Intervalle

Q: Was ist ein Intervall?

Ein Intervall ist eine Teilmenge von Zahlen. Diese Teilmenge wird von zwei Grenzwerten beschränkt.

Q: Welche Intervalle gibt es Mathe?

Bei Intervallen wird zwischen endlichen und unendlichen Intervallen unterschieden. Zu den endlichen Intervallen gehören abgeschlossene, halb - offene und offene Intervalle.

Q: Wie wird ein Intervall bestimmt?

Ein Intervall beinhaltet zwei Grenzwerte. Dabei ist es wichtig, ob der Grenzwert dem Intervall zugehört oder nicht. Sind die Grenzwerte bekannt, kann das Intervall bestimmt werden.

Q: Ist ein Intervall eine Menge?

Ein Intervall ist eine Teilmenge von Zahlen. Das heißt, das Intervall beschreibt beziehungsweise definiert eine Menge.

Algebra

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Intervalle sagen Dir bis jetzt nur etwas in dem Fach Musik? Dann bist Du hier genau richtig! Intervalle sind nämlich ebenfalls ein Begriff der Mathematik. Wie sie definiert werden und wie Du sie bestimmst, erfährst Du in diesem Artikel.

Intervalle Intervalle Mathe StudySmarter

Intervalle – Definition

Intervalle sind also ebenfalls Begriff der Mathematik. Aber was sind diese Intervalle denn genau? Dafür kannst Du Dir erstmal die Definition über Intervalle anschauen.

Ein Intervall entspricht einer bestimmten Teilmenge von reellen Zahlen $ℝ$ . Die Teilmenge wird dabei von Grenzwerten beschränkt.

Intervalle kannst Du am besten auf einer Zahlengerade darstellen. Dabei kann ein Intervall als Strecke oder als Halbgerade auf einer Zahlengerade dargestellt werden.

Hier findest Du ein Beispiel zur Darstellung eines Intervalls auf einer Zahlengerade.

Intervalle Intervalle angeben StudySmarter Abbildung 1: Intervall auf der Zahlengerade

Du möchtest den Unterschied zwischen Zahlengerade und Zahlenstrahl wissen? Dann schau doch gerne in die folgende Vertiefung rein!

Eine Zahlengerade unterscheidet sich in einem Punkt von einem Zahlenstrahl. Der Zahlenstrahl hat seinen Anfangspunkt bei 0 und beinhaltet keine negativen Zahlen. Die Zahlengerade hingegen hat keinerlei Begrenzung und beinhaltet sowohl positive Zahlen als auch negative Zahlen. Die Zahlengerade geht im Positiven und im Negativen bis ins Unendliche.

Intervalle Zahlengerade Intervalle Definition StudySmarter Abbildung 2: Zahlengerade

Das Darstellen von Intervallen auf einer Zahlengerade hilft häufig die Grenzwerte der Intervalle richtig zu verstehen.

Ein Grenzwert eines Intervalls ist ein Zahlenwert, der nicht über - oder unterschritten werden darf. Betrachtest Du also ein Intervall $[3; 5]$ (sprich: "Intervall zwischen 3 und 5"), sind in diesem Intervall alle Zahlen zwischen 3 und 5 eingeschlossen. Die Zahl 3 ist dabei der untere Grenzwert, sie darf nicht unterschritten werden (2,99 ist kein Teil des Intervalls mehr). Der obere Grenzwert ist die Zahl 5, denn sie darf nicht überschritten werden (auch 5,01 gehört nicht mehr zum Intervall).

Intervalle Schreibweise – Mathe

Intervalle können durch die Mengenschreibweise beschrieben werden. Sie kannst Du jedoch ebenfalls in einer bestimmten abkürzenden Intervallschreibweise darstellen.

	Mengenschreibweise	Intervallschreibweise 1	Intervallschreibweise 2
	${x \| a < x \leq b}$	$x \in] a; b]$	$x \in (a; b]$
Erklärung	Menge aller Zahlen x, für die gilt: x ist größer a und kleiner/gleich b.	x ist eine Zahl, die zwischen a und b liegt. Der Wert für a ist dabei dem Intervall ausgeschlossen, während der Wert für b dem Intervall angehört.	siehe Intervallschreibweise 1

Ist ein Wert/ mehrere Werte einem Intervall eingeschlossen, so gehört der Wert zum Intervall. Bei dem Intervall $[3; 5]$ beispielsweise ist die Zahl 3 enthalten. Ein paar Zahlen aus dem Intervall sind zum Beispiel $[3; 3, 5; 4; 4, 5; 5]$ .

Ist ein Wert/ mehrere Werte einem Intervall ausgeschlossen, so gehört dieser Wert nicht mehr zum Intervall. Bei dem Intervall $] 3; 5]$ etwa ist die Zahl 3 kein Teil des Intervalls, es beginnt erst bei $\approx 3, 00001$ . Stelle dir das Intervall somit also mit diesen Zahlen vor $[3, 0001; 3, 5; 4; 4, 5; 5]$ .

Intervalle Klammern

Wie Du siehst, werden bei der Intervallschreibweise 1 nur eckige Klammern benutzt, während bei der Intervallschreibweise 2 sowohl eckige als auch runde Klammern verwendet werden.

Intervallschreibweise 1:

Zeigt die offene Seite der Klammer zu der Zahl, so ist die Zahl in diesem Intervall inbegriffen ( $[a; b] \to$ sowohl a als auch b sind dem Intervall zugehörig). Zeigt die geschlossene Seite der Klammer zu der Zahl, so ist die Zahl diesem Intervall ausgeschlossen ( $] a; b] \to$ a ist dem Intervall nicht zugehörig, b gehört zu dem Intervall).

Intervallschreibweise 2:

Die eckige Klammer wird nur benutzt, wenn ein Grenzwert dem Intervall zugehörig ist. Ist ein Grenzwert dem Intervall ausgeschlossen, wird eine runde Klammer verwendet ( $(a; b] \to$ a ist dem Intervall nicht zugehörig, b gehört zu dem Intervall).

Intervalle kannst Du bestimmen und auf einer Zahlengeraden darstellen. Es gibt viele unterschiedliche Arten von Intervallen.

Intervalle bestimmen – Arten

Bei dem Bestimmen von Intervallen, kannst Du zwischen endlichen (beschränkten) und unendlichen (unbeschränkten) Intervallen unterscheiden. Endliche Intervalle haben feste Grenzen und beschreiben die Zahlenmenge $x$ klar. Unendliche Intervalle beinhalten als einen Grenzwert den Wert $- \infty$ oder $\infty$ . Da diese beiden Werte nicht als Zahlen definiert werden können, sind sie dem Intervall immer ausgeschlossen.

Intervalle angeben

Die Intervallschreibweise kannst Du beim Bestimmen von Intervallen verwenden. Das richtige Setzen von Klammern ist dabei sehr wichtig, denn daran erkennst Du, ob ein Grenzwert im Intervall beinhaltet ist oder nicht.

Endliche Intervalle (beschränkt)

Abgeschlossenes Intervall

Ein abgeschlossenes Intervall beschreibt eine Zahlenmenge $x$ , die von zwei rationalen Zahlen $a$ und $b$ begrenzt wird. $a$ und $b$ sind Beide in der Zahlenmenge eingeschlossen.

Ein abgeschlossenes Intervall mit den Randwerten $a$ und $b$ wird folgendermaßen definiert:

$a \leq x \leq b o d e r x \in [a; b]$

Auf der Zahlengerade stellst Du ein abgeschlossenes Intervall folgendermaßen dar:

Intervalle Intervalle angeben StudySmarter Abbildung 3: abgeschlossenes Intervall

Dazu kannst Du Dir gerne das folgende Beispiel anschauen:

Aufgabe 1

Gegeben ist ein Lösungsintervall $- 2 \leq x \leq 4$ . Schreibe dieses in Intervallschreibweise und zeichne es in eine geeignete Zahlengerade ein.

Lösung

Das Lösungsintervall beschreibt ein abgeschlossenes Intervall. Das heißt sowohl die Zahl -2, als auch die Zahl 4 sind in der möglichen Lösung inbegriffen. Das schreibst Du in der Intervallschreibweise folgendermaßen:

$[- 2; 4]$

Auf einer Zahlengerade kannst Du dieses Intervall so darstellen:

Intervalle Intervalle bestimmen Übungen StudySmarter Abbildung 4: abgeschlossenes Intervall

Als Lösung würden also alle Zahlen, die größer oder gleich -2 und kleiner oder gleich 4 sind, in Frage kommen.

Halb - offene Intervalle

Bei halb - offenen Intervallen kannst Du zwischen zwei Arten unterscheiden. Zum Einen gibt es das links - offene Intervall und zum Anderen das rechts - offene Intervall.

Links - offenes Intervall

Ein links - offenes Intervall beschreibt eine Zahlenmenge, die von zwei Randwerten $a$ und $b$ begrenzt wird. Dabei ist der Randwert $a$ der beschriebenen Zahlenmenge ausgeschlossen.

Ein links - offenes Intervall mit den Randwerten $a$ und $b$ wird folgendermaßen definiert:

$a < x \leq b o d e r x \in] a; b]$

Auf der Zahlengerade wird ein links - offenes Intervall folgendermaßen dargestellt:

Intervalle Intervalle angeben StudySmarter Abbildung 5: links - offenes Intervall

Das links - offene Intervall kannst Du Dir gerne in folgendem Beispiel anschauen:

Aufgabe 2

Gegeben ist ein Lösungsintervall $] 2; 3]$ . Zeichne es in eine geeignete Zahlengerade ein.

Lösung

Intervalle Intervalle bestimmen Übungen StudySmarter Abbildung 6: links - offenes Intervall

Als Lösung würden alle Zahlen, die größer als 2 und kleiner oder gleich 3 sind, in Frage kommen.

So wie es ein links - offenes Intervall gibt, gibt es auch ein rechts - offenes Intervall.

Rechts - offenes Intervall

Ein rechts - offenes Intervall beschreibt eine Zahlenmenge, die von zwei Randwerten $a$ und $b$ begrenzt wird. Dieses Mal ist der Randwert $b$ der Zahlenmenge $x$ ausgeschlossen.

Ein rechts - offenes Intervall mit den Randwerten $a$ und $b$ wird folgendermaßen definiert:

$a \leq x < b o d e r x \in [a; b [$

Auf der Zahlengerade kannst Du ein rechts - offenes Intervall folgendermaßen darstellen:

Intervalle Intervalle angeben StudySmarter Abbildung 7: rechts - offenes Intervall

Das Ganze kannst Du ebenfalls in einem Anwendungsbeispiel darstellen:

Aufgabe 3

Gegeben ist das Lösungsintervall $3 \leq x < 7$ . Schreibe das Intervall in Intervallschreibweise und zeichne es in eine geeignete Zahlengerade ein.

Lösung

Das Lösungsintervall beschreibt ein rechts - offenes Intervall. Das bedeutet, die möglichen Lösungen sehen in der Intervallschreibweise folgendermaßen aus:

$[3; 7 [$

Auf einer Zahlengerade kannst Du dieses Intervall so einzeichnen:

Intervalle Intervalle bestimmen Übungen StudySmarter Abbildung 8: rechts - offenes Intervall

Lösungen können Zahlen sein, die größer oder gleich 3 und kleiner als 7 sind.

Es gibt ebenfalls die komplett offenen Intervalle.

Offenes Intervall

Ein offenes Intervall beschreibt eine Teilmenge $x$ , die von den Randwerten $a$ und $b$ begrenzt wird. Dabei sind die beiden Randwerte $a$ und $b$ der Teilmenge ausgeschlossen.

Ein offenes Intervall wird folgendermaßen definiert:

$a < x < b o d e r x \in] a; b [$

Auf einer Zahlengerade kannst Du ein solches offenes Intervall auf diese Weise darstellen:

Intervalle Intervalle angeben StudySmarter Abbildung 9: offenes Intervall

Und wie sieht dieses Intervall in der Anwendung aus?

Aufgabe 4

Gegeben ist das Lösungsintervall $] - 6; - 3 [$ . Zeichne das Intervall in eine geeignete Zahlengerade ein.

Lösung

Intervalle Intervalle bestimmen Übungen StudySmarter Abbildung 10: offenes Intervall

Lösungen wären Zahlen, die größer als -6 und kleiner als -3 sind.

Das war die Liste an endlichen (beschränkten) Intervallen. Jetzt kommen die unendlichen (unbeschränkte) Intervalle und ihre Definition.

Unendliche Intervalle (unbeschränkt)

Bei unendlichen beziehungsweise unbeschränkten Intervallen entspricht mindestens eine Grenze dem Wert $\infty$ . Dabei kann der Wert entweder der Grenzwert $- \infty$ oder $\infty$ sein.

Ein unendliches Intervall hat als einen Grenzwert den Wert $- \infty$ oder $\infty$ . Dieser Grenzwert ist der Zahlenmenge immer ausgeschlossen. Der andere Grenzwert ist entweder in der Zahlenmenge beinhaltet oder ebenfalls ausgeschlossen.

Die verschiedenen Möglichkeiten eines unendlichen Intervalls plus deren zugehörige Darstellung auf einer Zahlengerade kannst Du Dir hier anschauen:

$x \in] - \infty; b [$	Abbildung 11: unendliches offenes Intervall
$x \in] - \infty; b]$	Abbildung 12: unendliches geschlossenes Intervall
$x \in] a; \infty]$	Abbildung 13: unendliches offenes Intervall
$x \in [a; \infty [$	Abbildung 14: unendliches geschlossenes Intervall

Die dazugehörigen Mengenschreibweisen findest Du in der Tabelle.

Intervalle Schreibweise – Tabelle

In dieser Tabelle findest Du alle möglichen Arten von Intervallen und ihre Schreibweise.

Begriff	Intervallschreib-weise 1	Intervallschreib-weise 2	Mengenschreib-weise	Darstellung
Endliche Intervalle
Abgeschlossenes Intervall	$[a; b]$	$[a; b]$	${x \| a \leq x \leq b}$	Abbildung 15: abgeschlossenes Intervall
Links - offenes Intervall	$] a; b]$	$(a; b]$	${x \| a < x \leq b}$	Abbildung 16: links - offenes Intervall
Rechts - offenes Intervall	$[a; b [$	$[a; b)$	${x \| a \leq x < b}$	Abbildung 17: rechts - offenes Intervall
Offenes Intervall	$] a; b [$	$(a; b)$	${x \| a < x < b}$	Abbildung 18: offenes Intervall
Unendliche Intervalle
Offenes Intervall mit Grenzwert $- \infty$	$] - \infty; b [$	$(- \infty; b)$	${x \| x < b}$	Abbildung 19: offenes Intervall
Geschlossenes Intervall mit Grenzwert $- \infty$	$] - \infty; b]$	$(- \infty; b]$	${x \| x \leq b}$	Abbildung 20: geschlossenes Intervall
Offenes Intervall mit Grenzwert $\infty$	$] a; \infty [$	$(a; \infty)$	${x \| a < x}$	Abbildung 21: offenes Intervall
Geschlossenes Intervall mit Grenzwert $\infty$	$[a; \infty [$	$[a; \infty)$	${x \| a \leq x}$	Abbildung 22: geschlossenes Intervall

Diese Tabelle ist hilfreich, wenn Du Dir bei der Setzung der Klammern unsicher bist!

Intervalle berechnen

Ein Intervall ist eine bestimmte Teilmenge der Zahlenmenge $ℝ$ . Mit Intervallen kannst Du so nicht direkt rechnen. Mit Ihnen kannst Du aber beispielsweise die Grenzen einer Funktion angeben oder über sie Funktionen integrieren.

Intervallgrenzen bestimmen

Es gibt viele Aufgaben, bei denen Du die Intervallgrenzen einer Funktion bestimmen sollst. Beispielsweise wenn der Flächeninhalt, den eine Funktion mit dem Koordinationsgraphen einschließt, berechnet werden soll.

Möchtest Du Dir eine nähere Erklärung zur Integralrechnung anschauen? Dann schau gerne bei den Artikeln Fläche zwischen Graph und x-Achse und Integralrechnung vorbei.

Du kannst Dir die Berechnung einer Intervallgrenze in diesem Beispiel anschauen:

Aufgabe 5

Gegeben ist eine Funktion $f (x) = 4 x^{2}$ mit dem Anfangsgrenzwert 2. Gebe den Endgrenzwert an, bei dem die Funktion $f (x)$ der Zahl 100 entspricht.

Lösung

Das Intervall sieht also bis jetzt so aus:

$[2; x_{2}]$

Um den Wert für Grenzwert x₂zu berechnen, setzt Du die gegebene Funktion $f (x)$ mit 100 gleich und löst nach x auf:

$\begin{array}{rcl} 100 & = & 4 x^{2} \div 4 \\ 25 & = & x^{2} \sqrt{} \\ 5 & = & x \end{array}$

Wenn $x = 5$ , dann entspricht die Funktion dem Wert 100. Das Intervall sieht demnach folgendermaßen aus:

$[2; 5]$

Jetzt bist Du dran mit Rechnen!

Intervalle bestimmen – Übungen

Solltest Du irgendwo hängen oder nicht mehr weiterkommen, dann scroll gerne hoch!

Aufgabe 6

Gegeben ist das folgende Intervall:

$- 3 < x \leq 9$

Schreibe es in der Intervallschreibweise und zeichne es in eine geeignete Zahlengerade ein.

Lösung

Das Intervall sieht folgendermaßen aus:

$] - 3; 9]$

Intervalle Intervalle bestimmen Übungen StudySmarter Abbildung 23: Aufgabe Intervalle

Aufgabe 7

Ina hat 6 Freunde zu sich eingeladen. Sie hat ihnen gesagt, dass jeder von den 6 jeweils eine Person mitnehmen darf. Dabei weiß Ina nicht, ob jeder auch eine Person mitnehmen wird. Schreibe in der Intervallschreibweise, wie viele Leute zu Ina kommen könnten.

Intervalle Intervalle Mathe StudySmarter

Lösung

Du weißt, dass mindestens 6 Personen zu Ina kommen. Wenn also keiner der 6 Personen jemanden mitnimmt, kommen insgesamt 6 Personen. Das ist der untere Grenzwert des Intervalls.

$[6; b]$

Um den Grenzwert b zu bestimmen, berechnest Du die maximale Anzahl an Leuten, die zu Ina kommen könnten. Die maximale Anzahl würde dann auftreten, wenn jeder der 6 Personen jemanden mitnimmt. Das wären dann 12 Leute:

$[6; 12]$

Das Intervall $[6; 12]$ gibt die mögliche Menge an Gästen an.

In diesem Artikel hast Du gelernt, wie Intervalle bestimmt werden und die verschiedenen Schreibweisen verwendet werden.

Intervalle - Das Wichtigste

Intervalle beschreiben eine Teilmenge einer Menge von reellen Zahlen $ℝ$
Intervalle haben zwei Grenzwerte, die bestimmen, welche Werte im Intervall enthalten sind, und welche nicht
Es wird zwischen endlichen (beschränkten) Intervallen und unendlichen (unbeschränkten) Intervallen unterschieden
Unendliche Intervalle besitzen als mindestens einen Grenzwert den Wert $\infty$ oder $- \infty$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Intervalle

Ein Intervall ist eine Teilmenge von Zahlen. Diese Teilmenge wird von zwei Grenzwerten beschränkt.

Bei Intervallen wird zwischen endlichen und unendlichen Intervallen unterschieden. Zu den endlichen Intervallen gehören abgeschlossene, halb - offene und offene Intervalle.

Ein Intervall beinhaltet zwei Grenzwerte. Dabei ist es wichtig, ob der Grenzwert dem Intervall zugehört oder nicht. Sind die Grenzwerte bekannt, kann das Intervall bestimmt werden.

Ein Intervall ist eine Teilmenge von Zahlen. Das heißt, das Intervall beschreibt beziehungsweise definiert eine Menge.

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Was ist der Unterschied zwischen einer Zahlengerade und einem Zahlenstrahl?

Ein Zahlenstrahl startet bei 0 und geht nur im Positiven bis ins Unendliche. Die Zahlengerade geht ebenfalls im negativen bis ins Unendliche.

Welche zwei Arten von Intervallen gibt es?

Endliche und Unendliche Intervalle

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