungsfaktor a.

    Aufgabe 3

    Strecke die Funktion f(x)=x4-4x2+2 um den Faktor a=2 und zeichne beide Funktionen ein.

    Lösung

    Du hast zwei x in der Ausgangsgleichung:

    f(x)=x4-4x2+2

    Und diese ersetzt Du jetzt in der transformierten Funktion.

    h(x)=f 1a·x=f12·x =x24-4x22+2h(x)=x416- x2 +2

    Gezeichnet erkennt man dann gut, wie die transformierte Funktion h(x) den Abstand zur y-Achse verdoppelt hat.

    Graphen strecken Polynomfunktion StudySmarterAbbildung 5: In x-Richtung gestreckte Funktion

    Anhand der Darstellung kannst Du schön die Charakteristika der Streckung an der x-Achse prüfen:

    • Schnittpunkte mit der y-Achse bleiben gleich
    • Der Abstand zur y-Achse verdoppelt sich

    Achte beim Rechnen auf die Rechenregeln, insbesondere auf die Klammern und Potenzen.

    Natürlich kannst Du die gleiche Funktion von oben jetzt auch stauchen anstatt zu strecken, indem Du einen Streckungsfaktor, der kleiner als eins ist, verwendest.

    Aufgabe 4

    Bestimme die gestauchte Funktion h(x).

    h(x) ist die um den Streckungsfaktor a=12 gestauchte Transformation der Funktion f(x)= x4 - 4x2 + 2.

    Lösung

    Es gilt

    h(x)=f1a·x

    Du kannst bei a=12 das x in f(x) durch 2x ersetzen, da ja gilt 1a=112=2. Die Ausgangsfunktion f(x)= x4 - 4x2 + 2 wird dann bei der Stauchung zu:

    h(x) = f(2x)= 2x4 - 42x2 + 2= 24 · x4 - 4 · 22 · x2 + 2= 16x4 - 4 · 4 · x2 + 2h(x) = 16x4 - 16 x2 + 2

    Graphen strecken Stauchung eines Polynoms in x-Richtung StudySmarterAbbildung 6: Stauchung eines Polynoms in x-Richtung

    Zum Vergleich siehst Du hier noch einmal, wie eine Streckung und eine Stauchung sich auf die Funktion und die Lage der Extrema, Nullstellen und aller anderen Punkte auswirken:

    Streckung in x-RichtungStreckungStauchung
    Ausgangsfunktionf(x)=-x3+3x2-4f(x)=-x3+3x2-4
    Formelh(x)=f1a·xh(x)=f1a·x
    Streckungsfaktor a212
    transformierte Funktion

    f(x)=-18x3+34x2-4

    f(x)=-8x3+12x2-4
    grafische Darstellung

    Graphen strecken Streckung in x-Richtung StudySmarterAbbildung 7: Streckung in x-Richtung

    Graphen strecken Stauchung in x-Richtung StudySmarter

    Abbildung 8: Stauchung in x-Richtung

    Da sich bei der Streckung in x-Richtung die Werte in x-Richtung verändern, werden zwar die Schnittpunkte an der x-Achse auch verschoben, aber die Schnittpunkte mit der y-Achse bleiben gleich, weil alle Punkte auf der y-Achse (x=0) konstant bleiben.


    Funktion strecken – Strecken spezifischer Funktionen

    Prinzipiell ist das Vorgehen beim Strecken und Stauchen von Funktionen immer dasselbe. Es lohnt sich dennoch, sich das Vorgehen bei bestimmten Funktionen anzusehen.

    Quadratische Funktionen strecken

    Die Parabel als Graph einer quadratischen Funktion wird dir immer wieder über den Weg laufen. Sie sind außerdem das Paradebeispiel beim Transformieren von Funktionen.

    Gestreckte Parabel

    Bei (Normal-) Parabeln mit Scheitelpunkt im Koordinatenursprung sieht man die Stauchung und Streckung in y-Richtung in der Darstellung und sie ist einfach durchzuführen:

    f(x)= x2g(x)=a·f(x)=a·x2

    Auch die Streckung und Stauchung in x-Richtung ist grafisch gut erkennbar und schnell durchführbar.

    f(x)= x2h(x)=f(a·x)=(a·x)2=a2·x2

    Aufgabe 6

    Strecke f(x)=x2 mit den Streckungsfaktorena=2 und a=12 an der x-Achse und zeichne alle drei Funktionen.

    Lösung

    Du erhältst g(x) nach durchgeführter Streckung mit dem Streckungsfaktor a=2.

    f(x)= x2g(x)=f(2·x)=(2·x)2 =22·x2g(x)=4x2

    Die Funktion h(x) ergibt sich aus einer Stauchung um den Faktor a=0,5.

    f(x) = x2h(x)=f(12·x)=(12·x)2=122·x2h(x)=14x2

    Wie Du siehst, entsprechen g(x) und h(x) genau einer Streckung und Stauchung in y-Richtung, aber um a=4 bzw. a=14.

    Noch schöner siehst Du das in der Darstellung.

    Graphen strecken Parabeln StudySmarter

    Abbildung 8: f(x) ist eine Parabel. g(x) ist diese Parabel gestreckt. h(x) ist diese Parabel gestaucht.

    Von unten vervierfacht sich der Abstand von der x-Achse (also in y-Richtung) von h(x) auf f(x), während der von der y-Achse (also in x-Richtung) sich verdoppelt.

    Bei geraden Potenzen (4, 6, 8,...) funktioniert es auf die gleiche Art und Weise.

    Bei ungeraden Potenzen musst Du auf das Vorzeichen achten!

    Polynome zweiten Grades strecken

    Bei Polynomen bis zum zweiten Grad, also Funktionen, in den höchstens x2 vorkommt, muss der Streckungsfaktor mehrmals untergebracht werden. Hier ist es hilfreich, wenn Du Dich Summand für Summand vorarbeitest. Nimm etwa eine Streckung in x-Richtung.

    Damit Du das a aus der allgemeinen Darstellungsform von quadratischen Gleichungen nicht mit dem Streckungsfaktor a vertauschst, sind die Konstanten von Ersterem großgeschrieben.

    f(x)=A·x2+B·x+Ch(x)=f(1a·x) =A·(1a·x)2+B·(1a·x)+C =1a2·A·x2 +1a ·B·x + C

    Ohne das Potenzieren des Streckungsfaktors kommt die Streckung in Richtung y aus, wo Du die gesamte Funktion mit dem Streckungsfaktor a multiplizierst:

    f(x)=A·x2+B·x+Cg(x)=a·f(x) =a·(A·x2+B·x+C) =a·A·x2 +a·B·x + a·C

    Mache Dir also immer bewusst, ob Du in x-Richtung oder y-Richtung strecken möchtest.

    Aufgabe 7

    Strecke die Funktion f(x)=0,4x2+6x-18 um den Streckungsfaktor a=2 in x-Richtung und zeichne sie.

    Lösung

    Als Erstes setzt Du a in die Formel für die Streckung in x-Richtung von oben ein und erhältst

    g(x)= 0,1x2 + 3x - 18

    Graphen Strecken Polynom StudySmarter

    Abbildung 9: Die Parabel f(x) in x-Richtung gestreckt ergibt h(x)

    Hier fällt auf, dass der Scheitelpunkt auf der gleichen Höhe bleibt, sich dessen Abstand von der y-Achse aber, wie erwartet, verdoppelt hat. Der Schnittpunkt mit der x-Achse bleibt auch gleich, denn auch null mal eine Zahl bleibt null.

    e-Funktion strecken

    Bei einer e-Funktion f(x) ohne weitere Parameter ist die Streckung in x-Richtung schnell erklärt. Die Formeln von oben ergibt hier:

    f(x)=exh(x)=f(a·x)=ea·x

    Das verdeutlichen auch die folgenden Beispiele.

    Aufgabe 8

    Strecke f(x)=ex um a=0,5 in y-Richtung als b(x) und um a=4 in x-Richtung als h(x).

    Lösung

    Für die Streckung in y-Richtung nutzt Du die dazugehörige Formel und setzt Werte für a und f(x) ein:

    b(x)=a·f(x)=0,5·exb(x)=12·ex

    In x-Richtung kannst Du auch auf die Formel zurückgreifen und die gegebenen Werte einsetzen.

    h(x)=f(1a·x)h(x)=e(14·x)

    Beide Beispiele sind unten neben f(x)=ex als b(x) und h(x) dargestellt. Dazu siehst Du noch die jeweilige Streckung bzw. Stauchung an der x- und y-Achse, um alle vier Optionen abgebildet zu haben.

    Graphen strecken e-Funktion gestreckt und gestaucht StudySmarter

    Abbildung 10: Die e-Funktion gestreckt und gestaucht.

    Streckungsfaktor bestimmen

    Du kannst auch von Hand den Streckungsfaktor aus einem Koordinatensystem ablesen.

    Du willst zum Beispiel von der Ursprungsfunktion f(x) in Abbildung 10 die notwendige Streckung in x-Richtung, um auf die orange Funktion h(x) zu kommen, bestimmen.

    Schau dir am besten Punkte an, welche einen ganzzahligen Abstand zur y-Achse haben. Diese sind blau markiert. Dann schaust Du, wie weit die Punkte der orangen Funktion auf der gleichen (y-) Höhe von dieser Achse entfernt sind.

    Bestimme jetzt, womit man f(x) multiplizieren müsste, um von der ersten, blauen auf die zweite, orange Funktion zu kommen.

    Aufgabe 9

    Wie groß muss der Streckungsfaktor a sein, um von der blauen Parabel f(x) auf die orange Parabelh(x)zu kommen?

    Graphen strecken gestreckte Parabel bestimmen StudySmarterAbbildung 14: Die Parabel h(x) ist die gestreckte Version der Parabel f(x).

    Lösung

    Der Scheitelpunkt von f(x) hat einen x-Wert von -1. Der von h(x) einen von -3.

    Der Schnittpunkt mit der x-Achse selbst ist bei f(x) bei -2 und bei h(x) bei -6.

    Beide Male lautet der Faktor 3, also muss f(x) um a=3 gestreckt werden, um auf h(x) zu kommen.

    Funktion strecken – Aufgaben und Beispiele

    Und zum Abschluss noch ein paar Beispiele zur Anwendung.

    Aufgabe 10

    Stauche f(x)=x3-2x+1 mit dem Streckungsfaktor a=0,5 in x-Richtung.

    Lösung

    Als Erstes setzt Du den Streckungsfaktor da ein, wo er laut Streckungsformeln hingehört. Hier nämlich vor jedes x. Anschließend vereinfachst Du die Gleichung so weit wie möglich.

    h(x)=f(2x) =(2x)3-2·(2x)+1h(x) = 8x3- 4x +1

    Die Funktionsgraphen für Funktion f(x) und für die mit dem Faktor 2 in Richtung der x-Achse gestreckte Funktion h(x) sehen so aus:

    Graphen Strecken Polynom gestaucht x-Richtung StudySmarterAbbildung 11: Polynom in x-Richtung gestaucht

    Dann schau Dir noch eine Streckung in y-Richtung an:

    Aufgabe 11

    Nun soll die Funktion aus dem Beispiel oben f(x)=x4-4x2+2 nicht mehr gestreckt werden, sondern mit dem Faktor a=0,5 in y-Richtung gestaucht werden.

    Lösung

    Setze den Faktor a vor gesamte Funktion und multipliziere aus.

    Die Funktionsgleichung für die gestauchte Funktion lautet:

    g(x) = 0,5 · (x4-4x2+2) = 0,5x4-2x2+1

    Die Funktion f(x) und die mit dem Faktor a=0,5 in Richtung der y-Achse gestauchte Funktion g(x) sehen gezeichnet so aus:

    Graphen strecken Polynomfunktion Vierter Grad StudySmarterAbbildung 12: Das Polynom vierten Grades f(x) ergibt gestaucht g(x)

    Auch in diesem Beispiel ist der Unterschied der beiden Funktionen, insbesondere an den Extremstellen, erkennbar. Die Extremstellen der gestauchten Funktion g(x) sind nur halb so weit von der x-Achse entfernt wie die Extremstellen der Ausgangsfunktion f(x). Das liegt daran, dass der Faktor für die "Streckung" in diesem Beispiel 0,5 beträgt.

    Schau Dir doch ein komplizierteres Polynom an, das gestaucht wird:

    Aufgabe 12

    Dir liegt die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = x3-2x+1 vor. Diese möchtest Du mit dem Faktor a=0,5 in Richtung der x-Achse "strecken".

    Lösung

    Das bedeutet in diesem Beispiel:

    g(x)=0,5·(f(x)) =0,5·(x3-2x+1)g(x)=0,5x3-x-0,5

    Die Funktionsgraphen der Funktion f(x) und die mit dem Faktor a=0,5 in Richtung der x-Achse gestreckte Funktion g(x) sehen so aus:

    Graphen strecken Polynom StudySmarter

    Abbildung 13: g(x) ist das gestauchte Polynom dritten Grades von f(x)

    Hier sieht man wieder, wie die Extremstellen und Schnittpunkte (!) mit der Achse konstant bleiben, aber der Abstand entsprechend schrumpft.

    Funktion strecken - Das Wichtigste

    • Streckungsfaktor a
      • ist er größer als 0 wird gestreckt
      • ist er kleiner als 0 wird gestaucht
      • ist ein negatives Vorzeichen, dabei wird außerdem gespiegelt
    • Strecken in y-Richtung
      • g(x) = a · f(x)
      • der Abstand zur x-Achse ver-a-facht sich
    • Streckung in x-Richtung
      • h(x)=f(1a·x)
      • der Abstand zur y-Achse ver-a-facht sich
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktion strecken

    Wie bekomme ich den Streckfaktor raus?

    Den Streckfaktor a kannst du aus der Funktionsgleichung der gestreckten bzw. gestauchten Funktion g(x) ablesen. 

    Beim Strecken einer Funktion in Richtung der y-Achse gilt: g(x) = a·f(x) 

    Beim Strecken einer Funktion in Richtung der x-Achse gilt: g(x) = f(ax)

    Wie strecke ich eine Parabel?

    Eine Parabel wird gestreckt, indem der Streckfaktor a in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion f(x) eingebaut wird. Wie der Streckfaktor a in die Funktionsgleichung eingebaut ist, hängt davon ab, ob die Parabel in Richtung der x-Achse oder in Richtung der y-Achse gestreckt werden soll. 

    Beim Strecken einer Parabel ist der Betrag des Streckungsfaktors a immer größer als 1. 

    Wann stauchen und strecken?

    Ob eine Funktion gestaucht oder gestreckt wird, hängt vom Streckungsfaktor a ab:

    Wenn der Streckungsfaktor a zwischen -1 und 1 liegt, wird der Graph der Funktion gestaucht. 

    Wenn der Streckungsfaktor größer als 1 oder kleiner als -1 ist, wird der Graph der Funktion gestreckt. 

    Wann ist eine Funktion gestreckt?

    Ob eine Funktion gestaucht oder gestreckt wird, hängt vom Streckungsfaktor a ab. Wenn der Streckungsfaktor größer als 1 oder kleiner als -1 ist, wird der Graph der Funktion gestreckt. 

    Beim Strecken einer Funktion in Richtung der y-Achse gilt: g(x) = a·g(x)

    Beim Strecken einer Funktion in Richtung der x-Achse gilt: g(x) = f(x/a)

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