Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen sind wichtiger Bestandteil der Analysis. Da es sich um periodische Funktionen handelt, haben sie eine besondere Bedeutung. Deshalb lohnt es sich, diese Funktionen ausführlich anzuschauen, um bei Bedarf darauf zurückgreifen zu können. Der Artikel wird dir anhand einer konkreten Funktion eine komplette Kurvendiskussion nahelegen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Alle grundlegenden Eigenschaften der Sinus- und der Tangensfunktion kannst du in den Artikeln Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Trigonometrische Funktionen Parameter nachlesen. Diese Themen solltest du für diesen Artikel beherrschen.

    Allgemeines zur Kurvendiskussion der trigonometrischen Funktionen

    Eine Kurvendiskussion wird an einer speziellen Funktion durchgeführt, um alle Eigenschaften und das Verhalten der Funktion herauszufinden. Dafür wird der Wertebereich, die Periode, die Nullstellen, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten betrachtet.

    Normalerweise wird auch das Verhalten im Unendlichen – der Grenzwert – betrachtet, allerdings ändert sich dieses bei trigonometrischen Funktionen nie, was du auch in den Artikeln Sinusfunktion und Kosinusfunktion nachlesen kannst.

    Betrachte doch zuerst einmal die folgende Tabelle, um dir die Funktionsgleichungen der reinen und erweiterten trigonometrischen Funktionen anzuschauen:

    SinusKosinus
    Reine Funktionf(x)=sin(x)f(x)=cos(x)
    Erweiterte Funktionf(x)=a·sin(b·(x-c))+df(x)=a·cos(b·(x-c))+d

    Zur Erinnerung:

    • Die Parametera, b, c und d sind reelle Zahlen. Allerdings dürfen a und b nicht null werden, da ansonsten keine trigonometrischen Funktionen mehr existieren.
    • Auswirkung der Parameter:
    ParameterAuswirkung
    aStreckung in y-Richtung mit dem Faktor aWenn a<0: Der Graph wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
    bStreckung in x-Richtung mit dem Faktor 1bWenn b<0: Der Graph wird zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.
    cVerschiebung in x-Richtung um c-Einheiten
    dVerschiebung in y-Richtung um d-Einheiten

    Dir ist vielleicht aufgefallen, dass der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Mehr dazu kannst du im Artikel Tangensfunktion herausfinden. Eine ausführliche Kurvendiskussion beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

    Dieser Artikel führt an der Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1 eine komplette Kurvendiskussion durch.

    Damit bezieht sich jedes Beispiel auf diese Funktion f(x).

    Damit du es später leichter hast, bilde zuerst die erste, zweite und dritte Ableitung unserer Funktion f(x):

    Du kannst nun ganz einfach die Ableitungen aus der Tabelle aus dem Artikel Ableitung trigonometrischer Funktionen nutzen oder du leitest zur Übung die Funktion f(x) selbstständig ab.

    Da du für alle Ableitungen die innere Ableitung benötigst, schreib' dir diese zuerst raus:

    h'(x)=b=-3

    Die erste Ableitung kannst du dann wie folgt bilden:

    f'(x)=-2·sin(-3·(x-1))·(-3)=-2·(-3)·sin(-3·(x-1))=6·sin(-3·(x-1))

    Die zweite Ableitung lautet wie folgt:

    f''(x)=-2·(-3)·cos(-3·(x-1))·(-3)=-2·(-3)2·cos(-3·(x-1))=-2·9·cos(-3·(x-1))=-18·cos(-3·(x-1))

    Die dritte Ableitung kannst du dann folgendermaßen bilden:

    f'''(x)=-(-2·(-3)2·sin(-3·(x-1)))·(-3)=2·(-3)3·sin(-3·(x-1))=2·(-27)·sin(-3·(x-1))=-54·sin(-3·(x-1))

    Der Wertebereich der trigonometrischen Funktionen

    Um den Wertebereich bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen zu bestimmen, musst du die Verschiebung in y-Richtung d und die Änderung der Amplitude a beachten.

    Zur Erinnerung:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    Wertebereich der reinen FunktionWf=[-1,1]
    Wertebereich der erweiterten FunktionWf=[-a+d,a+d]

    Gib nun bei der Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1 den Wertebereich an:

    Zuerst musst du die Parameter und identifizieren:

    a=2 und d=1

    Als nächstes kannst du alles einsetzen:

    Wf=[-2+1,2+1]=[-1,3]

    Also hat die Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1 den Wertebereich Wf=[-1,3].

    Trigonometrische Funktionen – Periode

    Lediglich die Streckung in x-Richtung b verändert bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen die Periode p.

    Zur Erinnerung:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    Periode der reinen Funktionp=2π
    Periode der erweiterten Funktionp=2πb

    Berechne nun die Periode an der Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1:

    Du kannst den Parameter b=3 in die Formel einsetzen:

    p=2π-3=2π3=23π

    Also hat die Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1 eine Periode von p=23π.

    Nullstellen der trigonometrischen Funktionen

    Bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen wirken sich alle vier Parameter a, b, c und d auf die Nullstellen aus.

    Die Nullstellen wiederholen sich nach einer halben Periode p2, wenn der Parameter d gleich null ist.

    Falls der Parameter d ungleich null ist, brauchst du zwei aufeinanderfolgende Nullstellen. Diese wiederholen sich dann in einem Abstand von einer Periode p.

    Zur Erinnerung:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    Nullstellen der reinen Funktionx0=0, x1=π,...x0=π2, x1=3π2,...
    Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn d=0

    x0=c,...

    x0=π2b+c,...

    Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn d0
    1. Wertebereich betrachten.
    2. x0=sin-1(-da)b+cx1=π-sin-1(-da)b+c
    1. Wertebereich betrachten.
    2. x0=cos-1(-da)b+cx1=-cos-1(-da)b+c

    Ist der Wertebereich Wf=[0,a+d], dann sind die Tiefpunkte der Funktion doppelte Nullstellen.

    Genauso verhält es sich, wenn der Wertebereich Wf=[-a+d,0] ist, dann sind die Hochpunkte der Funktion doppelte Nullstellen. In beiden Fällen brauchst du in der Kurvendiskussion keine Nullstellen berechnen, denn eine Berechnung der Extrempunkte liefert dann auch die Nullstellen.

    Bestimme nun bei der Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1 die Nullstellen:

    Den Wertebereich Wf=[-1,3] hast du schon in Aufgabe 1 bestimmt. Diesem kannst du entnehmen, dass die Funktion f(x) Nullstellen besitzt.

    Für x0 erhältst du folgenden Wert:

    x0=cos-1(-12)-3+1=23·π-3+1=-2π9+1=-2π+99

    Nun kannst du noch x1 berechnen:

    x1=-cos-1(-12)-3+1=-23·π-3+1=2π9+1=2π+99

    Extremstellen der trigonometrischen Funktionen

    Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die Extremstellen und -punkte berechnen kannst, schau in unserem Artikel Extremstellen nach.

    Zur Erinnerung:

    • Du musst die Ableitung f'(x) gleich null setzen.
    • Die zweite Ableitung f''(x) muss ungleich null sein.
    • Ist f''(x) größer null so liegt ein Tiefpunkt vor.
    • Ist f''(x) kleiner null so liegt ein Hochpunkt vor.

    Bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen wirken sich die Streckung und Verschiebung in y-Richtungdurch a und d auf die y-Koordinate aus und die Streckung und Verschiebung in x-Richtung durch b und c auf die x-Koordinate.

    Damit kannst du dir den Wertebereich Wf mit Wf=[-a+d,a+d] zu Hilfe nehmen, um die y-Werte der Extrempunkte zu berechnen:

    yTP=-a+d und yHP=a+d

    Nun kannst du die Extremstellen in Abhängigkeit der Parameter a, b, c und d berechnen. Sollte dich das interessieren, schau dir den nächsten vertiefenden Abschnitt an. Ansonsten kannst du diesen überspringen und dir unser ausführliches Beispiel anschauen.

    Du musst eine Fallunterscheidung betrachten. Da ein negativer Parameter a eine Spiegelung an der x-Achseherbeiführt, ändern sich dadurch die Extrempunkte. Aus einem Hochpunkt wird ein Tiefpunkt und umgekehrt.

    Auch hier ist es noch einmal wichtig zu erwähnen, dass folgendes für die Parameter a und b gilt:

    a0 und b0

    Extremstellen der erweiterten Sinusfunktion

    Um die Extremstellen herauszufinden, musst du die Ableitung f'(x) der Funktion f(x) mit f(x)=a·sin(b·(x-c))+d gleich null setzen. Die Ableitung f'(x) kennst du bereits aus dem Artikel Ableitung trigonometrische Funktionen:

    f'(x)=ab·cos(b·(x-c))=0 ab·cos(b·(x-c))=0 cos(b·(x-c))=0

    Diese Gleichung ist genau dann null, wenn die reine Kosinusfunktion null ist. Wie du bereits gelernt hast, ist dies der Fall für π2 und 3π2. Also muss folgendes gelten:

    b·(x0-c)=π2 oder b·(x1-c)=3π2

    Löst die beiden Gleichungen nach x0 und x1 auf, erhältst du folgende Lösungen:

    b·(x0-c)=π2undb·(x1-c)=3π2x0-c=π2bundx1-c=3π2bx0=π2b+cundx1=3π2b+c

    Du hast also an den Stellen x0 und x1 Extremstellen. Du musst nun mit Hilfe der zweiten Ableitung f''(x) überprüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:

    f''(x)=-ab2·sin(b(x-c))

    Du musst nun überprüfen, ob die zweite Ableitung f''(x) an den Stellen x0 und x1 größer oder kleiner null ist:

    f''(π2b+c)=-ab2·sin(b(π2b+c-c))=-ab2·sin(π2)=-ab2·1=-ab2

    Nun musst du die Fallunterscheidung für den Parameter a machen:

    a>0a<0
    f''(x)=-ab2<0HP an x0=π2b+cf''(x)=-(-a)b2>0TP an x0=π2b+c

    Überprüfe nun noch die zweite Ableitung f''(x) für x1:

    f''(3π2b+c)=-ab2·sin(b(3π2b+c-c))=-ab2·sin(3π2)=-ab2·(-1)=ab2

    Auch hier musst du wieder eine Fallunterscheidung für den Parameter a machen:

    a>0a<0
    f''(x)=ab2>0TP an x1=3π2b+cf''(x)=(-a)b2<0HP an x1=3π2b+c

    Die Extremstellen der erweiterten Kosinusfunktion kannst du dir in der Tabelle zur Übersicht der Extremstellen anschauen. Hierbei kannst du yTP=-a+d und yHP=a+d für die erweiterten trigonometrischen Funktionen verwenden.:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    Extrempunkte der reinen FunktionHP0(π2|1)TP0(3π2|-1) HP0(0|1)TP0(π|-1)
    Extrempunkte der erweiterten Funktion für a>0HP0(π2b+c|a+d)TP0(3π2b+c|-a+d) HP0(c|a+d)TP0(πb+c|-a+d)
    Extrempunkte der erweiterten Funktion für a<0HP0(3π2b+c|a+d)TP0(π2b+c|-a+d) HP0(πb+c|a+d)TP0(c|-a+d)

    Um den jeweils nächsten Hoch- oder Tiefpunkt zu erhalten, musst du eine Periode p der x-Koordinate dazu addieren.

    Berechne nun Schritt für Schritt jeweils einen Hoch- und Tiefpunkt der Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1⁣, ohne dass du die allgemeinen Formeln aus dem vertiefenden Abschnitt verwendest.

    Zuerst kannst du mit Hilfe des Wertebereichs Wf=[-1,3] die y-Koordinaten der Extrempunkte angeben:

    yHP=3 und yTP=-1

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kDann musst du die Ableitung f'(x), die du bereits am Anfang berechnet hast, mit f'(x)=6·sin(-3·(x-1)) gleich null setzen:

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k6·sin(-3·(x-1))=0sin(-3·(x-1))=0

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kDiese Gleichung ist genau dann null, wenn die reine Sinusfunktion null ist. Wie du bereits gelernt hast, ist dies der Fall für 0 und π. Also muss folgendes gelten:

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k-3·(x1-1)=0oder-3·(x0-1)=πx1-1=0oderx0-1=-π3x1=1oderx0=-π3+1

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kAls nächstes musst du die zweite Ableitung f''(x) mit f''(x)=-18·cos(-3·(x-1)) für die Werte x0 und x1 überprüfen:

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kf''(1)=-18·cos(-3·(1-1))=-18·cos(0)=-18<0

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kDementsprechend existiert an der Stelle x1=1 ein Hochpunkt HP(1/3). Überprüfe die zweite Ableitung f''(x) nun noch auf den Wert x0:

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kf''(-π3+1)=-18·cos(-3·(-π3+1-1))=-18·cos(π)=18>0

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

    xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kDamit existiert an der Stelle x0=-π3+1 ein Tiefpunkt TP(-π3+1|-1) .

    Trigonometrische Funktionen – Monotonie

    Da sich die Monotonie relativ leicht bestimmen lässt, wenn die Extremstellen gegeben oder schon berechnet sind, brauchst du hier lediglich die Extremstellen betrachten. Damit wirken sich auch die Parameter der erweiterten trigonometrischen Funktionen genau so auf die Monotonie aus wie bei den Extremstellen.

    Mehr dazu kannst du auch im Artikel Monotonieverhalten nachlesen.Noch einmal zur Erinnerung:

    • Eine Funktion ist zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt monoton steigend.
    • Eine Funktion ist zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt monoton fallend.
    • Bei der Sinus- und Kosinusfunktion gilt sogar, dass sie streng monoton steigend oder fallend ist.

    Gib nun in zwei aufeinanderfolgenden Intervallen die Monotonie der Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1 mit Hilfe der Extrempunkte an.

    Dazu brauchst du noch einen weiteren Extrempunkt, damit du zwei Intervalle hast.

    Da du weißt, dass bei x0=1-π3 ein Hochpunkt existiert, gibt es bei x0+p auch wieder einen Tiefpunkt. Also existiert bei x2=1+π3 auch wieder ein Tiefpunkt. Du weißt bereits, dass es bei x1=1 einen Hochpunkt gibt.

    Wendest du nun die Regeln für die Monotonie an, erhältst du folgendes Intervall IS, in dem die Funktion f(x) streng monoton steigend ist:

    IS=[x0,x1]=[1-π3,1]

    Im folgenden Intervall IF ist die Funktion f(x) streng monoton fallend:

    IF=[x1,x2]=[1,1+π3]

    Trigonometrische Funktionen – Wendepunkte

    Du kannst dir zu den Wendepunkten gerne noch unseren Artikel zu Wendepunkt berechnen anschauen.

    Zur Erinnerung:

    • Für einen Wendepunkt:Die zweite Ableitung f''(x) muss null sein und die dritte Ableitung f'''(x) muss ungleich null sein.
    • Für einen Wendepunkt mit negativer Steigung:Die dritte Ableitung f'''(x) muss größer null sein.
    • Für einen Wendepunkt mit positiver Steigung:Die dritte Ableitung f'''(x) muss kleiner null sein.

    Wendepunkte der reinen trigonometrischen Funktionen

    Um mehr über die Wendepunkte der reinen trigonometrischen Funktionen zu erfahren, kannst du dir unsere Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion anschauen.

    Da du später noch das Krümmungsverhalten bestimmen musst, brauchst du noch die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung.

    Innerhalb einer Periode p gibt es genau zwei Wendepunkte. Ein Wendepunkt mit positiver Steigung wiederholt sich nach einer Periode p=2π. Ebenso ein Wendepunkt mit negativer Steigung.

    Kurvendiskussion trigonometrischen Funktionen Wendepunkte reiner Sinus StudySmarter Abbildung 1: Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Sinusfunktion

    An den Stellen x0=0 und x2=2π existiert ein Wendepunkt mit positiver Steigung. An der Stelle x1=π existiert ein Wendepunkt mit negativer Steigung.

    Wendepunkte der Kosinusfunktion

    Für das Krümmungsverhalten brauchst du auch die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Kosinusfunktion.

    Kurvendiskussion trigonometrischen Funktionen Wendepunkte reiner Kosinus StudySmarter Abbildung 2: Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Kosinusfunktion

    An den Stellen x0=π2 und x2=5π2 existiert ein Wendepunkt mit negativer Steigung. An der Stelle x1=3π2 existiert ein Wendepunkt mit positiver Steigung.

    Wendepunkte der erweiterten trigonometrischen Funktionen

    Im Vergleich zu den Extrempunkten wirkt sich die Streckung in y-Richtung nicht auf die Wendepunkte aus.

    Für die y-Koordinate der Wendepunkte gilt y=d, denn der Parameter d gibt lediglich die Verschiebung in y-Richtung an.

    Wenn der Parameter d gleich null ist, brauchst du die Wendepunkte nicht zu berechnen. Denn dann entsprechen die Wendestellen den Nullstellen.

    Nun kannst du die Wendepunkte in Abhängigkeit der Parameter a, b, c und d berechnen. Sollte dich dies interessieren, schau dir den nächsten vertiefenden Abschnitt an. Ansonsten kannst du diesen überspringen und dir unser ausführliches Beispiel anschauen.

    In diesem Abschnitt brauchst du nicht mehr zwischen einem Wendepunkt mit positiver und negativer Steigung betrachten. Da durch die Parameter a und b Spiegelungen an den jeweiligen Achsen entstehen, bräuchtest du für beide Parameter eine Fallunterscheidung. Da dies in diesem Fall den Rahmen sprengen würde, lassen wir dies an dieser Stelle weg.

    Auch hier ist es noch einmal wichtig zu erwähnen, dass folgendes für die Parameter a und b gilt:

    a0 und b0

    Wendepunkte der erweiterten Sinusfunktion

    Um die Wendepunkte herauszufinden, musst du die Ableitung f''(x) der Funktion f(x) mit f(x)=a·sin(b·(x-c))+d gleich null setzen:

    f''(x)=-ab2·sin(b·(x-c))=0 sin(b·(x-c))=0

    Diese Gleichung ist genau dann null, wenn die reine Sinusfunktion null ist. Wie du bereits gesehen hast, ist dies der Fall für 0 und π. Da sich die Wendepunkte jedoch in einem regelmäßigen Abstand von einer halben Periode p2 wiederholen, brauchst du nur einen x-Wert betrachten. Also muss folgendes gelten:

    b·(x-c)=0

    Löst du die Gleichung nach x auf, erhältst du folgende Lösung:

    b·(x-c)=0x-c=0bx=c

    Du hast also an der Stelle x einen eventuellen Wendepunkt. Du musst nun mit Hilfe der dritten Ableitung f'''(x) mit f'''(x)=-ab3·cos(b(x-c)) überprüfen, ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt.

    Dafür setzt du nun zuerst x=c in die dritte Ableitung f'''(x) ein:

    f'''(c)=-ab3·cos(b(c-c))=-ab3·cos(0)=-ab30

    Die dritte Ableitung f'''(x) ist für x=c ungleich null. Es gibt also an der Stelle x=c einen Wendepunkt WP(c/d).

    Die Wendepunkte der Kosinusfunktion kannst du dir in der Tabelle zur Übersicht der Wendepunkte anschauen:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    Wendepunkte der reinen FunktionWP0(0|0) WP0(π2|0)
    Wendepunkte der erweiterten FunktionWP0(c|d) WP0(π2b+c|d)

    Da sich die Wendepunkte nach jeweils einer halben Periode p2 wiederholen, kannst du die weiteren Wendepunkte herausfinden, indem du diese einfach der x-Koordinate hinzu addierst.

    Berechne nun Schritt für Schritt einen Wendepunkt der Funktion f(x) mit f(x)=2·cos(-3·(x-1))+1, ohne dass du die allgemeine Formel aus dem vertiefenden Abschnitt verwendest.

    Zuerst kannst du dir die y-Koordinate des Wendepunktes notieren:

    yWP=d=1

    Dann musst du die zweite Ableitung f''(x), die du bereits am Anfang berechnet hast, mit f''(x)=-18·cos(-3·(x-1)) gleich null setzen:

    -18·cos(-3·(x-1))=0cos(-3·(x-1))=0

    Diese Gleichung ist genau dann null, wenn die reine Kosinusfunktion null ist. Wie du bereits gelernt hast, ist dies der Fall für π2 und 3π2. Da du lediglich einen Wendepunkt berechnen sollst, reicht es den Fall π2 zu betrachten:

    -3·(x-1)=π2x-1=-π6x=-π6+1

    Als nächstes musst du die dritte Ableitung f'''(x) mit f'''(x)=-54·sin(-3·(x-1)) für den Wert x=-π6+1 überprüfen:

    f'''(-π6+1)=-54·sin(-3·(-π6+1-1))=-54·sin(π2)=-541

    Dementsprechend existiert an der Stelle x=-π6+1 ein Wendepunkt WP(-π6+1/1).

    Trigonometrische Funktionen – Krümmungsverhalten

    Das Krümmungsverhalten kannst du relativ leicht bestimmen, wenn du die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung bereits hast. Diese kennst du bereits aus dem vorherigen Kapitel.

    Du kannst dir dazu gerne noch unseren Artikel zum Thema Krümmungsverhalten anschauen.

    Noch einmal zur Erinnerung:

    • Eine Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit negativer Steigung und einem Wendepunkt mit positiver Steigung linksgekrümmt.
    • Eine Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit positiver Steigung und einem Wendepunkt mit negativer Steigung rechtsgekrümmt.

    Im vorherigen Kapitel hast du bereits festgestellt, welche Wendepunkte der reinen Sinus- und Kosinusfunktion eine positive und welche eine negative Steigung haben. Dort hast du mit dieser Information nichts Weiteres anfangen können. Nun benötigst du diese Erkenntnis für das Krümmungsverhalten.

    Daraus ergibt sich dann folgende Tabelle:

    SinusfunktionKosinusfunktion
    Krümmungsverhalten der reinen FunktionRechtskrümmung:IR=[0,π]Linkskrümmung:IL=[π, 2π]Rechtskrümmung:IR=[3π2,5π2]Linkskrümmung:IL=[π2,3π2]

    Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen - Das Wichtigste

    • Bei einer Kurvendiskussion musst du für eine Funktion f(x)folgende Eigenschaften untersuchen:
      • Wertebereich
      • Periode
      • Verhalten im Unendlichen – Grenzwert

      • Nullstellen
      • Extremstellen
      • Monotonie
      • Wendepunkte
      • Krümmungsverhalten
    • Die Extrempunkte der trigonometrischen Funktionen:
      SinusfunktionKosinusfunktion
      Extrempunkte der erweiterten Funktion für a>0HP0(π2b+c |a+d)TP0(3π2b+c |-a+d) HP0(c|a+d)TP0(πb+c|-a+d)
      Extrempunkte der erweiterten Funktion für a<0HP0(3π2b+c |a+d)TP0(π2b+c |-a+d) HP0(πb+c|a+d)TP0(c|-a+d)
      Hierbei muss jeweils eine Periode p zur x-Koordinate dazu addiert werden, um den nächsten Hoch- bzw. Tiefpunkt zu erhalten.
    • Die Wendepunkte der trigonometrischen Funktionen:
      SinusfunktionKosinusfunktion
      Wendepunkte der erweiterten FunktionWP0(c|d) WP0(π2b+c|d)
      Hierbei muss jeweils eine halbe Periode p2 zur x-Koordinate dazu addiert werden, um den nächsten Wendepunkt zu erhalten.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen

    Wie berechnet man die Nullstellen einer Sinusfunktion?

    Die Sinusfunktion wird gleich 0 gesetzt und dann nach x umgeformt.

    Was ist das k bei Sinus?

    Mit Hilfe des k können mehrere Nullstellen, Extremstellen etc. berechnet werden. Wenn zum Beispiel die Nullstellen der Sinusfunktion mit x_k = k*Pi angegeben ist, bedeuetet dass, dass für eine ganze Zahl k an jeder Stelle eine Nullstelle existiert. Zum Beispiel x_0=0, x_1=Pi,...

    Wie berechnet man die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion?

    Die Funktion gleich 0 setzen und nach x umformen.

    Wie berechnet man die Periodenlänge?

    Die Periode wird wie folgt berechnet: p=2*Pi/∣b∣

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