Venndiagramm - Was steckt dahinter?
Venndiagramme helfen dabei, das Rechnen mit Mengen zu veranschaulichen. Besonders in der Wahrscheinlichkeitsrechnung finden Venndiagramme häufig Anwendung als Teil der Ereignisalgebra oder auch der Mengenalgebra. In diesem Artikel erfährst du, wie du ein Venndiagramm richtig zeichnest und welche Informationen du aus ihm herauslesen kannst.
Mengen
Mengen sind Zusammenfassungen von Objekten zu einer Überkategorie. Die Objekte, die in Mengen enthalten sind, werden Elemente genannt. Element einer Menge kann so ziemlich alles Vorstellbare sein: Ein Hund als Element der Menge „Haustiere“ oder ein ganz bestimmter Stein als Element der Menge „Steine in der Nordsee“.
Aufbau eines Venn-Diagramms
Venndiagramme, auch Mengendiagramme genannt, haben die Aufgabe, alle möglichen logischen Zusammenhänge zwischen zwei Mengen darzustellen. Dazu werden die einzelnen Mengen z.B. als Kreise dargestellt. Venndiagramme werden immer so gezeichnet, dass es eine Überlappung zwischen allen Mengen gibt, auch wenn sich in den Überlappungen keine Elemente befinden.
Beispiel 1
Zwei Mengen A und B enthalten die folgenden Elemente:
A = {1,3,5,7}
B = {1,3,4,6}
Das zugehörige Venndiagramm sieht so aus:
Beispiel 2
Zwei Mengen A und B enthalten die folgenden Elemente:
A = {1,3,5}
B = {2,4,6}
Das zugehörige Venndiagramm sieht so aus:
Venndiagramme mit mehr als zwei Mengen
Venndiagramme lassen sich auch für 3, 4 oder mehr Mengen erstellen. Da es auch bei mehr als zwei Mengen alle Arten der Überlappung geben muss, ist es schwieriger, solche Mengendiagramme darzustellen. Wie genau das funktioniert, zeigen wir dir anhand der folgenden Beispiele.
3 Mengen
Das Venndiagramm dreier Mengen A, B und C ist so aufgebaut, dass es Raum für Elemente gibt, die in allen drei Mengen vertreten sind. Dieser Raum wird durch das abgerundete Dreieck in der Mitte beschrieben. An dieses Dreieck grenzen wiederum drei abgerundete Dreiecke. In ihnen befinden sich alle Elemente, die nur Teil der zwei Mengen sind, deren Kreise sich dort überlappen, jedoch nicht in der dritten Menge enthalten sind. Der nach außen ragende „Rest“ der Kreise enthält alle Elemente, die nur in der jeweiligen Menge vorkommen, nicht aber in den anderen beiden.
Beispiel
Drei Mengen A, B und C enthalten die folgenden Elemente:
A = {Apfel, Birne, Erdbeere}
B = {Blaubeere, Birne, Erdbeere}
C = {Ananas, Orange, Erdbeere}
Das zugehörige Venndiagramm sieht so aus:
4 Mengen
So ein Venndiagramm mit 3 Mengen geht ja noch, oder? Sehen wir uns doch mal ein Venndiagramm mit 4 Mengen an. Dort wird es nämlich langsam kompliziert. Ein solches Venndiagramm muss nämlich so aufgebaut sein, dass es für jede mögliche Mengenzugehörigkeit der Elemente eine grafische Darstellung gibt.
Beispiel
Vier Mengen A, B, C und D enthalten die folgenden Elemente:
A = {1,3,4,6,7}
B = {1,2,5,6,8}
C = {3,5,7,9,10}
D = {1,4,7,9,11}
Für dieses Beispiel gibt es nach John Venn zwei Möglichkeiten der visuellen Darstellung:
Wieso überhaupt „Venn“?
John Venn war ein englischer Mathematiker, der 1881 die Venndiagramme einführte. Seine Überlungen zu der logischen Verknüpfung von Aussagen und Mengen basierte dabei auf den sogenannten Euler-Diagrammen, die durch Leonhard Euler 1761 eingeführt wurden.
Aber genug von der Geschichte! Wirklich wichtig ist, wie so ein Euler-Diagramm aussieht und wo der Unterschied zum Venndiagramm liegt.
Euler-Diagramm
Ein Euler-Diagramm ist ebenfalls ein Mittel zur grafischen Darstellung von Mengen und ihren Zusammenschlüssen. Auch hier werden Mengen als Kreise oder Ellipsen dargestellt. Der Unterschied zum Venndiagramm besteht darin, dass Überlappungen der beteiligten Mengen nicht zwingend notwendig sind. So kann es mehrere unterschiedliche Mengen innerhalb von größeren Mengen, also Teilmengen geben oder auch strikt disjunkte Mengen, die keine Elemente gemeinsam haben.
Beispiel
Ein Euler-Diagramm könnte z.B. so aussehen:
Venndiagramm - Alles Wichtige auf einen Blick
- Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten.
Venndiagramme: - helfen bei der Darstellung von komplexen Zusammenhängen mehrerer Mengen.
- stellen die Zugehörigkeit einzelner Elemente zu den jeweiligen Mengen dar.
- stammen von dem Wissenschaftler John Venn, der sie 1881 einführte.
- unterscheiden sich von den Euler-Diagrammen, indem jede mögliche Kombination der unterschiedlichen Mengen dargestellt werden muss.
Unsere Empfehlung
Venndiagramme sind ein sehr gutes Werkzeug, um Mengen in Alltag und Beruf klar zu strukturieren und einen Überblick zu schaffen. Um zu üben, mit Mengen zu rechnen, lies dir unseren Beitrag „Mengenalgebra“ durch. Dort erfährst du, welche Operationen auf Mengen anwendbar sind, wie du sie visuell mithilfe von Venndiagrammen darstellen kannst und welche Rechengesetze für Mengen gelten.
Insider Tipp:
Es gibt so viele Arten von Diagrammen! Überleg dir am besten eine Eselsbrücke, damit du nicht durcheinanderkommst. Dabei kannst du dir ganz einfach Sachen ausdenken, wie: „Was wäre, VENN all diese Mengen verknüpft wären?" Sei kreativ!
