Wie löse ich ein Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kannst du mithilfe dieser Methoden Lösen: Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Gleichsetzungsverfahren Graphische Lösung Gauß-Algorithmus

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Algebra

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Wie kann man ein lineares Gleichungssystem lösen?

Um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten mit System lösen zu können, hilft dir dieser Artikel.

Er behandelt die wichtigsten Grundlagen zum Verstehen des Gleichungssystems und gibt dir einen Überblick über die Möglichkeiten zur Berechnung der Lösung des Gleichungssystems.

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Lineare Gleichungssysteme - Grundlagenwissen

Zu Beginn solltest du dir noch einmal die Grundlagen der linearen Gleichungssysteme vor Augen führen. Wenn du merkst, dass du Themen nicht mehr so gut kannst, kannst du dir immer die entsprechenden Artikel heraussuchen und noch mal nachlesen.

Lineare Gleichungen

Wir wollen zunächst kurz die wichtigsten Informationen zu linearen Gleichungen an dieser Stelle wiederholen.

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a \cdot x + b = 0$ (mit nur einer Variablen) oder $y = m \cdot x + t$ (mit zwei Variablen).

Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

Linearen Gleichungen sind also Gleichungen, die als Variable nur ein x (oder auch jeden anderen Buchstaben) enthalten, jedoch kein x², x³ oder andere Variablen mit Potenzen.

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel dazu an.

Diese Gleichung ist eine typische lineare Gleichung. Sie enthält ein einfaches x (in seiner ersten Potenz) und ist somit geradlinig.

$3 x + 1 = 0$

Andere Gleichungen enthalten auch das x als Variable, jedoch in einer anderen Form. Ist das x also nicht linear, sondern taucht in höheren Potenzen ( $x^{2}$ ) oder unter der Wurzel ( $\sqrt{x}$ ) auf, dann handelt es sich um keine linearen Gleichungen.

$x^{2} - 9 = 0 \sqrt{x - 1} = 0$

Eine lineare Gleichung kann auf zwei Arten aufgeschrieben werden. Man unterscheidet zwischen der Allgemeinen Form und der Normalform.

Form

Bedeutung

Allgemeine Form:

a \cdot x + b = 0

Diese Form ist oft der Definitionsmaßstab (auch bei anderen Gleichungsformen).

x ist die Variable; a und b sind Platzhalter für Zahlen.

Beispiel: $2 x - 4 = 0$

Normalform:

$y = m \cdot x + t$

Man findet diese Form vor allem als Gleichung einer linearen Funktion.

In der Normalform kommen bereits zwei Variablen vor, x und y.

m und t sind ebenfalls nur Platzhalter für Zahlen, sie haben in der Gleichung der linearen Funktion allerdings bestimmte Funktionen: m ist die Steigung und t ist der y-Achsenabschnitt.

Beispiel: $y = 4 x + 2$

Die lineare Funktion

Eine lineare Gleichung kann in Form einer linearen Funktion auch grafisch dargestellt werden. Sie bildet eine Gerade ab.

Hier ist die Funktion $y = 2 \cdot x - 2$ visualisiert.

lgs lösen Lineare Funktion StudySmarter Abbildung 1: Lineare Funktion

Grafisch ist hier eine Gerade zu sehen, an die man die Steigung $m = 2$ und den y-Achsenabschnitt $t = - 2$ antragen kann.

Äquivalenzumformung

Gleichungen kann man mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer Variable auflösen.

Das bedeutet, man bringt das x allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens und den Rest auf die andere Seite. Du kannst dabei die gleiche Zahl auf beiden Seiten addieren beziehungsweise subtrahieren. Oder du multiplizierst oder dividierst die gleiche Zahl außer Null beidseitig.

Unter der Äquivalenzumformung versteht man die Umwandlung einer Gleichung (oder Ungleichung) in eine andere Gleichung (oder Ungleichung), welche dieselbe Lösungsmenge hat.

Bei linearen Gleichungen sind Äquivalenzumformungen zum Beispiel Rechnungen, die du gleichzeitig auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens vornimmst:

Du nimmst also links des Gleichheitszeichens eine Vereinfachung vor (zum Beispiel -3), welche du dann ganz genauso auf der rechten Seite übernehmen musst.
Diese Umformungen zeigt man mit einem geraden Strich, der hinter der Gleichung steht, an.

$\begin{matrix} 3 x - 5 & = & 13 & | + 5 \\ 3 x - 5 + 5 & = & 13 + 5 \\ 3 x & = & 18 & | : 3 \\ 3 x : 3 & = & 18 : 3 \\ x & = & 6 \end{matrix}$

Die Rechenoperation muss immer auf beiden Seiten ausgeführt werden und kann durch einen senkrechten Strich angekündigt werden.

Lineare Gleichungssysteme

Bei einem Gleichungssystem betrachtest du jetzt mehrere Gleichungen mit mehr als einer Unbekannten. In diesem Fall handelt es sich um zwei lineare Gleichungen mit genau zwei Unbekannten.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form

$I . a_{1} \cdot x + b_{1} = c_{1} \cdot y + d_{1} I I . a_{2} \cdot x + b_{2} = c_{2} \cdot y + d_{2}$

mit Zahlen $a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}, d_{1}, d_{2} \in ℝ$ .

Ein lineares Gleichungssystem stellt also zwei lineare Gleichungen in Beziehung. Die Lösungsmenge eines solchen Gleichungssystems beinhaltet all diejenigen Paare $(x, y)$ , die gleichzeitig beide Gleichungen erfüllen.

Lineare Gleichungssysteme graphisch lösen

Man kann sich lineare Gleichungssysteme grafisch vorstellen, dazu benötigt es nur ein bisschen Vorarbeit:

Die beiden Gleichungen des Gleichungssystems kann man in die Normalform ( $y = m \cdot x + t$ ) umwandeln. In dieser Funktionsform kann man die Gleichungen einfach grafisch darstellen und bekommt eine Vorstellung von seinem Gleichungssystem.

LGS lösen, lineares Gleichungssystem graphisch lösen, StudySmarter Abbildung 2: Lineares Gleichungssystem graphisch

Wenn du jetzt die Lösung des Gleichungssystems mithilfe eines der Lösungsverfahren berechnen möchtest, dann ermittelst du den x-Wert und den y-Wert des Schnittpunktes der zwei Funktionen.

Hier ist der x-Wert des Schnittpunktes x=2 und der y-Wert ebenfalls y=2. Der Schnittpunkt liegt also bei (2|2).

Du weißt jetzt also, dass die zwei Geraden die Gleichungen grafisch darstellen und deren Schnittpunkt die Lösung des Gleichungssystems ist.

Es gibt außerdem noch einige Sonderfälle, welche mit dieser Regel aber gut zu erklären sind.

Sind die Geraden parallel zueinander, haben also die gleiche Steigung, dann werden sie sich in keinem Punkt schneiden. Ohne einen grafischen Schnittpunkt hat demnach auch das Gleichungssystem keine Lösung.

lgs lösen keine Lösungen StudySmarter Abbildung 4: Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen

Sind die Geraden identisch, das heißt haben sie in der Normalform genau die gleiche Steigung und auch einen übereinstimmenden Achsenabschnitt (in der Normalform), dann liegen sie grafisch gesehen genau aufeinander.

Das bedeutet, diese beiden Funktionen schneiden sich in jedem Punkt.

Das Gleichungssystem ist also für jeden x und y-Wert richtig und erfüllt, es hat unendlich viele Lösungen.

lgs lösen unendlich viele Lösungen StudySmarter Abbildung 4: Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen

Lineare Gleichungssysteme rechnerisch

Eine Gleichung mit einer Variable allein kann man mithilfe der Äquivalenzumformung einfach lösen.

$\begin{matrix} 4 x - 3 & = & 1 \\ 4 x - 3 & = & 1 & | + 3 \\ 4 x & = & 4 & | : 4 \\ x & = & 1 \end{matrix}$

Die Gleichung wird nach der einzigen Variable umgestellt, so erhält man die Lösung für diese Unbekannte.

Anders sieht es aus, wenn in einer einzigen linearen Gleichung gleich mehrere Variablen vorkommen.

In diesem Fall kann man keine Lösung für die Variablen finden.

$\begin{matrix} 2 x - 6 & = & 2 y + 4 \\ 2 x - 6 & = & 2 y + 4 & | + 6 \\ 2 x & = & 2 y + 10 & | : 2 \\ x & = & y + 5 \\ ? \end{matrix}$

Eine solche Gleichung kann nur mithilfe eines Gleichungssystems gelöst werden. Dazu benötigt man jedoch eine zweite Gleichung mit den gleichen Unbekannten (x und y) wie die Erste.

$I . x = y + 5 I I . y - 1 = x + 4$

Die erste Gleichung (bezeichnet mit römisch I.) kennst du bereits. Die zweite Gleichung (II.) vervollständigt das Gleichungssystem. Es gibt nun mehrere Möglichkeiten solch ein Gleichungssystem zu lösen, diese werden im Folgenden näher erläutert.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen

Es gibt nun mehrere Alternativen, ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen zu lösen. Such dir am besten diejenige aus, mit der dein Gleichungssystem am leichtesten zu lösen ist.

Das Einsetzungsverfahren

In diesem Abschnitt lernst du das Grundlegende zum Einsetzungsverfahren. Sieh dir trotzdem den Artikel dazu noch einmal genauer an.

Beim Einsetzungsverfahren löst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, indem du eine nach einer Variablen umgeformte Gleichung in die andere Gleichung einsetzt.

Wie der Name schon sagt, musst du beim Einsetzungsverfahren etwas einsetzen. Genauer wird das im Folgenden anhand eines Beispiels erklärt.

Dazu geht man immer in den gleichen Schritten vor:

1. Schritt: Von den zwei Gleichungen des Gleichungssystems suchst du dir eine aus.

2. Schritt: Die ausgesuchte Gleichung löst du mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer der beiden Variablen auf.

3. Schritt: In die zweite Gleichung setzt du jetzt das Ergebnis aus Schritt 2 ein.

4. Schritt: Löse die in Schritt 3 erhaltene Gleichung nach der einzig verbliebenen Variable auf. Damit hast du das Ergebnis für die erste Variable.

5. Schritt: Um das Ergebnis für die zweite Variable noch zu berechnen, setzt du die bekannte Variable in die Gleichung aus Schritt 2 ein.

6. Schritt/Probe: Um zu überprüfen, ob die Lösungen für dein Gleichungssystem richtig sind, setzt du die ausgerechneten Ergebnisse der Variablen x und y in eine der Ausgangsgleichungen (I. oder II.) ein. Ist das Ergebnis richtig, hast du das Gleichungssystem korrekt gelöst. Wenn nicht, musst du noch einmal nachrechnen, denn dann hast du einen Fehler gemacht.

7. Schritt: Gib dein Ergebnis als Lösungsmenge an.

Ein Beispiel anhand eines Gleichungssystems zeigt dir, wie das Ganze funktioniert.

Aufgabe 1

Zu Beginn hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gegeben. Sie sind die Ausgangsgleichungen und werden als römisch I. und II. bezeichnet.

$\begin{matrix} I . & 2 x & = & 2 y - 4 \\ I I . & 3 y - 3 & = & x + 1 \end{matrix}$

Schritt 1: Von den zwei Gleichungen suchst du dir eine aus.

$I . 2 x = 2 y - 4$

Schritt 2: Du löst diese Gleichung nun mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer der beiden Variablen auf. Hier bietet es sich an, nach x aufzulösen.

$\begin{matrix} I . & 2 x & = & 2 y - 4 & | : 2 \\ 2 x : 2 & = & (2 y - 4) : 2 \\ I .' & x & = & y - 2 \end{matrix}$

Um anzuzeigen, dass dies nicht mehr die alte Ausgangsgleichung I. ist, sondern eine umformulierte Gleichung, schreibst du I.' ("römisch I. Strich") vor diese "neue" Gleichung.

Schritt 3: Nun wird eingesetzt: setze für das x in der Gleichung II. nun das ausgerechnete Ergebnis aus Schritt 2 (I.') ein. Du markierst diesen Vorgang mit I.' in II.

Hierbei musst du unbedingt aufpassen, falls notwendig, Klammern zu setzen!

\begin{matrix} I .' i n I I . & 3 y - 3 & = & (y - 2) + 1 \\ I I .' & 3 y - 3 & = & y - 1 \end{matrix}

Auch die Gleichung II. wurde verändert und wird deshalb als II.' bezeichnet.

Schritt 4: Löse die Gleichung II.' als Nächstes nach der einzig verbliebenen Variable auf.

$\begin{matrix} I I .' & 3 y - 3 & = & y - 1 & | - y \\ 2 y - 3 & = & - 1 & | + 3 \\ 2 y & = & 2 & | : 2 \\ y & = & 1 \end{matrix}$

Du bekommst also ein eindeutiges Ergebnis für die erste Variable, hier ist $y = 1$ .

Schritt 5: Dir fehlt jetzt also nur noch das Ergebnis von x. Dafür nutzt du am besten die Gleichung I.', da diese schon nach x umgestellt ist, und setzt dort den in Schritt 4 ausgerechneten Wert für y ein.

$\begin{matrix} I I .' i n I .' & x & = & 1 - 2 \\ x & = & - 1 \end{matrix}$

Spätestens jetzt merkst du, wie wichtig die Benennung der Ausgangsgleichungen (I. und II.) und deren Umformungen (I.' und II.') ist. Es dient dazu, die Rechnung nachvollziehbar zu machen und Gleichungen direkt wiederzufinden.

Damit hast du jetzt also das Ergebnis für beide Variablen des Gleichungssystems gelöst und die Aufgabe gelöst.

$x = - 1 y = 1$

Schritt 6: Probe: Mach unbedingt die Probe und prüfe, ob das Ergebnis richtig ist.

Dazu setzt du deine ausgerechneten Ergebnisse der Variablen, in eine der Ausgangsgleichungen ein. Hier machen wir das mal beispielhaft in beide Gleichungen:

$\begin{matrix} E i n s e t z e n i n I . & 2 x & = 2 y - 4 \\ 2 \cdot (- 1) & = 2 \cdot 1 - 4 \\ - 2 & = - 2 & ✅ \end{matrix}$

Die Gleichungen sind richtig, also hast du die korrekten Zahlen für dein Gleichungssystem berechnet.

Schritt 7: Als Letztes gibst du dein überprüftes Ergebnis natürlich noch als Lösungsmenge an.

Das schreibt man in dieser Form mit den korrekten Werten für x und y:

$L = {(- 1 | 1)}$

Das Additionsverfahren

Weiter geht es mit dem Grundlegenden zum Additionsverfahren. Sieh dir trotzdem den Artikel dazu noch einmal genauer an.

Beim Additionsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du eine Variable durch Addition eliminierst. Dafür bringst du die Koeffizienten einer der Variablen in den beiden Gleichungen auf eine Zahl und ihre Gegenzahl.

Beim Additionsverfahren musst du also laut seinem Namen eine Addition durchführen. Das genaue Vorgehen anhand eines Beispiels erfährst du in diesem Abschnitt.

Man geht immer in den gleichen Schritten vor:

1. Schritt: Du bringst die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformungen auf ihre jeweiligen Gegenzahlen.

Der Koeffizient ist die Zahl vor der Variable (zum Beispiel $2 x$ oder $\frac{1}{4} y$ ).

Gegenzahlen sind Zahlen mit dem gleichen Wert, aber unterschiedlichen Vorzeichen ( $5$ ist die Gegenzahl von $- 5$ , $- 2$ von $2$ und $\frac{1}{4}$ von $- \frac{1}{4}$ ).

2. Schritt: Die beiden Gleichungen addierst du miteinander.

3. Schritt: Die erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable auf und berechnest ihre Lösung.

4. Schritt: Den berechneten Wert für die erste Variable setzt du in eine der Ausgangsgleichungen ein und löst diese nach der zweiten Variable auf. Somit hast du für beide Variable eine Lösung.

5. Schritt/Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen von Beginn ein und berechne die linke und rechte Seite.

6. Schritt: Gib dein Ergebnis als Lösungsmenge an.

Zu Schritt 5: bekommst du auf beiden Seiten die gleichen Zahlen, ist die Lösung richtig. Erhältst du zwei unterschiedliche Zahlen, dann ist die Gleichung und damit das Ergebnis falsch. Irgendwo hat sich ein Fehler eingeschlichen.

Ein beispielhaftes Gleichungssystem zeigt dir, wie das Ganze funktioniert.

Aufgabe 2

Zu Beginn hast du wieder ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gegeben. Sie sind die Ausgangsgleichungen und werden als römisch I. und II. bezeichnet.

$I . 2 y - x = 5 I I . 3 x - 1 = 4 y$

1. Schritt: Bringe die Koeffizienten einer Variable (x oder y) durch Äquivalenzumformung auf die jeweiligen Gegenzahlen. Du wählst dir das x als Variable aus und bringst den Koeffizienten von x aus der Ausgangsgleichung $I .$ auf die Gegenzahl von 3 ( $3 x i n I I .$ ).

Das erreichst du, indem du I. durch eine Äquivalenzumformung umstellst und damit $- x$ auf $- 3 x$ bringst.

$\begin{matrix} I . & 2 y - x & = & 5 & | \cdot 3 \\ (2 y - x) \cdot 3 & = & 5 \cdot 3 \\ I .' & 6 y - 3 x & = & 15 \end{matrix}$

2. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen ( $I .' u n d I I .$ ) miteinander.

Dafür schreibst du einfach die jeweiligen Terme der linken Seite als Summe. Setze dann das "=" Zeichen und addiere auch noch die Terme der rechten Seite.

$\begin{matrix} 6 y - 3 x & + 3 x - 1 & = & 15 & + 4 y \\ I .' & I I . & I .' & I I . \end{matrix}$

3. Schritt: Diese erhaltene Gleichung löst du nach der verbliebenen Variable (y) auf und berechnest ihre Lösung. Das x fliegt durch unsere vorherigen Umformungen und die Addition raus. Es bleibt nur noch eine Gleichung mit einer Variablen y übrig.

Diese kannst du jetzt lösen und bekommst ein Ergebnis für y.

$\begin{matrix} 6 y - 3 x + 3 x - 1 & = & 15 + 4 y \\ 6 y - 1 & = & 15 + 4 y & | - 4 y \\ 2 y - 1 & = & 15 & | + 1 \\ 2 y & = & 16 & | : 2 \\ y & = & 8 \end{matrix}$

4. Schritt: Setze den berechneten Wert für die erste Variable (y) in eine der Ausgangsgleichungen ein und löse diese nach der zweiten Variable (x) auf. Somit hast du für beide Variablen eine Lösung. Du setzt den Wert für y in die Ausgangsgleichung $I .$ ein und löst sie nach x auf.

$\begin{matrix} 2 \cdot 8 - x & = & 5 \\ 16 - x & = & 5 & | - 16 \\ - x & = & - 11 & | \cdot (- 1) \\ x & = & 11 \end{matrix}$

5. Schritt/Probe: Setze die Werte der Variablen in eine der Gleichungen von Beginn ein und berechne die linke und rechte Seite.

Du wählst die einfachere Gleichung der beiden Anfangsgleichungen (in diesem Beispiel $I .$ ) und setzt $x = 11$ und $y = 8$ darin ein.

$\begin{matrix} I . & 2 y - x & = & 5 \\ 2 \cdot 8 - 11 & = & 5 \\ 16 - 11 & = & 5 \\ 5 & = & 5 \end{matrix} \begin{matrix} ✅ \end{matrix}$

Die Lösung ist richtig, das bedeutet, du hast richtig gerechnet!

Wäre das Ergebnis falsch, müsstest du noch einmal nachrechnen. Beispiel: $\begin{matrix} 5 & \neq & 3 & ❌ \end{matrix}$

6. Schritt: Gib das Ergebnis als Lösungsmenge an.

$L = {(11 | 8)}$

Das Gleichsetzungsverfahren

Auch das Gleichsetzungsverfahren kann dir helfen, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Auch hierzu solltest du dir noch einmal ausführlicher den zugehörigen Artikel ansehen.

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du beide Gleichungen nach einer Variable auflöst und die Gleichungen dann miteinander gleichsetzt.

Auch der Name des Gleichsetzungsverfahrens verrät dir schon, was du tun musst: die zwei Gleichungen gleichsetzen. Welche Schritte du dabei nacheinander ausführst, erfährst du im folgenden Beispiel.

Du gehst immer nach diesem Schema vor:

Schritt 1: Wähle eine der beiden Variablen aus und löse die erste Gleichung nach dieser auf.

Schritt 2: Löse anschließend auch die zweite Gleichung nach der ausgewählten Variable auf.

Schritt 3: Setze die beiden (nach x oder y) aufgelösten Gleichungen gleich.

Schritt 4: Berechne den Wert der verbliebenen Variable.

Schritt 5: Setze den Wert der berechneten Variable in die Gleichung aus Schritt 1 oder 2 ein und löse die Gleichung für die fehlende Variable.

Schritt 6/Probe: Setze die Werte der beiden Variablen in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfe das Ergebnis. Ist es richtig, kannst du die richtige Lösung angeben. Ist es falsch, musst du die Rechnung noch einmal durchführen, um deinen Fehler zu finden.

Schritt 7: Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

Anhand eines Beispiels wird das Verfahren genauer aufgezeigt.

Aufgabe 3

Dieses Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ist gegeben. Gib seine Lösungsmenge an.

$I . 4 x + 3 y = 14 I I . 2 x - y = 12$

Schritt 1: Wähle eine der beiden Variablen aus und löse die erste Gleichung nach dieser auf.

Du wählst dir die Variable x aus und stellst direkt Gleichung $I .$ danach um.

$\begin{matrix} I . & 4 x + 3 y & = & 14 & | - 3 y \\ 4 x & = & 14 - 3 y & | : 4 \\ x & = & (14 - 3 y) : 4 \\ x & = & \frac{7}{2} - \frac{3}{4} y \end{matrix}$

Schritt 2: Löse anschließend auch die zweite Gleichung nach der ausgewählten Variable auf.

Gleichung $I I .$ wird also auch noch nach x aufgelöst.

$\begin{matrix} I I . & 2 x - y & = & 12 & | + y \\ 2 x & = & 12 + y & | : 2 \\ x & = & (12 + y) : 2 \\ x & = & 6 + \frac{1}{2} y \end{matrix}$

Schritt 3: Setze die beiden (nach x) aufgelösten Gleichungen gleich.

Da ja beide Gleichungen nach x aufgelöst sind und x entsprechen, kannst du sie gleichsetzen.

$\frac{7}{2} - \frac{3}{4} y = 6 + \frac{1}{2} y$

Schritt 4: Berechne den Wert der verbliebenen Variable y. Löse die Gleichung nach y auf.

$\begin{matrix} \frac{7}{2} - \frac{3}{4} y & = & 6 + \frac{1}{2} y & | - \frac{1}{2} y \\ - \frac{5}{4} y + \frac{7}{2} & = & 6 & | - \frac{7}{2} \\ - \frac{5}{4} y & = & \frac{5}{2} & | : (- \frac{5}{4}) \\ y & = & \frac{5}{2} \cdot (- \frac{4}{5}) \\ y & = & - 2 \end{matrix}$

Reminder: Möchtest du durch einen Bruch teilen, kannst du stattdessen mit dessen Kehrbruch multiplizieren.

$: (- \frac{5}{4}) = \cdot (- \frac{4}{5})$

Schritt 5: Setze den Wert der berechneten Variable (y) in die Gleichung aus Schritt 1 oder 2 ein und löse die Gleichung für die fehlende Variable. Du setzt $y = - 2$ in die umgeformte Gleichung aus Schritt 2 ein, um den Wert für x zu erhalten.

$\begin{matrix} x & = & 6 + \frac{1}{2} y \\ x & = & 6 + \frac{1}{2} \cdot (- 2) \\ x & = & 6 - 1 \\ x & = & 5 \end{matrix}$

Schritt 6/Probe: Setze die Werte der beiden Variablen in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfe das Ergebnis. In die Ausgangsgleichung $I I .$ setzt du jetzt $x = 5$ und $y = - 2$ ein.

$\begin{matrix} I I . & 2 x - y & = & 12 \\ 2 \cdot 5 - (- 2) & = & 12 \\ 10 + 2 & = & 12 \\ 12 & = & 12 & ✅ \end{matrix}$

Die Lösung ist richtig, du hast richtig gerechnet.

Schritt 7: Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

$L = {(5 | - 2}$

LGS graphisch lösen

Wenn du die grafische Bedeutung der Lösung eines Gleichungssystems kennst, kannst du auch die Lösung des Systems grafisch ablesen. Sieh dir dazu den Artikel LGS graphisch lösen genauer an.

Erinnerung: Die Lösung eines linearen Gleichungssystems stellt den x- und y-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden dar.

Du gehst dazu folgendermaßen vor:

1. Schritt: Wandle deine beiden Gleichungen in die Normalform ( $y = m \cdot x + t$ ) um.

2. Schritt: Zeichne die beiden Geraden mithilfe der Normalform in ein Koordinatensystem ein.

3. Schritt: Lies die Koordinaten des Schnittpunktes der zwei Geraden ab. Der x-Wert ist die Lösung für dein x,

der y-Wert die Lösung für y.

4. Schritt/Probe: Setze die Werte der beiden Variablen in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfe das Ergebnis.

5. Schritt: Gib die Lösungsmenge an.

Gehen wir das Ganze anhand eines Beispiels durch:

Aufgabe 4

Ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ist gegeben.

$I . 2 y - 4 = 4 x I I . - 2 x = y + 2$

1. Schritt: Um das Gleichungssystem grafisch zu lösen, wandelst du zunächst beide Gleichungen in die Normalform um.

$\begin{matrix} I . & 2 y - 4 & = & 4 x & | + 4 \\ 2 y & = & 4 x + 4 & | : 2 \\ y & = & 2 x + 2 \\ I I . & - 2 x & = & y + 2 & | - 2 \\ - 2 x - 2 & = & y \\ y & = & - 2 x - 2 \end{matrix}$

2. Schritt: Mithilfe der Normalform zeichnest du die beiden Geraden in ein Koordinatensystem ein.

$y = 2 x + 2 \to f (x) y = - 2 x - 2 \to g (x)$

LGS lösen, LGS graphisch lösen, StudySmarter Abbildung 5: LGS graphisch lösen

Wenn du nicht mehr weißt, wie das Einzeichnen funktioniert, sieh dir am besten den Artikel Lineare Funktionen an.

3. Schritt: Lies die Koordinaten des Schnittpunktes der zwei Geraden ab. Der x-Wert ist die Lösung für dein x, der y-Wert die Lösung für y.

lgs lösen lgs graphisch lösen StudySmarter Abbildung 6: LGS graphisch lösen

Der Schnittpunk liegt bei $S (- 1; 0)$ .

Der x-Wert des Schnittpunktes und damit die Lösung für x, ist also $x = - 1$ .

Für den y-Wert gilt $y = 0$ .

4. Schritt/Probe: Setze die Werte der beiden Variablen in eine der Ausgangsgleichungen ein und überprüfe das Ergebnis. Du setzt $x = - 1$ und $y = 0$ in die Gleichung $I .$ ein.

$\begin{matrix} I . & 2 y - 4 & = & 4 x \\ 2 \cdot 0 - 4 & = & 4 \cdot (- 1) \\ - 4 & = & - 4 & ✅ \end{matrix}$

Das Ergebnis ist korrekt, du hast den Schnittpunkt richtig abgelesen.

Gerade wenn der Schnittpunkt keine ganzen Zahlen enthält, kann das ablesen manchmal etwas ungenau werden. In diesem Fall wäre auch die Probe nicht ganz korrekt.

Hält sich der Fehler in Grenzen (um ein paar Hundertstel oder Zehntel), ist das aber in Ordnung.

5. Schritt: Gib die Lösungsmenge an.

$L = {(- 1 | 0)}$

LGS lösen - Gauß Algorithmus

Der Gauß Algorithmus ist ein tolles Prinzip, um jede Art von linearem Gleichungssystem zu lösen, auch wenn du später mit mehr als zwei Gleichungen und einer höheren Zahl von Unbekannten umgehen musst.

Das Grundprinzip des Gauß'schen Verfahrens wird hier kurz angeschnitten, genauer solltest du es dir allerdings im Artikel Gauß-Algorithmus dazu durchlesen.

Das Gauß'sche Verfahren oder die Gauß'sche Elimination ist ein Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Es beruht auf dem Schritt der "Vorwärtselimination" zum Aufstellen der Zeilenstufenform und der "Rückersetzung" zur Reduktion des Gleichungssystems.

So gehst du grundsätzlich vor:

1. Schritt: Stelle die Zeilenstufenform des Gleichungssystems auf. Das heißt, die erste Gleichung besitzt alle enthaltenen Unbekannten, die zweite Gleichung enthält (durch vorherige Umformung, gefolgt von Addition ähnlich dem Additionsverfahren beziehungsweise Subtraktion) nur noch eine Unbekannte.

2. Schritt: Stelle die unterste Gleichung nach der einzigen Variable um und ließ die Lösung ab.

3. Schritt: Setzte die Lösung aus Schritt zwei eine Stufe höher in die erste Gleichung ein.

4. Schritt: Stelle die erste Gleichung nach der verbliebenen Unbekannten um und bestimme die Lösung.

5. Schritt: Gib die Lösung an.

Ein Beispiel macht vieles deutlicher:

Aufgabe 5

Ausgangspunkt ist dieses Gleichungssystem.

$I . 2 x - 3 y = 4 I I . - x - 2, 5 y = 6$

1. Schritt: Stelle die Zeilenstufenform des Gleichungssystems auf. Dies ist der komplizierteste Schritt, er wird ganz ausführlich noch einmal im Artikel zum Gauß Algorithmus erklärt.

Dieses Gleichungssystem liegt bereits in der richtigen Form vor, sollte das nicht der Fall sein, musst du es noch umwandeln nach diesem Prinzip: Alle Variablen mit ihren Koeffizienten stehen links, alle Zahlen allein rechts.

$a x + b y = c$

Im nächsten Schritt veränderst du die Gleichungen so, dass du wie beim Additionsverfahren durch Addition und diesmal auch Subtraktion eine Variable (zum Beispiel x) eliminieren kannst.

$\begin{matrix} I . & 2 x - 3 y & = & 4 \\ I I . & - x - 2, 5 y & = & 6 \\ I I . & - x - 2 y & = & 6 & | \cdot 2 \\ I I .' & - 2 x - 5 y & = & 12 \end{matrix}$

Jetzt addierst (oder subtrahierst) du die Gleichungen und erhältst eine neue Gleichung.

2 x - 3 y - 2 x - 5 y = 4 + 12 - 8 y = 16

Nach diesem Schritt bist du bereit, die Zeilenstufenform zu erstellen. Deine erste Gleichung $2 x - 3 y = 4$ bleibt ganz normal stehen. Statt der zweiten Gleichung schreibst du die vereinfachte Gleichung ( $- 7 y = 16$ ) in dein System.

\begin{matrix} Z e i l e 1 | & 2 x - 3 y & = & 4 \\ Z e i l e 2 | & 0 x - 8 y & = & 16 \end{matrix}

2. Schritt: Stelle die untere Gleichung nach der einzigen Variable (y) um und ließ die Lösung ab.

$\begin{matrix} - 8 y & = & 16 & | : (- 8) \\ y & = & - 2 \end{matrix}$

3. Schritt: Setzte die Lösung aus Schritt zwei eine Stufe höher in die erste Gleichung ein.

$\begin{matrix} 2 x - 3 y & = & 4 \\ 2 x - 3 \cdot (- 2) & = & 4 \\ 2 x + 6 & = & 4 & | - 6 \\ 2 x & = & - 2 \end{matrix}$

4. Schritt: Stelle die erste Gleichung nach der verbliebenen Unbekannten (x) um und bestimme die Lösung.

$\begin{matrix} 2 x & = & - 2 & | : 2 \\ x & = & - 1 \end{matrix}$

5. Schritt: Gib die Lösung an.

$L = {(- 1 | - 2)}$

LGS lösen - Das Wichtigste

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a x + b = 0$ . Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.
Lineare Gleichungen können in der Allgemeinen Form oder Normalform dargestellt werden und mithilfe der Äquivalenzumformung umgeformt werden.
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen ist ein System der Form $I . a_{1} x + b_{1} = c_{1} y + d_{1} I I . a_{2} x + b_{2} = c_{2} y + d_{2}$
Graphisch sind das zwei Geraden. Der Schnittpunkt der Geraden mit seinem x- und y-Wert bezeichnet die Lösung des Gleichungssystems.

Abbildung 2: Lineares Gleichungssystem graphisch

Es gibt zwei Sonderfälle:

Haben die linearen Funktionen die gleiche Steigung, dann sind sie parallel zueinander. Sie haben keinen Schnittpunkt und das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Haben die Funktionen sowohl die gleiche Steigung, als auch den gleichen y-Achsenabschnitt, dann sind sie identisch. Sie haben unendlich viele Schnittpunkte und das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Um ein lineares Gleichungssystem rechnerisch zu lösen, gibt es vier Möglichkeiten:

Einsetzungsverfahren: Beim Einsetzungsverfahren löst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, indem du eine nach einer Variablen umgeformte Gleichung in die andere Gleichung einsetzt.
Additionsverfahren: Beim Additionsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du eine Variable durch Addition eliminierst. Dafür bringst du die Koeffizienten einer der Variablen in den beiden Gleichungen auf eine Zahl und ihre Gegenzahl.
Gleichsetzungsverfahren: Beim Gleichsetzungsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du beide Gleichungen nach einer Variable auflöst und die Gleichungen dann miteinander gleichsetzt.
Graphische Lösung: Bei der graphischen Lösung liest du den Schnittpunkt der Geraden im Gleichungssystem ab und erhältst dadurch die Lösung.
Gauß Algorithmus: Das Gauß'sche Verfahren oder die Gauß'sche Elimination ist ein Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Es beruht auf dem Schritt der "Vorwärtselimination" zum Aufstellen der Zeilenstufenform und der "Rückersetzung" zur Reduktion der Matrix.

Häufig gestellte Fragen zum Thema LGS lösen

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kannst du mithilfe dieser Methoden Lösen:

Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Gleichsetzungsverfahren
Graphische Lösung
Gauß-Algorithmus

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, indem du beide Gleichungen nach einer Variable auflöst und die Gleichungen dann miteinander gleichsetzt.

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Was sind die zwei grundlegenden Schritte des Gauß-Algorithmus?

Die zwei grundlegenden Schritte des Gauß-Algorithmus sind die Vorwärtselimination und das Rückwärtseinsetzen.

Welche drei Typen von Elementarzeilenumformungen gibt es im Gauß-Algorithmus?

Die drei Typen von Elementarzeilenumformungen sind das Vertauschen zweier Gleichungen, das Addieren einer Gleichung zu einer anderen, und das Multiplizieren einer Gleichung mit einer Nichtnull-Zahl.

Was ist die Gauß-Jordan-Methode und wie unterscheidet sie sich vom Gauß-Algorithmus?

Die Gauß-Jordan-Methode ist eine Erweiterung des Gauß-Algorithmus und führt nach der Vorwärtselimination eine zusätzliche Rückwärtselimination aus. Beim Gauß-Algorithmus hingegen folgt auf die Vorwärtselimination das Rückwärtseinsetzen.

Wo findet der Gauß-Algorithmus Anwendung?

Der Gauß-Algorithmus findet in vielen Bereichen Anwendung, unter anderem im Computersoftware-Design, in der Physik und den Ingenieurwissenschaften. Er zeigt seine Stärken besonders in der Berechnung großer Gleichungssysteme.

Was ist der Grundgedanke des Gauß-Algorithmus zur Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS)?

Der Gauß-Algorithmus löst LGS, indem er lineare Transformationen auf die Gleichungen anwendet, um sie in eine Form zu bringen, in der die Lösungen leicht abzulesen sind. Dies geschieht in drei Schritten: Auswahl einer Pivotposition, Elimination anderer Werte in der Pivot-Spalte durch Zeilenoperationen und Iteration über den Prozess, bis alle Pivots definiert sind.

Was ist der Zweck des "Pivot"-Elements im Gauß-Algorithmus?

Das Pivot-Element, oft auch als Leitelement bezeichnet, dient dazu, die übrigen Werte in der entsprechenden Gleichungsspalte zu eliminieren und das Gleichungssystem zu vereinfachen.

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