Login Anmelden

Select your language

Suggested languages for you:

Select your language

Suggested languages for you:
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Venn-Diagramm

Venn-Diagramm

In der Welt gibt es viele verschiedene Beziehungen. Tiere können verschiedene Eigenschaften besitzen. So ist es möglich für Fische und Wale zu sagen, dass beide schwimmen können. Allerdings atmen Wale über Wasser und Fische unter Wasser. Beide wiederum können nicht an Land gehen.

Diese Unterschiede und Gemeinsamkeiten lassen sich in einem sogenannten Venn-Diagramm darstellen. Wie Du Venn-Diagramme richtig zeichnest und welche Informationen Du erhalten kannst, wirst Du in dieser Erklärung erfahren. Viel Spaß!

Mengenlehre – Wiederholung Mengenverknüpfungen

Mengen sind Zusammenfassungen von Objekten zu einer Überkategorie. Die Objekte, die in Mengen enthalten sind, werden Elemente genannt. Element einer Menge kann so ziemlich alles Vorstellbare sein: Ein Wal als Element der Menge Säugetiere und ein Aal als ein Fisch. Sie können dabei zwar beide schwimmen, aber der eine atmet unter Wasser und der andere über Wasser.

In der Mengenlehre gibt es verschiedene Arten von Mengenverknüpfungen. So können Schnittmenge, Vereinigungsmenge, Differenzmenge und die Symmetrische Differenz gebildet werden, die Dir in der nächsten Tabelle gezeigt werden.

Als Beispiel gelten die folgenden Mengen:

\begin{align} A &= \{1,2,3\} \\ B &= \{3, 4\} \end{align}

Mengenverknüpfung
Schreibweise
Beispiel
Komplement
\(\overline{A} \)
\( \overline{A} = \{4\}\)
\(A \cap B\)
\(A \cap B = \{3\} \)
\(A \cup B\)
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4 \}\)
\(A \backslash B\)
\(A \backslash B = \{1, 2\}\)
\(A \triangle B\)
\(A \triangle B = \{1, 2, 4\} \)

Nähere Informationen zu Mengen und zu den Mengenverknüpfungen aus der Mengenlehre erhältst Du in den folgenden Erklärungen:

Mengenlehre Venn-Diagramm

Venn-Diagramme werden in der Mengenlehre und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet, um Zusammenhänge zwischen zwei oder mehreren Mengen anhand einer Grafik zu erläutern.

Venn-Diagramm Erklärung

Venn-Diagramme sind dabei eine bestimmte Variante von Diagrammen, mit denen Informationen aus der Mengenlehre grafisch dargestellt werden.

Venn-Diagramme stellen Zusammenhänge bzw. Relationen zu Mengen und Objekten dar. Dabei geht es vor allem darum, gemeinsame und unterschiedliche Elemente zwischen den Mengen hervorzuheben mithilfe von Mengenverknüpfungen aus der Mengenlehre. Die Schnittmenge steht dabei im Vordergrund.

Ein Venn-Diagramm ist dabei immer gleich aufgebaut.

Venn-Diagramm zeichnen & Aufbau

Ein Venn-Diagramm besteht grundsätzlich erst einmal aus einem Rechteck, welches die Umgebung der Mengen darstellt und als \(\Omega\) bezeichnet wird .In das Rechteck werden die einzelnen Mengen zum Beispiel als Kreise dargestellt. Venn-Diagramme werden immer so gezeichnet, dass es eine Überlappung (Schnittmenge) zwischen allen Mengen gibt, auch wenn sich in den Überlappungen keine Elemente befinden.

Venn-Diagramm allgemein (Universum, Mengen, Schnittmenge) StudySmarterAbb. 2 - Venn-Diagramm allgemein (Universum, Mengen, Schnittmenge)

Alle Kreise, Elemente bzw. Zahlen, die sich innerhalb der gezeichneten Kreise befinden, sind Teil der Mengen. Die Kreise werden dabei immer gleich groß gezeichnet, unabhängig von der Anzahl oder Größe der einzelnen Elemente.

Das bedeutet, möchtest Du ein Venn-Diagramm zeichnen, ist es wichtig, zuerst die Informationen aus dem Text oder aus Mengen zu bekommen und die Kreise dementsprechend zu zeichnen.

Beispiele für die unterschiedlichen Mengenverknüpfungen findest Du in der nachfolgenden Tabelle.

Information
Mengenschreibweise
Grafik

\begin{align} A &= \{1, 2, 3\} \\ B &= \{3, 4, 5\} \end{align}

Bilde die Schnittmenge.
\[A \cap B = \{3\}\]

Venn-Diagramm Schnittmenge StudySmarterAbb. 3 - Venn-Diagramm Schnittmenge

\begin{align} A &= \{1, 2, 3\} \\ B &= \{3, 4, 5\} \end{align}

Bilde die Vereinigungsmenge.
\[A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5 \}\]

Venn-Diagramm Vereinigungsmenge StudySmarterAbb. 4 - Venn-Diagramm Vereinigungsmenge

\begin{align} A &= \{1, 2, 3\} \\ B &= \{3, 4, 5\} \end{align}

Bilde die Differenzmenge.
\[A \backslash B = \{1, 2\}\]

Venn-Diagramm Differenzmenge StudySmarterAbb. 5 - Venn-Diagramm Differenzmenge

Venn-Diagramm Beispiel

Wie Du siehst, kannst Du von Venn-Diagrammen Zusammenhänge zwischen Mengen direkt ablesen und aus Abbildung 1 zum Beispiel die Schnittmenge ableiten. Wie sieht jetzt aber ein Venn-Diagramm von zwei Mengen aus, die gar keine Schnittmenge haben?

Zu betrachten sind nun die folgenden Mengen:

\begin{align} A &= \{4, 5, 7\} \\ B &= \{1, 5, 8\} \end{align}

Die Aufgabe soll zwei Fragen berücksichtigen.

a) Erstelle ein Venn-Diagramm und markiere die Schnittmenge.

b) Nun ändert sich die Menge \(B\). Erstelle das Venn-Diagramm und markiere auch hier die Schnittmenge, falls gilt:

\begin{align} B &= \{1, 3, 8\} \end{align}

a) Hierbei erstellst Du ein Rechteck und darin zwei Kreise für die Mengen \(A\) und \(B\). Im Anschluss erkennst Du, dass für die Schnittmenge gilt:

\begin{align} A \cap B = {5} \end{align}

Diese Schnittmenge kannst Du nun markieren.

Venn-Diagramm Schnittmenge mit Element StudySmarterAbb. 6 - Venn-Diagramm Schnittmenge mit Element

b) Die Menge \(B\) hat sich geändert, sodass die beiden Mengen grundsätzlich keine Schnittmengen aufweisen. Da ein Venn-Diagramm unabhängig von den Mengen immer gleich aufgebaut ist, ist es hier jetzt wichtig, die Kreise trotzdem überlappend zu zeichnen. Da es jedoch keine Schnittmenge gibt, trägst Du dort auch keine Zahlen ein.

Venn-Diagramm Schnittmenge ohne Element StudySmarterAbb. 7 - Venn-Diagramm Schnittmenge ohne Element

Venn-Diagramm erstellen – mehrere Mengen

Venn-Diagramme lassen sich auch für drei, vier oder mehr Mengen erstellen. Da es auch bei mehr als zwei Mengen alle Arten der Überlappung geben soll, ist es schwieriger, solche Mengendiagramme darzustellen. Wie genau das funktioniert, erfährst Du gesondert für drei bzw. vier Mengen.

Venn-Diagramm 3 Mengen

Das Venn-Diagramm dreier Mengen A, B und C ist so aufgebaut, dass es Raum für Elemente gibt, die in allen drei Mengen vertreten sind. Dieser Bereich ist der mittlere dieses Venn-Diagramms. Danach gibt es auch drei Schnittflächen, die Bereiche aufzeigen, indem zwei dieser Mengen enthalten sind. Die äußersten drei Bereiche sind dann der Rest, also alle Elemente, die jeweils nur in einer Menge vorkommen.

Du betrachtest in diesem Fall das Beispiel für die drei Mengen \(A\), \(B\) und \(C\).

\begin{align} A &= \{Apfel, Birne, Erdbeere\} \\ B &= \{Blaubeere, Birne, Erdbeere\} \\ C &= \{Ananas, Orange, Erdbeere\} \end{align}

Setzt Du diese Mengen jetzt zueinander in Beziehung, kannst Du folgende Aussagen über die einzelnen Elemente treffen:

  • Die Erdbeere befindet sich in dem mittleren Bereich des Venn-Diagramms, da diese in allen drei Mengen vorkommt.
  • Die Birne befindet sich in der Schnittfläche für die Mengen \(A\) und \(B\).
  • Alle anderen Elemente (Apfel, Blaubeere, Ananas, Orange) befinden sich jeweils nur in einer Menge.

Das Venn-Diagramm für diesen Fall sieht wie folgt aus:

Venn-Diagramm 3 Mengen Obst StudySmarterAbb. 8 - Venn-Diagramm 3 Mengen Obst

Auch bei Venn-Diagrammen mit drei Mengen lassen sich nun verschiedene Mengenbeziehungen herstellen.

Zur Erinnerung: Folgende Schreibweise gilt bei den Mengenverknüpfungen:

  • \( \cap \) für die Schnittmenge
  • \( \cup \) für die Vereinigungsmenge
  • \( \backslash \) für die Differenzmenge

Bedenke, dass bei mehreren Mengenverknüpfungen das Assoziativgesetz gilt.

Aufgabe 1

Zeichne das Venn-Diagramm für folgende Mengenverknüpfung:

\[(A \cap B) \cup C \]

Lösung

Dabei denke daran, dass Du erst die Schnittmenge von \(A\) und \(B\) heraussuchst und dann \(C\) komplett noch dazu nimmst. Dies sieht wie folgt aus.

Venn-Diagramm 3 Mengen StudySmarterAbb. 9 - Venn-Diagramm 3 Mengen

Venn-Diagramm 4 Mengen

Bereits ab einem Venn-Diagramm für vier Mengen wird es allmählich schwieriger alle Überlappungen der Flächen darzustellen. Ein solches Venn-Diagramm soll nämlich so aufgebaut sein, dass es für jede mögliche Mengenzugehörigkeit der Elemente eine grafische Darstellung gibt. Das bedeutet, es kommt zum ersten Mal eine gebogene Struktur zum Einsatz und kein normaler Kreis.

Sieh Dir dazu gerne die folgenden Mengen an:

\begin{align} A &= \{1,3,4,6,7\} \\ B &= \{1,2,5,6,8\} \\ C &= \{3,5,7,9,10\} \\ D &= \{1,4,7,9,11\} \end{align}

Für dieses Beispiel gibt es nach John Venn zwei Möglichkeiten der visuellen Darstellung:

Venn-Diagramm 4 Mengen Version 1 StudySmarterAbb. 10 - Venn-Diagramm 4 Mengen Version 1

Das bedeutet also Du verwendest für vier Mengen diese Struktur. Dabei können alle möglichen Flächen bzw. Kombinationen abgedeckt werden. Danach schaust Du welche Zahl in welchen Mengen vorkommt und suchst Dir die dazu passende Fläche aus.

Die zweite Version ist die folgende:

Venn-Diagramm 4 Mengen Version 2 StudySmarterAbb. 11 - Venn-Diagramm 4 Mengen Version 2

Venn-Diagramm – Unterschied Euler-Diagramm

Ein Euler-Diagramm ist ebenfalls ein Mittel zur grafischen Darstellung von Mengen und ihren Zusammenschlüssen. Auch hier werden Mengen als Kreise oder Ellipsen dargestellt. Der Unterschied zum Venn-Diagramm besteht darin, dass Überlappungen der beteiligten Mengen nicht zwingend notwendig sind. So kann es mehrere unterschiedliche Mengen innerhalb von größeren Mengen, also Teilmengen geben oder auch strikt disjunkte Mengen, die keine Elemente gemeinsam besitzen.

Ein Euler-Diagramm für verschiedene Tierarten könnte zum Beispiel so aussehen. Dabei haben die Säugetiere und Amphibien, die keine Merkmale und gemeinsamen Tierarten besitzen, auch gar keine eingezeichnete Schnittmenge. Das ist bei einem Euler Diagramm erlaubt, bei einem Venn-Diagramm benötigst Du eine leere Schnittmenge.

Venn-Diagramm Euler-Diagramm Tierarten StudySmarterAbb. 12 - Euler-Diagramm Tierarten

Venn-Diagramm Übungen

Probiere gleich noch ein Venn-Diagramm aus, um Dich mit ihnen vertrauter zu machen.

Aufgabe 2

Zeichne ein Venn-Diagramm zu folgender Verknüpfung:

\[(A \backslash B) \cap C\]

Lösung

Du bildest erst die Differenzmenge von A und B. Danach schneidest Du diese mit dem Teil, der sich in C befindet und Du erhältst:

Venn-Diagramm 3 Mengen Aufgabe StudySmarterAbb. 13 - Venn-Diagramm 3 Mengen Aufgabe

Venn-Diagramm – Das Wichtigste

  • Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten.
  • Venn-Diagramme
    • helfen bei der Darstellung von komplexen Zusammenhängen mehrerer Mengen.
    • stellen die Zugehörigkeit einzelner Elemente zu den jeweiligen Mengen dar.
    • unterscheiden sich von den Euler-Diagrammen, indem jede mögliche Kombination der unterschiedlichen Mengen dargestellt werden soll.
  • Schnittmengen werden trotzdem eingezeichnet, auch wenn es sie nicht gibt.

Nachweise

  1. Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag, Berlin

Häufig gestellte Fragen zum Thema Venn-Diagramm

Ein Venn-Diagramm ist eine Relation von Mengen. Es werden Mengen als Kreise bzw. auch Ellipsen für mehr als 3 Mengen dargestellt und miteinander geschnitten. Dabei können die Zusammenhänge von Mengen nun markiert werden.

Du erstellst ein Venn-Diagramm, indem Du zunächst ein Rechteck aufzeichnest. Darin stellst Du die Mengen als gleich große Kreise dar. Diese müssen sich immer schneiden, sodass stets alle möglichen Kombinationen von Flächenüberlappungen gezeigt werden.

Ein Venn-Diagramm kann auch als Beweis angeführt werden. Um herauszufinden, ob zwei Ausdrücke von Mengen jeweils dasselbe bedeuten, kannst Du das rechnerisch oder zeichnerisch mithilfe eines Venn-Diagramms lösen. Sind beide gleich, sollen auch dieselben Flächen in den beiden Venn-Diagrammen markiert worden sein.

Das Venn-Diagramm wurde nach dem englischen Mathematiker John Venn Junior benannt. Als Professor für Logik und Naturphilosophie widmete sich Venn dem Venn-Diagramm, das Mengen und Objekte in Beziehung stellen sollte. Damit baute er auf den Arbeiten von Leonhard Euler auf.

Finales Venn-Diagramm Quiz

Frage

Erkläre den Begriff Schnittmenge.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Schnittmenge ist die Mengenverknüpfung, bei der Elemente sind, die sich sowohl in der einen als auch der anderen Menge befinden.

Frage anzeigen

Frage

Worum handelt es sich bei einer Differenzmenge \(B \backslash A\)

Antwort anzeigen

Antwort

Dabei handelt es sich um die Menge, die Elemente aus der Menge B beinhaltet ohne denen aus der Menge A.

Frage anzeigen

Frage

Bilde die Vereinigungsmenge für folgende Mengen:

\begin{align} A &= \{4, 5, 9\} \\ B &= \{2, 4\} \end{align}

Antwort anzeigen

Antwort

\[A \cup B = \{2, 4, 5, 9\} \]

Frage anzeigen

Frage

Bilde die Schnittmenge zu folgenden Mengen:

\begin{align} C &= \{4, 5, 9, 12\} \\ D &= \{2, 5, 9, 13\} \end{align}

Antwort anzeigen

Antwort

\[C \cap D = \{5, 9\} \]

Frage anzeigen

Frage

Bilde die Differenzmenge \(B \backslash A \) zu den beiden Mengen:

\begin{align} A &= \{3, 5, 9, 20\} \\ B &= \{1, 2, 9, 20, 40\} \end{align}

Antwort anzeigen

Antwort

\[B \backslash A = \{1, 2, 40\} \]

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den Begriff Venn-Diagramm.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Venn-Diagramm ist eine Relation von Mengen. Es werden Mengen als Kreise bzw. auch Ellipsen für mehr als 3 Mengen dargestellt und miteinander geschnitten. Dabei können die Zusammenhänge von Mengen nun markiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Schnittmenge für folgende Mengen?


\begin{align} A &= \{1, 3, 6\} \\ B &= \{2, 3\} \\ C &= \{3, 6\} \end{align}

Antwort anzeigen

Antwort

\[A \cap B \cap C = \{3\} \]

Frage anzeigen

Frage

Kann \((A \cap B) \cup C \) mit 2 Kreisen gelöst werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da insgesamt 3 Mengen involviert sind.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der wichtigste Unterschied zwischen Euler- und Venn-Diagramm?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Venn-Diagramm sollen alle Schnittmengen gezeigt werden, auch wenn sie leer sind. Beim Euler-Diagramm darf es auch disjunkte Mengen geben.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Zeichen für die Differenzmenge?

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \backslash \]

Frage anzeigen

Frage

Was bietet sich bei mehr als 4 Mengen auch an?

Antwort anzeigen

Antwort

KV-Diagramm

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für \(A \cap B \cap C\), wenn gilt:


\[A = \{1\}, B = \{2\}, C = \{3\}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[A \cap B \cap C = \{ \} \]

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Venn-Diagramm
60%

der Nutzer schaffen das Venn-Diagramm Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Get FREE ACCESS to all of our study material, tailor-made!

Over 10 million students from across the world are already learning smarter.

Get Started for Free
Illustration