Wie lassen sich zwei Matrizen multiplizieren und welche Regeln musst Du dabei beachten? Hier findest Du eine Erklärung zum Matrizen multiplizieren, Beispiele zur Multiplikation von quadratischen Matrizen \(2\times2\) und \(3\times3\) und ebenso von drei Matrizen. Am Ende dieser Erklärung findest Du noch Aufgaben zum Üben.
In der Erklärung „Matrizen“ kannst Du alles rund um die Matrix nachlesen.
Matrizen multiplizieren – Erklärung
Um zwei Matrizen \(A\) und \(B\) multiplizieren zu können und das Produkt \(A\cdot B\) zu bilden, muss die Spaltenanzahl der Matrix \(A\) mit der Zeilenanzahl der Matrix \(B\) übereinstimmen.
Bevor Du also zwei Matrizen \(A\) und \(B\) multiplizieren kannst, musst Du zunächst überprüfen, ob sich die beiden Matrizen überhaupt multiplizieren lassen. Dies ist nur möglich, wenn die erste Matrix \(A\) genauso viele Spalten hat wie die zweite Matrix \(B\) Zeilen.
\[A_{(m,\,{\color{#FA3273}n})}\,\cdot\,B_{({\color{#FA3273}n},\,p)}\,=\,C_{(m,\,p)}\]
Das Ergebnis der Multiplikation \(A\cdot B\) ist die Produktmatrix bzw. das Matrizenprodukt \(C\).
Und wie kannst Du nun die zwei Matrizen \(A\) und \(B\) multiplizieren?
Matrizen multiplizieren Beispiel – Falk Schema
Zwei Matrizen \(A\) und \(B\) können multipliziert werden, indem das sogenannte Falk-Schema angewandt wird. Dies führt dazu, dass die Elemente \(c_{kl}\) der Produktmatrix \(C=A\cdot B\) über die Summe \[c_{kl}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ki}\cdot b_{il}\] gebildet werden, mit der \(k\)-ten Zeile der Matrix \(A\) und der \(l\)-ten Spalte der Matrix \(B\).
Das Produkt \(A\cdot B\) der beiden Matrizen \(A\) und \(B\) soll berechnet werden.
\[A={\color{#1478C8}\left(\begin{array}{ccc} -1&-2&3\\5&1&2\end{array}\right)} \hspace{1cm} B={\color{#00DCB4}\left(\begin{array}{cc} 3&3\\1&-2\\4&3\end{array}\right)}\]
Lösung
Zur Berechnung des Produkts \(A\cdot B\) kannst Du Dich an folgender Schritt-für-Schritt-Anleitung orientieren.
| Falk-Schema | Anwendung am Beispiel |
| \(1.\) Matrizen \(A\) und \(B\) in ein Kreuz-Schema eingetragen | \[\begin{array}{ccc|cc}&&&{\color{#00DCB4}3}&{\color{#00DCB4}3}\\[0.1cm]&&&{\color{#00DCB4}1}&{\color{#00DCB4}-2}\\[0.1cm]&&&{\color{#00DCB4}4}&{\color{#00DCB4}3}\\[0.1cm]\hline {\color{#1478C8}-1}&{\color{#1478C8}-2}&{\color{#1478C8}3}&{\color{#FA3273}c_{11}}&{\color{#FA3273}c_{12}}\\{\color{#1478C8}5}&{\color{#1478C8}1}&{\color{#1478C8}2}&{\color{#FA3273}c_{21}}&{\color{#FA3273}c_{22}}\end{array}\] |
| \(2.\) Skalarprodukt aus Zeilenvektor von \(A\) und dem Spaltenvektor von \(B\) bilden | \[\begin{array}{ccc|cc}&&&{\color{#FFCD00}3}&3\\[0.1cm]&&&{\color{#FFCD00}1}&-2\\[0.1cm]&&&{\color{#FFCD00}4}&3\\[0.1cm]\hline {\color{#8363E2}-1}&{\color{#8363E2}-2}&{\color{#8363E2}3}&{\color{#FA3273}c_{11}}&c_{12}\\5&1&2&c_{21}&c_{22}\end{array}\] \[{\color{#FA3273}c_{11}}={\color{#8363E2}(-1)}\cdot{\color{#FFCD00}3}+{\color{#8363E2}(-2)}\cdot{\color{#FFCD00}1}+{\color{#8363E2}3} \cdot{\color{#FFCD00}4}={\color{#FA3273}7}\] |
| \(3.\) Verfahren für alle anderen Elemente der Produktmatrix \(C\) anwenden | \[\begin{array}{ccc|cc}&&&3&{\color{#FFCD00}3}\\[0.1cm]&&&1&{\color{#FFCD00}-2}\\[0.1cm]&&&4&{\color{#FFCD00}3}\\[0.1cm]\hline {\color{#8363E2}-1}&{\color{#8363E2}-2}&{\color{#8363E2}3}&c_{11}&{\color{#FA3273}c_{12}}\\5&1&2&c_{21}&c_{22}\end{array}\] \[{\color{#FA3273}c_{12}}=(-1)\cdot 3+(-2)\cdot (-2)+3\cdot 3={\color{#FA3273}10}\] |
\[\begin{array}{ccc|cc}&&&{\color{#FFCD00}3}&3\\[0.1cm]&&&{\color{#FFCD00}1}&-2\\[0.1cm]&&&{\color{#FFCD00}4}&3\\[0.1cm]\hline -1&-2&3&c_{11}&c_{12}\\{\color{#8363E2}5}&{\color{#8363E2}1}&{\color{#8363E2}2}&{\color{#FA3273}c_{21}}&c_{22}\end{array}\] \[{\color{#FA3273}c_{21}}=5\cdot 3+1\cdot 1+2\cdot 4={\color{#FA3273}24}\] |
\[\begin{array}{ccc|cc}&&&3&{\color{#FFCD00}3}\\[0.1cm]&&&1&{\color{#FFCD00}-2}\\[0.1cm]&&&4&{\color{#FFCD00}3}\\[0.1cm]\hline -1&-2&3&c_{11}&c_{12}\\{\color{#8363E2}5}&{\color{#8363E2}1}&{\color{#8363E2}2}&c_{21}&{\color{#FA3273}c_{22}}\end{array}\] \[{\color{#FA3273}c_{22}}=5\cdot 3+ 1\cdot (-2)+2\cdot 3={\color{#FA3273}19}\] |
Damit ergibt sich aus der Multiplikation \(A\cdot B\) die Produktmatrix \(C=\left(\begin{array}{cc}7&10\\24&19\end{array}\right)\).
Multiplizierst Du zwei oder mehr Matrizen miteinander, so musst Du einige Regeln beachten.
Matrizen multiplizieren – Regeln
Werden zwei oder mehr Matrizen miteinander multipliziert, so muss zunächst überprüft werden, ob die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Unter Beachtung der Rechenregeln können die Matrizen dann über das Falk-Schema multipliziert werden.
- Kein Kommutativgesetz: \({\color{#1478c8}A}\cdot{\color{#00dcb4}B} \neq {\color{#00dcb4}B} \cdot {\color{#1478c8}A}\) (außer \({\color{#1478c8}A}\cdot E=E\cdot {\color{#1478c8}A}= {\color{#1478c8}A}\) mit Einheitsmatrix \(E\))
- Assoziativgesetz: \( ({\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#00dcb4}B}) \cdot {\color{#fa3273}C} = {\color{#1478c8}A} \cdot ( {\color{#00dcb4}B} \cdot {\color{#fa3273}C} )\)
- Distributivgestz: \( {\color{#1478c8}A} \cdot ( {\color{#00dcb4}B} + {\color{#fa3273}C} )= {\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#00dcb4}B} + {\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#fa3273}C} \)
- Transponierte: \(({\color{#1478c8}A}\cdot{\color{#00dcb4}B})^T = {\color{#00dcb4}B}^T \cdot {\color{#1478c8}A}^T\)
Voraussetzung für die Rechenregeln ist, dass die Matrizenmultiplikation überhaupt möglich ist (Spaltenanzahl und Zeilenanzahl der Matrizen beachten).
Diese Regeln kannst Du direkt beim Multiplizieren von drei Matrizen anwenden.
3 Matrizen multiplizieren 2x2
Werden drei Matrizen \(A\), \(B\) und \(D\) miteinander multipliziert, so gilt das Assoziativgesetz, wenn die Matrizentypen zueinanderpassen. Für quadratische Matrizen ist diese Bedingung erfüllt.
Multipliziere die drei Matrizen \(A\), \(B\) und \(D\) in dieser Reihenfolge miteinander.
\[{\color{#1478C8}A=\left(\begin{array}{cc} 3&4\\3&1\\ \end{array}\right)}\hspace{1cm}{\color{#00DCB4}B=\left(\begin{array}{cc} 4&1\\2&-4\end{array}\right)}\hspace{1cm} {\color{#FFCD00}D=\left(\begin{array}{cc} 2&1\\3&-1\end{array}\right)}\]
Lösung
Die drei Matrizen werden multipliziert, indem zunächst das Produkt \(A\cdot B\) multipliziert und dieses anschließend mit der Matrix \(D\) verrechnet wird.
| Falk-Schema | Anwendung am Beispiel |
- Kreuz einzeichnen,
- Matrizen \(A\) und \(B\) eintragen,
- Berechnung der Produktmatrix \(C=A\cdot B\)
| \[\begin{array}{cc|cc}&&{\color{#00DCB4}4}&{\color{#00DCB4}1}\\[0.1cm]&&{\color{#00DCB4}2}&{\color{#00DCB4}-4}\\[0.1cm]\hline{\color{#1478C8}3}&{\color{#1478C8}4}&{\color{#FA3273}20}&{\color{#FA3273}-13}\\{\color{#1478C8}3}&{\color{#1478C8}1}&{\color{#FA3273}14}&{\color{#FA3273}-1}\end{array}\] mit \begin{align}c_{11}&=3\cdot4+4\cdot2=20\\[0.1cm]c_{12}&=3\cdot 1+4\cdot (-4)=-13\\[0.1cm]c_{21}&=3\cdot 4 +1\cdot 2=14\\[0.1cm]c_{22}&=3\cdot 1+ 1\cdot (-4)=-1\end{align} |
- neues Kreuz einzeichnen,
- Produktmatrix \(C\) und Matrix \(D\) eintragen,
- Berechnung der neuen Produktmatrix \(E=C\cdot D\)
| \[\begin{array}{cc|cc}&&{\color{#FFCD00}2}&{\color{#FFCD00}1}\\[0.1cm]&&{\color{#FFCD00}3}&{\color{#FFCD00}-1}\\[0.1cm]\hline{\color{#FA3273}20}&{\color{#FA3273}-13}&1&33\\{\color{#FA3273}14}&{\color{#FA3273}-1}&25&15\end{array}\] mit \begin{align}e_{11}&=20\cdot 2+(-13)\cdot 3=1\\[0.1cm]e_{12}&=20\cdot 1+(-13)\cdot (-1)=33\\[0.1cm]e_{21}&=14\cdot 2 +(-1)\cdot 3=25\\[0.1cm]e_{22}&=14\cdot 1+ (-1)\cdot (-1)=15\end{align} |
Damit ergibt sich aus der Multiplikation \(A\cdot B \cdot D\) die Produktmatrix \(E=\left(\begin{array}{cc}1&33\\25&15\end{array}\right)\).
Hast Du Lust, Dein Wissen zum Matrizen multiplizieren an Übungsaufgaben zu testen? Dann auf zum nächsten Kapitel!
Matrizen multiplizieren – Aufgaben
Matrizen multiplizieren kannst Du in Aufgaben erst, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.
Matrizen multiplizieren 3x3 – Aufgabe 1
Eine \((3\times3)\)-Matrix ist eine quadratische Matrix mit \(3\) Zeilen und \(3\) Spalten. Die Multiplikation zweier solcher quadratischer Matrizen kannst Du jetzt üben.
Aufgabe 1
Multipliziere die \((3\times3)\)-Matrizen \(A\) und \(B\).
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&-1\\5&1&2\\1&3&3 \end{array}\right) \hspace{1cm} B=\left(\begin{array}{ccc} 4&2&1\\2&2&1\\-3&4&5 \end{array}\right)\]
Lösung
Die Berechnung erfolgt über das Falk-Schema mit:
\begin{align}c_{11}&=2\cdot 4+3\cdot 2+(-1)\cdot (-3)=17\\[0.1cm]c_{12}&=2\cdot 2+3\cdot 2+(-1)\cdot 4=6\\[0.1cm]c_{13}&=2\cdot 1+3\cdot 1+(-1)\cdot 5=0\\[0.1cm]c_{21}&=5\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot (-3)=16\\[0.1cm]c_{22}&=5\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 4=20\\[0.1cm]c_{23}&=5\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot 5=16\\[0.1cm]c_{31}&=1\cdot 4+3\cdot 2+3\cdot (-3)=1\\[0.1cm]c_{32}&=1\cdot 2+3\cdot 2+3\cdot 4=20\\[0.1cm]c_{33}&=1\cdot 1+3\cdot 1+3\cdot 5=19\end{align}
Das Produkt aus \(A\cdot B\) ergibt demnach:
\[ C=A\cdot B=\left( \begin{array}{ccc} 17&6&0\\16&20&16\\1&20&19 \end{array}\right) \]
Symmetrische Matrizen multiplizieren – Aufgabe 2
Eine symmetrische Matrix besitzt Matrixelemente, die an der Hauptdiagonalen gespielt sind. Somit sind symmetrische Matrizen spezielle quadratische Matrizen.
Aufgabe 2
Multipliziere die beiden symmetrischen Matrizen \(A\) und \(B\).
\[ A\cdot B= \left(\begin{array}{ccc} 0&2&1 \\ 2&0&3 \\ 1&3&0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 1&3&-2\\ 3&1&2 \\-2&2&1 \end{array}\right)\]
Lösung
Die Berechnung erfolgt über das Falk-Schema mit:\begin{align}c_{11}&=0\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot (-2)=4\\[0.1cm]c_{12}&=0\cdot 3+2\cdot 1+1\cdot 2=4\\[0.1cm]c_{13}&=0\cdot (-2)+2\cdot 2+1\cdot 1=5\\[0.1cm]c_{21}&=2\cdot 1+0\cdot 3+3\cdot (-2)=-4\\[0.1cm]c_{22}&=2\cdot 3+0\cdot 1+3\cdot 2=12\\[0.1cm]c_{23}&=2\cdot (-2)+0\cdot 2+3\cdot 1=-1\\[0.1cm]c_{31}&=1\cdot 1+3\cdot 3+0\cdot (-2)=10\\[0.1cm]c_{32}&=1\cdot 3+3\cdot 1+0\cdot 2=6\\[0.1cm]c_{33}&=1\cdot (-2)+3\cdot 2+0\cdot 1=4\end{align}
Das Produkt aus \(A\cdot B\) ergibt demnach:
\[ C=A\cdot B=\left( \begin{array}{ccc} 4&4&5\\-4&12&-1\\10&6&4 \end{array}\right) \]
In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch mehr Übungsaufgaben zur Multiplikation von Matrizen.
Matrizen multiplizieren – Das Wichtigste
- Um zwei Matrizen \(A\) und \(B\) multiplizieren zu können und das Produkt \(A\cdot B\) zu bilden, muss die Spaltenanzahl der Matrix \(A\) mit der Zeilenanzahl der Matrix \(B\) übereinstimmen.
- Die Berechnung erfolgt beispielsweise über das Falk-Schema.
- Bei der Multiplikation von zwei oder drei Matrizen müssen einige Rechenregeln beachtet werden, vorausgesetzt die Multiplikation ist überhaupt möglich (Spalten- und Zeilenanzahl der Matrizen beachten).
- Kein Kommutativgesetz: \({\color{#1478c8}A}\cdot{\color{#00dcb4}B} \neq {\color{#00dcb4}B} \cdot {\color{#1478c8}A}\) (nur \({\color{#1478c8}A}\cdot E=E\cdot {\color{#1478c8}A}= {\color{#1478c8}A}\) mit Einheitsmatrix \(E\))
Assoziativgesetz: \( ({\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#00dcb4}B}) \cdot {\color{#fa3273}C} = {\color{#1478c8}A} \cdot ( {\color{#00dcb4}B} \cdot {\color{#fa3273}C} )\)
Distributivgestz: \( {\color{#1478c8}A} \cdot ( {\color{#00dcb4}B} + {\color{#fa3273}C} )= {\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#00dcb4}B} + {\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#fa3273}C} \)
Transponierte: \(({\color{#1478c8}A}\cdot{\color{#00dcb4}B})^T = {\color{#00dcb4}B}^T \cdot {\color{#1478c8}A}^T\)
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