Normale Mathe

Es soll die Normale an die Normalparabel im Punkt \(S(1|1)\) eingezeichnet werden.

Schritt 1: Einzeichnen der Tangente

Mithilfe der Ableitung der Normalparabel an der Berührstelle \(x=1\) ergibt sich für die Tangente die Steigung \(m_t =2\).

So kannst Du jetzt die Tangente ziehen, indem Du eine Gerade der Steigung \(2\) an den Berührpunkt einzeichnest.

Abb. 3 - Normale konstruieren.

Schritt 2: Normale einzeichnen

Mithilfe eines Geodreiecks kannst Du jetzt die Normale im \(90^\circ\)-Winkel zur Tangente im Schnittpunkt einzeichnen.

Abb. 4 - Konstruktion Normale.

Damit hast Du die Normale konstruiert.

Aufgabe 1

Stelle die Normalengleichung der Funktion \( f(x)=2x^{3}-4x \) im Punkt \(P(-1|2)\) auf.

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, musst Du zunächst die Steigung der Funktion an der Stelle \(x=-1\) berechnen.

Hierzu bildest Du zunächst die erste Ableitung und setzt dann \(x=-1\) ein.

\begin{align} f'(x)&=6x^{2}-4 \\\\ f'(-1)&=6\cdot (-1)^{2}-4 =2 \end{align}

Damit hast Du alle Werte, die Du für das Einsetzen in die allgemeine Normalengleichung und damit das Berechnen der Normale benötigst.

Setzt Du die Ableitung und den Punkt nun ein, ergibt sich die Normalengleichung.

\begin{align} &n_f(x)=-\frac{1}{2}\cdot (x+1)+2 \\ &n_f(x)=-\frac{1}{2}\cdot x+1,5\end{align}

Im Koordinatensystem sieht das Ganze so aus:

Abb. 6 - Normale berechnen.

Aufgabe 2

Bestimme die Funktionsgleichung der Normalen \(n(x)\) an die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\). Die Normale soll dabei durch den Ursprung \(U(0|0)\) verlaufen.

Lösung

Dazu kannst Du grob in den folgenden Schritten vorgehen:

1. Löse die allgemeine Normalengleichung \(n_{f}(x)= -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a) \) nach der Stelle \(x=a\) für die Funktion \(f(x)\) auf.
2. Bestimme den Schnittpunkt von Normale und Funktion.
3. Setze die berechneten Werte in die allgemeine Normalengleichung ein.

Schritt 1: allgemeine Normalengleichung nach \(x=a\) auflösen

Um die Aufgabe zu lösen, ist es wichtig, dass nur die gesuchte Unbekannte – in diesem Fall \(a\) – übrig bleibt. Dazu müssen bei der Normalengleichung in der Regel \(f'(a)\) im Bruch und \(f(a)\) durch Terme ersetzt werden, die nur \(a\) enthalten.

Dazu setzt Du für \(f(a)\) den Funktionsterm von \(f(x)\) ein, mit \(x=a\):

\begin{align}f(x)&=\frac{1}{x} \\f(a)&=\frac{1}{a} \\n_{f}(x)&=-\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+\frac{1}{a}\end{align}

Für \(f'(a)\) bildest Du die Ableitung der Funktion \(f(x)\) und setzt diese auch mit \(x=a\) ein:

\begin{align}f'(x)&=-\frac{1}{x^2} \\f'(a)&=-\frac{1}{a^2} \\N_{f}(x)&=-\frac{1}{-\frac{1}{a^2}} \cdot (x-a)+\frac{1}{a} \\N_{f}(x)&=a^2 \cdot (x-a)+\frac{1}{a}\end{align}

Damit bleiben neben \(a\) nur noch \(x\) und \(n_{f}(x)\) als Unbekannte. Da die Gleichung immer noch die Normalengleichung ist, gilt sie für alle Punkte, die auf der Normalen liegen.

Schritt 2: Schnittpunkt von Normale und Funktion bestimmen

Da Du bereits einen Punkt auf der Normalen kennst, kannst Du diesen einfach einsetzen und dann nach \(a\) auflösen.

Dafür setzt Du den x-Wert des Punktes für \(x\) ein, und den y-Wert für \(n_{f}(x)\). In diesem Fall ist beides null, da die Normale durch den Ursprung verläuft. So erhältst Du eine Gleichung, die nur noch \(a\) enthält, und die Du auflösen kannst:

\begin{align}0&=a^2 \cdot (0-a)+\frac{1}{a} \\[0.2cm]0&=-a^2 \cdot -a+\frac{1}{a} \\[0.2cm]0&=-a^3 +\frac{1}{a}\end{align}

Daraus ergeben sich zwei Lösungen:\begin{align}a_{1}&=1 \\a_{2}&=-1\end{align}

Das liegt daran, dass die gesuchte Normale in diesem speziellen Fall in zwei Punkten senkrecht zur Funktion steht.

Abb. 7 - Beispiel Normale.

Schritt 3: Werte in die Normalengleichung einsetzen

Setzt man in die Normalengleichung \( n_{f}(x) =a^2 \cdot (x-a)+ \frac{1}{a} \) die beiden Lösungen für \(a\) ein, ergibt sich folgendes Ergebnis:\begin{align}n_{f}(x)&=-1^2 \cdot (x-(-1))+\frac{1}{-1} =x+1-1=x \\n_{f}(x)&=1^2 \cdot (x-1)+\frac{1}{1} =x-1+1=x\end{align}Die Funktion der Normalengleichung ist also \(N_{f}(x)=x\) und schneidet die ursprüngliche Funktion \(f(x)\) in den Punkten \(S(1|1)\) und \(P(-1|-1)\).

Aufgabe 3

Konstruiere graphisch die Normale \(n\) der Funktion \(f(x)=x^3+1\) im Punkt \(S(1|2)\).

Lösung

Die Lösung ist in der folgenden Abbildung veranschaulicht.

Abb. 8 - Normale konstruieren Übung.

Aufgabe 4

Bestimme rechnerisch die Normalengleichung an die Funktion \(f(x)=x^3+1\) im Punkt \(S(1|2)\).

Lösung

Die Normalengleichung bestimmst Du durch Einsetzen in die allgemeine Normalengleichung. Diese lautet\[n(x)= -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a) \]

Bestimme zuerst die Ableitung von \(f(x)\) an der Stelle \(x=1\)

\[ f'(x)=3 \cdot x^2\]

und berechne

\[f'(1)=3\cdot1^2=3\]

Setze dann in die allgemeine Normalengleichung ein:

\begin{align}n(x)&= -\frac{1}{3} \cdot (x-1)+2=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+2\\&=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\end{align}

Die Lösung ist also\[ n(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\]