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Du möchtest eine gebrochen-rationale Funktion integrieren und bist dir nicht sicher, wie du dabei vorgehst? Hier lernst du, was eine Partialbruchzerlegung ist und wie du sie in diesem Zusammenhang anwendest.
Die Basis für die Partialbruchzerlegung bilden die gebrochen-rationalen Funktionen.
Im Folgenden findest du die wichtigsten Informationen zu gebrochen-rationalen Funktionen, die für dich im Zusammenhang mit der Partialbruchzerlegung relevant sind.
Eine gebrochen-rationale Funktion f(x) ist als Quotient zweier Polynomfunktionen p(x) und q(x) darstellbar:
Dabei sind p und q ganz-rationale Funktionen.
Genauso wie bei den ganz-rationalen Funktionen sind bei den gebrochen-rationalen Funktionen das Vorzeichen und der Grad der Funktion von großer Bedeutung.
Gebrochen-rationale Funktionen sind also Brüche, deren Zähler und Nenner jeweils aus einem Polynom besteht:
Beim Betrachten des Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion fällt auf, dass dieser nicht durchgängig ist, sondern eine (manchmal auch mehrere) Lücken aufweist. Diese Lücke entsteht, weil an dieser Stelle durch 0 geteilt werden würde. Das geht allerdings nicht, denn durch 0 kann nicht geteilt werden. Mathematisch sagt man, dass die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist. Ansonsten nennt man diese Lücken auch Polstellen.
Nullstellen des Nenners q(x) sind Definitionslücken und mögliche Polstellen der Funktion f (x).
Eine Definitionslücke (Nullstelle des Nenners) heißt Polstelle, falls
Es wird zwischen echt gebrochenen und unecht gebrochenen-rationalen Funktionen unterschieden.
Bei den echt gebrochenen ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad.
Wie du siehst, ist hier der Zählergrad 2 kleiner als der Nennergrad 3. Damit handelt es sich um eine echt gebrochen-rationale Funktion.
Bei den unecht gebrochenen ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad.
Hier liegt eine unecht gebrochen-rationale Funktion vor, denn der Zählergrad ist 3 und der Nennergrad 1.
Du kannst jede unecht gebrochen-rationale Funktion durch Polynomdivision als Summe einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochen-rationalen Funktion darstellen.
Ist der
, so musst du zunächst eine Polynomdivision mit dem gesamten Nenner durchführen. Als Lösung erhältst du einen Bruch, bei dem der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist.
Falls du dir nicht mehr sicher bist wie das Ganze funktioniert schau dir doch nochmal unseren Artikel zur Polynomdivision an.
Mithilfe der Partialbruchzerlegung können Funktionen integriert werden. Im Folgenden erfährst du, wann du eine Partialbruchzerlegung machst und welche Schritte du durchführen musst.
Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung lassen sich komplizierte gebrochen-rationale Funktionen in eine Summe von Teilbrüchen (Partialbrüche) zerlegen. Dafür schreibst du das Nennerpolynom mit Linearfaktoren und teilst diese dann in Partialbrüche auf. Im Zähler kommt jeweils eine Konstante dazu.
Es ist für dich vor allem deshalb interessant, weil du in dieser Darstellung wesentlich einfacher und schneller mit den rationalen Funktionen arbeiten kannst.
Weil du die Stammfunktion von so einem komplizierten Bruch nicht so einfach bilden kannst, versuchst du den Bruch zu vereinfachen.
Hierfür findest du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung:
Die Idee hinter der Partialbruchzerlegung ist folgende:
Um Brüche leichter integrieren zu können, wirst du den Bruch vereinfachen müssen. Hier kommt die Partialbruchzerlegung zum Einsatz, um den Nenner unkomplizierter zu machen. Dafür musst du die schwierigen Polynomausdrücke im Nenner zerlegen. Das funktioniert immer, wenn sie Nullstellen haben.
Wenn du eine Partialbruchzerlegung durchführst, gehst du so vor:
Damit du jeden einzelnen Schritt besser verstehst, ist im Folgenden jeder Schritt mit einem Beispiel versehen.
Gegeben ist dir die folgende Funktion f(x):
Zunächst vergleichst du den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners. Du betrachtest dafür jeweils den höchsten vorkommenden Exponenten. Wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, hast du eine echt gebrochen-rationale Funktion vor dir und du kannst mit dem nächsten Schritt fortfahren. Ansonsten musst du durch Polynomdivision die Funktion f(x) als Summe eines Polynoms und einer rationalen Funktion darstellen.
Im vorliegenden Beispiel musst du keine Polynomdivision durchführen, da der Zählergrad 2 < Nennergrad 3 ist und es somit eine echt gebrochen-rationale Funktion ist.
Der Zähler hat den Grad 3 (höchste vorkommende Potenz ist 3) und der Nenner den Grad 2 (höchste vorkommende Potenz ist 2). Eine Polynomdivision wird nötig sein.
Um die echt gebrochen-rationale Funktion in Partialbrüche zu zerlegen, musst du zunächst das Nennerpolynom in die Primfaktoren aufspalten. Dieser Schritt ist einfacher, wenn dir die Nullstellen des Nennerpolynoms mit ihrer Vielfachheit bekannt sind. Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms kannst du mit der p-q-Formel überprüfen. Alles was einen höheren Grad besitzt: Ausklammern, Polynomdivision etc..
Achte im nächsten Schritt darauf, die Vielfachheit der Nullstellen mit einzubeziehen.
Jede ganz-rationale Zahl n-ten Grades kann als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden:
Um nun die Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) der Beispielfunktion zu ermitteln, klammerst du zunächst ein x aus:
Nach dem Satz des Nullproduktes wird dieses x Null und du hast die erste Nullstelle gefunden: 
.
Im Zusammenhang mit der Polynomdivision musst du zu Beginn immer eine Nullstelle erraten.
Falls du dir bei der Polynomdivision nicht mehr sicher bist, schau dir doch den Artikel dazu an.
Genau das Gleiche machen wir nun ebenso mit dem Term 
. Die geratene Nullstelle lautet 
. Jetzt können wir auch hier die Nullstelle ausklammern:
Jetzt liegt dir noch eine quadratische Funktion vor. Mit der p-q-Formel kannst du nun die Nullstellen berechnen.
Da die Diskriminante negativ ist, hat das Nennerpolynom keine reellen Nullstellen, sondern komplexe.
Die Primfaktorzerlegung des Nennerpolynoms lautet:
→ 
Jetzt faktorisierst du den Nenner. Ordne dafür in der Primfaktorzerlegung von q(x) jedem Faktor wie folgt einen Partialbruch zu. Jede Nullstelle des Nenners erhält einen eigenen Bruch, wobei der Zähler durch eine Unbekannte repräsentiert wird. Die unbekannten Konstanten kannst du beliebig benennen, ratsam sind aber Großbuchstaben wie beispielsweise A, B und C.
In der nachfolgenden Tabelle siehst du eine Übersicht zu allen möglichen Fällen, auf die du stoßen kannst, wenn du den Nullstellen ihren Partialbruch zuordnen sollst.
| Art der Nullstelle | Ansatz zur Partialbruchzerlegung |
| a) Reelle Nullstelle | |
Einfache Nullstelle |   sind die Polstellen der Funktion.
|
Mehrfache Nullstelle |   sind die Polstellen der Funktion.
|
| b) Nichtreelle Nullstelle / Komplexe Nullstelle | |
| Einfacher quadratischer FaktorIst die Diskriminante kleiner Null, sind es keine reellen Nullstellen. | 
|
| r-facher quadratischer FaktorDenke daran, an eine der Konstanten ein x anzufügen. |  |
Alle in der Tabelle genannten Fälle können sogar gleichzeitig in einer Aufgabe auftreten.
Faktorisierung von Polynomen: Zerlegen von Polynomen in ein Produkt aus irreduziblen Polynomen.
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom vom Grad n, exakt n Nullstellen hat. Sie werden alle mit ihrer Vielfachheit gezählt und sind sie nicht reell, sind sie komplex. Wenn ein Polynom zwei Nullstellen hat, kommen bei der Partialbruchzerlegung in den Nenner zwei Buchstaben. Die Buchstaben sind aber zwei Zahlen, die bei Addition eine neue Zahl ergeben. Deswegen hängst du an einen der beiden Buchstaben ein x an, um dieses Problem zu umgehen.
Jeder quadratische Faktor 
muss irreduzibel sein.
Zur Erinnerung: Ein irreduzibles Polynom ist ein Polynom, das nicht in Linearfaktoren zerlegt werden kann, das demselben Zahlenbereich angehört wie die Koeffizienten des Polynoms.
Es kann vorkommen, dass ein Polynom keine reellen Nullstellen hat. Das ist dann der Fall, wenn sich so ein Term nicht weiter in reelle Linearfaktoren zerlegen lässt. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass es dann komplexe Nullstellen sein müssen.
Um das Rechnen mit komplexen Zahlen zu umgehen, lässt du den Term so, wie er ist und spaltest ihn nicht weiter auf. Denn mit jeder komplexen Nullstelle z ist auch die komplex konjugierte Zahl eine Nullstelle.
Anstatt 
und 
verwendest du den Term 
.
Der Term 
ist ein reelles quadratisches Polynom und auch A und B sind reell.
Bei den komplexen Nullstellen ist es häufig der Fall, dass es eine doppelte Nullstelle ist. Somit benötigst du dort auch Konstanten. Du kannst allerdings nicht einfach A+B schreiben, denn dadurch könnten beiden Konstanten zu einer neuen Konstanten (z. B. C) zusammenfassen werden. Damit das verhindert wird, musst du einfach an eine der beiden Konstanten ein x multiplizieren.
Um auf unser Beispiel zurückzukommen, führen wir diesen Schritt hier ebenso durch:
, 
, 
Als Nächstes stellst du den Ansatz der Partialbruchzerlegung auf. Das Zählerpolynom p(x) ist für den Ansatz zunächst unbedeutend. Für alle diese drei Fälle gilt, dass man genau so viele Koeffizienten hat, wie man Nullstellen im Nenner hat.
Schreibe 
als die Summe aller zugeordneter Partialbrüche auf.
Im Beispiel stellst du die echt gebrochen-rationale Funktion als Summe aller Partialbrüche dar und setzte sie mit der rationalen Funktion 
gleich. Achte darauf, die rationale Funktion mit ihrem faktorisierten Nenner aufzuschreiben und alle Nullstellen in ihrer Vielfachheit aufzuführen.
Schreibe:
Nun summierst du alle bestimmten Partialbrüche auf und setzt sie mit der rationalen Funktion f(x) gleich. Deine Gleichung sieht nun so aus:
Dein Ziel ist es jetzt, alle Nenner zu eliminieren und die Konstanten A, B, C usw. so zu bestimmen, dass die Gleichung auch für alle x gilt. Bringe dazu die Summe der Partialbrüche auf einen Hauptnenner. Es reicht, wenn du auf beiden Seiten nur mit dem faktorisierten Nennerpolynom q(x) multiplizierst. Bei der Ausgangsfunktion auf der linken Seite fällt der faktorisierte Nenner komplett weg und nur das Zählerpolynom der Funktion bleicht übrig. Die Summe der Partialbrüche multiplizierst du mit jetzt jedem einzelnen Summanden. Aber achte darauf, dass du alle Faktoren mit den Summanden multipliziert hast.
A, B und C sind konstante Zahlen. Konstant bedeutet, egal, was x ist, die Konstanten A, B und C werden sich nicht ändern. Nun setzt du nacheinander (je nach Anzahl der unbekannten Koeffizienten) verschiedene x-Werte in die gesamte Gleichung ein, sodass du Gleichungen erhältst, aus denen du die unbekannten Konstanten errechnen kannst. Die Werte können beliebig gewählt werden. Auf jeden Fall sollten aber die Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) eingesetzt werden, da sich dann besonders einfache Gleichungen ergeben. Dieses Verfahren zur Ermittlung der Partialbrüche wird Einsetzungsverfahren genannt.
Beachte, dass, wenn du die Nullstellen für x einsetzt, das Produkt jeweils 0 ist.
Die Aufgabe ist gelöst, wenn du die Konstanten A, B und C in die Ansatzfunktion eingesetzt hast.
Das kannst du nun auch bei diesem Beispiel machen:
Du musst nun die Konstanten 
so bestimmen, dass die gesamte Gleichung auch für alle x gilt. Die aufgestellte Gleichung musst du nun auf beiden Seiten mit dem Nennerpolynom q(x) der rationalen Funktion 
multiplizieren und somit auf einen Hauptnenner bringen.
Nun setzt du nacheinander vier (= Anzahl der unbekannten Koeffizienten 
) verschiedene x-Werte in die Gleichung ein, so dass du vier Gleichungen erhältst, aus denen du die unbekannten Konstanten errechnen kannst. Die vier Werte kannst du beliebig wählen. Setze aber auf jeden Fall die Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) ein, da sich dann besonders einfache Gleichungen ergeben.
| Nullstelle | Gleichungen |
 |  |
 |  |
 |    |
 |   |
Damit folgt:
Dieser Term wird als die Partialbruchzerlegung der echt gebrochen-rationalen Funktion bezeichnet.
Hast du diese Partialbruchzerlegung berechnet, kannst du diese zum Beispiel zur Integration der Funktion f(x) nutzen.
Für das obige Beispiel kannst du nun die Stammfunktion 
von 
berechnen:
Damit du die Partialbruchzerlegung noch einmal üben kannst, findest du hier noch eine Aufgabe:
Gegeben sei die echt gebrochen-rationale Funktion
Gib an, welcher Ansatz für die Partialbruchzerlegung gewählt werden muss und bestimme die Konstanten.
Schritt 1: Da der Grad des Nenners größer als der des Zählers ist, ist keine Polynomdivision nötig.
Schritt 2: Die Nenner der Partialbrüche erhältst du nun auch wieder, indem du die Summe 
in ein Produkt zerlegst. Dazu berechnest du die Nullstellen des quadratischen Nenners mit der p-q-Formel.
Das Ergebnis der Gleichung 
lautet 
und 
.
Nun erhältst du das Produkt
Schritt 3: Jetzt kannst du die Nullstellen den Partialbrüchen zuordnen:
und 
Schritt 4: Die Partialbrüche sind somit wie folgt:
Schritt 5: Zur Berechnung von A und B multiplizieren wir die obige Gleichung mit dem Hauptnenner 
und erhalten:
Diese Gleichung muss für alle Werte von x erfüllt sein. Wenn du für x nacheinander zwei verschiedene Zahlen einsetzt, entsteht ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen, das zu lösen ist.Besonders einfach wird dieses Verfahren, wenn du für x Werte einsetzt, so dass die Faktoren vor den Variablen A und B Null werden:
| Nullstelle | Gleichungen |
 |  |
 |  |
Schritt 6: Nun nur noch die Konstanten in die Ansatzfunktion einsetzen.
Fertig!
Die Partialbruchzerlegung wird verwendet, um eine komplizierte gebrochen-rationale Funktion leichter integrieren zu können. Damit wird ein Bruch in viele einfachere umgeschrieben.
Ein Bruch, der schwer integrierbar ist, lässt sich durch die Partialbruchzerlegung in eine wesentlich leichtere Darstellung bringen und in dieser Darstellungsweise leichter integrieren.
Bei der Partialbruchzerlegung gehst du folgendermaßen vor:
Die Polynomdivision ist die Voraussetzung für die Partialbruchzerlegung bei unecht gebrochen-rationalen Funktionen. Bevor eine Partialbruchzerlegung bei einer gebrochen-rationalen Funktion durchgeführt werden kann, deren Zählergrad größer/gleich dem Nennergrad ist, muss vorher eine Polynomdivision durchgeführt werden.
Frage
Wie lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung bei einer einfachen komplexen Nullstelle?
Antwort
Frage
Wie lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung bei einer mehrfach reellen Nullstelle?
Antwort
Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung bei einer mehrfach reellen Nullstelle lautet:
Frage
Woran erkennst du eine reelle Nullstelle, welche du für den Ansatz der Partialbruchzerlegung benötigst?
Antwort
Das Polynom kann als Linearfaktorzerlegung geschrieben werden. Dabei tritt keine Vielfachheit einer Nullstelle auf.
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