Aufgabe 2
Bestimme die Funktionsgleichung der Normalen \(n(x)\) an die Funktion \(f(x)=\frac{1}{x}\). Die Normale soll dabei durch den Ursprung \(U(0|0)\) verlaufen.
Lösung
Dazu kannst Du grob in den folgenden Schritten vorgehen:
- Löse die allgemeine Normalengleichung \(n_{f}(x)= -\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+f(a) \) nach der Stelle \(x=a\) für die Funktion \(f(x)\) auf.
- Bestimme den Schnittpunkt von Normale und Funktion.
- Setze die berechneten Werte in die allgemeine Normalengleichung ein.
Schritt 1: allgemeine Normalengleichung nach \(x=a\) auflösen
Um die Aufgabe zu lösen, ist es wichtig, dass nur die gesuchte Unbekannte – in diesem Fall \(a\) – übrig bleibt. Dazu müssen bei der Normalengleichung in der Regel \(f'(a)\) im Bruch und \(f(a)\) durch Terme ersetzt werden, die nur \(a\) enthalten.
Dazu setzt Du für \(f(a)\) den Funktionsterm von \(f(x)\) ein, mit \(x=a\):
\begin{align}f(x)&=\frac{1}{x} \\f(a)&=\frac{1}{a} \\n_{f}(x)&=-\frac{1}{f'(a)} \cdot (x-a)+\frac{1}{a}\end{align}
Für \(f'(a)\) bildest Du die Ableitung der Funktion \(f(x)\) und setzt diese auch mit \(x=a\) ein:
\begin{align}f'(x)&=-\frac{1}{x^2} \\f'(a)&=-\frac{1}{a^2} \\N_{f}(x)&=-\frac{1}{-\frac{1}{a^2}} \cdot (x-a)+\frac{1}{a} \\N_{f}(x)&=a^2 \cdot (x-a)+\frac{1}{a}\end{align}
Damit bleiben neben \(a\) nur noch \(x\) und \(n_{f}(x)\) als Unbekannte. Da die Gleichung immer noch die Normalengleichung ist, gilt sie für alle Punkte, die auf der Normalen liegen.
Schritt 2: Schnittpunkt von Normale und Funktion bestimmen
Da Du bereits einen Punkt auf der Normalen kennst, kannst Du diesen einfach einsetzen und dann nach \(a\) auflösen.
Dafür setzt Du den x-Wert des Punktes für \(x\) ein, und den y-Wert für \(n_{f}(x)\). In diesem Fall ist beides null, da die Normale durch den Ursprung verläuft. So erhältst Du eine Gleichung, die nur noch \(a\) enthält, und die Du auflösen kannst:
\begin{align}0&=a^2 \cdot (0-a)+\frac{1}{a} \\[0.2cm]0&=-a^2 \cdot -a+\frac{1}{a} \\[0.2cm]0&=-a^3 +\frac{1}{a}\end{align}
Daraus ergeben sich zwei Lösungen:\begin{align}a_{1}&=1 \\a_{2}&=-1\end{align}
Das liegt daran, dass die gesuchte Normale in diesem speziellen Fall in zwei Punkten senkrecht zur Funktion steht.
Abb. 7 - Beispiel Normale.
Schritt 3: Werte in die Normalengleichung einsetzen
Setzt man in die Normalengleichung \( n_{f}(x) =a^2 \cdot (x-a)+ \frac{1}{a} \) die beiden Lösungen für \(a\) ein, ergibt sich folgendes Ergebnis:\begin{align}n_{f}(x)&=-1^2 \cdot (x-(-1))+\frac{1}{-1} =x+1-1=x \\n_{f}(x)&=1^2 \cdot (x-1)+\frac{1}{1} =x-1+1=x\end{align}Die Funktion der Normalengleichung ist also \(N_{f}(x)=x\) und schneidet die ursprüngliche Funktion \(f(x)\) in den Punkten \(S(1|1)\) und \(P(-1|-1)\).
Nicht nur bei einer Normale durch den Ursprung, sondern auch durch jeden anderen gegebenen Punkt kannst Du dementsprechend vorgehen.
In diesem Abschnitt kannst Du Deine Erkenntnisse noch einmal mithilfe von Übungsaufgaben festigen.
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