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Frage

Wann sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig?

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Antwort

Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn die spezielle Produktformel P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) gilt.

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Welche zwei Möglichkeiten gibt es um A und B auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen?

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  • Man prüft, ob die spezielle Produktformel gilt
  • Man prüft, ob die bedingten Wahrscheinlichkeiten mit den unbedingten Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen.
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Frage

A und B seien stochastisch unabhängig, es gelte P(A) = 0,4. 

Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von A und B betrage 0,1. 

Wie groß ist P(B)?

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Antwort

Wegen der stochastischen Unabhängigkeit gilt P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B).


P(B) = P(A ∩ B) / P(A) = 0,1 / 0,4 = 0,25 

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Frage

Was gilt wenn zwei Ereignisse unvereinbar sind?

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Antwort

Sind zwei Ereignisse A und B unvereinbar und gilt P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0, so sind A und B stochastisch abhängig.

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Frage

Wann können zwei Ereignisse gleichzeitig unabhängig und unvereinbar sein?

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Antwort

Wenn mindestens eines der beiden die Wahrscheinlichkeit null hat.

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Frage

Untersuchen Sie die folgenden Ereignisse beim Zufallsexperiment „Würfeln“ paarweise auf Unvereinbarkeit und stochastische Unab- hängigkeit: A = ∅, B = {1; 4}, C = {2; 3; 5} und D = {1; 3; 5}

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Antwort

Wegen A ∩ B = ∅ sind A und B unvereinbar und es gilt P(A ∩ B) = 0.

Weiter ist P(A) P(B) = 0 * 2/6 = 0 also sind A und B unabhängig

Die Ereignispaare A und C sowie A und D sind ebenfalls unvereinbar und unabhängig, was sich in analoger Weise nachrechnen lässt.


Es gilt B ∩ C = ∅, also sind B und C unvereinbar und es gilt P(B ∩ C) = 0

Weiter ist P(B) P(C) = 2/6 * 3/6 = 1/6 ≠ 0 also sind B und C abhängig

Wegen B ∩ D = {1} sind B und D vereinbar mit P(B ∩ D) = 1/6
Weiter sind P(B) * P(D) = 2/6 * 3/6 = 1/6 also sind B und D unabhängig


Es gilt C ∩ D = {3; 5}, also sind C und D vereinbar und es gilt  P(C ∩ D) = 2/6 = 1/3
Weiter ist P(C) * P(D) = 3/6 * 3/6 = 1/4 ≠ 1/3 also sind C und D abhängig

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Frage

Zwei unterscheidbare Würfel werden gleichzeitig geworfen. Sind die Ereignisse A „erster Würfel zeigt 6“ und B „zweiter Würfel zeigt 6“ unvereinbar? 


Sind A und B stochastisch unabhängig? Wie ändert sich die Situation, wenn die Würfel an den Flächen mit der 3 zusammengeklebt werden?

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Antwort

Die Ereignisse A und B sind vereinbar und stochastisch unabhängig. Wenn die Würfel nach dem Zusammenkleben geworfen werden, sind A und B nur vereinbar, wenn beim Zusammenkleben die Flächen mit der Sechs in die gleiche Richtung gezeigt haben, wenn sie also nicht gegeneinander verdreht sind. 


Auf jeden Fall sind A und B jetzt stochastisch abhängig. Wenn nämlich A und B unvereinbar sind, sind sie nach dem obigen Satz stochastisch abhängig. Sind sie vereinbar, treten sie stets gemeinsam ein. 


Wenn p die Wahrscheinlichkeit für eine doppelte Sechs des „Doppelwürfels“ ist, so ist P(A) = p und P(B) = p. Es gilt p ⋅ p ≠ p, also sind A und B auch in diesem Falle stochastisch abhängig.

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