Satz von Vieta

Gegeben ist folgende quadratische Funktion:

\begin{align}f(x)=x^2-8x-9\end{align}

Gesucht sind die Nullstellen dieser quadratischen Funktion \(f(x)\).

Zur Lösung dieser Aufgabe wendest Du die Schritte zur Nullstellenberechnung von quadratischen Funktionen an:

Schritt 1: Setze Deine quadratische Funktion \(f(x)=0\), um eine quadratische Gleichung zu erhalten. Bringe diese bei Bedarf durch Äquivalenzumformung in die Normalform:

\begin{align}f(x)&=0 \\[0.1cm] \Rightarrow x^2{\color{#00dcb4}-8}x{\color{#1478c8}-9}&=0\end{align}

Die Gleichung ist bereits in der Normalform gegeben, deswegen ist keine Äquivalenzumformung nötig.In diesem Beispiel gilt:

$${\color{#00dcb4}p}={\color{#00dcb4}-8}; {\color{#1478c8}q}={\color{#1478c8}-9} $$

Schritt 2: Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für \(p\) und \(q\) aus Deiner Gleichung ein:

\begin{align} x_1+x_2=-{\color{#00dcb4}p} &\rightarrow x_1+x_2=-({\color{#00dcb4}-8})=8 \\ \\ x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}q} &\rightarrow x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}-9} \end{align}

Schritt 3: Teiler vom Koeffizienten \(q\) bestimmen und kontrollieren, ob \(x_1\cdot x_2=q\) erfüllt ist.

Teiler von \(-9\) sind beispielsweise die Zahlen \(-1\) und \(9\). Für sie ist auch das Produkt $$x_1\cdot x_2=-9$$ erfüllt, denn $$(-1)\cdot 9=-9$$

Dann wäre \(x_1=-1\) und \(x_2=9\).

Schritt 4: Überprüfe, ob für diese Zahlen auch die Summe \(x_1+x_2=-p\) aufgeht.

Du musst Du jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also

$$x_1+x_2=8$$

Gegenbeispiel:

Möglich wären auch die Zahlen \(x_1=3\) und \(x_2=-3\), die Teiler von \(q\) sind und für die ebenfalls das Produkt aufgeht, denn $$3\cdot (-3)=-9$$ Allerdings stimmt hier der zweite Teil, die Summe, nicht:

$$3+(-3)=0\neq8$$ Diese beiden Lösungs wären also falsch.

Aufgabe 1

Gegeben ist folgende quadratische Funktion \(f(x)\):

$$f(x)=x^2{\color{#00dcb4}-5}x+{\color{#1478c8}6}$$

Es sollen die Nullstellen der quadratischen Funktion \(f(x)\) bestimmt werden.

Lösung

Schritt 1: Um die Nullstellen der quadratischen Funktion \(f(x)\) zu bestimmen, setzt Du \(f(x)=0\):

$$x^2{\color{#00dcb4}-5}x+{\color{#1478c8}6}=0$$

Nun kannst Du Deine quadratiche Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta lösen und so die Nullstellen Deiner quadratischen Funktion \(f(x)\) bestimmen.

In diesem Beispiel gilt: $${\color{#00dcb4}p}={\color{#00dcb4}-5}, {\color{#1478c8}q}={\color{#1478c8}6} $$

Schritt 2: Schreibe Dir die geltenden Zusammenhänge laut des Satzes von Vieta auf. Setze die Werte für \(q\) und \(p\) aus Deiner Gleichung ein:

\begin{align} x_1+x_2=-{\color{#00dcb4}p} &\rightarrow x_1+x_2=-({\color{#00dcb4}-5})=5 \\ \\ x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}q} &\rightarrow x_1\cdot x_2={\color{#1478c8}6} \end{align}

Schritt 3: Teiler vom Koeffizienten \(q\) bestimmen und kontrollieren, ob \(x_1\cdot x_2=q\) erfüllt ist.

Teiler von \(6\) sind beispielsweise die Zahlen \(2\) und \(3\). Für sie ist auch das Produkt $$x_1\cdot x_2=6$$ erfüllt, denn $$2\cdot 3=6$$

Dann wäre \(x_1=2\) und \(x_2=3\).

Schritt 4: Überprüfe, ob für diese Zahlen auch die Summe \(x_1+x_2=-p\) aufgeht.

Du musst Du jetzt noch überprüfen, ob mit diesen Zahlen der zweite Teil des Satzes stimmt, also $$x_1+x_2=5$$

Aufgabe 2

Gegeben ist die quadratische Funktion:

$$f(x)=x^2-10x+21$$

Eine Lösung dieser Funktion ist $$x_1=3$$

Mit dem Satz von Vieta soll die zweite Lösung bestimmt werden.

Lösung

Schritt 1: Umstellen der Bedingung \(x_1+x_2=-p\) nach \(x_2\):

\begin{align} I. \quad x_1+x_2&=-p\quad\quad|-x_1\\x_2&=-p-x_1\end{align}

Schritt 2: Umstellen der Bedingung \(x_1\cdot x_2=q\) nach \(x_2\) :

\begin{align} II. \quad x_1\cdot x_2&=q\quad\quad|:x_1\\x_2&=\frac{q}{x_1}\end{align}

Schritt 3: Einsetzen von \(x_1\), \(p\) und \(q\) in die beiden Ansätze und Vergleich beider Ergebnisse für \(x_2\)

Als Erstes setzt Du \(x_1=3\) und \(p=-10\) in \(I.\) ein:

\begin{align} x_2&=-(-10)-3\\x_2&=10-3\\x_2&=7\end{align}

Als Zweites setzt Du \(x_1=3\) und \(q=21\) in \(II.\) ein:

\begin{align} x_2&=\frac{21}{3} \\ x_2&=7\end{align}

In beiden Ansätzen muss \(x_2\) übereinstimmen, nach Einsetzen der gegebenen Werte. In diesem Fall kommt bei beiden Ansätzen \(x_2=7\) heraus. Das heißt, Deine zweite Lösung lautet \(x_2=7\).