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Exponentielles Wachstum

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Exponentielles Wachstum

Das exponentielle Wachstum kann manchmal ganz schön kompliziert wirken, aber ist eigentlich auch total interessant, denn viele Prozesse in unserer Umwelt unterliegen exponentiellen Prozessen. Exponentielles Wachstum ist eine beliebte Anwendungsaufgabe zu e-Funktion. Zusammen kriegen wir das hin! Das Thema gehört zum Fach Mathematik.

Das sollte ich schon wissen

  • Kurvendiskussionen von e-Funktionen
  • Ableitungen
  • Integration von e-Funktionen

Was ist das exponentielles Wachstum?

Das exponentielle Wachstum beschreibt, wie schnell sich ein Bestand (z.B. von Pflanzen) von einem zum anderen Zeitpunkt ändert. Das exponentielle Wachstum wird durch eine Wachstums- oder Zerfallsfunktion dargestellt. Die Funktion sieht im allgemeinen so aus:

  • C ist hierbei der Bestand beim Zeitpunkt t=0
  • T ist der Zeitpunkt
  • K ist die Wachstumskonstante oder Zerfallskonstante. Wenn dieser Wert größer 0 ist es eine Wachstumskonstante und bei Werten unter 0 ist es eine Zerfallskonstante.

Ableiten

integrieren

Merke Dir:

Die Wachstumsfunktion beschreibt nicht den Bestand, sondern wie schnell sich der Bestand ändert, um den Bestand einer Wachstumsfunktion herauszufinden, musst Du die Funktion zunächst integrieren. Bei Aufgaben solltest Du immer darauf achten, welche Funktion gerade abgebildet ist. Zum Beispiel kannst du gefragt werden, wie groß der Bestand einer Pflanze zu dem Zeitpunkt t=5 gibt. Aus der Wachstumsfunktion wirst du dies nicht berechnen können. Dann musst Du erst die Wachstumsfunktion integrieren und dann dann für t=5 einsetzen. Genauso z.B. wenn nach der maximalen Wachstumsrate der Pflanze gefragt wird und nur die Bestandsfunktion abgebildet ist:

  1. Die Bestandsfunktion ableiten
  2. Dann die Funktion erneut ableiten um den Hochpunkt zu finden

Welche Beispiele von exponentiellen Prozessen gibt es:

  • Infektionen z.B. bei Corona
  • Vermehrung von Bakterien und Viren
  • Wirkung von Medikamenten: Zerfall im Körper
  • Vermehrung von Tieren oder Pflanzen

Das exponentielle Wachstum wird gerne für die Rekonstruktionen von Beständen benutzt. Du solltest Dir viele Anwendungsaufgaben anschauen.

Wie finde ich heraus, ob es sich um exponentielles Wachstum handelt?

Diese Frage kann auch öfters in Klausuren vorkommen und wird mit dem sogenannten Quotiententest gelöst. Um diese Frage zu lösen braucht ihr mehrere Punkte der Bestandsfunktion bzw. eine Wertetabelle.

Zum Beispiel: Wachstum eines Baumes

Zeit in Wochen

0

1

2

3

Höhe in cm

5

6,5

8,45

11

Wenn der Quotient gerundet gleich ist, dann handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.

Wie bilde ich eine exponentielle Wachstums- oder Zerfallsfunktion aus Punkten oder eine Wertetabelle?

  1. Zunächst musst du den Zuwachsfaktor oder den Zerfallsfaktor berechnen. Dies machst du, wie bei dem Quotiententest. Also ein h(t) mit einen anderen h(t) teilen.
  2. Danach musst du aus dem Zuwachsfaktor den natürlich Logarithmus bilden und danach erhältst du k.
  3. Danach musst du t=0 in die Funktion einsetzen, um c den Anfangs- oder Startwert herauszufinden.
  4. Dann solltest du die Wachstums- oder Verfallsfunktion gebildet haben.

Beispiel:

  • t=0 in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen
  • Der Anfangswert lautet 5
  • Die Funktionsgleichung lautet also:

Vorsicht: Der Anfangswert muss nicht immer bei t=0 liegen, manchmal beginnt der Beobachtungszeitraum auch später, um dies herauszufinden musst du dir die Aufgabenstellung besonders gut durchlesen. Meistens wird Dir in der Aufgabenstellung ein Intervall gegeben.

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Andere Fragestellungen können die Halbwertszeit oder die Verdoppelungszeit. Also der Zeitpunkt, indem sich der Bestand verdoppelt oder halbiert hat.

  • Halbwertszeit
  • Verdopplungszeit

Exponentielles Wachstum im Vergleich:

Wie im Bild deutlich wird steigt die Exponentialfunktion stärker als die Ganzrationale Funktion. Das Wachstum steigt exponentiell an und ist nicht, wie z.B. bei dem linearen Wachstum konstant.

Andere Exponentialfunktion:

Eine Exponentialfunktion muss nicht immer mit e auftreten, sondern kann auch in der Form:

  • C ist der Startwert
  • B ist der Wachstumsfaktor, der wie oben beim Quotiententest berechnet wird. Diesmal wird dieser nicht logarithmiert.
  • Im Gegensatz zu der e-Funktion wird hier der log oder der Zehnerlogarithmus benutzt.

Exponentielles Wachstum - das Wichtigste auf einen Blick

  • Die allgemeine Funktionsgleichung für exponentielle Wachstums- und Zerfallsfunktionen lautet:
  • Um herauszufinden, ob es sich um exponentielles Wachstum handelt, nutze ich den Quotiententest
  • Die Halbwertszeit wird berechnet durch:
  • Die Verdopplungszeit wird berechnet durch:

Du hast es geschafft Du solltest nun alles notwendige über das exponentielle Wachstum wissen.

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