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Graphen strecken

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Mathe

Wie verhalten sich die Parameter wenn ein Vorgang doppelt oder halb so schnell durchgeführt wird? Wie entwickeln sich die Zahlen der Produkte im Lager wenn man 10% schneller produzieren würde? Um das Wievielfache ist eine Entwicklung schneller als die andere?

Alles Fragen die sich mit dem Strecken von Funktionen beantworten lassen. Und wie genau, das lernst Du hier.

Graphen strecken - Definitionen

Eine Funktion kann nicht nur direkt aufgezeichnet, sondern danach auch verändert (in der Mathematik sagt man gerne "transformiert") werden. Eine dieser Transformationen ist die Streckung.

Die Streckung ist eine Transformation einer Funktion, bei der die Abstände der einzelnen Punkte von den Achsen aus gezielt verschoben werden.

Dabei findet zum Beispiel keine Drehung oder Verschiebung in eine Richtung im Ganzen statt.

Nicht zu Verwechseln mit der zentrischen Streckung, die ein Objekt ausgehend von einem Punkt (zum Beispiel dem Koordinatenursprung) transformiert.

Natürlich kann man die Funktionen nicht nur "größer" strecken, sondern auch auch verkleinern, das nennt man stauchen. Der Wert, der bestimmt ob die Funktion breiter oder schmaler, größer oder kleiner wird, heißt Streckungsfaktor.

Der Streckungsfaktor a ist der Wert, der bestimmt, in welche Richtung und wie stark die Transformation der Streckung stattfindet.

Funktion gestauchtFunktion gestrecktkeine Veränderung

Betrag kleiner 1

Betrag größer als 1Betrag gleich 1
Graphen strecken Streckungsfaktor kleiner 1 führt zu Stauchung StudysmarterGraphen strecken Streckungsfaktor größer 1 führt zu Streckung StudysmarterGraphen strecken Streckungsfaktor gleich 1 Studysmarter

Sollte das Vorzeichen von "a" negativ sein, ist es keine reine Stauchung, sondern es findet zeitgleich eine Spiegelung an einer der Achsen statt. So ist eine Streckung um -2 letztendlich eine Streckung mit 2 und eine Spiegelung an der entsprechenden Achse, da

Eine Streckung mit einem Faktor kleiner 1 entspricht auch einer Division durch eine Zahl größer 1.

Da im Zweidimensionalen zwei Koordinatenachsen existieren, kann man die Funktion auch in genau zwei Richtungen strecken.

Strecken in y-Richtung

Letztendlich ist die Streckung in y-Richtung eine einfache Multiplikation der gesamten Funktion bzw. der Funktionswerte.

Der Aufbau der Gleichung einer Funktion ist zum Beispiel

Um von einem Apfel auf zwei zu kommen, multiplizierst Du die Anzahl 1 Apfel mit 2. Um von einer ungestreckten Funktion auf die doppelte Streckung zu kommen, multiplizierst Du analog y beziehungsweise mit 2.

Um also y zu verdoppeln, nutzt Du 2y anstatt y für die gestreckte Funktion. Damit ergibt sich für

wobei der fette Teil mathematisch das y für meint und nicht das y für .

Daraus ergibt sich die Definition.

Die Formel für die Streckung in y-Richtung lautet

Graphen strecken Streckung in y-Richtung Studysmarter

Dabei sind und Funktionen der Variable x und a ist der Streckungsfaktor.

Mit dem Beispiel von oben kannst Du direkt ausprobieren, wie es sich auf eine Polynomfunktion auswirkt wenn man sie mit dieser Formel streckt.

Die Funktion

soll mit dem Faktor in y-Richtung gestreckt werden.

Zur Erinnerung: die Funktionsgleichung einer Funktion, die um den Faktor a in Richtung der y-Achse gestaucht bzw. gestreckt wird, lautet:

Das bedeutet in diesem Beispiel, wenn du a und einsetzt und direkt ausmultiplizierst:

Die Funktion und die mit dem Faktor in Richtung der y-Achse gestreckte Funktion sehen gezeichnet so aus:

Graphen strecken StudysmarterAbbildung 1: g(x) ist die gestreckte Version von f(x)

Wie Du in der Grafik erkennen kannst, ist die Streckung der Funktion an den Extrempunkten besonders deutlich zu erkennen. Diese liegen doppelt so weit von der x-Achse entfernt wie die Extrempunkte der Ausgangsfunktion. Das liegt daran, dass der Faktor für die Streckung in diesem Beispiel 2 beträgt.

So funktioniert das bei allen Beispielen. Selbst bei e-Funktionen.

Willst Du zum Beispiel

um den Streckungsfaktor

in y-Richtung strecken ergibt das nach der Definition von oben

und sieht folgendermaßen aus

Graphen strecken e-funktion Studysmarter

Abbildung 2: g(x) ist die gestreckte Version von der e-Funktion f(x)

Im Beispiel kannst Du sehen, wie sich zwischen und der Abstand von grob eins auf grob zwei (mit der Streckung) verdoppelt, bei sieht man gut wie ist und doppelt so weit entfernt von der x Achse ist ist.

Eine Stauchung um zwei entspricht einem Streckungsfaktor von und damit einer Division durch zwei.

Strecken in x-Richtung

Je nach Funktionstyp ist es etwas mehr Rechenaufwand da hier das x innerhalb der Funktionsgleichung ersetzt wird und das an mehreren Stellen Auswirkungen auf die gesamte Funktion haben kann. Auch hier gibt es wieder einen Streckungsfaktor a.

Nur mit dem Unterschied, dass Du durch den Streckungsfaktor dividierst. Der Abstand (dieses mal von der y-Achse) ver-a-facht sich aber trotzdem.

Die Formel für die Streckung in x-Richtung lautet

Graphen strecken Streckung in x-Richtung Studysmarter

Dabei sind und Funktionen der Variable x und a ist der Streckungsfaktor.

Wenn also viele x vorhanden sind, wie in einem großes Polynom, musst Du oft durch ersetzen.

Schau Dir also mal die Funktion

an. Und strecke sie um den Faktor

Das heißt Du ersetzt alle x durch oder .

Du hast zwei x in der Ausgangsgleichung:

Und diese ersetzt du in der Transformierten.

Und gezeichnet erkennt man dann gut wie die transformierte Funktion den Abstand zur y-Achse verdoppelt hat.

Graphen strecken Polynomfunktion Studysmarter

Abbildung 3: g(x) ist die gestreckte Variante der Polynomfunktion f(x) ist.

BILD ERNEUERN H(X)

Anhand der Darstellung kannst Du schön prüfen wie die Schnittpunkte mit der y-Achse gleichgeblieben sind (weil sich der Abstand dazu ja nicht ändert), aber der Abstand zur x-Achse sich tatsächlich verdoppelt hat, denn um auf das Gleiche y zu kommen, brauchst Du jetzt "doppelt so viele x".

Im Rechner kannst Du die Funktion erstmal komplett hinschreiben anstatt "" erstmal mit "" (zwei Klammern) ersetzen, bis alle ersetzt sind. Dann tausche die Klammern "" gegen den neuen Faktor wie "" wenn ist. So verpasst Du auch keine Rechenregeln, insbesondere Potenzen, die gerne mal untergehen.

Strecken spezifischer Funktionen

Hier wird nur die Streckung in in x-Richtung behandelt, da die Streckung in y-Richtung eine einfache Multiplikation ist.

Quadratische Funktionen strecken

Die Funktionen bei denen die Streckung sich schön demonstrieren lässt, sind quadratische Funktionen. Als erstes kannst Du Dir davon die Beispiele mit den wenigsten Parametern, die Parabeln anschauen.

Gestreckte Parabeln

Bei Parabeln mit Scheitelpunkt im Koordinatenursprung sieht man die Stauchung und Streckung in der Darstellung schön und sie ist einfach durchzuführen:

Aufgrund des einfachen Aufbaus der Funktion ist eine Stauchung an der x-Achse das Gleiche wie an der y-Achse, nur mit statt a.

Schauen wir uns also das Beispiel

an.

Mit den Streckungsfaktor an der x-Achse

Du erhältst

Außerdem kannst Du gleich mit vergleichen, welches sich aus der Stauchung ergibt die bei entsteht:

Wie Du siehst entsprechen und genau einer Streckung und Stauchung in y-Richtung, aber um bzw. .

Noch schöner siehst Du das aber in der Darstellung.

Graphen strecken gestreckte Parabel StudysmarterAbbildung 4: f(x) ist eine Parabel. g(x) ist diese Parabel gestreckt. h(x) ist diese Parabel gestaucht.

Von unten vervierfacht sich der Abstand von der x-Achse (also in y-Richtung) von auf , während der von der y-Achse (also in x-Richtung) sich verdoppelt.

Bei geraden Potenzen (4, 6, 8,...) funktioniert es auf die Gleiche Art und Weise.

Bei ungeraden musst Du auf das Vorzeichen achten!

Polynome zweiten Grades strecken

Bei Polynomen bis zum zweiten Grad, also Funktionen, in den höchstens vorkommt, muss der Streckungsfaktor mehrmals untergebracht werden. Hier ist es hilfreich, wenn Du Dich Summand für Summand vorarbeitest. Nimm zum Beispiel eine Streckung in x-Richtung. Damit Du das a aus der allgemeinen Darstellungsform von quadratischen Gleichungen nicht mit dem Streckungsfaktor a vertauscht, sind die Konstanten von Ersterem groß geschrieben.

Ohne das Potenzieren des Streckungsfaktor kommt das Streckung in Richtung y aus, wo Du die gesamte Funktion mit dem Streckungsfaktor a multiplizierst:

Du siehst, dass hier mit dem und dem C was in der ersten Formel leer ausgeht schon die Streckung in x und y-Richtung sich unterscheiden.

Möchtest Du also die Funktion

um den Streckungsfaktor in x-Richtung strecken, so setzt du a in die Formel für die Streckung in x-Richtung von oben ein.

Graphen strecken gestrecktes Polynom Studysmarter

Abb5: Die Parabel f(x) in x-Richtung gestreckt ergibt h(x)

Hier fällt auf, dass der Scheitelpunkt auf der gleichen Höhe bleibt, sich dessen Abstand von der y-Achse aber, wie erwartet verdoppelt hat. Der Schnittpunkt mit der x-Achse bleibt auch gleich, denn auch null mal eine Zahl bleibt null.

e-Funktion strecken

Bei einer e-Funktion ohne weitere Parameter ist die Streckung in x-Richtung schnell erklärt. Die Formeln der beiden Definitionen ergeben:

Und das Einsetzen in x ist auch sehr erledigt und erfordert keine direkte Erläuterung, da das alles nur aus einem Schritt besteht.

Und davon schauen wir uns mal ein paar Beispiele, bei der eine Streckung an jeweils einer Achse stattfindet, an

Strecke

um in y-Richtung als

und um in x-Richtung als

Für die Streckung in y-Richtung nutzt Du die dazugehörige Formel und setzt a mit ein:

In x-Richtung musst du daran denken, dass einerseits im Exponenten und andererseits in reziproker Form einsetzen muss.

Beide Beispiele sind unten neben als und dargestellt.

Graphen strecken e-Funktion gestreckt und gestaucht StudysmarterAbbildung 6: Die e-Funktion gestreckt und gestaucht.

Graphen strecken - Aufgaben und Beispiele

Und zum Abschluss noch ein paar Beispiele zur Anwendung.

Aufgabe 1

Stauche

mit dem Streckungsfaktor in x-Richtung.

Lösung

Als Erstes setzt Du den Streckungsfaktor da ein wo er laut Streckungsformeln hingehört. Hier nämlich vor jedes x. Anschließend vereinfachst du die Gleichung so weit wie möglich.

Die Funktionsgraphen für Funktion und für die mit dem Faktor 2 in Richtung der x-Achse gestreckte Funktion sehen so aus:

Graphen Strecken Polynom gestaucht x-Richtung Studysmarter

Abbildung 7: Polynom in x-Richtung gestaucht

Dann schau Dir noch eine Streckung in y-Richtung an:

Aufgabe 2

Nun soll die Funktion von oben

nicht mehr gestreckt werden, sondern mit dem Faktor gestaucht werden.

Lösung

Also "von außen" kommt der Vorfaktor vor jeden einzelnen Summanden und wird dann in die Klammern in denen die Ausgangsfunktion steht an jeden Summanden ranmultipliziert.

Die Funktionsgleichung für die gestauchte Funktion lautet:

Die Funktion und die mit dem Faktor in Richtung der y-Achse gestauchte Funktion sehen gezeichnet so aus:

Graphen strecken Polynomfunktion Vierter Grad Studysmarter

Abbildung 8: Das Polynom vierten Grades f(x) ergibt gestaucht g(x).

Auch in diesem Beispiel ist der Unterschied der beiden Funktionen vor allem an den Extremstellen erkennbar. Die Extremstellen der gestauchten Funktion sind nur halb so weit von der x-Achse entfernt wie die Extremstellen der Ausgangsfunktion . Das liegt daran, dass der Faktor für die "Streckung" in diesem Beispiel beträgt.

Schau Dir doch ein komplizierteres Polynom an was gestaucht wird:

Aufgabe 3

Dir liegt die Funktion mit der Funktionsgleichung

vor. Diese möchtest Du mit dem Faktor in Richtung der x-Achse "strecken".

Lösung

Das bedeutet in diesem Beispiel:

Die Funktionsgraphen der Funktion und die mit dem Faktor in Richtung der x-Achse gestreckte Funktion sehen so aus:

Graphen strecken Polynom Studysmarter

Abbildung 9: g(x) ist das gestauchte Polynom dritten Grades von f(x)

Hier sieht man wieder wie die Extremstellen und Schnittpunkte (!) mit der Achse konstant bleiben, aber der Abstand entsprechend schrumpft.

Streckungsfaktor bestimmen

Du kannst auch von Hand den Streckungsfaktor aus einem Koordinatensystem ablesen.

Wenn Du zum Beispiel von der Ursprungsfunktion in Abbildung 10 die notwendige Streckung in x-Richtung um auf die türkise Funktion zu kommen, bestimmen willst, schaust du dir am besten die waagerechten Linien (die in x-Richtung) an und welche markanten Punkte einen ganzzahligen Abstand von der y-Achse haben. Von da schaust Du mit wieviel man diese multiplizieren müsste um auf die zweite Funktion zu kommen.

Aufgabe 4

Wie groß muss der Streckungsfaktor a sein um von der blauen Parabel auf die türkise Parabel zu kommen.

Abbildung 10: Die türkise Parabel g(x) ist die gestreckte Version der blauen Parabel f(x).

Lösung

Der Scheitelpunkt von hat einen x-Wert von . der von einen von -3.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse selbst ist bei bei und bei bei -6-

Beide Male lautet der Faktor 3, also muss um gestreckt werden um auf zu kommen.

Graphen strecken - Das Wichtigste

  • Streckungsfaktor a
    • ist er größer als 0 wird gestreckt
    • ist er kleiner als 0 wird gestaucht
    • ist ein negatives Vorzeichen dabei wird außerdem gespiegelt
  • Strecken in y-Richtung
    • der Abstand zur x-Achse ver-a-facht sich
  • Streckung in x-Richtung
    • der Abstand zur y-Achse ver-a-facht sich

Graphen strecken

Den Streckfaktor a kannst du aus der Funktionsgleichung der gestreckten bzw. gestauchten Funktion g(x) ablesen. 

Beim Strecken einer Funktion in Richtung der y-Achse gilt: g(x) = a·f(x) 

Beim Strecken einer Funktion in Richtung der x-Achse gilt: g(x) = f(ax)

Eine Parabel wird gestreckt, indem der Streckfaktor a in die Funktionsgleichung der Ausgangsfunktion f(x) eingebaut wird. Wie der Streckfaktor a in die Funktionsgleichung eingebaut ist, hängt davon ab, ob die Parabel in Richtung der x-Achse oder in Richtung der y-Achse gestreckt werden soll. 

Beim Strecken einer Parabel ist der Betrag des Streckungsfaktors a immer größer als 1. 

Ob eine Funktion gestaucht oder gestreckt wird, hängt vom Streckungsfaktor a ab:

Wenn der Streckungsfaktor a zwischen -1 und 1 liegt, wird der Graph der Funktion gestaucht. 

Wenn der Streckungsfaktor größer als 1 oder kleiner als -1 ist, wird der Graph der Funktion gestreckt. 

Ob eine Funktion gestaucht oder gestreckt wird, hängt vom Streckungsfaktor a ab. Wenn der Streckungsfaktor größer als 1 oder kleiner als -1 ist, wird der Graph der Funktion gestreckt. 

Beim Strecken einer Funktion in Richtung der y-Achse gilt: g(x) = a·g(x)

Beim Strecken einer Funktion in Richtung der x-Achse gilt: g(x) = f(x/a)

Finales Graphen strecken Quiz

Frage

Was ändert sich neben Streckung oder Stauchung an einer Funktion wenn der Streckungsfaktor negativ ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktion wird zusätzlich an einer der Achsen gespiegelt. 

Frage anzeigen

Frage

Was passiert bei einem Streckungsfaktor a=1 ?

Antwort anzeigen

Antwort

Nichts. Die Funktion bleibt unverändert.

Frage anzeigen

Frage

Warum verändert sich der Abstand zur y-Achse, wenn man eine Funktion in x-Richtung staucht?

Antwort anzeigen

Antwort

Die y-Achse bleibt unverändert.

Die x-Achse steht senkrecht auf der y-Achse und damit "bewegen" sich Punkte auf Parallelen zur x-Achse. Also "gehen" sie auf direktesten Wege von der y-Achse weg oder bewegen sich auf einer senkrecht daraufstehenden Geraten zu. 

Frage anzeigen
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