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Es wird zwischen Extremstellen, Extremwerten und Extrempunkten unterschieden:Als einen Extremwert bezeichnet man einen Funktionswertfx0 einer Funktion f(x), wenn:fx0 ein lokales Maximum von f ist, das heißt, es gibt eine Umgebung Ux0, sodass für alle Werte x∈Ux0 gilt: f(x)≤fx0.fx0 ein lokales Minimum von f ist, das heißt, es gibt eine Umgebung Ux0, sodass für alle Werte x∈Ux0 gilt: f(x)≥fx0.Der x-Wert x0 wird dann als Extremstelle bezeichnet.Der Punkt…
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Jetzt kostenlos anmeldenAls einen Extremwert bezeichnet man einen Funktionswert einer Funktion f(x), wenn:
Der x-Wert wird dann als Extremstelle bezeichnet.
Der Punkt ist dann ein Extrempunkt, und zwar:
Ein Extremwert ist also ein Funktionswert, der sich für einen eingesetzten x-Wert berechnen lässt. Er ist also ein y-Wert.
Dabei unterscheidet man zwischen lokalen Maxima und lokalen Minima und betrachtet für diese Unterscheidung immer eine Umgebung des eingesetzten x-Werts. Diese Umgebung ist nichts anderes als ein kleines Intervall der x-Achse.
Ist mein x-Wert zwei, so wäre eine Umgebung beispielsweise das Intervall .
Sind nun die Funktionswerte für alle x-Werte aus dem Intervall I kleiner oder gleich dem Funktionswert , also der Funktionswert an der Stelle zwei am größten, dann spricht man von einem lokalen Maximum.
Sind diese Funktionswerte dagegen alle größer oder gleich dem Funktionswert , dann spricht man von einem lokalen Minimum.
Man spricht von lokalen Extremstellen, weil man sich nur die kleine Umgebung um die Stelle anschaut. Sind alle Funktionswerte des gesamten Definitionsbereichs größer oder kleiner als der Wert , dann spricht man von einem globalen Maximum oder globalen Minimum.
Im Unterschied zum Extremwert ist eine Extremstelle dann der x-Wert.
Der Extrempunkt ist das Paar aus Extremstelle und Extremwert, also x-Wert und y-Wert. Ist der Extremwert ein lokales Maximum, so ist der Extrempunkt ein Hochpunkt. Der Funktionsgraph hat dort also eine Spitze. Ist der Extremwert ein lokales Minimum, so ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt und der Graph hat ein Tal.
In folgender Grafik siehst du noch mal die Unterschiede genauer:
Wenn du einen Extrempunkt bestimmen musst, benötigst du die Ableitungen der jeweiligen Funktion.
Lies dir hierzu gerne nochmal unsere Artikel zum Thema Ableitung durch!
Um festzustellen, ob ein Funktionswert eine Extremstelle ist, gibt es verschiedene Bedingungen. Mit ihnen überprüfst du in ein paar Schritten, ob es sich um eine Extremstelle handelt oder nicht. Es gibt eine notwendige Bedingung und zwei hinreichende Bedingungen.
Eine notwendige Bedingung ist die Voraussetzung dafür, dass eine bestimmte Eigenschaft vorliegen kann. Erfüllt also eine Funktion f(x) zu einem bestimmten x-Wert nicht die notwendige Bedingung für Extremstellen, dann kann dieser x-Wert keine Extremstelle sein.
Aus einer hinreichenden Bedingung folgt dagegen direkt die Eigenschaft. Erfüllt also ein x-Wert eine hinreichende Bedingung für Extremstellen, so weißt du direkt, dass dieser x-Wert eine Extremstelle ist.
Wenn die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist, so kann auch die hinreichende Bedingung nicht erfüllt werden. Ist die hinreichende Bedingung aber erfüllt, ist automatisch auch die notwendige Bedingung erfüllt.
Folgende notwendige Bedingung muss in jedem Fall erfüllt sein:
Ist eine Funktion f(x) in einer Umgebung von differenzierbar, und ist eine Extremstelle, dann gilt:
Die Ableitung der Funktion spiegelt die Steigung der Tangente wider. Die Definition sagt also aus, dass an der Stelle die Steigung der Tangente gleich null sein muss. Nur dann wäre es überhaupt möglich, dass es sich um eine Extremstelle handelt.
Dass die Steigung der Tangente an einem Extrempunkt immer gleich null sein muss, siehst du hier an einem Graphen veranschaulicht:
Im Folgenden findest du die beiden hinreichenden Bedingungen:
Erste hinreichende Bedingung:
Ist eine Nullstelle von f' mit Vorzeichenwechsel, dann ist ein lokales Extremum.
Zweite hinreichende Bedingung:
Gilt und , dann liegt ein lokales Extremum bei vor.
Es gibt also zwei verschiedene Bedingungen, mit denen man überprüfen kann, ob es sich um eine lokale Extremstelle handelt. Dabei ist es egal, welche der beiden Bedingungen du prüfst.
Die erste hinreichende Bedingung sagt Folgendes aus: Da die erste Ableitung die Steigung der Funktion angibt, sind die Extremstellen der Funktion eine Nullstelle der Ableitung, da die Steigung dort ja gleich null ist.
Wenn also eine Nullstelle der Ableitung von der Funktion f(x) ist, dann kann es sich bei um eine Extremstelle handeln. Es ist aber noch zu prüfen, ob die Ableitung an der Stelle ihr Vorzeichen wechselt, also beispielsweise vor negativ ist und danach positiv. Ist das nicht der Fall, ändert sich ja das Steigungsverhalten der Funktion nicht und es liegt auch kein Extrempunkt vor.
In der folgenden Abbildung siehst du die Funktion und ihre Ableitung . hat an der Stelle ein lokales Minimum, denn die Ableitung hat an der Stelle eine Nullstelle und ist vor der Nullstelle negativ, und danach positiv.
Die folgende Abbildung zeigt die Funktion und ihre Ableitung . Die Ableitung hat zwar auch an der Stelle eine Nullstelle, ist aber sowohl vor der Nullstelle als auch nach der Nullstelle positiv. Deshalb ändert sich das Steigungsverhalten der Funktion auch nicht und hat an der Stelle kein lokales Extremum.
Wenn du diesen Punkt mit dem Vorzeichenwechsel irritierend findest, empfiehlt sich die zweite hinreichende Bedingung.
Durch die Betrachtung der zweiten Ableitung an der Stelle ermittelst du, ob die Ableitung an der Stelle einen Extrempunkt haben kann. Ist die zweite Ableitung ungleich null (was wir ja wollen), dann kann wegen der notwendigen Bedingung für Extrempunkte die erste Ableitung an der Stelle kein Extremum haben. muss also einen Vorzeichenwechsel haben, da ist. Und damit wären wir wieder bei der ersten hinreichenden Bedingung.
Im Folgenden lernst du die spezifische Berechnung der Extremstellen, Extremwerten und Extrempunkten.
Der Hochpunkt ist der höchste Punkt eines Funktionsgraphen in einer kleinen Umgebung. Er hat in dieser Umgebung den größten y-Wert.
Ein Hochpunkt sieht zum Beispiel so aus:
Handelt es sich bei einem Extrempunkt um einen Hochpunkt, dann steigt der Funktionsgraph vor dem Hochpunkt und fällt danach wieder.
Bei der Ableitung findet also ein Vorzeichenwechsel statt: Vor dem Extremwert ist die Ableitung positiv, nach dem Extremwert ist sie negativ.
Die hinreichenden Bedingungen für lokale Maxima sind also:
Erste hinreichende Bedingung:
Ist eine Nullstelle von mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ, dann ist ein lokales Maximum.
Zweite hinreichende Bedingung:
Gilt und , dann liegt ein lokales Maximum bei vor.
Der Tiefpunkt stellt das Gegenteil von einem Hochpunkt dar.
Das sieht folgendermaßen aus:
Handelt es sich bei einem Extrempunkt um einen Tiefpunkt, dann verhält sich der Funktionsgraph genau verkehrt herum als ein Hochpunkt: Er fällt vor dem Tiefpunkt und steigt danach wieder.
Bei der Ableitung findet also ein Vorzeichenwechsel statt: Vor dem Extremwert ist die Ableitung negativ, nach dem Extremwert ist sie positiv.
Die hinreichenden Bedingungen für lokale Minima sind also:
Erste hinreichende Bedingung:
Ist eine Nullstelle von mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv, dann ist ein lokales Minimum.
Zweite hinreichende Bedingung:
Gilt und , dann liegt ein lokales Minimum bei vor.
Um lokale Extremwerte – egal welcher Art – zu bestimmen, kannst du in den folgenden Schritten vorgehen:
Du kannst dir besser einprägen, wann ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, wenn du dir merkst, dass es immer das Gegenteil ist. Also wenn größer als null ist, ist es ein Tiefpunkt. Wenn es kleiner als null ist, ist es ein Hochpunkt.
Um zu testen, wie gut du den Hoch- und Tiefpunkt schon verstanden hast, kannst du hier eine Aufgabe bearbeiten!
Gegeben ist folgende Funktion .
Bestimme alle Extrempunkte der Funktion f(x). Gib auch an, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
Um auf die Extrempunkte der Funktion f(x) zu kommen, musst du das Verfahren anwenden, das du oben in den Schritten gelernt hast.
1. Du beginnst damit, die erste und zweite Ableitung der Funktion zu bilden:
2. Du nutzt die notwendige Bedingung und berechnest die Nullstellen der ersten Ableitung. Dazu kann die p-q-Formel benutzt werden. Das p ist hier die -4 und das q die 3:
Als Nullstellen erhältst du und .
3. Nun setzt du jeweils die x-Werte in die zweite Ableitung ein, um zu prüfen, ob es sich hier um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt:
Die Rechnung zeigt, dass die Funktion f(x) an der Stelle einen Tiefpunkt hat, da das Ergebnis größer als null ist.
Auch wird gezeigt, dass es an der Stelle einen Hochpunkt gibt, da das Ergebnis kleiner als null ist.
4. Um die y-Koordinaten zu erhalten, werden die Werte in die Funktion eingesetzt.
Damit hast du die Koordinaten der lokalen Extrempunkte bestimmt: Die Funktion hat einen Hochpunkt bei und einen Tiefpunkt bei .
Hier siehst du eine Abbildung der Funktion f(x):
Bei den Extremwerten einer Funktion f(x) unterscheidest du zwischen lokalen und globalen Extremwerten.
Eine Funktion f(x) kann mehrere lokale Extremwerte haben, jedoch nur ein globales Maximum und ein globales Minimum.
heißt globales Maximum von f, wenn für alle gilt: .
heißt globales Minimum von f, wenn für alle gilt: .
Eine globale Extremstelle beschreibt also den höchsten beziehungsweise niedrigsten Punkt der gesamten Funktion f(x).
Eine lokale Extremstelle hingegen beschreibt jedoch nur einen Extremwert in unmittelbarer Nähe oder einem bestimmten Funktionsabschnitt.
Im unteren Graph siehst du den Unterschied zwischen global und lokal:
Neben Extrempunkten der Funktion gibt es auch Extrempunkte der ersten Ableitung. Dazu zählt der Wendepunkt und sein Sonderfall, der Sattelpunkt.
Neben Extrempunkten der Funktion gibt es auch Extrempunkte der ersten Ableitung. Dazu zählt der Wendepunkt und sein Sonderfall, der Sattelpunkt.
Wir beginnen damit, uns erstmal anzusehen, welche Funktion einen Wendepunkt hat und wie wir ihn definieren:
Ein Wendepunkt einer Funktion ist ein Punkt, an dem der Graph der Funktion sein Krümmungsverhalten ändert.
Das ist zum Beispiel dann der Fall, wenn sie ihren Verlauf von rechts gekrümmt auf links gekrümmt wechselt.
Hier siehst du eine Abbildung, wo die Funktion f(x) sich bei dem Wendepunkt W von rechts gekrümmt auf links gekrümmt ändert!
Um herauszufinden, ob ein Punkt ein Wendepunkt ist, gibt es auch zwei Bedingungen. Diese sind:
Um einen Wendepunkt zu bestimmen, führst du folgende Schritte durch:
Übrigens: Auf diesem Weg kannst du auch berechnen, wie genau sich die Krümmung ändert, z. B. von links auf rechts gekrümmt oder eben andersherum!
Das ganze Verfahren gehen wir nun anhand einer Aufgabe durch, bei der du dich nochmal testen kannst!
Gegeben ist Funktion . Prüfe, ob Wendepunkte hat, und ermittle deren Koordinaten.
1. Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion f(x):
2. Setze die zweite Ableitung gleich null und löse nach x auf:
3. Nun setze den x-Wert in die dritte Ableitung ein:
Da die dritte Ableitung ungleich null ist, handelt es sich um einen Wendepunkt an der Stelle null.
4. Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in die Funktion f(x) einsetzt:
Du weißt nun, dass es einen Wendepunkt an der Stelle gibt. Hier siehst du erneut den dazugehörigen Graphen mit dem Wendepunkt W:
Der Sattelpunkt ist ein Sonderfall eines Wendepunktes.
Die Steigung ist an diesem Punkt gleich null.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt einer Kurve, der eine horizontal verlaufene Tangente hat.
Da der Sattelpunkt nur ein Sonderfall eines Wendepunktes ist, ist das Verfahren für die Berechnung eines Sattelpunktes grundsätzlich gleich zu dem eines Wendepunktes. Zusätzlich muss jedoch die erste Ableitung gleich null sein, also . Dies ist die Voraussetzung für eine waagerechte Tangente.
Wenn du noch mehr zum Sattelpunkt erfahren möchtest, oder dir nochmal anschauen möchtest, was der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einem Sattelpunkt ist, dann schau dir mal unseren Artikel dazu an!
Ein Sattelpunkt erfüllt die notwendige Bedingung für Extrema, denn ist erfüllt.
Jedoch wird keine der beiden hinreichenden Bedingungen erfüllt.
Am Sattelpunkt wird also insbesondere deutlich, dass ein Punkt die notwendige Bedingung erfüllen kann, ohne ein Extrempunkt zu sein. Nur die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist daher nicht ausreichend!
Das Maximum einer Funktion berechnest du indem du die ersten beiden Ableitungen bildest und die erste gleich null setzt. Der dabei herausgekommene x-Wert muss nun in die zweite Ableitung eingesetzt werden. Wenn das Ergebnis kleiner als 0 ist, handelt es sich um einen Hochpunkt.
Wir bestimmen einen Hoch oder Tiefpunkt immer mit den dazugehörigen Koordinaten. Also z.B H ( x l y )
Die Berechnung von lokalen Extremstellen unterscheidet sich nicht von der Berechnung eines Hoch- oder Tiefpunktes. Anschließend muss man nur prüfen, ob es im weiteren Verlauf der Funktion noch weitere Extremstellen gibt.
Hochpunkte erkennst du oft, da sie aussehen wie ein Hügel. Ein Tiefpunkt sieht aus wie ein U.
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