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Grenzwerte

Grenzwerte

Im Kontext des Klimawandels wird immer wieder davon geredet, dass die Menschheit ihren \(CO_2\)-Ausstoß unterhalb eines bestimmten Grenzwertes halten muss. Solche Grenzwerte werden von Wissenschaftler*innen berechnet. Auch Du kannst in der Mathematik die Grenzwerte von Funktionen berechnen. Wie Du die Grenzwerte bestimmst, berechnest und wie der Grenzwert definiert wird, erfährst Du in dieser Erklärung.

Grenzwert Definition

Der Grenzwert kann bei Funktionen, Reihen und Folgen vorkommen und wird folgendermaßen definiert.

Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht.

Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen \(\infty\).

Zur Analyse von Funktionen, Reihen und Folgen ist der Grenzwert ein wichtiges Hilfsmittel. Deshalb solltest Du wissen, wie Du ihn berechnest.

Grenzwerte von Funktionen bestimmen

Den Grenzwert von Funktionen benötigst Du immer dann, wenn Du das Verhalten einer Funktion an einer Stelle überprüfen sollst.

Als Grenzwert einer Funktion \(f\) an einer bestimmten Stelle \(x\) wird derjenige Wert b bezeichnet, welchem sich die Funktion \(f\) in der Umgebung um die Stelle \(c\) annähert.

Es gilt: \[\lim_{x\to c}f(x)=b\]

Dabei ist \(c\) eine beliebige reelle Zahl innerhalb oder am Rand des Definitionsbereichs \(\mathbb{D}_f\).

Annähern bedeutet, dass die x-Werte der Funktion dem Wert \(c\) unendlich nahe kommen, aber nie erreichen.

Grenzwerte Grenzwerte von Funktionen StudySmarterAbb. 1 - Grenzwert von Funktionen.

Wenn eine Funktion eine reelle Zahl als Grenzwert besitzt, heißt das auch, dass sie gegen den Grenzwert konvergiert. Wenn eine Funktion diese nicht als Grenzwert besitzt, nennst Du sie divergent.

In diesem Beispiel kannst Du das so ausdrücken.

Gesprochen wird \(\lim_{x\to c}f(x)=b\): „Der Grenzwert/Limes von \(f(x)\) für \(x\) gegen \(c\) geht gegen \(b\).“

Bei den Funktionen wird der Grenzwert am häufigsten benötigt, doch er kann auch bei Reihen oder Folgen vorkommen.

Endliche Grenzwerte bestimmen

Endliche Grenzwerte bestimmst Du genau wie auch andere Grenzwerte. „Endlich“ bedeutet, dass sich die Funktion einem konkreten endlichen Wert annähert.

In Abbildung 2 findest Du den Graphen der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\). Du siehst, dass der Graph unendlich groß wird, wenn er sich der y-Achse annähert. Mathematisch würdest Du diese Überlegung mit dem rechtsseitigen Limes \(\lim_{x\rightarrow0^+}\) und dem linksseitigen Limes \(\lim_{x\rightarrow0^-}\) testen. Dabei ergibt sich von links der Grenzwert \(-\infty\) und von rechts der Grenzwert \(+\infty\). Diese Grenzwerte sind also unedlich und nicht endlich.

Anders verhält sich der Graph, wenn Du ihn für betragsmäßig sehr große x-Werte betrachtest. Dieses Verhalten würdest Du hier mit dem Limes \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\) und \(\lim_{x\rightarrow -\infty}\). In beiden Fällen läuft der Grenzwert gegen 0. Der Grenzwert ist also endlich.

Grenzwert Endlicher Grenzwert bestimmen StudySmarterAbb. 2 - Grenzwert endlich und unendlich.

Limes berechnen – Rechenregeln

Damit Du den Grenzwert auch bei verschachtelten Funktionen berechnen kannst, gibt es ein paar Rechenregeln. Mit diesen kannst Du den Limes von den einzelnen Funktionen berechnen und anschließend rechnest Du die Grenzwerte nur noch zusammen.

NameRegelBeispiel
Summenregel/ Differenzenregel\(\lim_{x\to c}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to c}f(x)\pm \lim_{x\to c}g(x)\)\(\lim_{x\to 0}(3x^2+\frac{1}{x})=\lim_{x\to 0} 3x^2 + \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \)
Faktorregel\(\lim_{x\to c}b\cdot f(x)=b\cdot \lim_{x\to c} f(x)\)\(\lim_{x\to -\infty}5\cdot e^x=5\cdot \lim_{x\to -\infty} e^x\)
Produktregel\(\lim_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to c}f(x) \cdot \lim_{x\to c} g(x)\)\(\lim_{x\to -\infty}(x^4\cdot 7^x)=\lim_{x\to -\infty}x^4 \cdot \lim_{x\to -\infty} 7^x\)
Quotientenregel\(\lim_{x\to c} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}\)\(\lim_{x\to 0} \left(\frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\right)=\frac{\lim_{x\to 0}x^2\cdot e^x}{\lim_{x\to 0}4x^3}\)

Grenzwerte berechnen

Grenzwerte von Funktionen berechnest Du über eine oder mehrere Wertetabellen.

Mehrere Wertetabellen benötigst Du immer dann, wenn Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert von einer Funktion an einer bestimmten Stelle berechnen sollst.

  1. In die erste Spalte der Wertetabelle schreibst Du zunächst \(x\) und \(y\).
  2. Danach ergänzt Du in der ersten Zeile die x-Werte gegen den c-Wert von \(\lim_{x\to c} \).
  3. Von diesen gegen \(c\) gehenden x-Werten berechnest Du nun die Funktionswerte und schreibst sie auf.

Wenn Du Dir jetzt die Wertetabelle anschaust, sollte Dir auffallen, gegen welche reelle Zahl oder in die Unendlichkeit die Wertetabelle geht.

Aufgabe 2

Berechne Grenzwert der Funktion \(f(x)=\frac{2x}{x^3-1}\) gegen \(c=1\).

Lösung

Als Erstes schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.

\[\lim_{x\to 1} \frac{2x}{x^3-1}\]

Danach erstellst Du zwei Wertetabellen. Mit der einen Wertetabelle näherst Du Dich linksseitig der Stelle \(1\).

\[\lim_{x\to 1^-} \frac{2x}{x^3-1}\]

\(x\)\(0\)\(0{,}5\)\(0{,}9\)\(0{,}99\)\(0{,}999\)
\(y\)\(0\)\(-1{,}143\)\(-6{,}642\)\(-66{,}664\)\(-666{,}667\)

In der anderen Wertetabelle näherst Du Dich rechtsseitig der Stelle \(1\).

\[\lim_{x\to 1^+} \frac{2x}{x^3-1}\]

\(x\)\(2\)\(1{,}5\)\(1{,}1\)\(1{,}01\)\(1{,}001\)
\(y\)\(0{,}571\)\(1{,}263\)\(6{,}647\)\(66{,}664\)\(666{,}667\)

Jetzt schreibst Du auf, wie die Funktion sich linksseitig und rechtsseitig der Stelle \(1\) verhalten hat.

\begin{align} &\lim_{x\to 1^-} \frac{2x}{x^3-1}=-\infty \\ &\lim_{x\to 1^+} \frac{2x}{x^3-1}=\infty \end{align}

Damit geht der Graph der Funktion \(f(x)=\frac{2x}{x^3-1}\) an der Stelle \(1\) von links gegen \(-\infty\) und von rechts gegen \(\infty\). Der Graph sieht folgendermaßen aus:

Grenzwert Grenzwert berechnen StudySmarterAbb. 3 - Grenzwert berechnen.

Wenn der Grenzwert von beiden Seiten gleich ist, nennst Du diesen beidseitigen Grenzwert.

Grenzwert berechnen – Beispiele & Aufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 3

Berechne Grenzwert der Funktion \(f(x)=e^{-x}+2\) gegen \(\infty\).

Lösung

Zunächst schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.

\[\lim_{x\to \infty} e^{-x}+2\]

Jetzt stellst Du eine Wertetabelle mit größer werdenden x-Werten auf.

\(x\)\(1\)\(5\)\(10\)\(100\)
\(y\)\(2{,}37\)\(2{,}01\)\(2\)\(2\)

Schreibe nun den Grenzwert auf.

\begin{align} \lim_{x\to infty} e^x+2=2 \end{align}

Damit ist der Graph der Funktion \(f(x)=e^x+2\) in der Unendlichkeit gleich dem Grenzwert der Funktion, und zwar \(2\).

Aufgabe 4

Überprüfe, ob die Funktion \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}\) bei \(x=2\) einen Grenzwert besitzt.

Lösung

Als Erstes schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.

\[\lim_{x\to 2} \frac{x^2}{x-2}\]

Danach erstellst Du zwei Wertetabellen. Mit der einen Wertetabelle näherst Du Dich linksseitig der Stelle \(2\).

\[\lim_{x\to 2^-} \frac{x^2}{x-2}\]

\(x\)\(1\)\(1{,}5\)\(1{,}9\)\(1{,}99\)
\(y\)\(-1\)\(-4{,}5\)\(-36{,}1\)\(-396{,}01\)

In der anderen Wertetabelle näherst Du Dich rechtsseitig der Stelle \(2\).

\[\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2}{x-2}\]

\(x\)\(3\)\(2{,}5\)\(2{,}1\)\(2{,}01\)
\(y\)\(9\)\(12{,}44\)\(44{,}1\)\(404{,}01\)

Jetzt schreibst Du auf, wie die Funktion sich linksseitig und rechtsseitig der Stelle \(2\) verhalten hat.

\begin{align} &\lim_{x\to 2^-} \frac{x^2}{x-2}=-\infty \\ &\lim_{x\to 2^+} \frac{x^2}{x-2}=\infty \end{align}

Damit geht der Graph der Funktion \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}\) an der Stelle \(2\) von links gegen \(-\infty\) und von rechts gegen \(\infty\).

Grenzwerte – Das Wichtigste

  • Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht. Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen \(\infty\).
  • Als Grenzwert einer Funktion\(f\) an einer bestimmten Stelle \(x\) wird derjenige Wert bezeichnet, welcher sich der Funktion \(f\) in der Umgebung um die Stelle \(x\) annähert.

    Es gilt: \[\lim_{x\to c}f(x)=b\]

    Dabei ist \(c\) eine beliebige reelle Zahl oder \(\pm \infty \).

  • Bei endlichen Grenzwerten berechnest Du den Grenzwert meist an einer Definitionslücke. Dort benötigst Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

    Dieser wird geschrieben als: \begin{align} \text{linksseitig}\hspace{1cm} &\lim_{x\to c^-} f(x) \\ \text{rechtsseitig}\hspace{1cm} &\lim_{x\to c^+} f(x)\end{align}

  • Grenzwerte berechnest Du über Werttabellen, in dem Du das \(x\) immer näher an das \(c\) wandern lässt und die y-Werte beobachtest.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Grenzwerte

Den Grenzwert berechnest Du, indem Du Dir eine Wertetabelle aufstellst, in welcher die x-Werte sich immer mehr dem Limes x-Wert annähern. Danach berechnest Du die dazugehörigen y-Werte. Nach ein paar Werten sollte der y-Wert gegen eine reelle Zahl oder die negative/positive Unendlichkeit streben. Dieser Wert ist der Grenzwert.

Um den Grenzwert von Funktionen berechnen zu können, stellst Du eine Wertetabelle auf und lässt den x-Wert sich dem Limes x-Wert annähern. Das heißt, wenn der Grenzwert an der Stelle x=1 gesucht ist, lässt Du die x-Werte in der Wertetabelle immer näher an die Stelle, zum Beispiel x=0,5; x=0,75; x=0,9 und so weiter.

Ein Grenzwert ist genau dann unendlich, wenn die x-Werte der Wertetabelle gegen die Limes-Werte gehen und die y-Werte sich der negativen/positiven Unendlichkeit nähert. 

Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht. Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen Unendlichkeit.

Finales Grenzwerte Quiz

Frage

Wie definieren sich Grenzwerte?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Grenzwert ist ein Zahlenwert, welchem eine Funktion, Reihe oder Folge entgegenstrebt, ihn jedoch nie erreicht. Damit kann das Verhalten dieser beschrieben werden, hinsichtlich einer reellen Zahl oder der positiven oder negativen \(\infty\).

Frage anzeigen

Frage

Schreibe auf, wie Du folgendes sprichst: \[\lim_{x\to 2} \frac{1}{x-2}=\infty\]

Antwort anzeigen

Antwort

„Der Grenzwert von der Funktion \(\frac{1}{x-2}\) für \(x\) gegen \(2\) geht gegen Unendlich.“

Frage anzeigen

Frage

Wie nennst Du eine Reihe oder Funktion, welche gegen eine reelle Zahl geht?

Antwort anzeigen

Antwort

konvergent

Frage anzeigen

Frage

Wann benötigst Du den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert?

Antwort anzeigen

Antwort

bei endlichen Grenzwerten an Definitionslücken

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Produktregel der Rechenregel des Limes.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\lim_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to c}f(x)\cdot \lim_{x\to c}g(x)\]

Frage anzeigen

Frage

Wenn für eine Funktion mit Definitionslücke an der Definitionslücke \(\lim f(x)=f(x_0)\) dies gilt, dann ist die Funktion...

Antwort anzeigen

Antwort

stetig

Frage anzeigen

Frage

Wie nennst Du den Grenzwert, wenn der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

beidseitiger Grenzwert

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Grenzwert der Funktion \(f(x)=\frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\) gegen null.

Antwort anzeigen

Antwort

Als Erstes schreibst Du die Funktion mit dem Limes auf.


\[\lim_{x\to 0} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\]


Danach erstellst Du zwei Wertetabellen. Mit der einen Wertetabelle näherst Du Dich linksseitig der Stelle \(0\).


\[\lim_{x\to 0^-} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\]


\(x\)\(-1\)\(-0{,}5\)\(-0{,}1\)\(-0{,}01\)
\(y\)\(-0{,}09\)\(-0{,}3\)\(-2{,}34\)\(-24{,}75\)


In der anderen Wertetabelle näherst Du Dich rechtsseitig der Stelle \(0\).


\[\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\]


\(x\)\(1\)\(0{,}5\)\(0{,}1\)\(0{,}01\)
\(y\)\(0{,}67\)\(0{,}82\)\(2{,}72\)\(25{,}25\)


Jetzt schreibst Du auf, wie die Funktion sich linksseitig und rechtsseitig der Stelle \(0\) verhalten hat.


\begin{align} &\lim_{x\to 0^-} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}=-\infty \\ &\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}=\infty  \end{align}


Damit geht der Graph der Funktion \(f(x)=\frac{x^2\cdot e^x}{4x^3}\) an der Stelle \(0\) von links gegen \(-\infty\) und von rechts gegen \(\infty\).

Frage anzeigen

Frage

Vereinfache den Limes \(\lim_{x\to \infty} 2\frac{x^3\cdot e^{4x}}{5x^2}\) so weit es geht, nach den Limes Rechenregeln.

Antwort anzeigen

Antwort

\[2\frac{\lim_{x\to \infty}x^3\cdot \lim_{x\to \infty}e^{4x}}{\lim_{x\to \infty}5x^2}\]

Frage anzeigen

Frage

Was wird unter dem Grenzwert einer Reihe verstanden?

Antwort anzeigen

Antwort

Als Grenzwert einer Reihe wird die Folge der Partialsumme \(s_n\) als Wert der Reihe bezeichnet.

Es gilt: \[\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}\]

Frage anzeigen

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