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Partialbruchzerlegung – Erklärung
Die Partialbruchzerlegung zerlegt eine echt-gebrochenrationale Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) mit dem Zählerpolynom \(g(x)\) und dem Nennerpolynom \(h(x)\) in eine Summe aus Partialbrüchen.
Für eine echt-gebrochenrationale Funktion gilt: Zählergrad < Nennergrad. In der Erklärung „Gebrochenrationale Funktionen“ kannst Du alles rund um diesen Funktionstyp nachlesen.
Hast Du eine echt-gebrochenrationale Funktion \(f(x)\) vorliegen, so kannst Du diese Funktion durch die Partialbruchzerlegung in eine andere Form umformen. Als Summe von Partialbrüchen kannst Du die Funktion \(f(x)\) dann zum Beispiel über Grund- und Stammintegrale integrieren.
Wie kannst Du die Partialbruchzerlegung bei einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x)\) anwenden?
Partialbruchzerlegung – Vorgehen
Für das Vorgehen der Partialbruchzerlegung muss zunächst überprüft werden, ob es sich bei der gebrochenrationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) um eine echt-gebrochenrationale oder unecht-gebrochenrationale Funktion handelt.
Liegt eine unecht-gebrochenrationale Funktion \(f(x)\) vor, so muss diese zunächst in einen ganzrationalen Anteil und einen echt-gebrochenrationalen Anteil zerlegt werden. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Polynomdivision“.
Damit Du eine echt-gebrochenrationale Funktion in eine Summe aus Partialbrüchen zerlegst, kannst Du verschiedene Schritte anwenden.
Partialbruchzerlegung – Schritte
Die Partialbruchzerlegung einer echt-gebrochenrationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) lässt sich über folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung durchführen:
\(1.\) Nullstellen \(x_0\) des Nennerpolynoms \(h(x)\) ermitteln
\(2.\) Funktion \(f(x)\) mit faktorisiertem Nennerpolynom \(h(x)\) aufstellen
\(3.\) Partialbrüche nach Häufigkeit der Nullstellen aufstellen
\(4.\) Funktion \(\frac{g(x)}{h(x)}\) und die Summe aller Partialbrüche gleichsetzen
\(5.\) Brüche auf einen Hauptnenner bringen
\(6.\) Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner
\(7.\) Koeffizienten \(A,\,A_1,\,...\,A_n\) bestimmen durch Koeffizientenvergleich
\(8.\) Koeffizienten einsetzen und Funktion \(f(x)\) als Summe von Partialbrüchen darstellen
Je nach Häufigkeit der Nullstellen des Nennerpolynoms wird der Partialbruch entsprechend aufgestellt.
Partialbruchzerlegung – Nullstelle
Bei der Partialbruchzerlegung entscheidet die Häufigkeit der Nullstellen des Nennerpolynoms \(h(x)\) einer echt-gebrochenrationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) darüber, in welcher Form der Partialbruch aufgestellt wird.
Anzahl Nullstelle | Partialbruch |
| \[\dfrac{A}{x-x_0}\] |
| \[\dfrac{A_1}{x-x_0}+\dfrac{A_2}{(x-x_0)^2}\] |
| \[\dfrac{A_1}{x-x_0}+\dfrac{A_2}{(x-x_0)^2}+\cdots +\dfrac{A_r}{(x-x_0)^r}\] |
Gibt es im Nennerpolynom keine reellen Nullstellen, dann wird der Partialbruch über einen quadratischen Faktor angegeben. Sieh Dir dazu die Vertiefung an!
Ergibt das Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2+px+q=0\) keine reellen Nullstellen (Diskriminante < \(0\)), dann wird der Partialbruch wie folgt angegeben:
| Anzahl Nullstelle | Partialbruch |
| \[\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}\] |
| \[\dfrac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\cdots +\dfrac{B_rx+C_r}{(x^2+px+q)^r}\] |
Wie Du die Schritt-für-Schritt-Anleitung an einem konkreten Beispiel nutzen kannst, erfährst Du jetzt.
Partialbruchzerlegung – Beispiel
Mit der Schritt-für-Schritt-Anleitung kannst Du die Partialbruchzerlegung bei einem Beispiel mit einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) durchführen.
Die echt-gebrochenrationale Funktion \(f(x)=\dfrac{x-1}{x^2+4x+3}\) soll mithilfe der Partialbruchzerlegung in Partialbrüche zerlegt werden.
Abb. 1 - Echt-gebrochenrationale Funktion \(f(x)\).
Lösung
Zur Zerlegung der Beispielfunktion \(f(x)\) in Partialbrüche wird die Schritt-für-Schritt-Anleitung der Partialbruchzerlegung genutzt.
| Schritt-für-Schritt-Anleitung | Umformung der Funktion \(f(x)\) |
| \(1.\) Nullstellen \(x_0\) des Nennerpolynoms \(h(x)\) ermitteln | \begin{align}h(x)=x^2+4x+3=0\\[0.2cm]\rightarrow \hspace{0.5cm} x_1=-1 \hspace{1cm}x_2=-3\end{align} Die Nullstellen lassen sich beispielsweise über die „pq-Formel“ ermitteln. Mehr dazu erfährst Du im Artikel „Nullstellen berechnen quadratische Funktion“. |
| \(2.\) Funktion \(f(x)\) mit faktorisiertem Nennerpolynom \(h(x)\) aufstellen | \[f(x)=\frac{x-1}{x^2+4x+3}=\frac{x-1}{(x+1)(x+3)}\] |
| \(3.\) Partialbrüche nach Häufigkeit der Nullstellen aufstellen | einfache Nullstelle \(x_1=-1\): \(\dfrac{A}{x+1}\)einfache Nullstelle \(x_2=-3\): \(\dfrac{B}{x+3}\) |
| \(4.\) Funktion \(\frac{g(x)}{h(x)}\) und die Summe aller Partialbrüche gleichsetzen | \[\frac{x-1}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+3}\] |
| \(5.\) Brüche auf einen Hauptnenner bringen | \begin{align}\frac{x-1}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{A \cdot {\color{#00DCB4}(x+3)}}{(x+1){\color{#00DCB4}(x+3)}}+\dfrac{B\cdot{\color{#1478C8}(x+1)} }{(x+3){\color{#1478C8}(x+1)}}\end{align} |
| \(6.\) Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner | \[x-1=A(x+3)+B(x+1)\] Durch Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner können die Nenner jeweils weggekürzt werden. |
| \(7.\) Koeffizienten \(A\) und \(B\) bestimmen durch Koeffizientenvergleich | \begin{align}x-1&=A(x+3)+B(x+1)\\[0.1cm]x-1&=Ax+3A+Bx+1B\\[0.1cm]{\color{#FA3273}1}x\,{\color{#8363E2}-\,1}&={\color{#FA3273}(A+B)}x+{\color{#8363E2}(3A+1B)}\end{align}Die markierten Koeffizienten werden verglichen und ein Gleichungssystem aufgestellt.\begin{align}I.\hspace{0.5cm}{\color{#FA3273}1}&={\color{#FA3273}A+B} \,\,\,\Leftrightarrow B=1-A\\[0.1cm]II.\hspace{0.4cm}{\color{#8363E2}-\,1}&={\color{#8363E2}3A+B}\end{align}Das Lösen des Gleichungssystem ergibt:\begin{align}I.\,\text{in}\,II.\hspace{0.5cm}-1&=3A+1-A\\[0.1cm]-1&=2A+1\hspace{1cm}|\,-1\\[0.1cm]-2&=2A\hspace{1.85cm}|\,:2\\[0.1cm]{\color{#FFCD00}-1}&=A\end{align}Einsetzen von \(A\) führt zu:\[B=1-A=1--1={\color{#1478C8}2}\] |
| \(8.\) Koeffizienten einsetzen und Funktion \(f(x)\) als Summe von Partialbrüchen darstellen | \begin{align}f(x)=\frac{x-1}{x^2+4x+3}&=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+3}\\[0.2cm]&={\color{#FFCD00}-}\frac{{\color{#FFCD00}1}}{x+1}+\frac{{\color{#1478C8}2}}{x+3}\end{align} |
Hast Du Lust, direkt noch ein paar Übungsaufgaben zur Partialbruchzerlegung zu meistern? Dann auf zum nächsten Kapitel!
Partialbruchzerlegung – Aufgaben mit Lösung
Um bei einer Aufgabe eine Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) mit der Partialbruchzerlegung umzuformen, musst Du zunächst überprüfen, ob es sich um eine echt-gebrochenrationale oder unecht-gebrochenrationale Funktion handelt. Eine echt-gebrochenrationale Funktion kannst Du dann mit der Schritt-für-Schritt-Anleitung umformen.
Partialbruchzerlegung Aufgabe 1 – Partialbrüche aufstellen
Die Häufigkeit der Nullstellen des Nennerpolynoms \(h(x)\) einer echt-gebrochenrationalen Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) entscheidet über die Angabe der Partialbrüche.
Aufgabe 1
Stelle die Summe von Partialbrüchen für eine echt-gebrochenrationale Funktion \(f(x)\) auf, dessen Nennernullstellen sich bei \({\color{#1478C8}x_1=-2}\), \({\color{#00DCB4}x_{2,3}=1}\) und \({\color{#FA3273}x_4=2}\) befinden.
Lösung
Die Funktion \(f(x)\) besitzt zwei einfache Nennernullstellen und eine doppelte Nullstelle. Somit lauten die Partialbrüche:
\[f(x)={\color{#1478C8}\frac{A}{x+2}}+{\color{#00DCB4}\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}}+{\color{#FA3273}\frac{B}{x-2}}\]
Die Koeffizienten können auch auf andere Art benannt werden.
Hast Du die Partialbrüche aufgestellt, dann kannst Du die Koeffizienten bestimmen. Sieh Dir dazu folgende Aufgabe an.
Partialbruchzerlegung Aufgabe 2 – Koeffizienten bestimmen
Die Koeffizienten der Partialbrüche lassen sich bei der Partialbruchzerlegung über einen Koeffizientenvergleich bestimmen.
Aufgabe 2
Für die Funktion \(f(x)=\frac{x^2-3x-6}{x^3+5x^2+7x+3}\) wurden die Partialbrüche mithilfe der Nennernullstellen wie folgt aufgestellt.
\[f(x)=\frac{x^2-3x-6}{(x+3)(x+1)^2}=\frac{A}{x+3}+\frac{A_1}{x+1}+\frac{A_2}{(x+1)^2}\]
Berechne die Koeffizienten \(A\), \(A_1\) und \(A_2\).
Lösung
Zur Bestimmung der Koeffizienten hilft die Schritt-für-Schritt-Anleitung der Partialbruchzerlegung ab Schritt \(5\).
| Schritt-für-Schritt-Anleitung | Umformung der Funktion \(f(x)\) |
| \(5.\) Brüche auf einenHauptnenner bringen | \[\frac{x^2-3x-6}{(x+3)(x+1)^2}=\frac{A{\color{#1478C8}(x+1)^2}}{(x+3){\color{#1478C8}(x+1)^2}}+\frac{A_1{\color{#00DCB4}(x+3)(x+1)}}{(x+1){\color{#00DCB4}(x+3)(x+1)}}+\frac{A_2{\color{#FA3273}(x+3)}}{(x+1)^2{\color{#FA3273}(x+3)}}\] |
| \(6.\) Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner | \[x^2-3x-6=A(x+1)^2+A_1(x+3)(x+1)+A_2(x+3)\] Durch Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner können die Nenner jeweils weggekürzt werden. |
| \(7.\) Koeffizienten \(A\), \(A_1\) und \(A_2\) bestimmen durch Koeffizientenvergleich | \begin{align}x^2-3x-6&=A(x+1)^2+A_1(x+3)(x+1)+A_2(x+3)\\[0.1cm]x^2-3x-6&=Ax^2+2Ax+A+A_1x^2+4A_1x+3A_1+A_2x+3A_2\\[0.1cm]{\color{#FA3273}1}x^2\,{\color{#8363E2}-\,3}x{\color{#FFCD00}\,-6}&={\color{#FA3273}(A+A_1)}x^2+{\color{#8363E2}(2A+4A_1+A_2)}x+{\color{#FFCD00}(A+3A_1+3A_2)}\end{align}Die markierten Koeffizienten werden verglichen und ein Gleichungssystem aufgestellt.\begin{align}I.\hspace{0.5cm}{\color{#FA3273}1}&={\color{#FA3273}A+A_1} \,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, A_1=1-A\\[0.1cm]II.{\color{#8363E2}-\,3}&={\color{#8363E2}2A+4A_1+A_2}\\[0.1cm]III.\hspace{0.18cm}{\color{#FFCD00}-6}&={\color{#FFCD00}A+3A_1+3A_2}\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,A_2=-2-A_1-\frac{1}{3}\cdot A\end{align}Das Lösen des Gleichungssystem ergibt:\begin{align}I.\,\text{und}\,II. \,\text{in}\,III.\hspace{0.5cm}-3&=2A+4(1-A)-2-(1-A)-\frac{1}{3}\cdot A\\[0.1cm]-3&=2 A+4-4A-2-1+A-\frac{1}{3}\cdot A\\[0.1cm]-3&=-\frac{4}{3}\cdot A+1\hspace{2cm}|\,-1\,\,|\,:-\frac{4}{3}\\[0.1cm]A&=3\end{align}Einsetzen von \(A\) führt zu:\begin{align}A_1&=1-A=1-3=-2\\[0.2cm]A_2&=-2-A_1-\frac{1}{3}\cdot A=-2-(-2)-\frac{1}{3}\cdot 3=-1\end{align} |
| \(8.\) Koeffizienten einsetzen | \begin{align}f(x)=\frac{x^2-3x-6}{(x+3)(x+1)^2}=\frac{3}{x+3}-\frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\end{align} |
Weitere Übungsaufgaben findest Du in den zugehörigen Karteikarten zur Partialbruchzerlegung.
Partialbruchzerlegung – Das Wichtigste
- Die Partialbruchzerlegung zerlegt eine echt-gebrochenrationale Funktion \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) mit dem Zählerpolynom \(g(x)\) und dem Nennerpolynom \(h(x)\) in eine Summe aus Partialbrüchen.
- Das Vorgehen der Partialbruchzerlegung gliedert sich in folgende Schritte:
- \(1.\) Nullstellen \(x_0\) des Nennerpolynoms \(h(x)\) ermitteln
- \(2.\) Funktion \(f(x)\) mit faktorisiertem Nennerpolynom \(h(x)\) aufstellen
- \(3.\) Partialbrüche nach Häufigkeit der Nullstellen aufstellen
- \(4.\) Funktion \(\frac{g(x)}{h(x)}\) und die Summe aller Partialbrüche gleichsetzen
- \(5.\) Brüche auf einen Hauptnenner bringen
- \(6.\) Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner
- \(7.\) Koeffizienten \(A,\,A_1,\,...\,A_n\) bestimmen durch Koeffizientenvergleich
- \(8.\) Koeffizienten einsetzen und Funktion \(f(x)\) als Summe von Partialbrüchen darstellen
- Die Häufigkeit der Nullstellen des Nennerpolynoms \(h(x)\) entscheidet über die Darstellung der Partialbrüche.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Partialbruchzerlegung
Wann wird die Partialbruchzerlegung verwendet?
Die Partialbruchzerlegung wird verwendet bei echt-gebrochenrationalen Funktionen, um die Funktion in eine Summe aus Partialbrüchen umzuformen.
Warum Partialbruchzerlegung?
Eine Partialbruchzerlegung dient dazu, eine echt-gebrochenrationale Funktion f(x) in eine Summe aus Partialbrüchen zu zerlegen. In dieser Form lässt sich die Funktion beispielsweise schneller integrieren.
Wie funktioniert die Partialbruchzerlegung?
Bei der Partialbruchzerlegung bietet sich die Schritt-für-Schritt-Anleitung an:
1. Nullstellen des Nennerpolynoms ermitteln
2. Funktion f(x) mit faktorisiertem Nennerpolynom aufstellen
3. Partialbrüche nach Häufigkeit der Nullstellen aufstellen
4. Funktion in faktorisierte Form und die Summe aller Partialbrüche gleichsetzen
5. Brüche auf einen Hauptnenner bringen
6. Multiplikation aller Brüche mit dem Hauptnenner
7. Koeffizienten der Partialbrüche bestimmen durch Koeffizientenvergleich
8. Koeffizienten in die Partialbrüche einsetzen
Wann Polynomdivision und wann Partialbruchzerlegung?
Eine Partialbruchzerlegung wird bei echt-gebrochenrationalen Funktionen angewandt. Liegt eine unecht-gebrochenrationale Funktion vor, so kann diese durch Polynomdivision in einen ganzrationalen Teil und einen echt-gebrochenrationalen Anteil zerlegt werden.
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