Differenzregel: Definition, Formel & Beispiele | StudySmarter
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Differenzregel

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Mathe

Kaum beschäftigst du dich mit dem Thema Ableitungen, kommen ganz viele unterschiedliche Rechenregeln auf dich zu! Wir können dich jedoch beruhigen! Wenn du alle Regeln kennst, wird das Ableiten ein Kinderspiel und musst nur noch Zahlen einsetzen.


 In diesem Artikel erfährst du mehr über die Differenzregel. Wir erklären dir, was die Differenzregel aussagt, wie sie angewandt wird und du kriegst auch einige Aufgaben zum Selbstrechnen. 


Die Differenzregel bei Ableitungen


Genug geredet, fangen wir nun einmal an mit einer der wichtigsten aber auch gleichzeitig einfachsten Ableitungsregel, der Differenzregel. Bist du bereit?


Wenn eine Funktion abgeleitet werden soll, die sich aus der Differenz zweier einzelner Funktionsterme g(x) und h(x) zusammensetzt, so leitet man jeden Term einzeln ab und setzt sie mit dem Minus in der Mitte wieder ein. Die allgemeine Form hierbei lautet:





Du siehst in der obigen Definition schon, dass die Form der Differenzregel sehr einfach ist. Um die komplette Funktion f(x) abzuleiten, werden die Funktionsterme g(x) und h(x) jeweils einmal abgleitet und anschließend einfach wieder mit einem Minus in der Mitte eingesetzt.


Mehr Theorie zur Differenzregel, die du im Unterricht benötigst, gibt es gar nicht. Du solltest vielleicht noch wissen, dass die Summenregel eigentlich dasselbe ist wie die Differenzregel, nur mit einem Plus statt dem Minus. Neben diesen beiden Regeln solltest du auch die Quotientenregel, Potenzregel oder aber die Ketten- und Produktregel kennen. All diese Regeln sind für dich eine Hilfe beim Ableiten von Funktionen.


Die obige Form ist natürlich eine sehr vereinfachte Form ohne viele Zwischenschritte zur Herleitung der Ableitung. Dies ist auch okay, da du in der Schule hierfür keine Herleitungen benötigst, sondern nur die Formel lernen und anwenden können musst. Bewiesen werden kann dies mit dem sogenannten Grenzverhalten. Falls du dich bereits in höheren Jahrgangsstufen befindest, ist dir der Begriff vielleicht durchaus schon bekannt. Um die Aufgaben mithilfe der Differenzregel zu berechnen, ist diese aber definitiv nicht notwendig.


Differenzregel Vorgehen


Du kennst nun die Theorie zur Differenzregel. Jetzt ist es Zeit, dass du auch konkrete Aufgaben bekommst. Damit es für dich nicht zu kompliziert wird, kriegst du als Erstes eine Anleitung, dann eine Beispielaufgabe und erst dann kommen Aufgaben, die du selbst berechnen sollst.


Bei den Aufgaben sind die Lösungen schon angegeben. Die Verlockung zu spicken ist groß, jedoch wäre es besser, wenn du erst die Aufgabe löst und mit der Lösung nur noch kontrollierst, ob du richtig gerechnet hast.


Differenzregel Anleitung


Differenzregel Anleitung in schwarz weiß Farben StudySmarter

  1. Einzelne Funktionsterme in der Aufgabe notieren. Also was ist eigentlich  und was ist ?
  2. Die einzelnen Terme ableiten:  
  3. wieder einsetzen mit einem Minus in der Mitte



Beispielaufgabe zur Differenzregel


Oben hast du nun noch einmal eine Anleitung bekommen, wie du am besten vorgehen solltest. Nun kommen ein paar Beispiele und Aufgaben, damit du besser verstehst, wie du die Schritte anwenden kannst und ein Gefühl hierfür bekommst.


Aufgabe

Leite folgende Funktion einmal ab:


Lösung

Um die Aufgabe zu lösen, gehen wir hier Schritt für Schritt nach unserer Anleitung vor:


    1. Schritt: Wir sehen zwei Funktionsterme, einer davon ist links vom Minuszeichen und der andere rechts davon.                         Der linke Term symbolisiert hierbei das g(x) und h(x) symbolisiert den rechten Term.



    2. Schritt: Wir wissen nun was g(x) und h(x) ist, nun müssen beide Terme einzeln abgeleitet werden. Für die                                  Ableitung benötigst du bei g(x) die Potenzregel. Falls du dich nicht mehr so gut erinnerst, schau dir                               diese vielleicht noch einmal kurz an.




    3. Schritt: Jetzt hast du die beiden Ableitungen zu den Termen und kann diese nun wieder einsetzen mit dem                              Minus in der Mitte.


Aufgabensammlung zur Differenzregel


Du hast nun oben eine Anleitung und auch eine Beispielaufgabe gesehen. Jetzt bist du bereit für die Aufgaben zum Selbstrechen. Keine Angst, du schaffst das!


Aufgabe 1

Leite folgende Funktion einmal ab:


Lösung 1

Die abgeleitete Funktion lautet: 


Hinweis zur Lösung: Differenzregel, Faktorregel und Potenzregel beachten.


Aufgabe 2

Leite folgende Funktion einmal ab:


Lösung 2

Die abgeleitete Funktion lautet:


Hinweis zur Lösung: Differenzregel, Faktorregel  und Potenzregel beachten.


Aufgabe 3

Leite folgende Funktion einmal ab:


Lösung 3

Die abgeleitete Funktion lautet:


Hinweis zur Lösung: Differenzregel, Faktorregel  und Potenzregel beachten. 


Aufgabe 4

Leite folgende Funktion einmal ab:


Lösung 4

Die abgeleitete Funktion lautet:


Hinweis zur Lösung: Differenzregel, Faktorregel  und Potenzregel beachten.


Aufgabe 5

Leite folgende Funktion einmal ab:


Lösung 5

Die abgeleitete Funktion lautet:


Hinweis zur Lösung: Differenzregel, FaktorregelPotenzregel  und Ableitung von trigonometrischen Funktionen  beachten.


Aufgabe 5

Leite folgende Funktion einmal ab:


Lösung 5

Die abgeleitete Funktion lautet:


Hinweis zur Lösung: Differenzregel, SummenregelFaktorregelPotenzregel  und Ableitung von trigonometrischen Funktionen  beachten.


Unser Tipp für dich

Egal wie kompliziert die Funktion aussieht, wenn du das Minus in der Mitte siehst, kannst du die Ableitung schon etwas vereinfachen. Leite einfach beide Terme einzeln ab und setze sie ein. Hierfür kannst du die anderen Ableitungsregeln zur Hilfe nehmen.




Differenzregel - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Mithilfe der Differenzregel kannst du zwei Terme ableiten, welche mit einem Minus in der Mitte verbunden sind.
  • Hierfür leitest du beide Terme getrennt voneinander ab und setzt sie wieder mit einem Minus in der Mitte ein.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Differenzregel

Die Produktregel unterscheidet sich von der Summenregel darin, dass zwischen beiden Termen kein + oder - ist sondern ein Malpunkt. D. h. die Terme werden nicht subtrahiert bzw. addiert, sondern sie werden miteinander multipliziert. Beide Regeln gehören hierbei zu den Ableitungsregeln.

Die Summenregel ist eine Ableitungsregel und wird berechnet, indem man beide Terme einzeln für sich ableitet und dann wieder einsetzt mit dem Plus in der Mitte.

Die Summenregel ist eine Ableitungsregel die angewendet wird, wenn du zwei voneinander unabhängige Terme hast, welche mit einem Plus in der Mitte verbunden sind.

Die Differentialrechnung funktioniert nach festgelegten Regeln. Mithilfe dieser Regeln muss man nur noch erkennen, welche Regel man anwenden muss und dann die Zahlen einsetzen. Im Anschluss erhält man dadurch die Ableitungen von Funktionen und auch von verketteten Funktionen.

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