Logarithmus integrieren

Stell Dir vor, Du sitzt in der letzten Stunde im Klassenzimmer. Die Uhr macht Tick Tack Tick Tack. Deine Lehrerin oder Dein Lehrer zeigen Dir das nachfolgende Integral einer Logarithmusfunktion

Logarithmus integrieren Logarithmus integrieren

Erstelle Lernmaterialien über Logarithmus integrieren mit unserer kostenlosen Lern-App!

  • Sofortiger Zugriff auf Millionen von Lernmaterialien
  • Karteikarten, Notizen, Übungsprüfungen und mehr
  • Alles, was du brauchst, um bei deinen Prüfungen zu glänzen
Kostenlos anmelden
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    55elog5(x) dx

    Wie wird so eine Funktion integriert? Du gibst einen glücklichen Laut von Dir, denn Du bist gerade auf diesen Artikel gestoßen. Das ist genau das, was Du nun für die Lösung brauchst!

    Doch zunächst kurz einige Grundlagen zur allgemeinen Logarithmusfunktion.

    Logarithmus integrieren – Grundwissen

    Wie lautet denn die Funktionsgleichung der allgemeinen Logarithmusfunktion?

    Eine Funktion f(x) mit

    f(x)=logb(x)

    wird als allgemeine Logarithmusfunktion bezeichnet, wobei b,x+ und b1 ist.

    In der folgenden Abbildung kannst Du Dir zum besseren Verständnis zwei allgemeine Logarithmusfunktionen f(x) und g(x) mit der Basis b1=2, damit b1>1, und eine allgemeine Logarithmusfunktion mit der Basis b2=12, damit b2<1, anschauen.

    Logarithmus integrieren Allgemeiner Logarithmus Schaubild StudySmarterAbbildung 1: Schaubild zweier Logarithmusfunktionen

    In der Abbildung 1 kannst Du dabei sehen, dass für eine Basis, die größer als 1 ist, der Graph der Logarithmusfunktion steigend verläuft. Im Gegensatz dazu ergibt sich ein fallender Verlauf des Funktionsgraphen für eine Basis kleiner als 1.

    Der Artikel Allgemeine Logarithmusfunktion beinhaltet noch einmal alles rund um diesen Funktionstyp und deren Eigenschaften.

    Auch von der allgemeinen Logarithmusfunktion lässt sich die Stammfunktion bilden.

    Stammfunktion allgemeine Logarithmusfunktion

    Die allgemeine Logarithmusfunktion lässt sich sowohl ableiten als auch integrieren.

    F(x)Integrierenf(x)=logb(x)Ableitenf'(x)

    Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.

    Doch wie sehen die Integration der Logarithmusfunktion und damit die Stammfunktionen aus? Schau Dir das Ganze einmal mathematisch an.

    Die Stammfunktionen der allgemeinen Logarithmusfunktion f(x)=logb(x)lauten:

    F(x)=1ln(b)·(x·ln(x)-x)+C

    Zur Erinnerung: Im Artikel „Stammfunktion bilden“ hast Du gelernt, dass Du beim Bilden der Stammfunktionen immer eine Konstante C dazu addieren musst, da es unendlich viele Stammfunktionen zu einer Funktion gibt.

    Doch wieso gilt diese Formel für die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion? Wenn Du Dich für die Herleitung der Formel interessierst, dann sieh Dir gerne die nachfolgende Vertiefung an.

    Herleitung Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion

    Für den Beweis der Stammfunktion benötigst Du die ln-Funktion. Mehr dazu kannst Du in dem Artikel „Integral der ln-Funktion / natürlichen Logarithmusfunktion“ nachlesen.

    Damit Du die Stammfunktionen der allgemeinen Logarithmusfunktion bilden kannst, musst Du die allgemeine Logarithmusfunktion in eine ln-Funktion umschreiben.

    Zur Erinnerung:

    • Der Basiswechsel eines Logarithmus': logb(x)=loga(x)loga(b)
    • Definition der natürlichen Logarithmusfunktion: loge(x)=ln(x)

    Der Logarithmus lässt sich anhand eines Quotienten darstellen, wobei eine beliebige Basis a möglich ist, zum Beispiel e.

    Mit dem Basiswechsel und der Definition der natürlichen Logarithmusfunktion, erhältst Du folgende allgemeine Logarithmusfunktion.

    logb(x)=loge(x)loge(b)=1ln(b)·ln(x)

    Nun handelt es sich um eine ln-Funktion mit einem festen Vorfaktor 1ln(b), da dieser eine konstante Zahl ist.

    Zur Erinnerung: Faktorregel beim Integrieren: a·f(x) dx=a·f(x) dx

    Zur Berechnung der Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion benötigst Du noch die Stammfunktion der ln-Funktion, die Du im Artikel Integral der ln-Funktion findest.

    Zur Erinnerung: Stammfunktion der ln-Funktion: ln(x) dx=x·ln(x)-x+C

    Mit Hilfe der Faktorregel beim Integrieren und der Stammfunktion der ln-Funktion kann die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion wie folgt berechnet werden.

    logb(x) dx=1ln(b)·ln(x) dx|Faktorregel=1ln(b)·ln(x) dx|Stammfunktion der ln-FunktionF(x)=1ln(b)·(x·ln(x)-x)+C

    Nun kennst Du bereits die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion. Wende diese Regel gleich einmal an.

    Aufgabe 1

    Bestimme die Stammfunktionen der Funktion f(x) mit f(x)=log2π(x).

    Lass Dich durch das π nicht verwirren. Es kann wie eine ganz normale Zahl behandelt werden.

    Lösung

    Zuerst musst Du die Basis b identifizieren.

    b=2π

    Als Nächstes kannst Du alle Zahlen in die obige Formel einfügen und schon hast Du die fertige Stammfunktion.

    F(x)=1ln(2π)·(x·ln(x)-x)+C

    Vergiss zum Schluss nicht, die Konstante C zu addieren.

    Manchmal kann es sein, dass Du die allgemeine Logarithmusfunktion mit verschiedenen Parameter vorliegen hast. Dadurch entsteht die sogenannte erweiterte allgemeine Logarithmusfunktion.

    Stammfunktion erweiterte allgemeine Logarithmusfunktion

    Die verschiedenen Parameter wirken sich auf die Bildung der Stammfunktion aus. Solltest Du eine Aufgabe mit Parametern vorliegen haben, so kannst Du die folgende Formel anwenden.

    Stammfunktionen F(x) der Funktion f(x)=c·logb(ax)+d:

    F(x)=cln(b)·(x·ln(ax)-x)+dx+C

    Wobei c0 und a0 ist.

    Wenn c=1, a=1 und d=0 ist, erhältst Du aus der erweiterten allgemeinen Logarithmusfunktion wieder die allgemeine Logarithmusfunktion f(x)=logb(x).

    Um die Formel der Stammfunktionen der erweiterten allgemeinen Logarithmusfunktion zu verinnerlichen, kannst Du diese nun direkt anwenden.

    Aufgabe 2

    Bestimme die Stammfunktionen der Funktion f(x) mit f(x)=3·log14(15x)+9.

    Lösung

    Zuerst musst Du die Basis b identifizieren.

    b=14

    Als Nächstes kannst Du die Parameter c, a und d identifizieren.

    c=3a=15d=9

    Als Letztes kannst Du alle Zahlen in die obige Formel einfügen und damit hast Du die fertige Stammfunktion.

    F(x)=3ln(14)·(x·ln(15x)-x)+9x+C

    Wozu wird die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion überhaupt verwendet? Sieh Dir dazu die nachfolgende Anwendung an.

    Logarithmus integrieren – Beispiele & Anwendung

    Die StammfunktionF(x) der allgemeinen Logarithmusfunktionf(x)=logb(x) brauchst Du beispielsweise für das Lösen eines Integrals. Dabei kannst Du die Stammfunktion beim Integral mit den Grenzen u und o wie folgt anwenden.

    Bestimmtes Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion mit den Grenzen u und o:

    uologb(x)dx=1ln(b)·(x·ln(x)-x)uo

    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird dazu benutzt, um ein bestimmtes Integral zu lösen. Mehr dazu kannst Du im Kapitel bestimmtes Integral nachlesen.

    Nun kannst Du überprüfen, ob Du das Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion bereits verstanden hast.

    Aufgabe 3

    Berechne exakt das Integral 1eloge(x)dx.

    Die Funktion f(x)=loge(x) entspricht der Funktion f(x)=loge(x)=ln(x). Da Du an dieser Stelle die allgemeine Logarithmusfunktion betrachtest, wird die Funktion f(x) nicht in den natürlichen Logarithmus umgewandelt.

    Lösung

    Zuerst ist es wieder hilfreich, die Basis b zu identifizieren.

    b=e

    Damit erhältst Du folgendes Integral, indem Du eine Stammfunktion bildest und die Grenzen jeweils für x einsetzt.

    1eloge(x) dx=1ln(e)·(x·ln(x)-x)1e=11·(x·ln(x)-x)1e=e·ln(e)-e-(1·ln(1)-1)=e·1-e-(1·0-1)=e-e-0+1=1 FE

    Zum besseren Verständnis kannst Du Dir noch das Schaubild der Funktion f(x)=loge(x) und das berechnete Integral anschauen.

    Logarithmus integrieren Schaubild einer Logarithmusfunktion mit Basis b=e StudySmarterAbbildung 2: Schaubild zur Aufgabe 3

    Nun ist es an der Zeit, Dein Wissen über das Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion zu verinnerlichen.

    Allgemeine Logarithmusfunktion integrieren – Aufgaben mit Lösung

    Bilde als erste Übung doch noch einmal eine Stammfunktionen einer allgemeinen Logarithmusfunktion.

    Aufgabe 4

    Bilde die Stammfunktion der Funktion f(x) mit f(x)=log3(-2x)+e.

    Lass Dich auch durch das e nicht verwirren, das kannst Du wie eine normale Konstante betrachten.

    Lösung

    Identifiziere zuerst die Basis b und die Parameter c, a und d.

    b=3c=1a=-2d=e

    Setzt Du diese Werte nun in die Formel ein, erhältst Du folgende Stammfunktion für die Funktion f(x)=log3(-2x)+e.

    F(x)=1ln(3)·(x·ln(-2x)-x)+ex+C

    Du sitzt immer noch an Deiner Aufgabe im Klassenzimmer. Doch Du weißt nun, was Du machen musst, und löst die Aufgabe, die vor Dir liegt!

    Aufgabe 5

    Löse das folgende Integral.

    55elog5(x) dx

    Lösung

    Zuerst musst Du die Basis b identifizieren.

    b=5

    Damit erhältst Du folgendes Integral.

    55elog5(x)dx=1ln(5)·(x·ln(x)-x)55e=1ln(5)·(5e·ln(5e)-5e-(5·ln(5)-5))=1ln(5)·(5e·(ln(5)+ln(e))-5e-5·ln(5)+5)=1ln(5)·(5e·ln(5)+5e-5e-5·ln(5)+5)=1ln(5)·(5e·ln(5)-5·ln(5)+5)=5e·ln(5)ln(5)-5·ln(5)ln(5)+5ln(5)=5e-5+5ln(5)11,7 FE

    Um die Funktion f(x)=log5(x) und das berechnete Integral zu veranschaulichen, schau Dir die nachfolgende Abbildung 3 an.

    Logarithmus integrieren Schaubild einer Logarithmusfunktion mit Basis b=5 StudySmarterAbbildung 3: Schaubild zur Eingangsaufgabe

    Geschafft! Du kannst nun Integrale von Logarithmusfunktionen lösen. Für die Zukunft weißt Du nun auch, wo Du nachschauen musst, wenn Du Hilfe beim Integral der allgemeinen Logarithmusfunktion brauchst.

    Logarithmus integrieren – Das Wichtigste

    • Die allgemeine Logarithmusfunktion lautet: f(x)=logb(x)
    • Die Stammfunktion der allgemeinen Logarithmusfunktion lautet: F(x)=1ln(b)·(x·ln(x)-x)+C
    • Die Stammfunktion der Funktionf(x)=c·logb(ax)+d lautet: F(x)=cln(b)·(x·ln(ax)-x)+dx+C
    • Das Integrieren der allgemeinen Logarithmusfunktion benötigst Du, um bestimmte Integrale zu lösen.
    • Für das Integral mit den Grenzen u und o gilt folgende Gleichung: uologb(x)dx=1ln(b)·(x·ln(x)-x)uo

    Nachweise

    1. Papula (2018). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer Vieweg.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmus integrieren

    Wie kann die allgemeine Logarithmusfunktion integriert werden?

    Die allgemeine Logarithmusfunktion f(x)=logb(x) wird integriert, indem die Stammfunktionen dieser gebildet werden. Die Stammfunktionen dieser Funktion lauten: 

    F(x) = 1/ln(b) ⋅ (x ⋅ ln(x) - x) + C.

    1
    Über StudySmarter

    StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

    Erfahre mehr
    StudySmarter Redaktionsteam

    Team Logarithmus integrieren Lehrer

    • 8 Minuten Lesezeit
    • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
    Erklärung speichern

    Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

    Kostenfrei loslegen

    Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

    Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

    • Karteikarten & Quizze
    • KI-Lernassistent
    • Lernplaner
    • Probeklausuren
    • Intelligente Notizen
    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!