Im Kontext des Klimawandels wird immer wieder davon geredet, dass die Menschheit ihren \(CO_2\)-Ausstoß unterhalb eines bestimmten Grenzwertes halten muss. Solche Grenzwerte werden von Wissenschaftler*innen berechnet. Auch Du kannst in der Mathematik die Grenzwerte von Funktionen berechnen. Wie Du die Grenzwerte bestimmst, berechnest und wie der Grenzwert definiert wird, erfährst Du in dieser Erklärung.
Grenzwert Definition
Der Grenzwert kann bei Funktionen, Reihen und Folgen vorkommen und wird folgendermaßen definiert.
Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht.
Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen \(\infty\).
Zur Analyse von Funktionen, Reihen und Folgen ist der Grenzwert ein wichtiges Hilfsmittel. Deshalb solltest Du wissen, wie Du ihn berechnest.
Grenzwerte von Funktionen bestimmen
Den Grenzwert von Funktionen benötigst Du immer dann, wenn Du das Verhalten einer Funktion an einer Stelle überprüfen sollst.
Als Grenzwert einer Funktion \(f\) an einer bestimmten Stelle \(x\) wird derjenige Wert b bezeichnet, welchem sich die Funktion \(f\) in der Umgebung um die Stelle \(c\) annähert.
Es gilt: \[\lim_{x\to c}f(x)=b\]
Dabei ist \(c\) eine beliebige reelle Zahl innerhalb oder am Rand des Definitionsbereichs \(\mathbb{D}_f\).
Annähern bedeutet, dass die x-Werte der Funktion dem Wert \(c\) unendlich nahe kommen, aber nie erreichen.
Abb. 1 - Grenzwert von Funktionen.
Wenn eine Funktion eine reelle Zahl als Grenzwert besitzt, heißt das auch, dass sie gegen den Grenzwert konvergiert. Wenn eine Funktion diese nicht als Grenzwert besitzt, nennst Du sie divergent.
In diesem Beispiel kannst Du das so ausdrücken.
Gesprochen wird \(\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=b\): „Der Grenzwert/Limes von \(f(x)\) für \(x\) gegen \(c\) geht gegen \(b\).“
Bei den Funktionen wird der Grenzwert am häufigsten benötigt, doch er kann auch bei Reihen oder Folgen vorkommen.
Endliche Grenzwerte bestimmen
Endliche Grenzwerte bestimmst Du genau wie auch andere Grenzwerte. „Endlich“ bedeutet, dass sich die Funktion einem konkreten endlichen Wert annähert.
In Abbildung 2 findest Du den Graphen der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\). Du siehst, dass der Graph unendlich groß wird, wenn er sich der y-Achse annähert. Mathematisch würdest Du diese Überlegung mit dem rechtsseitigen Limes \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\) und dem linksseitigen Limes \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}\) testen. Dabei ergibt sich von links der Grenzwert \(-\infty\) und von rechts der Grenzwert \(+\infty\). Diese Grenzwerte sind also unedlich und nicht endlich.
Anders verhält sich der Graph, wenn Du ihn für betragsmäßig sehr große x-Werte betrachtest. Dieses Verhalten würdest Du hier mit dem Limes \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\) und \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\). In beiden Fällen läuft der Grenzwert gegen 0. Der Grenzwert ist also endlich.
Abb. 2 - Grenzwert endlich und unendlich.
Limes berechnen – Rechenregeln
Damit Du den Grenzwert auch bei verschachtelten Funktionen berechnen kannst, gibt es ein paar Rechenregeln. Mit diesen kannst Du den Limes von den einzelnen Funktionen berechnen und anschließend rechnest Du die Grenzwerte nur noch zusammen.
| Name | Regel | Beispiel |
| Summenregel/ Differenzenregel | \(\displaystyle\lim_{x\to c}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to c}f(x)\pm \lim_{x\to c}g(x)\) | \(\displaystyle\lim_{x\to 0}(3x^2+\frac{1}{x})=\lim_{x\to 0} 3x^2 + \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \) |
| Faktorregel | \(\displaystyle\lim_{x\to c}b\cdot f(x)=b\cdot \lim_{x\to c} f(x)\) | \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}5\cdot e^x=5\cdot \lim_{x\to -\infty} e^x\) |
| Produktregel | \(\displaystyle\lim_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to c}f(x) \cdot \lim_{x\to c} g(x)\) | \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(x^4\cdot 7^x)=\lim_{x\to -\infty}x^4 \cdot \lim_{x\to -\infty} 7^x\) |
| Quotientenregel | \(\displaystyle\lim_{x\to c} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}\) | \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \left(\frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\right)=\frac{\lim_{x\to 0}x^2\cdot e^x}{\lim_{x\to 0}4x^3}\) |
Grenzwerte berechnen
Grenzwerte von Funktionen berechnest Du über eine oder mehrere Wertetabellen.
Mehrere Wertetabellen benötigst Du immer dann, wenn Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert von einer Funktion an einer bestimmten Stelle berechnen sollst.
- In die erste Spalte der Wertetabelle schreibst Du zunächst \(x\) und \(y\).
- Danach ergänzt Du in der ersten Zeile die x-Werte gegen den c-Wert von \(\lim_{x\to c} \).
- Von diesen gegen \(c\) gehenden x-Werten berechnest Du nun die Funktionswerte und schreibst sie auf.
Wenn Du Dir jetzt die Wertetabelle anschaust, sollte Dir auffallen, gegen welche reelle Zahl oder in die Unendlichkeit die Wertetabelle geht.
Aufgabe 2
Berechne Grenzwert der Funktion \(f(x)=\frac{2x}{x^3-1}\) gegen \(c=1\).
Lösung
Als Erstes schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.
\[\lim_{x\to 1} \frac{2x}{x^3-1}\]
Danach erstellst Du zwei Wertetabellen. Mit der einen Wertetabelle näherst Du Dich linksseitig der Stelle \(1\).
\[\lim_{x\to 1^-} \frac{2x}{x^3-1}\]
| \(x\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(0{,}9\) | \(0{,}99\) | \(0{,}999\) |
| \(y\) | \(0\) | \(-1{,}143\) | \(-6{,}642\) | \(-66{,}664\) | \(-666{,}667\) |
In der anderen Wertetabelle näherst Du Dich rechtsseitig der Stelle \(1\).
\[\lim_{x\to 1^+} \frac{2x}{x^3-1}\]
| \(x\) | \(2\) | \(1{,}5\) | \(1{,}1\) | \(1{,}01\) | \(1{,}001\) |
| \(y\) | \(0{,}571\) | \(1{,}263\) | \(6{,}647\) | \(66{,}664\) | \(666{,}667\) |
Jetzt schreibst Du auf, wie die Funktion sich linksseitig und rechtsseitig der Stelle \(1\) verhalten hat.
\begin{align} &\lim_{x\to 1^-} \frac{2x}{x^3-1}=-\infty \\ &\lim_{x\to 1^+} \frac{2x}{x^3-1}=\infty \end{align}
Damit geht der Graph der Funktion \(f(x)=\frac{2x}{x^3-1}\) an der Stelle \(1\) von links gegen \(-\infty\) und von rechts gegen \(\infty\). Der Graph sieht folgendermaßen aus:
Abb. 3 - Grenzwert berechnen.
Wenn der Grenzwert von beiden Seiten gleich ist, nennst Du diesen beidseitigen Grenzwert.
Grenzwert berechnen – Beispiele & Aufgaben
Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne Grenzwert der Funktion \(f(x)=e^{-x}+2\) gegen \(\infty\).
Lösung
Zunächst schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.
\[\lim_{x\to \infty} e^{-x}+2\]
Jetzt stellst Du eine Wertetabelle mit größer werdenden x-Werten auf.
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(100\) |
| \(y\) | \(2{,}37\) | \(2{,}01\) | \(2\) | \(2\) |
Schreibe nun den Grenzwert auf.
\begin{align} \lim_{x\to \infty} e^x+2=2 \end{align}
Damit ist der Graph der Funktion \(f(x)=e^x+2\) in der Unendlichkeit gleich dem Grenzwert der Funktion, und zwar \(2\).
Aufgabe 4
Überprüfe, ob die Funktion \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}\) bei \(x=2\) einen Grenzwert besitzt.
Lösung
Als Erstes schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.
\[\lim_{x\to 2} \frac{x^2}{x-2}\]
Danach erstellst Du zwei Wertetabellen. Mit der einen Wertetabelle näherst Du Dich linksseitig der Stelle \(2\).
\[\lim_{x\to 2^-} \frac{x^2}{x-2}\]
| \(x\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(1{,}9\) | \(1{,}99\) |
| \(y\) | \(-1\) | \(-4{,}5\) | \(-36{,}1\) | \(-396{,}01\) |
In der anderen Wertetabelle näherst Du Dich rechtsseitig der Stelle \(2\).
\[\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2}{x-2}\]
| \(x\) | \(3\) | \(2{,}5\) | \(2{,}1\) | \(2{,}01\) |
| \(y\) | \(9\) | \(12{,}44\) | \(44{,}1\) | \(404{,}01\) |
Jetzt schreibst Du auf, wie die Funktion sich linksseitig und rechtsseitig der Stelle \(2\) verhalten hat.
\begin{align} &\lim_{x\to 2^-} \frac{x^2}{x-2}=-\infty \\ &\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2}{x-2}=\infty \end{align}
Damit geht der Graph der Funktion \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}\) an der Stelle \(2\) von links gegen \(-\infty\) und von rechts gegen \(\infty\).
Grenzwerte – Das Wichtigste
- Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht. Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen \(\infty\).
- Als Grenzwert einer Funktion\(f\) an einer bestimmten Stelle \(x\) wird derjenige Wert bezeichnet, welcher sich der Funktion \(f\) in der Umgebung um die Stelle \(x\) annähert.
Es gilt: \[\lim_{x\to c}f(x)=b\]
Dabei ist \(c\) eine beliebige reelle Zahl oder \(\pm \infty \).
Bei endlichen Grenzwerten berechnest Du den Grenzwert meist an einer Definitionslücke. Dort benötigst Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
Dieser wird geschrieben als: \begin{align} \text{linksseitig}\hspace{1cm} &\lim_{x\to c^-} f(x) \\ \text{rechtsseitig}\hspace{1cm} &\lim_{x\to c^+} f(x)\end{align}
- Grenzwerte berechnest Du über Werttabellen, in dem Du das \(x\) immer näher an das \(c\) wandern lässt und die y-Werte beobachtest.
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