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Trigonometrische Funktionen integrieren

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Mathe

Die Stammfunktionen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion brauchst du immer dann, wenn du ein Integral mit Sinus, Kosinus oder Tangens bilden möchtest.

Um diesen Artikel zu verstehen, ist es hilfreich, wenn du folgende Themengebiete bereits beherrschst: Sinusfunktion, Kosinusfunktion, Tangensfunktion, Trigonometrische Funktionen, Parameter und Ableitung trigonometrische Funktionen. Du kannst dir dafür die entsprechenden Artikel durchlesen.

Trigonometrische Funktionen integrieren – Erklärung

Genauso wie die Ableitungen kannst du dir die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion als eine Art Kreislauf vorstellen. Dazu kannst du dir die folgende Abbildung anschauen. Diese beinhaltet die Auf- und die Ableitung.

Trigonometrische Funktionen integrieren, Integrationskreis Sinus und Kosinusfunktion StudySmarterAbbildung 1: Integrationskreis Sinus- und Kosinusfunktion

Da das Integrieren das Gegenteil der Ableitung ist, entsteht durch den Ableitungskreis auch direkt der Integrationskreis – nur in entgegengesetzter Richtung.

Wenn du dir diesen Kreislauf merkst, hast du schon einen Großteil des Integrierens verstanden.

Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.

Integrieren der Sinusfunktion

Die Stammfunktion der Sinusfunktion kennst du schon aus dem Integrationskreis. Halten wir das Ganze noch einmal mathematisch fest.

Die Stammfunktion F(x) der Sinusfunktion f(x)=sin(x) lautet:

F(x)=-cos(x)+C

Zur Erinnerung: Im Artikel "Stammfunktion bilden" kannst du noch einmal sehen, dass du bei der Stammfunktion immer eine Konstante C dazu addieren musst, da diese beim Ableiten wegfällt.

Integrieren der Kosinusfunktion

Durch den Integrationskreis kennst du sowohl die Stammfunktion der Sinus- als auch der Kosinusfunktion. Auch diese kannst du jetzt noch mathematisch formulieren.

Die Stammfunktion F(x) der Kosinusfunktion f(x)=cos(x) lautet:

F(x)=sin(x)+C

Integrieren der Tangensfunktion

Nur über die Stammfunktion der Tangensfunktion sagt der Integrationskreis nichts aus.

Die Stammfunktion F(x) der Tangensfunktion f(x)=tan(x) lautet:

F(x)=-ln(cos(x))+C

Da die Bildung der Stammfunktion F(x) der Tangensfunktion ein wenig komplizierter ist und der Beweis den Umfang des Artikels überschreiten würde, findest du hier keine ausführlicheren Formulierungen.

Jetzt kennst du alle Stammfunktionen der reinen trigonometrischen Funktionen. Jedoch hast du in vielen Aufgaben oft nicht diese reine Version vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern.

Integrieren der erweiterten trigonometrischen Funktionen – Parameter

Interessanter sind die Stammfunktionen der erweiterten trigonometrischen Funktionen mit den Parametern.

Da du in der Schule hauptsächlich die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion benötigst, werden hier nur diese beiden betrachtet.

Zur Erinnerung:

Hierzu könnte es hilfreich sein, dir noch einmal unseren Artikel zu den Integrationsregeln und Eigenschaften des Integrals anzuschauen.

Zur Erinnerung:

  • Definition einer Stammfunktion: F(x)=f(x)dx
  • Faktorregel:a·f(x)dx=a·f(x)dx
  • Linearität: f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx

Wenn man eine der erweiterten trigonometrischen Funktionen integrieren möchte, überlegt man oft, welche Funktion abgeleitet die gegebene Funktion ergibt. Dazu führt man die Ableitung im Kopf rückwärts durch.

Das liegt daran, dass zum Ableiten der erweiterten trigonometrischen Funktionen die Kettenregel benötigt wird. Deren Umkehrung ist die Integration durch Substitution, die du dann bei der Integration benötigst. Jedoch ist diese manchmal kompliziert und wird deshalb in der Schule selten angewendet.

Stammfunktion der erweiterten Sinusfunktion

Um die Stammfunktion der erweiterten Sinusfunktion zu bilden, musst du die Ableitung rückwärts durchführen.

Zur Erinnerung:

Die Ableitung der erweiterten Sinusfunktion lautet: f'(x)=ab·cos(b·(x-c))

Du siehst, dass bei der Ableitung der erweiterten Sinusfunktion die innere Funktion h(x)=b·(x-c) gleich bleibt und sich nicht verändert. Lediglich der Sinus wird durch den Kosinus ersetzt und das Ganze mit dem Parameter b multipliziert.

Zur Veranschaulichung siehst du hier ein Beispiel:

Du hast die Funktionf(x) mit f(x)=3·cos(5x) und deren Ableitung f'(x)=-15·sin(5x). Dabei ist b=5.

Ziel ist nun die Ableitung rückwärts durchzuführen und damit zu integrieren. Die Stammfunktion der Ableitung f'(x) ist also die Funktion f(x). Es muss also Folgendes gelten:

f(x)=F(x)

Wendest du zuerst die Faktorregel des Integrierens an, erhältst du folgendes Integral der Ableitung f'(x).

F(x)=f(x)=-15sin(5x)dx

Wenn du nun weißt, dass du beim Ableiten die Kettenregel mit Multiplikation der Zahl 5 anwendest, musst du beim Integrieren mit 15 multiplizieren, um die Zahl 5 wieder zu entfernen. Zusätzlich musst du die Stammfunktion des Sinus anwenden. Dann erhältst du folgende Funktion:

F(x)=-15sin(5x)dx=-15·15·(-cos(5x))+C=3·cos(5x)+C=f(x)

Somit musst du lediglich durch den Parameter b dividieren und die reine Sinusfunktion integrieren.

Jetzt hast du schon eine Stammfunktion der erweiterten Sinusfunktion gebildet ohne, dass du die Formel dazu kennst. Daher betrachten wir das einmal mathematisch.

Die Stammfunktion F(x) der erweiterten Sinusfunktion f(x)=a·sin(b·(x-c))+d lautet:

F(x)=-ab·cos(b·(x-c))+dx+C

Aus dem Parameter d wird der Ausdruck dx, da beim Ableiten einer Konstante d mit x=x1 das x zu x0 wird und damit wegfällt.

Damit du die Stammfunktion der erweiterten Sinusfunktion f(x)=a·sin(b·(x-c))+d bilden kannst, musst du zuerst die Rechenregeln mit den Integralen anwenden.

F(x)=a·sin(b·(x-c))+ddx=a·sin(b·(x-c))dx+ddx

Das zweite Integral mit einer Konstante kannst du einfach lösen.

ddx=dx+C

Konzentriere dich jetzt auf das erste Integral.

a·sin(b·(x-c))dx

Der Faktor a interessiert dich nicht mehr, da er sich außerhalb des Integrals befindet. Anschließend musst du die Kettenregel anwenden, die innere und äußere Funktion definieren.

g(h(x))=sin(h(x)) und h(x)=b·(x-c)

Für die Stammfunktion benötigst du die Stammfunktion der äußeren Funktion g(h(x)) und die Ableitung der inneren Funktion h(x).

G(h(x))=-cos(h(x)) und h'(x)=b

Damit ergibt sich folgender Ausdruck:

a·sin(b·(x-c))dx=a·1h'(x)·G(h(x))+C=a·1b·(-cos(h(x)))+C=-ab·cos(b·(x-c))+C

Addierst du jetzt beide Integrale, ergibt sich folgende Stammfunktion:

F(x)=-ab·cos(b·(x-c))+dx+C

Sollte dir mal eine Funktion f(x) mit f(x)=4·sin(x2+3) begegnen, kannst du in diesem Fall nicht einfach die Stammfunktion bilden. Dieses Verfahren der Integration durch Substitution bzw. Kettenregel funktioniert nur, wenn eine lineare Substitution durchgeführt werden kann. Das bedeutet, dass die innere Ableitung h'(x) eine Konstante sein muss.

Schaue dir das folgende Beispiel an, um die Regel zu verinnerlichen.

Aufgabe 1

Bestimme die Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) mit f(x)=3·sin(2·(x-100))+9.

Lösung

Zuerst musst du den Parameter b identifizieren.

b=2

Als Nächstes brauchst du die Stammfunktion von Sinus – das ist der negative Kosinus. Damit erhältst du folgende Stammfunktion.

F(x)=-32·cos(2·(x-100))+9x+C

Stammfunktion der erweiterten Kosinusfunktion mit Parametern

Das Integrieren der erweiterten Kosinusfunktion verhält sich wie bei der erweiterten Sinusfunktion. Dementsprechend erhältst du folgende mathematische Definition:

Die Stammfunktion F(x) der erweiterten Kosinusfunktion f(x)=a·cos(b·(x-c))+d lautet:

F(x)=ab·sin(b·(x-c))+dx+C

Schau dir ein Beispiel an, um die Stammfunktion der erweiterten Kosinusfunktion direkt anzuwenden.

Aufgabe 2

Bestimme die Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) mit f(x)=20·cos(5x-30)+32.

Lösung

Zuerst musst du den Parameter b identifizieren. Dazu musst du innerhalb der inneren Funktion erst einmal ausklammern.

f(x)=20·cos(5(x-6))+32 b=5

Als Nächstes brauchst du die Stammfunktion von Kosinus – das ist der Sinus. Damit erhältst du folgende Stammfunktion:

F(x)=205·sin(5·(x-6))+32x+C=4·sin(5·(x-6))+32x+C

Zusammenfassend kannst du dir die folgende Tabelle ansehen:

SinusKosinus
Reine FunktionF(x)=-cos(x)F(x)=sin(x)
Erweiterte FunktionF(x)=-ab·cos(b·(x-c))+dx+CF(x)=ab·sin(b·(x-c))+dx+C

Aus Sinus wird Kosinus und aus Kosinus wird Sinus. Dies ist sowohl beim Ableiten als auch beim Integrieren der Fall. Wichtig ist nur, dass du am Ende immer die Vorzeichen kontrollierst.

Als Abschluss kannst du dir noch ein weiteres Beispiel anschauen.

Aufgabe 3

Berechne exakt das Integral π4πf(x)+g(x)dx mit f(x)=2·sin(3·(x-π))+5 und g(x)=6·cos(7·(x-3π2))+9.

Lösung

Wenn du die Funktionen f(x) und g(x) in das Integral einsetzt und beide Konstanten addierst, erhältst du folgendes Integral, das es zu lösen gilt:

π4π2·sin(3·(x-π))+6·cos(7·(x-3π2))+14dx

Nun kannst du dir die Eigenschaften des Integrals noch einmal in Erinnerung rufen.

Zur Erinnerung:

abf(x)+g(x)dx=abf(x)dx+abg(x)dx

Dadurch erhältst du folgenden Ausdruck:

π4π2·sin(3·(x-π))dx + π4π6·cos(7·(x-3π2))+14dx

Damit kannst du die neu erlernten Regeln für das Integrieren von trigonometrischen Funktionen anwenden. Zuerst ist es dabei hilfreich, die Parameter b zu identifizieren.

bsin=3 und bcos=7

Du weißt, dass die Stammfunktion des Sinus der negative Kosinus ist und die Stammfunktion des Kosinus der Sinus ist. Zur besseren Übersicht werden beide Integrale für f(x) und g(x) separat betrachtet.

π4πf(x)dx=[-23·cos(3·(x-π))]π4π=-23·cos(3·(4π-π))-(-23·cos(3·(π-π)))=-23·cos(9π)+23·cos(0)=-23·(-1)+23·1=43

Nun musst du noch das Integral für die Funktion g(x) bestimmen.

π4πg(x)dx=[67·sin(7·(x-3π2))+14x]π4π=67·sin(7·(4π-3π2))+14·4π-(67·sin(7·(π-3π2))+14·π)=67·sin(35π2)+56π-67·sin(-7π2)-14π=67·(-1)+56π-67·1-14π=-127+42π

Wenn du jetzt beide Integrale addierst, erhältst du das gesuchte Integral π4πf(x)+g(x)dx.

π4πf(x)+g(x)dx=π4πf(x)dx+π4πg(x)dx=43-127+42π=-821+42π131,57

Trigonometrische Funktionen integrieren Das Wichtigste

  • Die Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen wiederholen sich. Dies kannst du dir mithilfe des Integrationskreises merken.
  • Die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion lauten wie folgt:
    SinusKosinus
    Reine FunktionF(x)=-cos(x)F(x)=sin(x)
    Erweiterte FunktionF(x)=-ab·cos(b·(x-c))+dx+CF(x)=ab·sin(b·(x-c))+dx+C
  • Das Integrieren der Sinus- und Kosinusfunktion benötigst du, um Integrale zu lösen.
  • Die Stammfunktion F(x) der Tangensfunktion f(x)=tan(x) lautet: F(x)=-ln(cos(x))+C

Trigonometrische Funktionen integrieren

Die Stammfunktion der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion.
Die Stammfunktion der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion.

Die Stammfunktion der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion.

Da die Stammfunktion der Kosinusfunktion die Sinusfunktion ist, ist die Stammfunktion der negativen Kosinusfunktion auch die negative Sinusfunktion.

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