Lineare Gleichungen

Algebra

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Du kennst bestimmt diese Rätsel: Mama Mathilda ist 34 Jahre alt, ihre Tochter Tabea ist 11 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren ist die Mama doppelt so alt wie die Tochter?

Um solche Zusammenhänge lösen zu können, benötigst du lineare Gleichungen. Alles Wichtige dazu erfährst du in diesem Artikel.

Lineare Gleichungen Grundlagenwissen

Bevor du anfängst, mit linearen Gleichungen zu rechnen, solltest du verstanden haben, wie diese aufgebaut sind.

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form:

$a \cdot x + b = 0$

Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.

Die lineare Gleichung mit den Variablen x und y lässt sich grafisch als eine Gerade darstellen.

Einfach gesagt reden wir also bei linearen Gleichungen von Gleichungen, das sind zwei Terme, die mit einem " $=$ " verbunden sind:

$\begin{matrix} 3 x - 2 & = & x + 4 \\ ↑ & ↑ \\ Term 1 & Term 2 \end{matrix}$

Die linearen Gleichungen enthalten als Variable nur ein einfaches x (oder auch jeden anderen Buchstaben), jedoch keine Variable in ihrer höheren Potenz (kein $x^{2}, x^{3} o d e r x^{4}$ ).

$5 x - 3 = 0$

Diese Gleichung ist eine typische lineare Gleichung. Sie enthält ein einfaches x (in seiner ersten Potenz) und ist somit geradlinig.

Andere Gleichungen enthalten auch das x als Variable, jedoch in einer anderen Form.

Ist das x also nicht linear, sondern taucht in höheren Potenzen ( $x^{2}$ ) oder unter der Wurzel ( $\sqrt{x}$ ) auf, dann handelt es sich nicht um lineare Gleichungen.

$x^{2} - 3 x + 4 = 0 \sqrt{x - 3} = 0$

Diese Gleichungen sind nicht linear.

Formen der linearen Gleichung

Eine lineare Gleichung kann auf mehrere Arten aufgeschrieben werden. Wir unterscheiden zwischen der Allgemeinen Form und der Normalform.

$a \cdot x + b = 0$

Die Allgemeine Form ist oft der Definitionsmaßstab, auch bei verschiedenen anderen Gleichungsformen (Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung sieht etwa so aus: ⁣ $a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0$

Das x bezeichnet die lineare Variable, das a und b sind Platzhalter für Zahlen. Stelle dir einfach mal Zahlen statt a und b vor (zum Beispiel $2 \cdot x + 3 = 0$ ).

$y = m \cdot x + t$

Die Normalform kommt dagegen viel häufiger vor. Man findet sie vor allem als Gleichung einer linearen Funktion.

Achtung: In der Normalform kommt nicht mehr nur das x, sondern bereits zwei lineare Variablen vor, x und y.

mtFunktionFunktionen

Mit der Normalform und ihren beiden Variablen rechnen wir zum Beispiel beim Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Variablen.

Form

Bedeutung

Allgemeine Form

a \cdot x + b = 0

Diese Form ist oft der Definitionsmaßstab (auch bei anderen Gleichungsformen).

x ist die Variable; a und b sind Platzhalter für Zahlen.

Beispiel: $3 \cdot x + 1 = 0$

Normalform

y = m \cdot x + t

Man findet diese Form vor allem als Gleichung einer linearen Funktion.

In der Normalform kommen bereits zwei Variablen vor, x und y.

m und t sind ebenfalls nur Platzhalter für Zahlen, sie haben in der Gleichung der linearen Funktion allerdings bestimmte Funktionen: m ist die Steigung und t ist der y-Achsenabschnitt.

Beispiel: $y = 2 x + 2$

Die graphische Darstellung der linearen Funktion

Eine lineare Gleichung kann in Form einer linearen Funktion auch graphisch dargestellt werden. Sie bildet eine Gerade ab.

Hier ist die Funktion $f (x) = 2 x - 2$ visualisiert.

Lineare Gleichungen, Lineare Funktion, StudySmarter Abbildung 1: Lineare Funktion

Graphisch ist hier eine Gerade zu sehen, an die man die Steigung $m = 2$ und den y-Achsenabschnitt $t = - 2$ antragen kann.

Lineare Gleichungen – aufstellen, Termumformungen und lösen

Im Matheunterricht musst du natürlich nicht nur wissen, was eine lineare Gleichung ist, du musst auch mit ihr arbeiten können.

Lineare Gleichungen aufstellen

Oft sind in deinem Mathebuch schon Gleichungen der Form $a x + b = 0$ gegeben, dann benötigst du keine Gleichung mehr aufzustellen.

Allerdings gibt es auch oft Textaufgaben oder andere Aufgabenformen, bei denen du dir erst noch eine solche Gleichung aufstellen musst.

Der Wert des linken Terms vor dem Gleichheitszeichen muss immer genau gleich dem Wert des Term rechts des Gleichheitszeichens sein.

Eine einfache Textaufgabe verdeutlicht dir das Ganze.

Aufgabe 1

Eine Zahl vermindert um 10 ist genauso groß wie die Hälfte der Zahl.

Lösung

Gehe beim Aufstellen von Gleichungen gründlich und schrittweise vor.

1. Schritt: Lese dir den Text genau durch.

2. Schritt: Setze für die gesuchte Größe (in diesem Fall eine Zahl) eine Variable fest.

(zum Beispiel x)

$gesuchte Zahl = x$

3. Schritt: Stelle eine Gleichung auf, die die Gegebenheiten des Textes wiedergibt.

$\begin{matrix} Eine Zahl vermindert um 10 & ist genauso groß wie & die Hälfte der Zahl \\ x - 10 & = & \frac{1}{2} \cdot x \end{matrix}$

Die aufgestellte lineare Gleichung lautet also $x - 10 = \frac{1}{2} \cdot x$ .

Sie muss jetzt nur noch umgeformt und aufgelöst werden. Das wird jedoch in den nächsten Schritten erklärt.

Lineare Gleichungen umstellen mithilfe von Termumformungen

Ist in einer linearen Gleichung genau eine Variable (meistens x) enthalten, dann ist sie immer mithilfe von Termumformungen lösbar. Diese Termumformungen nennt man beim Rechnen mit Gleichungen Äquivalenzumformungen.

Äquivalenzumformung

Gleichungen kann man mithilfe von Äquivalenzumformungen nach einer Variable auflösen.

Das bedeutet, man bringt das x allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens und den Rest auf die andere Seite. Du kannst dabei die gleiche Zahl auf beiden Seiten addieren beziehungsweise subtrahieren. Oder du multiplizierst oder dividierst die gleiche Zahl (außer Null) beidseitig.

Unter der Äquivalenzumformung versteht man die Umwandlung einer Gleichung (oder Ungleichung) in eine andere Gleichung (oder Ungleichung), welche dieselbe Lösungsmenge hat.

Mehr zu Äquivalenzumformungen kannst du in unserem Artikel dazu erfahren.

Bei linearen Gleichungen sind Äquivalenzumformungen zum Beispiel Rechnungen, die du gleichzeitig auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens vornimmst:

Du nimmst also links des Gleichheitszeichens eine Vereinfachung vor (zum Beispiel -3x), welche du dann ganz genauso auf der rechten Seite übernehmen musst.
Diese Umformungen zeigt man mit einem geraden Strich, der hinter der Gleichung steht, an.

$\begin{matrix} 3 x - 2 & = & x + 4 & | - x \\ 3 x - 2 - x & = & x + 4 - x \\ 2 x - 2 & = & 4 & | + 2 \\ 2 x - 2 + 2 & = & 4 + 2 \\ 2 x & = & 6 & | : 2 \\ 2 x : 2 & = & 6 : 2 \\ x & = & 3 \end{matrix}$

Du rechnest beispielsweise im ersten Schritt $- x$ auf beiden Seiten der Gleichung. Das hat den Vorteil, dass das $x$ auf der rechten Seite wegfällt, da $+ x - x = 0$ ergibt.

Die Rechenoperation muss immer auf beiden Seiten ausgeführt werden und kann durch einen senkrechten Strich angekündigt werden.

Lineare Gleichungen rechnerisch lösen

Um ein Ergebnis für deine Gleichung zu erhalten, nutzt du ebenfalls die Äquivalenzumformungen.

Zur Lösung einer linearen Gleichung gehst du folgendermaßen vor:

Bringe durch Äquivalenzumformungen das x allein auf eine Seite der Gleichung.
Gib die Lösung der linearen Gleichung an.

Klarer wird das Ganze anhand eines Beispiels:

Aufgabe 2

Gib die Lösung der linearen Gleichung an:

$- 2 x + 6 = - 4 x - 2$

Lösung

1. Schritt: Du startest mit den Äquivalenzumformungen.

Gehe dabei zielgerichtet nach einem bestimmten Schema vor:

Bringe zum Beispiel erst die Terme mit einem x auf eine Seite.
Anschließend kannst du die Zahlterme auf die andere Seite der Gleichung bringen.
Zuletzt dividierst du noch durch den Faktor vor dem x (falls vorhanden).

$\begin{matrix} - 2 x + 6 & = & - 4 x + 2 & | + 4 x \\ (a .) & - 2 x + 4 x + 6 & = & - 4 x + 4 x + 2 \\ 2 x + 6 & = & 2 & | - 6 \\ (b .) & 2 x + 6 - 6 & = & 2 - 6 \\ 2 x & = & - 4 & | : 2 \\ (c .) & 2 x : 2 & = & - 4 : 2 \\ x & = & - 2 \end{matrix}$

Zum Überprüfen deiner Lösung kannst du den errechneten Wert für x als Probe in die Ursprungsgleichung einsetzen.

Probe:

$- 2 \cdot (- 2) + 6 = - 4 \cdot (- 2) + 2 4 + 6 = 8 + 2 10 = 10 ✅$

Die Probe ergibt ein korrektes Ergebnis, das heißt, du hast richtig gerechnet.

2. Schritt: Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

$L = {- 2}$

Man gibt die Lösungsmenge ( $L$ ) in dieser Form an:

Zeichen

Bedeutung

L = {- 2}

"Die Lösungsmenge beinhaltet die Zahl $- 2$ ."

Damit zeigt man mathematisch an, dass die Lösung der Gleichung $- 2$ ist.

Jetzt kannst du es allein versuchen.

Aufgabe 3

Löse die Gleichung:

$2 x + 1 = 5$

Lösung

1. Schritt: Wandle die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen nach x um.

$\begin{matrix} 2 x + 1 & = & 5 & | - 1 \\ 2 x + 1 - 1 & = & 5 - 1 \\ 2 x & = & 4 & | : 2 \\ 2 x : 2 & = & 4 : 2 \\ x & = & 2 \end{matrix}$

Probe:

$2 \cdot 2 + 1 = 5 5 = 5 ✅$

2. Schritt: Gib die Lösung der Gleichung an.

$L = {2}$

Es gibt natürlich nicht nur lineare Gleichungen, in denen genau eine Variable (x) vorkommt.

Kommt in einer linearen Gleichung mehr als eine Variable vor, ist die Gleichung durch äquivalente Umformungen allein nicht mehr zu lösen.

$\begin{matrix} x + 3 & = & 2 y - 4 & | - 3 \\ x & = & 2 y - 7 \\ ? \end{matrix}$

In diesem Fall benötigt man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen (I. und II.), die die gleichen Variablen (meist x und y) enthalten.

Beispiel:

$I . y - 1 = 3 x + 2 II . 2 x + 6 = 2 y$

Mit verschiedenen Verfahren kann man dann das Gleichungssystem lösen: Dazu gehören das Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren & Additionsverfahren.

Zur Lösung des Beispiels wird hier das Einsetzungsverfahren genutzt.

$\begin{array}{rcl} I . y - 1 & = & 3 x + 2 \\ I I . 2 x + 6 & = & 2 y \\ \begin{matrix} I . & y - 1 & = & 3 x + 2 & | + 1 \\ I .' & y & = & 3 x + 3 \\ I .' i n I I . \\ ↪ & 2 x + 6 & = & 2 \cdot (3 x + 3) \\ 2 x + 6 & = & 6 x + 6 & | - 2 x \\ 6 & = & 4 x + 6 & | - 6 \\ 0 & = & 4 x & | : 4 \\ I I .' & x & = & 0 \\ x i n I .' \\ y & = & 3 \cdot 0 + 3 \\ y & = & 3 \end{matrix} \end{array}$

Genauer kannst du dir diese Thematik aber noch mal in den zugehörigen Artikeln zum Lösen zweier Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten ansehen.

Lineare Gleichungen graphisch lösen

Um eine lineare Gleichung zeichnerisch zu lösen, zeichnest du die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als lineare Funktionen in ein Koordinatensystem ein.

Der Schnittpunkt dieser beiden Funktionen ist dann die Lösung der linearen Gleichung.

Aufgabe 4

Löse die lineare Gleichung $- 2 x + 6 = - 4 x - 2$ zeichnerisch/graphisch.

Lösung

1. Schritt: Schreibe dir die beiden Terme jeweils als Term einer linearen Funktion auf.

$f (x) = - 2 x + 6$

$g (x) = - 4 x - 2$

2. Schritt: Zeichne die beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Falls du hierbei Hilfe benötigst, sieh dir noch mal den Artikel Lineare Funktionen an.

Lineare Gleichungen, Lineare Gleichung grafisch lösen, StudySmarter Abbildung 2: Lineare Gleichung graphisch lösen

3. Schritt: Lies den x-Wert des Schnittpunktes S der beiden Funktionen ab.

Lineare Gleichungen, lineare Gleichung graphisch lösen, StudySmarter Abbildung 3: Lineare Gleichung graphisch lösen

Der x-Wert des Schnittpunktes und damit die Lösung der linearen Gleichung ist:

$x_{s} = - 2$

Lineare Gleichungen – Übungsaufgaben

Der Grundbaustein zum Aufstellen, Umformen und Lösen linearer Gleichungen ist jetzt gelegt.

Vertiefen kannst du dein Wissen nun anhand von Übungsaufgaben.

Aufgabe 5

Gib die Lösung dieser Gleichung an:

$x + 5 = 1$

Lösung

1. Schritt: Umstellen nach x mithilfe von Äquivalenzumformungen.

$\begin{matrix} x + 5 & = & 1 & | - 5 \\ x & = & - 4 \end{matrix}$

Zur Sicherheit kannst du im Kopf die Probe durchführen: $5 + (- 4) = 1 ✅$

2. Schritt: Lösung angeben.

$L = {- 4}$

Aufgabe 6

Löse die folgende Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen.

$2 x = 1$

Lösung

1. Schritt: Umstellen nach x mithilfe von Äquivalenzumformungen.

$\begin{matrix} 2 x & = & 1 & | : 2 \\ x & = & \frac{1}{2} \end{matrix}$

Im Kopf kannst du kurz die Probe durchführen: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1 ✅$

2. Schritt: Lösung angeben.

$L = {\frac{1}{2}}$

Aufgabe 7

Löse die Gleichung:

$4 (x - 2) = 2 (x + 1)$

Lösung

1. Schritt: Umstellen nach x mithilfe von Äquivalenzumformungen.

$\begin{matrix} 4 (x - 2) & = & 2 (x + 1) \\ 4 x - 8 & = & 2 x + 2 & | - 2 x \\ 2 x - 8 & = & 2 & | + 8 \\ 2 x & = & 10 & | : 2 \\ x & = & 5 \end{matrix}$

Probe (zur Kontrolle):

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot (5 - 2) & = & 2 \cdot (5 + 1) \\ 4 \cdot 3 & = & 2 \cdot 6 \\ 12 & = & 12 ✅ \end{array}$

2. Schritt: Lösung angeben.

$L = {5}$

Lineare Gleichungen - Das Wichtigste

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form $a \cdot x + b = 0$ .Sie beinhaltet nur Variablen, die in ihrer ersten Potenz vorkommen.
Es gibt zwei Formen der linearen Gleichung:

Allgemeine Form: $a x + b = 0$
Normalform: $y = m x + t$

Die Lineare Funktion bildet eine Gerade ab:

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Abbildung 1: Lineare Funktion

Lineare Gleichungen – Aufstellen, Termumformungen, Lösen:

Lineare Gleichungen aufstellen:

Text genau lesen.
Variable für gesuchte Größe setzen.
Gleichung aufstellen, die alle Gegebenheiten wiedergibt.

Lineare Gleichungen – Termumformungen

Äquivalenzumformungen sind Rechnungen, die du gleichzeitig auf beiden Seiten des "=" vornimmst. Sie helfen dir beim Umstellen der Gleichung nach der Variable.

Lineare Gleichungen rechnerisch lösen:

Bringe durch Äquivalenzumformungen das x allein auf eine Seite der Gleichung.
Gib dann die Lösung der linearen Gleichung an.

Lineare Gleichungen graphisch lösen:

Schreibe dir die beiden Terme vor und hinter dem Gleichheitszeichen als Lineare Funktionen auf.
Zeichne die beiden Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
Lies den x-Wert des Schnittpunktes der beiden Funktionen ab. Er ist die Lösung der linearen Gleichung.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Gleichungen

Gleichungen generell sind zwei durch ein Gleichheitszeichen verbundene Terme, in denen oft ein oder mehrere Variablen vorkommen. Als linear sind sie definiert, wenn die Variable in ihrer ersten Potenz vorliegt.

Um eine lineare Gleichung zu lösen werden Äquivalenzumformungen genutzt. Das bedeutet auf beiden Seiten wird mit der selben Zahl immer entweder addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert. Die Lösung erhält man, indem so lange umgeformt wird bis das x alleine auf einer Seite steht.

Lineare Gleichungen müssen sich immer auf die Form ax+b=0 bringen lassen, so sind sie definiert. Die Platzhalter a,b sind beliebige ganze Zahlen . Nicht immer ist die lineare Gleichung schon in der passenden Form gegeben, beispielweise kann sie auch so aussehen: ax=-b.

Wenn man eine lineare Funktion aus dem zugehörigen Graphen ablesen sollte, beginnt man mit dem y-Achsenabschnitt. Ganz einfach den Punkt ablesen, an dem der Graph die y-Achse schneidet. Diesen Wert dann in die Gleichung f(x)=mx+t für t einsetzen. Um auf das m zu kommen, zeichnet man ein Steigungsdreieck. Die Differenz der y-Werte teilt man durch die Differenz der x-Stellen und erhält den m-Wert.

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1.440.000 + 11x = 12x
1.440.000 = x

Das Gesamtkapital beträgt 1.440.000 €

Erkläre die Bedeutung der graphischen Lösung einer linearen Gleichung.

Willst du die lineare Gleichung graphisch lösen, betrachtest du die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als Funktionen.

Diese Funktionen kannst du in ein gemeinsames Koordinatensystem einzeichnen.

Der x-Wert des Schnittpunktes der beiden Geraden ist die Lösung der linearen Gleichung.

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