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Variationen

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Variationen

Einleitung

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Abzählmethoden

Mit Abzählmethoden schaust du, auf wie viele Arten du eine bestimmte Anzahl von Elementen aus einer Grundmenge, anordnen kannst. Es sollen dabei alle Möglichkeiten erfasst werden und keine Doppelungen geben. Mithilfe der Abbildung ist es möglich, sich einen kurzen Überblick über die verschiedenen Abzählmethoden zu verschaffen.

Entscheidungsbaum

Es kann bei manchen Aufgabenstellungen helfen, mit einem sogenannten Entscheidungsbaum herauszufinden, welche Art von Abzählmethode vorliegt.

Als kurze Zusammenfassung hier nochmal eine Übersicht der Modelle Permutation, Kombination und Variation.

ModellBeschreibung
Permutationalle Elemente einer Menge n werden genommen
Kombinationes wird eine Auswahl von k Elementen aus einer Menge n genommen, die Reihenfolge ist egal
Variationes wird eine Auswahl von k Elementen aus einer Menge n genommen, die Reihenfolge ist wichtig

Vergewissere dich am Besten also immer, welche Art von Modell deinen Vorgang passend beschreibt.

Wenn du gerne mehr interessante Inhalte zu den Modellen Permutation und Kombination sehen möchtest, dann kannst du dir dazu gerne eigene Erklärungen ansehen.

An dieser Stelle geht es jetzt mit der Abzählmethode Variation, viel Spaß dabei!

Variation

Eine Variation ist ein Modell der Kombinatorik, eine so genannte Abzählmethode. Dabei handelt es sich um eine Auswahl von k Elementen, bzw. ein Teil einer Grundmenge von n Elementen, bei der die Reihenfolge eine Rolle spielt. Da es sich nur um einen Teil der n möglichen Ergebnisse dreht, werden Variationen auch „geordnete Stichproben“ genannt.

Eine Stichprobe ist eine Teilmenge von Elementen, die der Grundgesamtheit aller möglichen Elemente, zufällig entnommen wird. Dabei gibt es in der Statistik verschiedene Arten von Stichproben.

Es gilt dabei zwei Fälle der Variation zu unterscheiden. Es kommt vor, dass Elemente wieder zurückgelegt werden und die Ausgangsmenge sich bei weiteren Durchgängen nicht verändert. Dazu mehr in den folgenden Abschnitten.

Formen der Variation

Wie du schon oben in der Übersicht sehen kannst, gibt es zwei Formen der Variation. Dabei wird unterschieden, ob eine Wiederholung stattfindet oder nicht. Gemeint ist damit, ob es Elemente gibt, die mehrfach verwendet werden dürfen.

Variation mit Wiederholung

Bei der Variation mit Wiederholung werden Elemente - mit Beachten der Reihenfolge - aus einer Menge von n Elementen ausgewählt. Die Elemente dürfen dabei wieder verwendet werden. Hier ist dazu ein Beispiel:

Aus einer Urne 7 Kugeln - beschriftet mit Zahlen von 1-7 - werden nacheinander 4 Kugeln gezogen.

Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel notiert und in die Urne zurückgelegt.

So stehen nach jedem Zug wieder 7 Kugeln zur Auswahl.

Es liegt demnach eine Variation mit Wiederholung vor!

Anhand des Beispiels kannst du dir jetzt ansehen, wie du die Anzahl möglicher Anordnungen der Kugeln, mithilfe einer Formel berechnest und wie diese Formel zustande kommt.

Berechnung und Herleitung

Da du die erste Kugel nach dem Ziehen notiert und wieder in die Urne zurückgelegt hast, ist klar, dass es sich um eine Variation mit Wiederholung handelt. Die Ausgangsmenge der Kugeln hat sich also nicht verändert und ist im zweiten Durchgang wieder die gleiche. Du kannst also das identische Element k aus der Menge n erneut ziehen.

Daraus ergibt sich:

bla

Add your text here...

Dürfen Elemente nicht mehrfach verwendet werden, handelt es sich stattdessen um eine Variation ohne Wiederholung.

Variation ohne Wiederholung

Auch dazu kannst du dir ein Beispiel anhand der gleichen Ausgangssituation ansehen. Allerdings werden die Kugeln dieses Mal nicht wieder zurück gelegt, sondern an der Seite platziert.

Aus einer Urne mit 7 Kugeln - beschriftet mit Zahlen von 1-7 - werden nacheinander 4 Kugeln gezogen.

Nach jedem Ziehen wird die gezogene Kugel notiert und nicht in die Urne zurückgelegt.

Es befindet sich nach jedem Zug eine Urne weniger zur Auswahl in der Urne.

Somit liegt eine Variation ohne Wiederholung vor!

bla

Berechnung und Herleitung

Bei einer Variation ohne Wiederholung kann jedes der k Elemente nur einmal ausgewählt werden.

Die Formel zur Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten lautet:

bla

Add your text here...

bla

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Kombination

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Allgemeines Zählprinzip

Aus einer Urne mit 6 unterscheidbaren Kugeln sollen 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden. Wie viele unterschiedliche 3er-Kombinationen lassen sich bilden, wenn man dabei auf die Reihenfolge achtet?

Die Formel zur Berechnung lautet:

An diesem Beispiel lässt sich leicht erkennen, wie man auf diese Formel kommt. Denn wenn die erste Kugel gezogen wird, kann man aus 6 Kugeln auswählen. Wenn dann eine gezogen, notiert und danach zurückgelegt wurde, kann beim Ziehen der nächsten Kugel wieder aus 6 Kugeln ausgewählt werden. Das geht so lange, bis k Kugeln gezogen wurden.

Auch hier greift das allgemeine Zählprinzip! Wir müssen also nur die einzelnen Möglichkeiten pro Zug so oft miteinander multiplizieren, wie es Züge gibt, um die Gesamtanzahl der möglichen Reihenfolgen zu erhalten:

K-Tupel

Die unterschiedlichen geordneten Kombinationen werden k-Tupel genannt. K-Tupel sind Listen von Objekten, die sich nicht zwingend voneinander unterscheiden müssen. Bei k-Tupeln wird immer die Reihenfolge beachtet. In dem oben genannten Beispiel könnte ein mögliches 3-Tupel lauten: (Kugel 1, Kugel 1, Kugel 5)

Super! Du kennst dich jetzt mit Variationen mit und ohne Wiederholung aus!

Variationen - Das Wichtigste

  • Ein k-Tupel ist eine geordnete Liste von nicht zwingend unterscheidbaren Objekten.

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