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Das exponentielle Wachstum kann manchmal ganz schön kompliziert wirken, aber ist eigentlich auch total interessant, denn viele Prozesse in unserer Umwelt unterliegen exponentiellen Prozessen. Exponentielles Wachstum ist eine beliebte Anwendungsaufgabe zu e-Funktion. Zusammen kriegen wir das hin! Das Thema gehört zum Fach Mathematik.
Das exponentielle Wachstum beschreibt, wie schnell sich ein Bestand (z.B. von Pflanzen) von einem zum anderen Zeitpunkt ändert. Das exponentielle Wachstum wird durch eine Wachstums- oder Zerfallsfunktion dargestellt. Die Funktion sieht im allgemeinen so aus:
Ableiten
integrieren
Merke Dir:
Die Wachstumsfunktion beschreibt nicht den Bestand, sondern wie schnell sich der Bestand ändert, um den Bestand einer Wachstumsfunktion herauszufinden, musst Du die Funktion zunächst integrieren. Bei Aufgaben solltest Du immer darauf achten, welche Funktion gerade abgebildet ist. Zum Beispiel kannst du gefragt werden, wie groß der Bestand einer Pflanze zu dem Zeitpunkt t=5 gibt. Aus der Wachstumsfunktion wirst du dies nicht berechnen können. Dann musst Du erst die Wachstumsfunktion integrieren und dann dann für t=5 einsetzen. Genauso z.B. wenn nach der maximalen Wachstumsrate der Pflanze gefragt wird und nur die Bestandsfunktion abgebildet ist:
Das exponentielle Wachstum wird gerne für die Rekonstruktionen von Beständen benutzt. Du solltest Dir viele Anwendungsaufgaben anschauen.
Diese Frage kann auch öfters in Klausuren vorkommen und wird mit dem sogenannten Quotiententest gelöst. Um diese Frage zu lösen braucht ihr mehrere Punkte der Bestandsfunktion bzw. eine Wertetabelle.
Zum Beispiel: Wachstum eines Baumes
Zeit in Wochen | 0 | 1 | 2 | 3 |
Höhe in cm | 5 | 6,5 | 8,45 | 11 |
Wenn der Quotient gerundet gleich ist, dann handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
Beispiel:
Der Anfangswert lautet 5
Vorsicht: Der Anfangswert muss nicht immer bei t=0 liegen, manchmal beginnt der Beobachtungszeitraum auch später, um dies herauszufinden musst du dir die Aufgabenstellung besonders gut durchlesen. Meistens wird Dir in der Aufgabenstellung ein Intervall gegeben.
Andere Fragestellungen können die Halbwertszeit oder die Verdoppelungszeit. Also der Zeitpunkt, indem sich der Bestand verdoppelt oder halbiert hat.
Halbwertszeit
Verdopplungszeit
Wie im Bild deutlich wird steigt die Exponentialfunktion stärker als die Ganzrationale Funktion. Das Wachstum steigt exponentiell an und ist nicht, wie z.B. bei dem linearen Wachstum konstant.
Eine Exponentialfunktion muss nicht immer mit e auftreten, sondern kann auch in der Form: 
Du hast es geschafft Du solltest nun alles notwendige über das exponentielle Wachstum wissen.
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