Stell Dir vor, Du schreibst Dir zum Mathe lernen jeden Tag eine Karteikarte und legst sie auf einem Stapel ab. Dieser wächst von Tag zu Tag an. Steht nun Deine Prüfung bald an, nimmst Du diesen Stapel und lernst jeden Tag eine Karteikarte davon. Diese legst Du weg. Dein Stapel nimmt also mit jedem Tag wieder ab. Diese Vorgänge sind Beispiele für das lineare Wachstum und Zerfall in der Mathematik und lassen sich durch Funktionen beschreiben.
Lineares Wachstum – Grundlagenwissen
Lineare Funktionen stellen die Grundlage zum Verständnis von Funktionsgleichungen des linearen Wachstums und des linearen Zerfalls dar.
Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form:
Dabei ist m die Steigung der Funktion und t der y-Achsenabschnitt. Der zugehörige Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Bei einer linearen Funktion ist die Steigung m an jeder Stelle gleich. Wenn gilt, dann steigt die lineare Funktion, verläuft also von links oben nach rechts unten. Wenn gilt, dann fällt die lineare Funktion, verläuft also von rechts oben nach links unten.
Alles über lineare Funktionen kannst Du im Artikel lineare Funktionen nachlesen.
Lineares Wachstum – Definition
Was ist lineares Wachstum überhaupt? Wachstum im Allgemeinen meint, dass sich eine Ausgangsmenge über eine bestimmte Zeit erhöht. Am Ende gibt es von etwas also mehr als davor. Denke da zum Beispiel an Dein Taschengeld, das Du am Anfang vom Monat hast. Jede Woche kommt etwas mehr Taschengeld dazu und wenn Du einen Monat sparst, hast Du also mehr Taschengeld als davor.
Abbildung 1: Wachstum Taschengeld
Wachstum kann unterschiedliche Formen annehmen:
Lineares Wachstum ist ein Fall des Wachstums. Dafür ist eine konstante Zunahme charakteristisch. Definiert werden kann es wie folgt:
Lineares Wachstum ist ein Wachstumsvorgang und liegt vor, wenn die Ausgangsmenge in immer gleichen Zeitabständen t um eine konstante Menge B ansteigt. Lineares Wachstum wird durch lineare Funktionen, also Geradengleichungen, beschrieben.
Denkst Du an das Beispiel aus der Einleitung, so wären die gleichen Zeitabstände t jeweils immer ein Tag. Der Stapel steigt um die konstante Menge von einer Karteikarte pro Tag an. Nach 4 Tagen ist Dein Stapel also 4 Karten hoch, nach 7 Tagen besteht er aus 7 und so weiter.
| Zeit t in Tagen | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Kartenanzahl B(t)in Stück | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Graphisch würde das Ganze aussehen wie in Abbildung 2 dargestellt. Die x-Achse gibt die Zeit t an und die y-Achse die Karteikartenanzahl.
Abbildung 2: Wachstum Karteikartenstapel pro Tag
Wie Du die Funktionen eines solchen Wachstums modellierst und definierst, erfährst Du in den nächsten Kapiteln.
Lineares Wachstum – Funktionsgleichung und Formel
Die Wachstumsfunktion für lineares Wachstum ist eine lineare Funktion. Diese hast Du in der Wiederholung bereits kennengelernt. Linear taucht in beiden Namen auf und ist der entscheidende Punkt und der Grund, warum diese Art des Wachstums durch diese Art von Funktionen beschrieben werden kann.
Stattwird bei Wachstumsfunktionen meist verwendet. ist eine Funktion, welche eine Menge oder einen Bestand B in Abhängigkeit von der Zeit t darstellt. Der y-Achsenabschnitt ist bei der Wachstumsfunktion .
Allerdings gibt es in den Funktionsgleichungen bzw. Formeln zur Berechnung von B und den Darstellungsformen von linearem Wachstum Unterschiede. Im folgenden Abschnitt lernst Du zwei mögliche Darstellungsformen kennen.
Die explizite Darstellung des linearen Wachstums
Eine mögliche Darstellungsform ist die explizite Darstellung.
Lineares Wachstum kann durch eine Wachstumsfunktion explizit, also eindeutig, dargestellt werden. Die Funktionsgleichung lautet wie folgt:
ist dabei der Anfangsbestand oder die Anfangsmenge, also der Bestand zum Zeitpunkt .
R ist die Änderungsrate für den betrachteten Zeitraum, die immer konstant ist.
Differenzialgleichung des linearen Wachstums
Es gilt auch:
Diese Funktion heißt Differenzialgleichung des linearen Wachstums. ist die Ableitung der Wachstumsfunktion und ergibt R. R ist somit konstant und die Steigung der Wachstumsfunktion an jeder Stelle gleich groß.
R gibt die Steigung der linearen Wachstumsfunktion an. Falls gilt, handelt es sich um eine lineare Zunahme.
Im Folgenden findest Du ein Beispiel zur Veranschaulichung der expliziten Darstellung von linearem Wachstum:
Du möchtest in Deinem Garten Gras säen, damit Dein Garten schön grün ist. Das Gras wächst jede Woche um. Als Du anfängst zu messen, sprießen schon die ersten Grashalme durch. Das Gras ist bereits groß. Dein Anfangsbestand ist dann und Deine Änderungsrate ist . Die Einheiten lässt Du der Übersichtlichkeit halber weg, behältst sie aber im Hinterkopf. Deine Wachstumsfunktion lautet dann:
Deine Zeiteinheit t ist dabei eine Woche. So kannst Du ausrechnen, nach wie vielen Tagen oder Wochen Du wie viel Gras hast, z. B. nach zwei Wochen:
Deine Grashöhe wäre nach 14 Tagen, also zwei Wochen, .
Die rekursive Darstellung des linearen Wachstums
Bei dem Beispiel mit den Karteikarten vom Anfang verläuft das Wachstum anders als beim Graswachstum. Das Gras wächst nicht sprunghaft von einer Woche auf die Nächste, sondern durchgehend um einige Millimeter. Bei den Karteikarten ist das nicht so. Du legst ja jeden Tag eine Karteikarte mehr auf den Stapel. Der Stapel steigt also sprunghaft von einem Tag auf den anderen an. Halbe Karteikarten gibt es dabei nicht.
In dem Karteikartenbeispiel liegt somit ein diskreter Fall vor. Das heißt, es gibt nur an einzelnen Zeitpunkten t eine Steigerung, aber nicht dazwischen. In so einem Fall kannst Du auch die rekursive Darstellung verwenden.
Rekursiv heißt so viel wie "auf bekannte Werte zurückgehend". Du gehst also von einem Stand aus, den Du schon kennst.
Die Funktionsgleichung für die rekursive Darstellung lautet:
Um also berechnen zu können, musst Du schon kennen und für musst Du bereits kennen.
Stell dir vor, Du möchtest für Deine Klassenfahrt Geld sparen, allerdings nicht alles auf einmal weglegen. Du beschließt, jede Woche in Deine Klassenfahrt-Box zu legen. Da Du schon mal etwas gespart hast, ist Deine Box nicht leer, sondern enthält bereits .
Ab jetzt wird sich Woche für Woche Deine Box um füllen, bis Du auf Klassenfahrt gehst. Deshalb ist Deine Änderungsrate und Dein Anfangsbestand . Die Einheiten kannst Du zur besseren Übersicht wieder weglassen. Du kannst nun Deine Wachstumsfunktion aufstellen:
Jede Woche steigt Dein Gespartes um an. So kannst Du Dir ausrechnen, nach wie vielen Wochen Du wie viel Geld gespart hast. Eine Zeiteinheit t ist dabei 1 Woche. Du startest bei und möchtest Deinen Bestand nach der ersten Woche ausrechnen:
Weiter geht's mit den nächsten Wochen:
Nach 5 Wochen hast Du also schon 135 € in Deiner Klassenfahrt-Box.
Die Änderungsrate des linearen Wachstums
Da es sich beim linearen Wachstum um einen Wachstumsprozess handelt, also eine Veränderung der Ausgangsmenge über eine bestimmte Zeit t stattfindet, gibt es eine Rate, die diese Art der Veränderung beschreibt: die Änderungsrate.
Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Menge oder eines Bestandes B beschreibt die Größe der Veränderung von B in einem bestimmten Zeitintervall im Verhältnis zur Dauer des Zeitintervalls.
Die Differenz zwischen den Werten zweier benachbarter Zeitpunkte t und ist damit die Änderung im Zeitintervall . Wenn Du also die Differenz aus Deinem Bestand zum Zeitpunkt und Deinem Bestand zum Zeitpunkt t berechnest, erhältst Du Deine absolute Änderungsrate .
Die absolute Änderungsrate berechnet sich wie folgt:
Die entscheidende Eigenschaft für lineares Wachstum ist, dass die absolute Änderungsrate konstant ist.
Ebenso kannst Du die relative Änderungsrate berechnen.
Die relative Änderungsrate ist die absolute Änderungsrate, dividiert durch den Bestand :
Sie ist im Gegensatz zur absoluten Änderungsrate nicht konstant.
Der Graph der linearen Wachstumsfunktion
Der Graph einer linearen Wachstumsfunktion ist, wie bei einer linearen Funktion, eine Gerade. Die Steigung lässt sich über ein Steigungsdreieck berechnen und entspricht der Änderungsrate R, die Du schon kennst. Dafür gibt es wieder ein Beispiel zur Veranschaulichung:
Du willst baden und fängst an, Deine Badewanne ganz langsam mit Wasser zu befüllen. Du startest mit einer leeren Wanne. Die Menge an Wasser in Deiner Wanne steigt um pro Minute. Es gilt also und .
Die Wachstumsfunktion lautet damit:
Als Hilfestellung kannst Du Dir eine Tabelle für die ersten Werte anlegen:
| Zeit t in Minuten | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
| Wassermenge B(t) in l | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 |
Damit kannst Du Deine Wachstumsfunktion grafisch darstellen. ist Deine Steigung m und Dein Startwert. Auf der y-Achse wird Dein Bestand bzw. Deine Menge platziert. Auf der x-Achse wird die Zeit t, in diesem Fall in Minuten, eingezeichnet:
Abbildung 3: Grafische Darstellung linearer Wachstum
Jetzt kannst Du lineares Wachstum sowohl rechnerisch als auch grafisch darstellen.
Lineares Wachstum und exponentielles Wachstum – Ein Vergleich
Lineares Wachstum ist ein Wachstumsprozess. Ein weiteres Beispiel ist das exponentielle Wachstum. Beim exponentiellen Wachstum unterscheiden sich die Mengen zwischen zwei benachbarten Zeitpunkten immer um den gleichen Faktor. Die Änderungsrate ist somit beim exponentiellen Wachstum proportional zu der aktuellen Menge.
Bei der Funktion ändert sich der Bestand beispielsweise nach jedem Zeitpunkt t um den Faktor 1,5. Das siehst Du in diesem Graphen noch einmal deutlich:
Abbildung 4: Graph exponentielles Wachstum
Exponentielle Wachstumsvorgänge sind meist realitätsgetreuer, denn die meisten Wachstumsvorgänge vollziehen sich nicht linear. Oft nimmt eine Menge oder ein Bestand mehr zu, je mehr vorhanden ist. Vielleicht ist es Dir schon einmal begegnet, denn ein typisches Beispiel ist die Vermehrung von Bakterien.
Alles zum Thema exponentielles Wachstum kannst Du auch in diesem Artikel noch einmal nachlesen.
Lineares Wachstum im Alltag – Beispiel
Auch in Deinem Alltag begleitet dich das lineare Wachstum oft, wie Du vielleicht schon an den bisherigen kleinen Beispielen sehen konntest. In diesem Kapitel wird so ein Alltagsbeispiel einmal komplett durchgespielt, inklusive Aufstellung der Wachstumsfunktion und grafischer Darstellung.
Stell dir vor, Du gehst joggen und läufst mit konstanter Geschwindigkeit von auf einer Straße. Pro Stunde legst Du also Strecke zurück. Davor bist Du schon eine halbe Stunde mit gelaufen, es gilt also . Du möchtest die lineare Wachstumsfunktion aufstellen und grafisch darstellen.
Die Wachstumsfunktion lautet:
Oft ist es als Hilfestellung sinnvoll, für die ersten Werte zusätzlich eine Tabelle zu erstellen. So kannst Du die ersten Werte schon ausrechnen und in Dein Koordinatensystem eintragen. Hier erstellst Du zunächst eine Tabelle für die ersten 3 Stunden und schaust, wie weit Du beim Joggen kommst.
| Zeit t in h | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
| Strecke B(t) in km | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
Nach 3 Stunden würdest Du also weit kommen.
Zeichnen kannst Du Deinen Graphen dann mithilfe der Wachstumsfunktion:
Abbildung 5: Graph linearer Wachstum - Beispiel aus dem Alltag
Dabei kannst Du ein Steigungsdreieck zur Hilfe nehmen. R ist die Änderungsrate, hier 4.Die Steigung m ist also . Die x-Achse stellt die Zeit t in Stunden dar. Die y-Achse ist Deine gelaufene Strecke.
Linearer Zerfall – Definition
In den folgenden Abschnitten lernst Du nun den gegenteiligen Prozess zu linearem Wachstum kennen: den linearen Zerfall. Zerfall meint, dass ein Ausgangsbestand über eine bestimmte Zeit sinkt. Am Ende gibt es von etwas weniger als davor. Stell Dir hier wieder Dein Taschengeld vor, das Du über einen Monat hinweg gesammelt hast. Nun möchtest Du Dir etwas davon kaufen. Danach hast Du wieder weniger Geld übrig.
Abbildung 6: Abnahme Taschengeld
Linearer Zerfall ist einer von vielen Prozessen eines Zerfalls. Er wird den Abnahmeprozessen zugeordnet. Dafür ist eine konstante Abnahme charakteristisch.
Linearer Zerfall ist ein Abnahmevorgang und liegt vor, wenn die Ausgangsbestand in immer gleichen Zeitabständen t um eine konstante Menge B sinkt. Linearer Zerfall wird auch durch lineare Funktionen, also Geradengleichungen, beschrieben. Die Steigung ist negativ.
Denkst Du an das Beispiel mit dem Karteikartenstapel aus der Einleitung, so wären die gleichen Zeitabstände jeweils immer ein Tag. Der Stapel nimmt nach dem fertigen Erstellen und anschließendem Lernen um die konstante Menge von einer Karteikarte pro Tag ab. Die Startmenge wird mit 7 Karten festgelegt. Nach 4 Tagen ist Dein Stapel dann nur noch 3 Karten hoch, nach 7 Tagen hast Du alle gelernt.
| Zeit t in Tagen | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Kartenanzahl B(t) in Stück | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Graphisch würde das Ganze so aussehen. Die x-Achse gibt hier wieder die Zeit t an und die y-Achse die Karteikartenanzahl.
Abbildung 7: Abnahme Karteikartenstapel pro Tag
Linearer Zerfall – Funktionsgleichung und Formel
Die Zerfallsfunktion für linearen Zerfall ist, wie die lineare Wachstumsfunktion, ebenfalls eine lineare Funktion. Du hast gelernt, dass bei einer linearen Funktion die Steigung an jeder Stelle gleich ist. Das ist auch bei der Abnahmefunktion der Fall.
Beim linearen Zerfall sinkt die Menge konstant. Also genau das Gegenteil vom linearen Wachstum, wo der Bestand konstant steigt. Die Änderungsrate R muss bei der linearen Abnahme also negativ sein!
Auch bei dem linearen Zerfall gib es eine explizite und eine rekursive Darstellung. Diese Formen der Darstellung werden in den nachfolgenden Kapiteln angewendet.
Die explizite Darstellung des linearen Zerfalls
Die explizite Form der Darstellung hast Du bereits beim linearen Wachstum kennengelernt.
Linearer Zerfall kann durch eine Abnahmefunktion ebenfalls explizit, also eindeutig, dargestellt werden. Die Funktionsgleichung lautet wie folgt:
ist wieder der
Anfangsbestand oder die Anfangsmenge.
R ist die
Änderungsrate für den betrachteten Zeitraum, die immer
konstant negativ ist.
Differenzialgleichung des linearen Zerfalls
Es gilt wie beim linearen Wachstum:
Diese Funktion heißt Differenzialgleichung des linearen Zerfalls. Die Ableitung der Wachstumsfunktion ergibt also -R und -R ist somit konstant und die Steigung der Zerfallsfunktion an jeder Stelle gleich groß.
R gibt die Steigung der linearen Zerfallsfunktion an. Falls R<0 gilt, handelt es sich um eine lineare Abnahme.
Hier siehst Du ein Beispiel für die explizite Darstellung:
Du bist Baden und hast ein luftgefülltes Krokodil dabei. Am Anfang ist es noch komplett aufgepumpt und fasst. Leider hat Dein Krokodil ein Loch und es verliert pro Stunde Luft. Es gilt und Deine Änderungsrate ist . Die Einheiten behältst Du im Hinterkopf. Deine Wachstumsfunktion lautet somit:
Deine Zeiteinheit ist dabei eine Stunde. So kannst Du ausrechnen, nach wie vielen Stunden Dein Krokodil wie viel Luft verloren hat und wann es leer ist.
Um auszurechnen, wann es leer ist, musst Du setzen:
Nach fast 7 Stunden ist Dein Krokodil also weitgehend leer.
Die rekursive Darstellung des linearen Zerfalls
Auch eine rekursive Darstellung ist beim linearen Zerfall möglich.
Liegt ein diskreter Fall vor, so kann der lineare Zerfall rekursiv dargestellt werden. Es gibt nur an einzelnen Zeitpunkten t eine Abnahme, aber nicht dazwischen. Die Funktionsgleichung für die rekursive Darstellung lautet:
Um also berechnen zu können, musst Du schon kennen und für musst Du bereits kennen.
Du hast eine Wasserflasche mit . Du möchtest mehr darauf achten, dass Du genug trinkst. Dafür trinkst du jede Stunde und schaust, wie lange Du benötigst, um alles auszutrinken. Die Milliliter müssen in Liter umgerechnet werden. Deine Änderungsrate ist dann und Dein Anfangsbestand .Du kannst nun Deine Wachstumsfunktion aufstellen:
Du startest bei und möchtest ausrechnen, wie viel Du nach der ersten Stunde getrunken hast:
Weiter geht's mit den nächsten Stunden:
Nach 5 Stunden hast Du also schon 2 Liter getrunken und nur noch einen übrig.
Die Änderungsrate des linearen Zerfalls
Die Änderungsrate hast Du beim linearen Wachstum schon kennengelernt. Sie ist die Differenz aus Deinem Bestand zum Zeitpunkt und Deinem Bestand zum Zeitpunkt t, also damit die Änderung im Zeitintervall . Diese ist beim linearen Zerfall genauso definiert. Allerdings ist sie negativ, weil es eine Abnahme gibt:
Die absolute Änderungsrate berechnet sich beim linearen Zerfall wie folgt:
Die absolute Änderungsrate ist auch beim linearen Zerfall konstant.
Ebenso kannst Du wieder die relative Änderungsrate berechnen.
Die relative Änderungsrate ist die absolute Änderungsrate, dividiert durch Deinen Bestand :
Sie ist im Gegensatz zur absoluten Änderungsrate nicht konstant.
Der Graph einer linearen Zerfallsfunktion – Alltagsbeispiel
Der Graph einer linearen Abnahmefunktion ist, wie bei der linearen Wachstumsfunktion, eine Gerade. Die Steigung lässt sich wieder über ein Steigungsdreieck berechnen und ist die Änderungsrate R. Auch im Alltag begleitet Dich der lineare Zerfall oft, weswegen Du im Folgenden nochmal ein ausführliches Beispiel findest:
Angenommen, Du willst nach dem Baden Dein Wasser wieder aus der Badewanne lassen. Du startest mit der vollen Wanne mit und pro Minute sinkt die Menge Wasser in Deiner Wanne um .
Die Wachstumsfunktion lautet damit:
Als Hilfestellung kannst Du Dir wieder eine Tabelle für die ersten Werte anlegen:
| Zeit t in Minuten | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Wassermenge in l | 130 | 110 | 90 | 70 | 50 | 30 |
Damit kannst Du Deine Wachstumsfunktion grafisch darstellen. -20 ist Deine Steigung und Dein Startwert. Auf der y-Achse wird Deine Menge platziert. Auf der x-Achse wird wieder die Zeit t , in diesem Fall in Minuten, gezeichnet:
Abbildung 8: Linearer Zerfall grafisch darstellen
Lineares Wachstum und linearer Zerfall – Aufgaben
Wenn Du noch etwas üben willst, findest Du nun im Folgenden noch zwei Aufgaben.
Aufgabe 1
Gegeben ist folgende Tabelle:
| Zeit t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Menge B(t) | 100 | 135 | 170 | 205 | 240 | 275 | 310 | 345 | 380 |
Stelle daraus die Wachstumsfunktion auf und zeichne den Graphen mit einer geeigneter Achsenbeschriftung dazu.
Lösung
Deinen Startwert kannst Du der Tabelle entnehmen:
Jetzt musst Du nur noch Deine Änderungsrate berechnen. Dafür ziehst Du die benachbarten Werte in der Tabelle voneinander ab:
Als Kontrolle, ob das Wachstum auch wirklich linear ist, berechnest Du noch ein paar andere Differenzen der Werte benachbarter Zeitpunkte t und aus der Tabelle:
Jetzt kannst Du die Wachstumsfunktion aufstellen:
Der Graph zu dieser Funktion sieht wie folgt aus:
Abbildung 9: Linearer Wachstum Aufgabe
Auch zum linearen Zerfall hast Du hier eine Aufgabe zum Üben:
Aufgabe 2
Du hast in Deinem Geldbeutel. Du kauft Dir jede Stunde einen neuen Kaugummi für .
Stelle die Zerfallsfunktion auf und zeichne den Graphen mit geeigneter Achsenbeschriftung dazu. Wann ist Dein Geld aufgebraucht?
Lösung
Deinen Startwert sind Deine :
Deine Änderungsrate ist gegeben, das sind die . Du musst es noch in Euro umrechnen:
Jetzt kannst Du Deine Zerfallsfunktion aufstellen. Du lässt die Einheiten wieder weg:
Der Graph zu dieser Funktion sieht wie folgt aus:
Abbildung 10: Linearer Zerfall Aufgabe
Dein Geld ist nach 6 Stunden aufgebraucht, nachdem Du 6 Kaugummis für gekauft hast.
Lineares Wachstum – Das Wichtigste
- Beim linearen Wachstum und beim linearen Zerfall ist die Änderungsrate konstant.
- Beim linearen Wachstum nimmt ein Bestand über einen bestimmten Zeitraum t zu.
- Beim linearen Zerfall sinkt ein Bestand über einen bestimmten Zeitraum t.
- Die Wachstums- und Zerfallsfunktionen sind lineare Funktionen.
- Für das lineare Wachstum und den linearen Zerfall gibt es eine explizite und eine rekursive Darstellung:
- Die Formel für die explizite Darstellung des linearen Wachstums lautet:
- Die Formel für die explizite Darstellung des linearen Zerfalls lautet:
- Die Formel für die rekursive Darstellung des linearen Wachstums lautet:
- Die Formel für die rekursive Darstellung des linearen Zerfalls lautet: .
- Die Änderungsrate kann absolut und relativ sein – Nur die absolute Änderungsrate ist konstant.
- Die Formel für die absolute Änderungsrate lautet:.
- Die Formel für die relative Änderungsrate lautet:
- für das lineare Wachstum
- für den linearen Zerfall.
- Die Graphen linearer Wachstums- und Zerfallsfunktionen sind Geraden – Ob die Gerade steigt oder fällt, gibt die Änderungsrate an
- bei steigt der Graph
- bei fällt der Graph.
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