Variationen - Alles zum Thema!
Eine Variation ist ein Modell der Kombinatorik, welche ein Teilgebiet der Stochastik ist und die Möglichkeiten der Anordnung oder Auswahl von k Elementen aus n Elementen behandelt. In diesem Beitrag erfährst du alles, was du über Variationen und ihre Berechnung wissen musst. Wir erklären dir außerdem anschaulich, wie du dir die Berechnung selbst herleiten kannst und bieten dir Übungsaufgaben mit Lösungen!
Tipp: Um diesen Artikel gut verstehen zu können, solltest du dich mit dem Allgemeinen Zählprinzip auskennen. Falls du hier noch Probleme hast oder dir unsicher bist, schau bei unserem Artikel zu diesem Thema vorbei!
Was ist eine Variation?
Eine Variation ist ein Modell zur Bestimmung der Anzahl von Möglichkeiten, k Elemente aus einer Ergebnismenge von n Elementen in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen. Da es sich dabei nur um einen Teil der n möglichen Ergebnisse dreht, werden Variationen auch „geordnete Stichproben“ genannt.
k < n, Reihenfolge wichtig
Zwei weitere Modelle der Kombinatorik lauten Permutationen und Kombinationen.
Wenn zum Beispiel nicht nur eine Stichprobe genommen wird, sondern alle n Elemente angeordnet werden sollen, handelt es sich wahrscheinlich um eine Permutation.
Vergewissere dich also immer zuerst, welche Art von Modell deinen Vorgang am besten beschreibt! Wenn du nun weißt, dass deinem Zufallsexperiment eine Variation zugrunde liegt, solltest du dich als nächste fragen, ob eine Wiederholung vorliegt.
Wiederholung - Was ist das?
Bei Modellen der Kombinatorik wird zwischen mit Wiederholung und ohne Wiederholung unterschieden. Dabei stellt sich die Frage, ob nach jedem „Zug“ die Anzahl der zur Auswahl stehenden Elemente weniger wird oder gleich bleibt. Wenn sie sich verringert, dann findet keine Wiederholung statt, da ein ausgewähltes Element kein weiteres Mal gezogen werden kann und die Ergebnismenge sich für den nächsten Zug um dieses Element verringert. Leichter verstehen lässt sich das, wenn wir uns ein Beispiel anschauen.
Verständnisbeispiel
- Aus einer Urne mit 7 Kugeln werden nacheinander 4 Kugeln gezogen. Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel notiert und in die Urne zurückgelegt. Man kann also nach jedem Zug wieder aus denselben 7 Kugeln in der Urne auswählen. Es liegt eine Wiederholung vor!
- Wenn dagegen die Kugeln nach jedem Ziehen beiseitegelegt werden, ist eine gezogene Kugel für alle darauffolgenden Züge „verbraucht“ und es befindet sich eine Kugel weniger in der Urne. Damit wird die Ergebnismenge mit jedem Mal Ziehen kleiner. Dann würde keine Wiederholung vorliegen.
Übrigens: Häufig wird diese Unterscheidung zwischen Modellen auch mit Zurücklegen und ohne Zurücklegen genannt.
Variation ohne Wiederholung
Bei einer Variation ohne Wiederholung kann jedes der k Elemente nur einmal ausgewählt werden. Die Formel zur Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten lautet:
Um zu erläutern, woher die Formel stammt, sehen wir uns gemeinsam ein Beispiel an:
Rechenbeispiel
Bei einem Konzert sind 10 Stühle in der 1. Reihe frei. Du und deine 4 Freunde habt je eine Konzertkarte gewonnen und könnt euch nach Lust und Laune auf diesen von 1 bis 10 durchnummerierten Stühlen verteilen, weil eine andere Gruppe nicht gekommen ist.
Jetzt fragt ihr euch:
In wie vielen unterschiedlichen Reihenfolgen könnten wir uns auf diesen Stühlen eigentlich verteilen?
Dazu überlegt ihr folgendes:
Einer von euch soll sich als erstes hinsetzen und kann sich zwischen n = 10 unterschiedlichen Stühlen entscheiden. Er setzt sich auf einen Stuhl und der oder die nächste ist an der Reihe. Er oder sie hat jetzt nur noch (n - 1) = 9 Stühle zur Auswahl und setzt sich auf einen davon. Das geht nun immer so weiter, bis du als 5. noch (n-k +1) = 6 Stühle zur Auswahl hast.
Da hier das allgemeine Zählprinzip greift, sodass die Anzahl der Gesamtmöglichkeiten sich aus dem Produkt der einzelnen Möglichkeiten ergibt, können wir das ganz einfach ausrechnen:
Die Formel sieht also viel komplizierter aus, als sie eigentlich ist!
Tipp: Stelle dir die Sachverhalte, die du berechnen sollst, immer bildlich vor und denke sie Schritt für Schritt durch. So kommst du immer auf die Formel, auch ohne sie auswendig lernen zu müssen!
Variation mit Wiederholung
Eine Variation mit Wiederholung unterscheidet sich von einer ohne Wiederholung, da es bei ihr möglich ist, die Elemente im Laufe des Experiments beliebig oft erneut auszuwählen. Das führt dazu, dass sich die Ergebnismenge nach einem „Zug“ nicht verändert.
Rechenbeispiel
Aus einer Urne mit 6 unterscheidbaren Kugeln sollen 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele unterschiedliche 3er-Kombinationen lassen sich bilden, wenn man dabei auf die Reihenfolge achtet?
Die Formel zur Berechnung lautet:
An diesem Beispiel lässt sich leicht erkennen, wie man auf diese Formel kommt. Denn wenn die erste Kugel gezogen wird, kann man aus 6 Kugeln auswählen. Wenn dann eine gezogen, notiert und danach zurückgelegt wurde, kann beim Ziehen der nächsten Kugel wieder aus 6 Kugeln ausgewählt werden. Das geht so lange, bis k Kugeln gezogen wurden.
Auch hier greift das allgemeine Zählprinzip! Wir müssen also nur die einzelnen Möglichkeiten pro Zug so oft miteinander multiplizieren, wie es Züge gibt, um die Gesamtanzahl der möglichen Reihenfolgen zu erhalten:
K-Tupel
Die unterschiedlichen geordneten Kombinationen werden k-Tupel genannt. K-Tupel sind Listen von Objekten, die sich nicht zwingend voneinander unterscheiden müssen. Bei k-Tupeln wird immer die Reihenfolge beachtet. In dem oben genannten Beispiel könnte ein mögliches 3-Tupel lauten: (Kugel 1, Kugel 1, Kugel 5)
Super! Du kennst dich jetzt mit Variationen mit und ohne Wiederholung aus!
Variationen - Alles Wichtige auf einen Blick
- Eine Variation ist ein Modell, mit dem die Anzahl an unterschiedlichen Möglichkeiten, k Elemente aus n Elementen auszuwählen berechnet werden kann.
- Dabei wird die Reihenfolge, in der die Elemente ausgewählt werden beachtet.
- Eine Variation kann mit und ohne Zurücklegen geschehen.
- Ein k-Tupel ist eine geordnete Liste von nicht zwingend unterscheidbaren Objekten.
Damit du dich schnell zurechtfindest, wenn es nötig ist, haben wir hier eine Checkliste für dich vorbereitet. Anhand dieser Liste kannst du auf einen Blick erkennen, wann du welche Formel anwenden solltest.
- Handelt es sich bei meinem Vorgang um eine Variation? Ja, wenn:
1. k < n
2. Reihenfolge ist wichtig! - Findet eine Wiederholung statt oder nicht?
1. Nein:
2. Ja:
Klasse! Eine solche Liste lässt sich auch in Form eines Entscheidungsbaumes aufzeichnen, den du dir immer danebenlegen kannst, wenn du Aufgaben rechnest!
Unsere Empfehlung
Versuche, nicht durcheinander zu kommen, indem du dir alle Schritte strukturiert aufschreibst und bewusst die Unterschiede zwischen den Modellen der Kombinatorik wahrnimmst! Erstelle dir zum Beispiel eine Mindmap oder ein Schaubild, um nie den Überblick zu verlieren. Auf unserer Seite Wahrscheinlichkeitsrechnung findest du eine Zusammenfassung aller Formeln, die du für die Kombinatorik benötigst!
Insider Tipp:
„Erst die Arbeit, dann das Vergnügen“ - So ist es in der Mathematik auch. Die Mühe, die es braucht, ein Phänomen zu verstehen und durch viel Üben und Rechnen zu verinnerlichen, wird danach umso mehr mit Spaß und Faszination belohnt. Also: immer am Ball bleiben!
