• :00Tage
  • :00Std
  • :00Min
  • 00Sek
Ein neues Zeitalter des Lernens steht bevorKostenlos anmelden
Login Anmelden

Select your language

Suggested languages for you:
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Trigonometrische Funktionen integrieren

Die Stammfunktionen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion benötigst Du immer dann, wenn Du ein Integral mit Sinus, Kosinus oder Tangens bilden möchtest.Genauso wie die Ableitungen kannst Du Dir die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion als eine Art Kreislauf vorstellen. Dazu kannst Du Dir die folgende Abbildung anschauen. Diese beinhaltet die Auf- und die Ableitung.Abbildung 1: Integrationskreis Sinus- und KosinusfunktionDa das…

Von Expert*innen geprüfte Inhalte
Kostenlose StudySmarter App mit über 20 Millionen Studierenden
Mockup Schule

Entdecke über 200 Millionen kostenlose Materialien in unserer App

Trigonometrische Funktionen integrieren

Trigonometrische Funktionen integrieren
Illustration

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration

Die Stammfunktionen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion benötigst Du immer dann, wenn Du ein Integral mit Sinus, Kosinus oder Tangens bilden möchtest.

Trigonometrische Funktionen integrieren – Erklärung

Genauso wie die Ableitungen kannst Du Dir die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion als eine Art Kreislauf vorstellen. Dazu kannst Du Dir die folgende Abbildung anschauen. Diese beinhaltet die Auf- und die Ableitung.

Trigonometrische Funktionen integrieren, Integrationskreis Sinus und Kosinusfunktion StudySmarterAbbildung 1: Integrationskreis Sinus- und Kosinusfunktion

Da das Integrieren das Gegenteil der Ableitung ist, entsteht durch den Ableitungskreis auch direkt der Integrationskreis – nur in entgegengesetzter Richtung.

Wenn Du Dir diesen Kreislauf merkst, hast Du schon einen Großteil des Integrierens verstanden.

Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.

Integrieren der Sinusfunktion

Die Stammfunktion \(F(x)\) der Sinusfunktion \(f(x)=-\sin(x)\) lautet:\[F(x) = -\cos(x) +C\]

Zur Erinnerung: Im Artikel "Stammfunktion bilden" kannst du noch einmal sehen, dass du bei der Stammfunktion immer eine Konstante \(C\) dazu addieren musst, da diese beim Ableiten wegfällt.

Integrieren der Kosinusfunktion

Die Stammfunktion \(F(x)\) der Kosinusfunktion \(f(x) = \cos(x)\) lautet:\[F(x)=\sin(x)+C\]

Integrieren der Tangensfunktion

Die Stammfunktion \(F(x)\) der Tangensfunktion \(f(x)=\tan(x)\) lautet:\[F(x) =-\ln(|\cos(x)|)+C\]

Jetzt kennst du alle Stammfunktionen der reinen trigonometrischen Funktionen. Jedoch hast du in vielen Aufgaben oft nicht diese reine Version vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern.

Trigonometrische Funktionen – Parameter integrieren

Interessanter sind die Stammfunktionen der erweiterten trigonometrischen Funktionen mit den Parametern.

Da du in der Schule hauptsächlich die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion benötigst, werden hier nur diese beiden betrachtet.

Zur Erinnerung:

  • Erweiterte Sinusfunktion: \(f(x) = a\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d\)
  • Erweiterte Kosinusfunktion: \(f(x) = a\cdot \cos(b\cdot(x-c))+d\)

Stammfunktion der Sinusfunktion mit Parametern

Die Stammfunktion \(F(x)\) der allgemeinen Sinusfunktion \(f(x) = a\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d\) lautet\[F(x) = -\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\]

Die Herleitung dieser Formel erfolgt unter anderem durch Anwendung der linearen Substitution.

Schaue dir das folgende Beispiel an, um die Regel zu verinnerlichen.

Aufgabe 1

Bestimme die Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x) = 3\cdot \sin (2\cdot(x-100))+9\).

Lösung

Zuerst musst du die Parameter \(a,\,b,\,c,\,d\) identifizieren.

\(f(x) = \underbrace{3}_a\cdot \sin (\underbrace{2}_b\cdot(x-\underbrace{100}_c))+\underbrace{9}_d\)

Als Nächstes brauchst du die Stammfunktion von Sinus – das ist der negative Kosinus. Damit erhältst du folgende Stammfunktion.

\begin{align}F(x) &= -\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\\F(x) &= -\frac{3}{2}\cdot\cos(2\cdot(x-100))+9x+C\end{align}

Stammfunktion der Kosinusfunktion mit Parametern

Das Integrieren der allgemeinen Kosinusfunktion verhält sich wie bei der allgemeinen Sinusfunktion. Dementsprechend erhältst du folgende mathematische Definition:

Die Stammfunktion \(F(x)\) der allgemeinen Kosinusfunktion \(f(x) = a\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\) lautet:

\(f(x) = \frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\)

Schau dir ein Beispiel an, um die Stammfunktion der erweiterten Kosinusfunktion direkt anzuwenden.

Aufgabe 2

Bestimme die Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x) = 20\cdot \cos(5x-30)+32\).

Lösung

Zuerst musst du den Parameter \(b\) identifizieren. Dazu musst du innerhalb der inneren Funktion erst einmal ausklammern.

\(f(x)=20\cdot \cos(5(x-6))+32\Rightarrow b=5 \)

Als Nächstes musst Du nur noch alle anderen Parameter \(a, \,b,\,c\) ablesen und in die Formel einsetzen. Damit erhältst du folgende Stammfunktion:\begin{align}F(x) &= \frac{20}{5}\cdot \sin(5\cdot(x-6))+32x+C\\&= 4\cdot \sin(5\cdot(x-6))+32x+C\end{align}

Zusammenfassend kannst du dir die folgende Tabelle ansehen:

\(\sin(x)\)\(\cos(x)\)
Reine Funktion\(F(x) = -\cos(x)\)\(F(x) = \sin(x)\)
Erweiterte Funktion\(F(x)=-\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\)\(F(x)=\frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\)

Beim "aufleiten" wird aus Sinus, Minus-Kosinus und aus Kosinus wird Sinus.

Als Abschluss kannst du dir noch ein weiteres Beispiel anschauen.

Aufgabe 3

Berechne das Integral \(\int_\pi^{4\pi}2\sin(3\cdot(x-\pi))+5\).

Lösung

Um das bestimmte Integral zu lösen, wird zuerst die Stammfunktion von \(f(x)\) benötigt. Die Stammfunktion bestimmst Du mit Hilfe der Regel für die Integration der allgemeinen Sinusfunktion.

\( F(x) = -\frac{2}{3}\cos(3\cdot(x-\pi))+5x + C\)

Jetzt kannst Du das bestimmte Integral berechnen:

\begin{align}\int_\pi^{4\pi}2\sin(3\cdot(x-\pi))+5 &=\left[-\frac{2}{3}\cos(3\cdot(x-\pi))+5x \right]_\pi^{4\pi}\\ &= -\frac{2}{3}\cos(3\cdot (4\pi-\pi))-(\frac{2}{3}\cdot\cos(3\cdot(\pi-\pi)))\\&=-\frac{2}{3}\cdot \cos(9\pi)+\frac{2}{3}\\&=-\frac{2}{3}\cdot (-1)+\frac{2}{3}\\&=\frac{4}{3}\end{align}

Trigonometrische Funktionen integrieren Das Wichtigste

  • Die Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen wiederholen sich. Dies kannst du dir mithilfe des Integrationskreises merken.
  • Die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion lauten wie folgt:
    \(\sin(x)\)\(\cos(x)\)
    Reine Funktion\(F(x) = -\cos(x)\)\(F(x) = \sin(x)\)
    Erweiterte Funktion\(F(x)=-\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\)\(F(x)=\frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\)
  • Die Stammfunktion \(F(x)\) der Tangensfunktion \(f(x) =\tan(x)\) lautet: \(F(x) = -\ln(|cos(x)|)+C\)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen integrieren

Die Stammfunktion der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion.
Die Stammfunktion der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion.

Die Stammfunktion der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion.

Da die Stammfunktion der Kosinusfunktion die Sinusfunktion ist, ist die Stammfunktion der negativen Kosinusfunktion auch die negative Sinusfunktion.

Mehr zum Thema Trigonometrische Funktionen integrieren
60%

der Nutzer schaffen das Trigonometrische Funktionen integrieren Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Wie möchtest du den Inhalt lernen?

Karteikarten erstellen
Inhalte meiner Freund:innen lernen
Ein Quiz machen

94% der StudySmarter Nutzer erzielen bessere Noten.

Jetzt anmelden

94% der StudySmarter Nutzer erzielen bessere Noten.

Jetzt anmelden

Wie möchtest du den Inhalt lernen?

Karteikarten erstellen
Inhalte meiner Freund:innen lernen
Ein Quiz machen

Kostenloser mathe Spickzettel

Alles was du zu . wissen musst. Perfekt zusammengefasst, sodass du es dir leicht merken kannst!

Jetzt anmelden

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Fang an mit StudySmarter zu lernen, die einzige Lernapp, die du brauchst.

Jetzt kostenlos anmelden
Illustration