Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen

Q: Wie berechnet man die Nullstellen einer Sinusfunktion?

Die Sinusfunktion wird gleich 0 gesetzt und dann nach x umgeformt.

Q: Wie berechnet man die Nullstellen einer trigonometrischen Funktion?

Die Funktion gleich 0 setzen und nach x umformen.

Q: Wie berechnet man die Periodenlänge?

Die Periode wird wie folgt berechnet: p=2*Pi/∣b∣

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Die trigonometrischen Funktionen sind wichtiger Bestandteil der Analysis. Da es sich um periodische Funktionen handelt, haben sie eine besondere Bedeutung. Deshalb lohnt es sich, diese Funktionen ausführlich anzuschauen, um bei Bedarf darauf zurückgreifen zu können. Der Artikel wird dir anhand einer konkreten Funktion eine komplette Kurvendiskussion nahelegen.

Alle grundlegenden Eigenschaften der Sinus- und der Tangensfunktion kannst du in den Artikeln Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Trigonometrische Funktionen Parameter nachlesen. Diese Themen solltest du für diesen Artikel beherrschen.

Allgemeines zur Kurvendiskussion der trigonometrischen Funktionen

Eine Kurvendiskussion wird an einer speziellen Funktion durchgeführt, um alle Eigenschaften und das Verhalten der Funktion herauszufinden. Dafür wird der Wertebereich, die Periode, die Nullstellen, die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten betrachtet.

Normalerweise wird auch das Verhalten im Unendlichen – der Grenzwert – betrachtet, allerdings ändert sich dieses bei trigonometrischen Funktionen nie, was du auch in den Artikeln Sinusfunktion und Kosinusfunktion nachlesen kannst.

Betrachte doch zuerst einmal die folgende Tabelle, um dir die Funktionsgleichungen der reinen und erweiterten trigonometrischen Funktionen anzuschauen:

	Sinus	Kosinus
Reine Funktion	$f (x) = \sin (x)$	$f (x) = \cos (x)$
Erweiterte Funktion	$f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$	$f (x) = a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d$

Zur Erinnerung:

Die Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ sind reelle Zahlen. Allerdings dürfen $a$ und $b$ nicht null werden, da ansonsten keine trigonometrischen Funktionen mehr existieren.
Auswirkung der Parameter:

Parameter	Auswirkung
a	Streckung in $y - Richtung$ mit dem Faktor $\|a\|$ Wenn $a < 0$ : Der Graph wird zusätzlich an der $x - Achse$ gespiegelt.
b	Streckung in $x - Richtung$ mit dem Faktor $\|\frac{1}{b}\|$ Wenn $b < 0$ : Der Graph wird zusätzlich an der $y - Achse$ gespiegelt.
c	Verschiebung in $x - Richtung$ um $c - Einheiten$
d	Verschiebung in $y - Richtung$ um $d - Einheiten$

Dir ist vielleicht aufgefallen, dass der Tangens fehlt. Dies hat der Tangens seiner Kuriosität zu verdanken. Mehr dazu kannst du im Artikel Tangensfunktion herausfinden. Eine ausführliche Kurvendiskussion beim Tangens würde an dieser Stelle zu weit führen.

Dieser Artikel führt an der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ eine komplette Kurvendiskussion durch.

Damit bezieht sich jedes Beispiel auf diese Funktion $f (x)$ .

Damit du es später leichter hast, bilde zuerst die erste, zweite und dritte Ableitung unserer Funktion $f (x)$ :

Du kannst nun ganz einfach die Ableitungen aus der Tabelle aus dem Artikel Ableitung trigonometrischer Funktionen nutzen oder du leitest zur Übung die Funktion $f (x)$ selbstständig ab.

Da du für alle Ableitungen die innere Ableitung benötigst, schreib' dir diese zuerst raus:

$h' (x) = b = - 3$

Die erste Ableitung kannst du dann wie folgt bilden:

$\begin{array}{rcl} f' (x) & = & - 2 \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) \cdot (- 3) \\ = & - 2 \cdot (- 3) \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) \\ = & 6 \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) \end{array}$

Die zweite Ableitung lautet wie folgt:

$\begin{array}{rcl} f'' (x) & = & - 2 \cdot (- 3) \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) \cdot (- 3) \\ = & - 2 \cdot {(- 3)}^{2} \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) \\ = & - 2 \cdot 9 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) \\ = & - 18 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) \end{array}$

Die dritte Ableitung kannst du dann folgendermaßen bilden:

$\begin{array}{rcl} f''' (x) & = & - (- 2 \cdot {(- 3)}^{2} \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1))) \cdot (- 3) \\ = & 2 \cdot {(- 3)}^{3} \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) \\ = & 2 \cdot (- 27) \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) \\ = & - 54 \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) \end{array}$

Der Wertebereich der trigonometrischen Funktionen

Um den Wertebereich bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen zu bestimmen, musst du die Verschiebung in $y - Richtung$ $d$ und die Änderung der Amplitude $a$ beachten.

Zur Erinnerung:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Wertebereich der reinen Funktion	$W_{f} = [- 1, 1]$
Wertebereich der erweiterten Funktion	$W_{f} = [- \|a\| + d, \|a\| + d]$

Gib nun bei der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ den Wertebereich an:

Zuerst musst du die Parameter und identifizieren:

$a = 2$ und $d = 1$

Als nächstes kannst du alles einsetzen:

$W_{f} = [- |2| + 1, |2| + 1] = [- 1, 3]$

Also hat die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ den Wertebereich $W_{f} = [- 1, 3]$ .

Trigonometrische Funktionen – Periode

Lediglich die Streckung in $x - Richtung$ $b$ verändert bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen die Periode $p$ .

Zur Erinnerung:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Periode der reinen Funktion	$p = 2 π$
Periode der erweiterten Funktion	$p = \frac{2 π}{\|b\|}$

Berechne nun die Periode an der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ :

Du kannst den Parameter $b = 3$ in die Formel einsetzen:

$p = \frac{2 π}{|- 3|} = \frac{2 π}{3} = \frac{2}{3} π$

Also hat die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ eine Periode von $p = \frac{2}{3} π$ .

Nullstellen der trigonometrischen Funktionen

Bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen wirken sich alle vier Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ auf die Nullstellen aus.

Die Nullstellen wiederholen sich nach einer halben Periode $\frac{p}{2}$ , wenn der Parameter $d$ gleich null ist.

Falls der Parameter $d$ ungleich null ist, brauchst du zwei aufeinanderfolgende Nullstellen. Diese wiederholen sich dann in einem Abstand von einer Periode $p$ .

Zur Erinnerung:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Nullstellen der reinen Funktion	$x_{0} = 0, x_{1} = π, . . .$	$x_{0} = \frac{π}{2}, x_{1} = \frac{3 π}{2}, . . .$
Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn $d = 0$	$x_{0} = c, . . .$	$x_{0} = \begin{array}{rcl} \frac{π}{2 b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} c, . . . \end{array}$
Nullstellen der erweiterten Funktion, wenn $d \neq 0$	Wertebereich betrachten. $x_{0} = \begin{array}{rcl} \frac{\sin^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} c \end{array}$ $x_{1} = \begin{array}{rcl} \frac{π - \sin^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} c \end{array}$	Wertebereich betrachten. $x_{0} = \begin{array}{rcl} \frac{\cos^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} c$ $x_{1} = \begin{array}{rcl} \frac{- \cos^{- 1} (\frac{- d}{a})}{b} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} c$

Ist der Wertebereich $W_{f} = [0, |a| + d]$ , dann sind die Tiefpunkte der Funktion doppelte Nullstellen.

Genauso verhält es sich, wenn der Wertebereich $W_{f} = [- |a| + d, 0]$ ist, dann sind die Hochpunkte der Funktion doppelte Nullstellen. In beiden Fällen brauchst du in der Kurvendiskussion keine Nullstellen berechnen, denn eine Berechnung der Extrempunkte liefert dann auch die Nullstellen.

Bestimme nun bei der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ die Nullstellen:

Den Wertebereich $W_{f} = [- 1, 3]$ hast du schon in Aufgabe $1$ bestimmt. Diesem kannst du entnehmen, dass die Funktion $f (x)$ Nullstellen besitzt.

Für $x_{0}$ erhältst du folgenden Wert:

$\begin{array}{rcl} x_{0} & = & \frac{\cos^{- 1} (- \frac{1}{2})}{- 3} + 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{π}{- 3} + 1 = - \frac{2 π}{9} + 1 = \frac{- 2 π + 9}{9} \end{array}$

Nun kannst du noch $x_{1}$ berechnen:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & \frac{- \cos^{- 1} (- \frac{1}{2})}{- 3} + 1 = - \frac{2}{3} \cdot \frac{π}{- 3} + 1 = \frac{2 π}{9} + 1 = \frac{2 π + 9}{9} \end{array}$

Extremstellen der trigonometrischen Funktionen

Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die Extremstellen und -punkte berechnen kannst, schau in unserem Artikel Extremstellen nach.

Zur Erinnerung:

Du musst die Ableitung $f' (x)$ gleich null setzen.
Die zweite Ableitung $f'' (x)$ muss ungleich null sein.
Ist $f'' (x)$ größer null so liegt ein Tiefpunkt vor.
Ist $f'' (x)$ kleiner null so liegt ein Hochpunkt vor.

Bei den erweiterten trigonometrischen Funktionen wirken sich die Streckung und Verschiebung in $y - Richtung$ durch $a$ und $d$ auf die $y - Koordinate$ aus und die Streckung und Verschiebung in $x - Richtung$ durch $b$ und $c$ auf die $x - Koordinate$ .

Damit kannst du dir den Wertebereich $W_{f}$ mit $W_{f} = [- |a| + d, |a| + d]$ zu Hilfe nehmen, um die $y - Werte$ der Extrempunkte zu berechnen:

$y_{T P} = - |a| + d und y_{H P} = |a| + d$

Nun kannst du die Extremstellen in Abhängigkeit der Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ berechnen. Sollte dich das interessieren, schau dir den nächsten vertiefenden Abschnitt an. Ansonsten kannst du diesen überspringen und dir unser ausführliches Beispiel anschauen.

Du musst eine Fallunterscheidung betrachten. Da ein negativer Parameter $a$ eine Spiegelung an der $x - Achse$ herbeiführt, ändern sich dadurch die Extrempunkte. Aus einem Hochpunkt wird ein Tiefpunkt und umgekehrt.

Auch hier ist es noch einmal wichtig zu erwähnen, dass folgendes für die Parameter $a$ und $b$ gilt:

$a \neq 0 und b \neq 0$

Extremstellen der erweiterten Sinusfunktion

Um die Extremstellen herauszufinden, musst du die Ableitung $f' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$ gleich null setzen. Die Ableitung $f' (x)$ kennst du bereits aus dem Artikel Ableitung trigonometrische Funktionen:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} f' (x) & = & a b \cdot \cos (b \cdot (x - c)) & = & 0 \\ a b \cdot \cos (b \cdot (x - c)) & = & 0 \\ \cos (b \cdot (x - c)) & = & 0 \end{matrix} \end{array}$

Diese Gleichung ist genau dann null, wenn die reine Kosinusfunktion null ist. Wie du bereits gelernt hast, ist dies der Fall für $\frac{π}{2}$ und $\frac{3 π}{2}$ . Also muss folgendes gelten:

$b \cdot (x_{0} - c) = \frac{π}{2} oder b \cdot (x_{1} - c) = \frac{3 π}{2}$

Löst die beiden Gleichungen nach $x_{0}$ und $x_{1}$ auf, erhältst du folgende Lösungen:

$\begin{matrix} b \cdot (x_{0} - c) = \frac{π}{2} & und & b \cdot (x_{1} - c) = \frac{3 π}{2} \\ x_{0} - c = \frac{π}{2 b} & und & x_{1} - c = \frac{3 π}{2 b} \\ x_{0} = \frac{π}{2 b} + c & und & x_{1} = \frac{3 π}{2 b} + c \end{matrix}$

Du hast also an den Stellen $x_{0}$ und $x_{1}$ Extremstellen. Du musst nun mit Hilfe der zweiten Ableitung $f'' (x)$ überprüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:

$f'' (x) = \begin{array}{rcl} - a b^{2} \cdot \sin (b (x - c)) \end{array}$

Du musst nun überprüfen, ob die zweite Ableitung $f'' (x)$ an den Stellen $x_{0}$ und $x_{1}$ größer oder kleiner null ist:

$\begin{array}{rcl} f'' (\frac{π}{2 b} + c) & = & - a b^{2} \cdot \sin (b (\frac{π}{2 b} + c - c)) \\ = & - a b^{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) \\ = & - a b^{2} \cdot 1 \\ = & - a b^{2} \end{array}$

Nun musst du die Fallunterscheidung für den Parameter $a$ machen:

$a > 0$	$a < 0$
$f'' (x) = - a b^{2} < 0 \Rightarrow H P an x_{0} = \frac{π}{2 b} + c$	$f'' (x) = - (- a) b^{2} > 0 \Rightarrow T P an x_{0} = \frac{π}{2 b} + c$

Überprüfe nun noch die zweite Ableitung $f'' (x)$ für $x_{1}$ :

$\begin{array}{rcl} f'' (\frac{3 π}{2 b} + c) & = & - a b^{2} \cdot \sin (b (\frac{3 π}{2 b} + c - c)) \\ = & - a b^{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2}) \\ = & - a b^{2} \cdot (- 1) \\ = & a b^{2} \end{array}$

Auch hier musst du wieder eine Fallunterscheidung für den Parameter $a$ machen:

$a > 0$	$a < 0$
$f'' (x) = a b^{2} > 0 \Rightarrow T P an x_{1} = \frac{3 π}{2 b} + c$	$f'' (x) = (- a) b^{2} < 0 \Rightarrow H P an x_{1} = \frac{3 π}{2 b} + c$

Die Extremstellen der erweiterten Kosinusfunktion kannst du dir in der Tabelle zur Übersicht der Extremstellen anschauen. Hierbei kannst du $y_{T P} = - |a| + d$ und $y_{H P} = |a| + d$ für die erweiterten trigonometrischen Funktionen verwenden.:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Extrempunkte der reinen Funktion	$\begin{array}{l} H P_{0} (\frac{π}{2} \| 1) \\ T P_{0} (\frac{3 π}{2} \| - 1) \end{array}$	$\begin{array}{l} H P_{0} (0 \| 1) \\ T P_{0} (π \| - 1) \end{array}$
Extrempunkte der erweiterten Funktion für $a > 0$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{π}{2 b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{3 π}{2 b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{π}{b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$
Extrempunkte der erweiterten Funktion für $a < 0$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{3 π}{2 b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{π}{2 b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{π}{b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (c \| - \|a\| + d) \end{array}$

Um den jeweils nächsten Hoch- oder Tiefpunkt zu erhalten, musst du eine Periode $p$ der $x - Koordinate$ dazu addieren.

Berechne nun Schritt für Schritt jeweils einen Hoch- und Tiefpunkt der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ ⁣, ohne dass du die allgemeinen Formeln aus dem vertiefenden Abschnitt verwendest.

Zuerst kannst du mit Hilfe des Wertebereichs $W_{f} = [- 1, 3]$ die $y - Koordinaten$ der Extrempunkte angeben:

$y_{H P} = 3 und y_{T P} = - 1$

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kDann musst du die Ableitung $f' (x)$ , die du bereits am Anfang berechnet hast, mit $f' (x) \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} 6 \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) \end{array}$ gleich null setzen:

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k $\begin{array}{rcl} 6 \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) & = & 0 \\ \sin (- 3 \cdot (x - 1)) & = & 0 \end{array}$

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kDiese Gleichung ist genau dann null, wenn die reine Sinusfunktion null ist. Wie du bereits gelernt hast, ist dies der Fall für $0$ und $π$ . Also muss folgendes gelten:

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k $\begin{matrix} \begin{array}{rcl} - 3 \cdot (x_{1} - 1) \end{array} & = & 0 & oder & \begin{array}{rcl} - 3 \cdot (x_{0} - 1) \end{array} & = & π \\ \begin{array}{rcl} x_{1} - 1 \end{array} & = & 0 & oder & \begin{array}{rcl} x_{0} - 1 \end{array} & = & - \frac{π}{3} \\ x_{1} & = & 1 & oder & x_{0} & = & - \frac{π}{3} + 1 \end{matrix}$

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kAls nächstes musst du die zweite Ableitung $f'' (x)$ mit $\begin{array}{rcl} f'' (x) & = & - 18 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) \end{array}$ für die Werte $x_{0}$ und $x_{1}$ überprüfen:

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k $\begin{array}{rcl} f'' (1) & = & - 18 \cdot \cos (- 3 \cdot (1 - 1)) \\ = & - 18 \cdot \cos (0) \\ = & - 18 < 0 \end{array}$

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kDementsprechend existiert an der Stelle $x_{1} = 1$ ein Hochpunkt $H P (1 / 3)$ . Überprüfe die zweite Ableitung $f'' (x)$ nun noch auf den Wert $x_{0}$ :

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k $\begin{array}{rcl} f'' (- \frac{π}{3} + 1) & = & - 18 \cdot \cos (- 3 \cdot (- \frac{π}{3} + 1 - 1)) \\ = & - 18 \cdot \cos (π) \\ = & 18 > 0 \end{array}$

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·k

xHPk=c+2πb·k=1+2π-3·k=1+2π3·kDamit existiert an der Stelle $x_{0} = \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{π}{3} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} 1 \end{array}$ ein Tiefpunkt $T P (\begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{π}{3} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} 1 \end{array} \begin{array}{rcl} | \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} 1 \end{array} \begin{array}{rcl} ) \end{array}$ .

Trigonometrische Funktionen – Monotonie

Da sich die Monotonie relativ leicht bestimmen lässt, wenn die Extremstellen gegeben oder schon berechnet sind, brauchst du hier lediglich die Extremstellen betrachten. Damit wirken sich auch die Parameter der erweiterten trigonometrischen Funktionen genau so auf die Monotonie aus wie bei den Extremstellen.

Mehr dazu kannst du auch im Artikel Monotonieverhalten nachlesen.Noch einmal zur Erinnerung:

Eine Funktion ist zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt monoton steigend.
Eine Funktion ist zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt monoton fallend.
Bei der Sinus- und Kosinusfunktion gilt sogar, dass sie streng monoton steigend oder fallend ist.

Gib nun in zwei aufeinanderfolgenden Intervallen die Monotonie der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ mit Hilfe der Extrempunkte an.

Dazu brauchst du noch einen weiteren Extrempunkt, damit du zwei Intervalle hast.

Da du weißt, dass bei $x_{0} = 1 - \frac{π}{3}$ ein Hochpunkt existiert, gibt es bei $x_{0} + p$ auch wieder einen Tiefpunkt. Also existiert bei $x_{2} = 1 + \frac{π}{3}$ auch wieder ein Tiefpunkt. Du weißt bereits, dass es bei $x_{1} = 1$ einen Hochpunkt gibt.

Wendest du nun die Regeln für die Monotonie an, erhältst du folgendes Intervall $I_{S}$ , in dem die Funktion $f (x)$ streng monoton steigend ist:

$\begin{array}{rcl} I_{S} & = & [x_{0}, x_{1}] = [1 - \frac{π}{3}, 1] \end{array}$

Im folgenden Intervall $I_{F}$ ist die Funktion $f (x)$ streng monoton fallend:

$\begin{array}{rcl} I_{F} & = & [x_{1}, x_{2}] = [1, 1 + \frac{π}{3}] \end{array}$

Trigonometrische Funktionen – Wendepunkte

Du kannst dir zu den Wendepunkten gerne noch unseren Artikel zu Wendepunkt berechnen anschauen.

Zur Erinnerung:

Für einen Wendepunkt:Die zweite Ableitung $f'' (x)$ muss null sein und die dritte Ableitung $f''' (x)$ muss ungleich null sein.
Für einen Wendepunkt mit negativer Steigung:Die dritte Ableitung $f''' (x)$ muss größer null sein.
Für einen Wendepunkt mit positiver Steigung:Die dritte Ableitung $f''' (x)$ muss kleiner null sein.

Wendepunkte der reinen trigonometrischen Funktionen

Um mehr über die Wendepunkte der reinen trigonometrischen Funktionen zu erfahren, kannst du dir unsere Artikel Sinusfunktion und Kosinusfunktion anschauen.

Da du später noch das Krümmungsverhalten bestimmen musst, brauchst du noch die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung.

Innerhalb einer Periode $p$ gibt es genau zwei Wendepunkte. Ein Wendepunkt mit positiver Steigung wiederholt sich nach einer Periode $p = 2 π$ . Ebenso ein Wendepunkt mit negativer Steigung.

Kurvendiskussion trigonometrischen Funktionen Wendepunkte reiner Sinus StudySmarter Abbildung 1: Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Sinusfunktion

An den Stellen $x_{0} = 0$ und $x_{2} = 2 π$ existiert ein Wendepunkt mit positiver Steigung. An der Stelle $x_{1} = π$ existiert ein Wendepunkt mit negativer Steigung.

Wendepunkte der Kosinusfunktion

Für das Krümmungsverhalten brauchst du auch die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Kosinusfunktion.

Kurvendiskussion trigonometrischen Funktionen Wendepunkte reiner Kosinus StudySmarter Abbildung 2: Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung der Kosinusfunktion

An den Stellen $x_{0} = \frac{π}{2}$ und $x_{2} = \frac{5 π}{2}$ existiert ein Wendepunkt mit negativer Steigung. An der Stelle $x_{1} = \frac{3 π}{2}$ existiert ein Wendepunkt mit positiver Steigung.

Wendepunkte der erweiterten trigonometrischen Funktionen

Im Vergleich zu den Extrempunkten wirkt sich die Streckung in $y - Richtung$ nicht auf die Wendepunkte aus.

Für die $y - Koordinate$ der Wendepunkte gilt $y = d$ , denn der Parameter $d$ gibt lediglich die Verschiebung in $y - Richtung$ an.

Wenn der Parameter $d$ gleich null ist, brauchst du die Wendepunkte nicht zu berechnen. Denn dann entsprechen die Wendestellen den Nullstellen.

Nun kannst du die Wendepunkte in Abhängigkeit der Parameter $a$ , $b$ , $c$ und $d$ berechnen. Sollte dich dies interessieren, schau dir den nächsten vertiefenden Abschnitt an. Ansonsten kannst du diesen überspringen und dir unser ausführliches Beispiel anschauen.

In diesem Abschnitt brauchst du nicht mehr zwischen einem Wendepunkt mit positiver und negativer Steigung betrachten. Da durch die Parameter $a$ und $b$ Spiegelungen an den jeweiligen Achsen entstehen, bräuchtest du für beide Parameter eine Fallunterscheidung. Da dies in diesem Fall den Rahmen sprengen würde, lassen wir dies an dieser Stelle weg.

Auch hier ist es noch einmal wichtig zu erwähnen, dass folgendes für die Parameter $a$ und $b$ gilt:

$a \neq 0 und b \neq 0$

Wendepunkte der erweiterten Sinusfunktion

Um die Wendepunkte herauszufinden, musst du die Ableitung $f'' (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$ gleich null setzen:

$\begin{matrix} f'' (x) & = & \begin{array}{rcl} - a b^{2} \cdot \sin (b \cdot (x - c)) \end{array} & = & 0 \\ \begin{array}{rcl} \sin (b \cdot (x - c)) \end{array} & = & 0 \end{matrix}$

Diese Gleichung ist genau dann null, wenn die reine Sinusfunktion null ist. Wie du bereits gesehen hast, ist dies der Fall für $0$ und $π$ . Da sich die Wendepunkte jedoch in einem regelmäßigen Abstand von einer halben Periode $\frac{p}{2}$ wiederholen, brauchst du nur einen $x - Wert$ betrachten. Also muss folgendes gelten:

$\begin{matrix} \begin{array}{rcl} b \cdot (x - c) & = & 0 \end{array} \end{matrix}$

Löst du die Gleichung nach $x$ auf, erhältst du folgende Lösung:

$\begin{matrix} \begin{array}{rcl} b \cdot (x - c) & = & 0 \end{array} \\ \begin{array}{rcl} x - c & = & \frac{0}{b} \end{array} \\ x = c \end{matrix}$

Du hast also an der Stelle $x$ einen eventuellen Wendepunkt. Du musst nun mit Hilfe der dritten Ableitung $f''' (x)$ mit $f''' (x) \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} - a b^{3} \cdot \cos (b (x - c)) \end{array}$ überprüfen, ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt.

Dafür setzt du nun zuerst $x = c$ in die dritte Ableitung $f''' (x)$ ein:

$\begin{array}{rcl} f''' (c) & = & - a b^{3} \cdot \cos (b (c - c)) \\ = & - a b^{3} \cdot \cos (0) \\ = & - a b^{3} \neq 0 \end{array}$

Die dritte Ableitung $f''' (x)$ ist für $x = c$ ungleich null. Es gibt also an der Stelle $x = c$ einen Wendepunkt $W P (c / d)$ .

Die Wendepunkte der Kosinusfunktion kannst du dir in der Tabelle zur Übersicht der Wendepunkte anschauen:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Wendepunkte der reinen Funktion	$W P_{0} (0 \| 0)$	$W P_{0} (\frac{π}{2} \| 0)$
Wendepunkte der erweiterten Funktion	$W P_{0} (c \| d)$	$W P_{0} (\frac{π}{2 b} + c \| d)$

Da sich die Wendepunkte nach jeweils einer halben Periode $\frac{p}{2}$ wiederholen, kannst du die weiteren Wendepunkte herausfinden, indem du diese einfach der $x - Koordinate$ hinzu addierst.

Berechne nun Schritt für Schritt einen Wendepunkt der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 2 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) + 1$ , ohne dass du die allgemeine Formel aus dem vertiefenden Abschnitt verwendest.

Zuerst kannst du dir die $y - Koordinate$ des Wendepunktes notieren:

$y_{W P} = d = 1$

Dann musst du die zweite Ableitung $f'' (x)$ , die du bereits am Anfang berechnet hast, mit $f'' (x) \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} 18 \end{array} \begin{array}{rcl} \cdot \end{array} \begin{array}{rcl} \cos (- 3 \cdot (x - 1)) \end{array}$ gleich null setzen:

$\begin{array}{rcl} - 18 \cdot \cos (- 3 \cdot (x - 1)) & = & 0 \\ \cos (- 3 \cdot (x - 1)) & = & 0 \end{array}$

Diese Gleichung ist genau dann null, wenn die reine Kosinusfunktion null ist. Wie du bereits gelernt hast, ist dies der Fall für $\frac{π}{2}$ und $\frac{3 π}{2}$ . Da du lediglich einen Wendepunkt berechnen sollst, reicht es den Fall $\frac{π}{2}$ zu betrachten:

$\begin{array}{rcl} - 3 \cdot (x - 1) & = & \frac{π}{2} \\ x - 1 & = & - \frac{π}{6} \\ x & = & - \frac{π}{6} + 1 \end{array}$

Als nächstes musst du die dritte Ableitung $f''' (x)$ mit $f''' (x) \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} - 54 \cdot \sin (- 3 \cdot (x - 1)) \end{array}$ für den Wert $\begin{array}{rcl} x & = & - \frac{π}{6} + 1 \end{array}$ überprüfen:

$\begin{array}{rcl} f''' (- \frac{π}{6} + 1) & = & - 54 \cdot \sin (- 3 \cdot (- \frac{π}{6} + 1 - 1)) = - 54 \cdot \sin (\frac{π}{2}) = - 54 \neq 1 \end{array}$

Dementsprechend existiert an der Stelle $\begin{array}{rcl} x & = & - \frac{π}{6} + 1 \end{array}$ ein Wendepunkt $W P (\begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{π}{6} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} 1 \end{array} \begin{array}{rcl} / \end{array} \begin{array}{rcl} 1 \end{array} \begin{array}{rcl} ) \end{array}$ .

Trigonometrische Funktionen – Krümmungsverhalten

Das Krümmungsverhalten kannst du relativ leicht bestimmen, wenn du die Wendepunkte mit positiver und negativer Steigung bereits hast. Diese kennst du bereits aus dem vorherigen Kapitel.

Du kannst dir dazu gerne noch unseren Artikel zum Thema Krümmungsverhalten anschauen.

Noch einmal zur Erinnerung:

Eine Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit negativer Steigung und einem Wendepunkt mit positiver Steigung linksgekrümmt.
Eine Funktion ist zwischen einem Wendepunkt mit positiver Steigung und einem Wendepunkt mit negativer Steigung rechtsgekrümmt.

Im vorherigen Kapitel hast du bereits festgestellt, welche Wendepunkte der reinen Sinus- und Kosinusfunktion eine positive und welche eine negative Steigung haben. Dort hast du mit dieser Information nichts Weiteres anfangen können. Nun benötigst du diese Erkenntnis für das Krümmungsverhalten.

Daraus ergibt sich dann folgende Tabelle:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Krümmungsverhalten der reinen Funktion	Rechtskrümmung: $I_{R} = [0, π]$ Linkskrümmung: $I_{L} = [π, 2 π]$	Rechtskrümmung: $I_{R} = [\frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}]$ Linkskrümmung: $I_{L} = [\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen - Das Wichtigste

Bei einer Kurvendiskussion musst du für eine Funktion f(x)folgende Eigenschaften untersuchen:
- Wertebereich
- Periode
- Verhalten im Unendlichen – Grenzwert
- Nullstellen
- Extremstellen
- Monotonie
- Wendepunkte
- Krümmungsverhalten

Die Extrempunkte der trigonometrischen Funktionen:

	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Extrempunkte der erweiterten Funktion für $a > 0$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{π}{2 b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{3 π}{2 b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{π}{b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$
Extrempunkte der erweiterten Funktion für $a < 0$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{3 π}{2 b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{π}{2 b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{π}{b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (c \| - \|a\| + d) \end{array}$

Hierbei muss jeweils eine Periode

p

zur

x - Koordinate

dazu addiert werden, um den nächsten Hoch- bzw. Tiefpunkt zu erhalten.

Die Wendepunkte der trigonometrischen Funktionen:
Sinusfunktion Kosinusfunktion
Wendepunkte der erweiterten Funktion $W P_{0} (c | d)$ $W P_{0} (\frac{π}{2 b} + c | d)$
Hierbei muss jeweils eine halbe Periode $\frac{p}{2}$ zur $x - Koordinate$ dazu addiert werden, um den nächsten Wendepunkt zu erhalten.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion trigonometrische Funktionen

Die Sinusfunktion wird gleich 0 gesetzt und dann nach x umgeformt.

Mit Hilfe des k können mehrere Nullstellen, Extremstellen etc. berechnet werden. Wenn zum Beispiel die Nullstellen der Sinusfunktion mit x_k = k*Pi angegeben ist, bedeuetet dass, dass für eine ganze Zahl k an jeder Stelle eine Nullstelle existiert. Zum Beispiel x_0=0, x_1=Pi,...

Die Funktion gleich 0 setzen und nach x umformen.

Die Periode wird wie folgt berechnet: p=2*Pi/∣b∣

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Benenne, welche Aspekte zu einer Kurvendiskussion gehören.

Wertebereich
Periode
Nullstellen
Extremstellen
Monotonie
Wendepunkte
Krümmungsveralten
Verhalten im Unendlichen

Erkläre, wozu eine Kurvendiskussion durchgeführt wird.

Um alle Eigenschaften und das Verhalten einer Funktion herauszufinden.

Bestimme, nach welchem Abstand sich ein Hoch- bzw. ein Tiefpunkt bei trigonometrischen Funktionen wiederholt.

Nach jeweils einer Periode p.

Erläutere, wann eine Funktion monoton steigend ist?

Zwischen einem Tief- und einem Hochpunkt.

Wann ist eine Funktion monoton fallend?

Zwischen einem Hoch- und einem Tiefpunkt.

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	Sinusfunktion	Kosinusfunktion
Extrempunkte der reinen Funktion	$\begin{array}{l} H P_{0} (\frac{π}{2} \| 1) \\ T P_{0} (\frac{3 π}{2} \| - 1) \end{array}$	$\begin{array}{l} H P_{0} (0 \| 1) \\ T P_{0} (π \| - 1) \end{array}$
Extrempunkte der erweiterten Funktion für $a > 0$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{π}{2 b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{3 π}{2 b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{π}{b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$
Extrempunkte der erweiterten Funktion für $a < 0$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{3 π}{2 b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (\frac{π}{2 b} + c \| - \|a\| + d) \end{array}$	$\begin{array}{rcl} H P_{0} (\frac{π}{b} + c \| \|a\| + d) \\ T P_{0} (c \| - \|a\| + d) \end{array}$

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