Lokale Extremstellen

Der höchste bzw. tiefste Punkt einer Funktion in einem Intervall ist ein lokales Maximum bzw. Minimum. Der Funktionswert des Extremwertes ist größer bzw. kleiner als alle anderen Funktionswerte in diesem Intervall. Diese Stellen werden lokale Extremstellen bzw. lokale Extrema genannt und finden vor allem Anwendung in Extremwertaufgaben. Neugierig geworden, wie solche Stellen aussehen und wie sie berechnet werden können? Dann los gehts!

Bedeutung lokale Extremstellen

Die Berechnung lokaler Extremstellen kommt fast in jeder Extremwertaufgabe vor. Durch Extremwertaufgaben kannst du beispielsweise die maximale Größe deines Pools ausrechnen unter der Prämisse, am wenigsten Geld auszugeben. Die Flugbahn eines Flugzeugs kann durch eine Funktion beschrieben werden. Möchtest du den höchsten Punkt berechnen, den das Flugzeug in einem bestimmten Zeitraum erreicht, dann ist dies eine lokale Extremstelle.

Lokale Extremstellen – Definition

Wie du an den Beispielen sehen konntest, gibt es eine Menge Anwendungsmöglichkeiten der Extremstellen. Aber was genau ist denn überhaupt eine lokale Extremstelle?

Lokale Extremstellen sind also besondere Punkte eines Graphen einer Funktion $f\left(x\right)$. Unterschieden werden kann dabei in:

• Lokales Maximum
• Lokales Minimum

Sehen wir uns beide Stellen einmal zusammen an.

Das lokale Maximum

Die Extremstelle ist also der entsprechende x-Wert der Funktion f(x). Den dazugehörigen Punkt des Funktionsgraphen nennt man Hochpunkt. Anschaulich kannst du dir ein lokales Maximum so vorstellen:

Das lokale Minimum

Die Extremstelle ist auch wieder der x-Wert der Funktion, wobei dieses Mal alle Funktionswerte in der Umgebung größer sind. Den dazugehörigen Punkt nennt man Tiefpunkt. Anschaulich kannst du dir ein lokales Minimum so vorstellen:

Die zwei Bedingungen für lokale Extremstellen

Nicht immer hast du die Zeit oder die Mittel den Graphen einer Funktion $f\left(x\right)$ zu zeichnen. Daher schauen wir uns in diesem Abschnitt an, wie du die lokalen Extremstellen einer Funktion $f\left(x\right)$ berechnen kannst. Es gibt eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für lokale Extrema. Wie diese Bedingungen zustande kommen und wie du diese zu deinem Vorteil nutzen kannst, schauen wir uns jetzt an.

Die notwendige Bedingung

Die Definition sagt also aus, wenn die Funktion $f\left(x\right)$ eine lokale Extremstelle besitzt, die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ an dieser Stelle gleich Null ist.

Schauen wir uns das in den obigen Beispielen einmal an.

Vielleicht fragst du dich, was passiert, wenn bei einer lokalen Extremstelle die Ableitung nicht gleich null wäre. Die Antwort ist relativ simpel, denn dann ist diese Stelle keine lokale Extremstelle. Wäre die Ableitung positiv, so würden die zugehörigen x-Werte einen größeren Funktionswert aufweisen. Analog auch, wenn die Ableitung negativ wäre.

Die hinreichende Bedingung

Aus der notwendigen Bedingung weißt du nun, dass ein lokales Extremum immer die Steigung null hat, somit die Ableitung an dieser Stelle immer null sein muss. Wie kann überprüft werden, ob es sich bei der Extremstelle um ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum handelt? Dafür gibt es die hinreichende Bedingung.

Das ist ziemlich theoretisch, also schauen wir uns dazu das Beispiel von oben an:

Beginnen wir bei dem Hochpunkt $H\left(0\right|0)$. Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)$ sind links vom Hochpunkt positiv und rechts vom Hochpunkt negativ. Vorher haben wir festgestellt, dass die Steigung der Funktion $f\left(x\right)$ an der Stelle 0 ist, also ist dort tatsächlich unser Hochpunkt.

Ähnlich ist es auch bei unserem Tiefpunkt. Die Funktionswerte der Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)$ links vom Tiefpunkt sind negativ und rechts vom Tiefpunkt sind die Funktionswerte positiv.

Wir sprechen hier ganz bewusst vom lokalen Extremum, denn es gibt auch das globale Extremum. Dieses Extremum hat härtere Bedingungen als das lokale Extremum, denn hier ist der Funktionswert der Extremstelle der größte bzw. kleinste Funktionswert der gesamten Funktion und nicht nur in einem gewissen Intervall.

Diese Definitionen können wir noch etwas professioneller aufschreiben. Außerdem können wir den Vorzeichenwechsel in dieser Art und Weise nur aus einer Skizze entnehmen. Im Folgenden untersuchen wir, wie wir die Definitionen von oben verbessern können, sodass du damit rechnen kannst.

Du könntest das Vorzeichen der Ableitungsfunktion durch Einsetzen verschiedener x-Werte in der Umgebung der lokalen Extremstelle bestimmen. Allerdings gibt es einige Funktionen, bei denen diese Umgebung sehr klein ist und du dann ein vermeintlich falsches Ergebnis herausbekommst.

Es gibt aber einen anderen kleinen Trick! Wir bilden die Ableitungsfunktion$f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ der Ableitungsfunktion$f\text{'}\left(x\right)$.

Wenn die zweite Ableitung der Funktion $f\left(x\right)$ kleiner als null ist, dann ist die Steigung der ersten Ableitungsfunktion $f\text{'}\left(x\right)$ negativ, das heißt, sie fällt. Die notwendige Bedingung besagt, dass die Ableitung an der lokalen Extremstelle nullsein muss. Wenn die Funktion $f\text{'}\left(x\right)$ aber fällt, dann sind die Funktionswerte von $f\text{'}\left(x\right)$ positiv. Dann schneidet die Funktion $f\text{'}\left(x\right)$ die x-Achse und danach sind die Funktionswerte negativ. Also gab es einen Vorzeichenwechsel!

Analog kann für das lokale Minimum argumentiert werden.

Überprüfen wir diese Thesen in unserem Beispiel doch grafisch. Wir zeichnen dazu wieder unsere Funktion $f\left(x\right)$ und die Ableitungsfunktion$f\text{'}\left(x\right)$ in ein Koordinatensystem. Ebenfalls skizzieren wir noch den Graphen der 2. Ableitung $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$:

Die Abbildung verdeutlicht noch einmal, dass die erste Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ bis zur Stelle $x=1$ fällt, denn die zweite Ableitung ist bis zur Stelle $x=1$ negativ.

Lokale Extremstellen berechnen

Wir haben uns ausführlich mit der Bedeutung lokaler Extremstellen beschäftigt, wie diese Stellen zustande kommen und welche Unterscheidungen es gibt. Nun widmen wir uns der Berechnung lokaler Extremstellen! Dazu gehen wir ein Beispiel zusammen durch und abschließend gibt es noch eine weitere Übungsaufgabe, mit der du dein Wissen testen kannst.

Über einen Fall haben wir noch nicht gesprochen. Im 3. Schritt wird geprüft ob die Zahl kleiner oder größer als null ist. Doch was ist mit dem Fall gleich null?

Lokale Extremstellen – Aufgaben

Um dein Verständnis zu den lokalen Extremstellen zu vertiefen, haben wir hier noch eine Übung für dich.