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Lokale Extremstellen

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Lokale Extremstellen

Der höchste bzw. tiefste Punkt einer Funktion in einem Intervall ist ein lokales Maximum bzw. Minimum. Der Funktionswert des Extremwertes ist größer bzw. kleiner als alle anderen Funktionswerte in diesem Intervall. Diese Stellen werden lokale Extremstellen bzw. lokale Extrema genannt und finden vor allem Anwendung in Extremwertaufgaben. Neugierig geworden, wie solche Stellen aussehen und wie sie berechnet werden können? Dann los gehts!

Lokale Extremstellen Flaticon Integralrechnung StudySmarter

Bedeutung lokale Extremstellen

Die Berechnung lokaler Extremstellen kommt fast in jeder Extremwertaufgabe vor. Durch Extremwertaufgaben kannst du beispielsweise die maximale Größe deines Pools ausrechnen unter der Prämisse, am wenigsten Geld auszugeben. Die Flugbahn eines Flugzeugs kann durch eine Funktion beschrieben werden. Möchtest du den höchsten Punkt berechnen, den das Flugzeug in einem bestimmten Zeitraum erreicht, dann ist dies eine lokale Extremstelle.

Lokale Extremstellen Flaticon Flugzeug StudySmarter

Lokale Extremstellen – Definition

Wie du an den Beispielen sehen konntest, gibt es eine Menge Anwendungsmöglichkeiten der Extremstellen. Aber was genau ist denn überhaupt eine lokale Extremstelle?

Eine lokale Extremstelle ist ein x-Wert einer Funktion , an welcher der dazugehörige Funktionswert größer bzw. kleiner ist als alle anderen in der Umgebung.

Lokale Extremstellen sind also besondere Punkte eines Graphen einer Funktion . Unterschieden werden kann dabei in:

  • Lokales Maximum
  • Lokales Minimum

Sehen wir uns beide Stellen einmal zusammen an.

Das lokale Maximum

Eine Funktion besitzt an der Stelle Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall gibt, das Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter enthält und für alle Lokale Extremstellen Zahlen nicht gleich StudySmarter gilt:

Lokale Extremstellen Ungleichung StudySmarter

Die Extremstelle ist also der entsprechende x-Wert der Funktion f(x). Den dazugehörigen Punkt des Funktionsgraphen nennt man Hochpunkt. Anschaulich kannst du dir ein lokales Maximum so vorstellen:

Lokale Extremstellen Funktion mit Hochpunkt StudySmarter

Abbildung 1: Die Funktion f(x) mit einem lokalen Maximum

Das lokale Minimum

Eine Funktion f(x) besitzt an der Stelle Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall gibt, das Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter enthält und für alle Lokale Extremstellen Zahlen nicht gleich StudySmarter gilt:

Lokale Extremstellen Ungleichung StudySmarter

Die Extremstelle ist auch wieder der x-Wert der Funktion, wobei dieses Mal alle Funktionswerte in der Umgebung größer sind. Den dazugehörigen Punkt nennt man Tiefpunkt. Anschaulich kannst du dir ein lokales Minimum so vorstellen:

Lokale Extremstellen Funktion mit Tiefpunkt StudySmarter

Abbildung 2: Die Funktion f(x) mit einem lokalen Minimum

Die zwei Bedingungen für lokale Extremstellen

Nicht immer hast du die Zeit oder die Mittel den Graphen einer Funktion zu zeichnen. Daher schauen wir uns in diesem Abschnitt an, wie du die lokalen Extremstellen einer Funktion berechnen kannst. Es gibt eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für lokale Extrema. Wie diese Bedingungen zustande kommen und wie du diese zu deinem Vorteil nutzen kannst, schauen wir uns jetzt an.

Die notwendige Bedingung

Wenn eine differenzierbare Funktion an der Stelle Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter eine lokale Extremstelle besitzt, dann gilt:

Lokale Extremstellen Erste Ableitung gleich 0 StudySmarter

Zur Wiederholung: Eine Funktion f(x) ist differenzierbar, wenn im Definitionsbereich für jede Stelle x eine Ableitung existiert.

Die Definition sagt also aus, wenn die Funktion eine lokale Extremstelle besitzt, die Ableitung an dieser Stelle gleich Null ist.

Für die Rückrichtung gilt die Definition aber im Allgemeinen nicht! Ein einfaches Beispiel wäre der Sattelpunkt. Falls du davon noch nichts gehört hast, dann schau' dir den Artikel Sattelpunkt/Terrassenpunkt in diesem Kapitel an! Im Sattelpunkt ist die Steigung auch null, aber die Funktion steigt weiter bzw. fällt weiter ab. Es gibt also keine Umgebung, in der du einen minimalen Funktionswert findest.

Lokale Extremstellen Sattelpunkt StudySmarterAbbildung 3: Der Sattelpunkt

Schauen wir uns das in den obigen Beispielen einmal an.

In der Abbildung 4 siehst du wieder in blau den Graphen der Funktion :

Lokale Extremstellen Funktion und Ableitungsfunktion StudySmarter

Abbildung 4: Die Funktion f(x) und ihre Ableitungsfunktion f'(x)

Die Grafik wurde um die Ableitungsfunktion ergänzt. Du kannst erkennen, dass die lokalen Extremstellen genau die Nullstellen der Ableitungsfunktion sind.

Du kannst es dir aber auch anders herleiten, indem du die Steigungstangenten an die Punkte H und T anlegst. Diese würden dann wie folgt aussehen:

Lokale Extremstellen Funktion und Steigungstangenten Extremstellen StudySmarter

Abbildung 5: Die Funktion f(x) und ihre Tangenten an den Extremstellen

Auch hier kannst du erkennen, dass die Steigung der Tangenten null beträgt. Die Steigung der Tangenten der Funktion ist aber gerade die Ableitung an dieser Stelle.

Vielleicht fragst du dich, was passiert, wenn bei einer lokalen Extremstelle die Ableitung nicht gleich null wäre. Die Antwort ist relativ simpel, denn dann ist diese Stelle keine lokale Extremstelle. Wäre die Ableitung positiv, so würden die zugehörigen x-Werte einen größeren Funktionswert aufweisen. Analog auch, wenn die Ableitung negativ wäre.

Die hinreichende Bedingung

Aus der notwendigen Bedingung weißt du nun, dass ein lokales Extremum immer die Steigung null hat, somit die Ableitung an dieser Stelle immer null sein muss. Wie kann überprüft werden, ob es sich bei der Extremstelle um ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum handelt? Dafür gibt es die hinreichende Bedingung.

Wenn für eine differenzierbare Funktion an der Stelle Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter Lokale Extremstellen Erste Ableitung 0 StudySmarter gilt und die Ableitungsfunktion das Vorzeichen über die Stelle Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter wechselt, dann besitzt die Funktion an der Stelle eine lokale Extremstelle.

Das ist ziemlich theoretisch, also schauen wir uns dazu das Beispiel von oben an:

Lokale Extremstellen Funktion und Ableitungsfunktion StudySmarter

Abbildung 6: Die Funktion f(x) und ihre Ableitungsfunktion f'(x)

Beginnen wir bei dem Hochpunkt . Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion sind links vom Hochpunkt positiv und rechts vom Hochpunkt negativ. Vorher haben wir festgestellt, dass die Steigung der Funktion an der Stelle 0 ist, also ist dort tatsächlich unser Hochpunkt.

Ein lokales Maximum liegt vor, wenn das Vorzeichen der Ableitungsfunktion von + nach – wechselt.

Ähnlich ist es auch bei unserem Tiefpunkt. Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion links vom Tiefpunkt sind negativ und rechts vom Tiefpunkt sind die Funktionswerte positiv.

Ein lokales Minimum liegt vor, wenn das Vorzeichen der Ableitungsfunktion von – nach + wechselt.

Wir sprechen hier ganz bewusst vom lokalen Extremum, denn es gibt auch das globale Extremum. Dieses Extremum hat härtere Bedingungen als das lokale Extremum, denn hier ist der Funktionswert der Extremstelle der größte bzw. kleinste Funktionswert der gesamten Funktion und nicht nur in einem gewissen Intervall.

Wenn du mehr darüber lernen möchtest, dann schau' dir doch den Artikel zu den globalen Extremstellen an!

Diese Definitionen können wir noch etwas professioneller aufschreiben. Außerdem können wir den Vorzeichenwechsel in dieser Art und Weise nur aus einer Skizze entnehmen. Im Folgenden untersuchen wir, wie wir die Definitionen von oben verbessern können, sodass du damit rechnen kannst.

Du könntest das Vorzeichen der Ableitungsfunktion durch Einsetzen verschiedener x-Werte in der Umgebung der lokalen Extremstelle bestimmen. Allerdings gibt es einige Funktionen, bei denen diese Umgebung sehr klein ist und du dann ein vermeintlich falsches Ergebnis herausbekommst.

Es gibt aber einen anderen kleinen Trick! Wir bilden die Ableitungsfunktion der Ableitungsfunktion.

Ein lokales Maximum an der Stelle Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter liegt vor, wenn Lokale Extremstelle zweite Ableitung kleiner 0 StudySmarter ist.

Wenn die zweite Ableitung der Funktion kleiner als null ist, dann ist die Steigung der ersten Ableitungsfunktion negativ, das heißt, sie fällt. Die notwendige Bedingung besagt, dass die Ableitung an der lokalen Extremstelle nullsein muss. Wenn die Funktion aber fällt, dann sind die Funktionswerte von positiv. Dann schneidet die Funktion die x-Achse und danach sind die Funktionswerte negativ. Also gab es einen Vorzeichenwechsel!

Analog kann für das lokale Minimum argumentiert werden.

Ein lokales Minimum an der Stelle Lokale Extremstellen reelle Zahl aus Definitionsbereich StudySmarter liegt vor, wenn Lokale Extremstellen zweite Ableitung größer 0 StudySmarterist.

Überprüfen wir diese Thesen in unserem Beispiel doch grafisch. Wir zeichnen dazu wieder unsere Funktion und die Ableitungsfunktion in ein Koordinatensystem. Ebenfalls skizzieren wir noch den Graphen der 2. Ableitung :

Lokale Extremstellen Zweite Ableitung StudySmarter

Abbildung 7: Die zweite Ableitung (türkis)

Die Abbildung verdeutlicht noch einmal, dass die erste Ableitung bis zur Stelle fällt, denn die zweite Ableitung ist bis zur Stelle negativ.

Lokale Extremstellen berechnen

Wir haben uns ausführlich mit der Bedeutung lokaler Extremstellen beschäftigt, wie diese Stellen zustande kommen und welche Unterscheidungen es gibt. Nun widmen wir uns der Berechnung lokaler Extremstellen! Dazu gehen wir ein Beispiel zusammen durch und abschließend gibt es noch eine weitere Übungsaufgabe, mit der du dein Wissen testen kannst.

Zuvor hatten wir uns nur die Abbildungen angeschaut. Dabei haben wir nichts gerechnet; das wollen wir nun ändern. Gegeben haben wir die folgende Funktionsgleichung:

Das ist der blaue Graph in Abbildung 6. Beginnen wir nun mit der Berechnung der lokalen Extremstellen. Aus den Definitionen von oben wissen wir, dass wir sowohl die erste als auch die zweite Ableitung der Funktion brauchen.

1. Schritt: Ermittle die erste und zweite Ableitung der Funktion !

Aus der notwendigen Bedingungen weißt du, dass die erste Ableitung null sein muss, wenn es eine lokale Extremstelle gibt.

2. Schritt: Setze die erste Ableitung gleich null und löse die Gleichung!

Nun muss nur noch rechnerisch überprüft werden, ob es sich um ein lokales Maximum oder Minimum handelt.

3. Schritt: Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Vorzeichen!

Nun wissen wir, dass an der Stelle ein lokales Maximum, also ein Hochpunkt, und bei ein lokales Minimum, also ein Tiefpunkt vorliegt. Ein Punkt besteht aber nicht nur aus dem x-Wert sondern auch aus einem y-Wert. Diesen müssen wir noch berechnen.

4. Schritt: Setze die x-Werte in die Funktion f(x) ein und berechne die Funktionswerte!

Somit können wir nun unsere Extrempunkte angeben und sind mit der Aufgabe auch schon fertig!

Das können wir natürlich auch grafisch überprüfen. Im Koordinatensystem sieht du dann, dass die Funktion an den Stellen und lokale Extremstellen besitzt:

Lokale Extremstellen berechnen Funktion mit Extrempunkten Koordinatensystem StudySmarter

Abbildung 8: Die Funktion f(x) und ihre Extrempunkte

Über einen Fall haben wir noch nicht gesprochen. Im 3. Schritt wird geprüft ob die Zahl kleiner oder größer als null ist. Doch was ist mit dem Fall gleich null?

Schauen wir uns dazu folgendes Beispiel an. Auch hier wollen wir wieder die lokalen Extremstellen der Funktion berechnen:

1. Schritt: Ermittle die erste und zweite Ableitung der Funktion !

2. Schritt: Setze die erste Ableitung gleich null und löse die Gleichung!

3. Schritt: Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Vorzeichen!

An der Stelle stoppen wir. Hier kann keine Aussage darüber getroffen werden, ob die Funktion ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum besitzt. Diese Funktion besitzt an der Stelle einen sogenannten Sattelpunkt. Was das ist, kannst du im Artikel Sattelpunkt/Terrassenpunkt lernen!

Lokale Extremstellen – Aufgaben

Um dein Verständnis zu den lokalen Extremstellen zu vertiefen, haben wir hier noch eine Übung für dich.

Aufgabe

Berechne die lokalen Extrempunkte der folgenden Funktion :

Hinweis: Du benötigst die Produktregel zur Lösung dieser Aufgabe!

Lösung

1. Schritt: Ermittle die erste und zweite Ableitung der Funktion !

2. Schritt: Setze die erste Ableitung gleich null und löse die Gleichung!

3. Schritt: Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein und überprüfe das Vorzeichen!

4. Schritt: Setze die x-Werte in die Funktion ein und berechne die Funktionswerte!

Somit lautet der Hochpunkt H.

Lokale Extremstellen Funktion mit Hochpunkt StudySmarter

Abbildung 9: Die Funktion f(x) und der gesuchte Hochpunkt

Lokale Extremstellen - Das Wichtigste

  • Lokale Extremstellen sind die kleinsten bzw. größten x-Werte einer Funktion in einem Intervall.
  • Die Steigung an lokalen Extremstellen ist immer null, somit ist die Ableitung an dieser Stelle immer null.
  • Lokale Extremstellen werden unterschieden in lokales Maximum und lokales Minimum.
  • Bei lokalen Extremstellen wechselt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lokale Extremstellen

Ein lokales Extrema ist ein globales Extrema, wenn es das einzige ist. Eine Funktion kann nur ein globales Extrema besitzen, aber mehrere lokale Extrema.

Nein. Extremstellen sind nur die x-Werte der Extrema. Ein Extrempunkt ist der ganze Punkt, bestehend aus x-Wert und y-Wert!

Lokale Extremstellen einer Funktion berechnest du, indem du die erste Ableitung der Funktion 0 setzt. Danach prüfst du, indem du diese x-Werte in die zweite Ableitung einsetzt, dass die zweite Ableitung ungleich 0 ist. Wenn das der Fall ist, dann liegt eine lokale Extremstelle vor!

Nein. Ein Sattelpunkt ist kein Extrempunkt, da der Punkt nicht größer oder kleiner ist als alle anderen Punkte in dieser Umgebung. Der Sattelpunkt ist ein kritischer Punkt der Funktion und ein Sonderfall von Wendepunkten.

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