Summenzeichen

Q: Wie Summenzeichen auflösen?

Die Summe , die Du durch Dein Summenzeichen verkürzt aufgeschrieben hast, kannst Du berechnen, indem Du nacheinander alle Werte in der Folge der ganzen Zahlen vom Startwert s bis zum Endwert n einsetzt.

Q: Wie vereinfacht man Summenzeichen?

Das Summenzeichen selbst ist bereits die vereinfachte Darstellung einer Summe. Durch die Anwendung diverser Rechenregeln kannst Du aber das Summenzeichen gegebenenfalls weiter vereinfachen.

Q: Was bedeuten zwei Summenzeichen hintereinander?

Zwei Summenzeichen hintereinander werden auch Doppelsummen genannt. In einem solchen Fall werden Summen über Summen gebildet, was heißt, dass somit die Summe über alle Kombinationen von möglichen Werten der Laufvariablen i, k gebildet wird.

Algebra

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Manchmal kann es sein, dass Du in einer Aufgabe lange Summen gegeben hast, die Du immer wieder aufschreiben musst, wie $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15$ .

Es kann mühsam sein und lange dauern, diese Art von Summen wiederholt ganz auszuschreiben. Es gibt allerdings eine Möglichkeit, solche Summen verkürzt darzustellen: das Summenzeichen.

In dieser Erklärung lernst Du, wie Du das Summenzeichen nutzen kannst und welche Rechenregeln es bei der Anwendung des Summenzeichens gibt.

Wiederholung der Basics – Addition, Variable, Term

Wie im Namen „Summenzeichen“ abzulesen, ist dieses bei der Darstellung von Summen relevant. In Summen ist die Grundrechenart die Addition. Um das Summenzeichen anwenden zu können, gibt es ein paar Grundlagen, die zum Verständnis hilfreich sind. Diese kannst Du Dir in den folgenden Abschnitten noch mal kurz ansehen.

Addition

Die Addition ist eine der vier Grundrechenarten und wird wegen ihres Rechenzeichens Plus ( $+$ ) auch oft als "Plusrechnung" bezeichnet.

Bei der Addition werden zwei oder mehr Zahlen zusammengezählt. Die Zahlen, die zusammengezählt werden, heißen Summanden. Das Ergebnis der Addition von zwei oder mehr Summanden wird als Summe bezeichnet.

Die Kenntnis der Grundrechenart Addition ist die Grundvoraussetzung für die Anwendung des Summenzeichens.

In der Erklärung Addition kannst Du Dein Wissen zu dem Thema noch einmal vertiefen.

Variable

Variablen können verwendet werden, um Zusammenhänge nicht nur für bestimmte Zahlen, sondern allgemein zu beschreiben.

Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl. Meistens werden Variablen mit Buchstaben wie a, b, c oder x, y, z beschrieben.

Bei der Anwendung des Summenzeichens erfüllen mehrere Variablen unterschiedliche Aufgaben. Welche wirst Du im Laufe der Erklärung kennenlernen.

Term

Auch Terme sind bei der Verwendung des Summenzeichens von Bedeutung.

Ein Term ist ein mathematischer Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen kann.

Relationszeichen, wie $=, <, >$ dürfen darin nicht vorkommen.

Summenzeichen Mathe – Definition

Terme und Variablen nehmen bei der Anwendung des Summenzeichens verschiedene Aufgaben ein. Wie ihre Bedeutung bei der Verwendung des Summenzeichens ist und was das Summenzeichen generell ist, lernst Du nun in den folgenden Abschnitten kennen.

Summenzeichen erklärt

Das Summenzeichen ist ein Symbol. Mithilfe dieses können Summen in einer kurzen Schreibweise dargestellt, genauer gesagt zusammengefasst werden.

Das Summenzeichen ist der griechische Großbuchstabe Sigma:

$\sum_{}^{}$

Das Summenzeichen steht nicht allein, sondern besteht aus verschiedenen Teilen. Durch diese Teile kann die Art der Summe beschrieben werden.

Die Bausteine des Summenzeichens kannst Du in Abbildung 1 sehen:

Summenzeichen Summenzeichen erklärt StudySmarter Abbildung 1: Bausteine des Summenzeichens

Dabei sind die Bausteine wie folgt definiert:

Laufvariable k: veränderliche Variable, über die die Summe läuft.
Startwert s: kleinster Wert der Laufvariable k
Endwert n: größter Wert der Laufvariable k

Deine Funktion $a_{k}$ kann eine Zahl, Variable oder ein ganzer Term sein.

Aussprechen kannst Du die Summe dann wie folgt: die Summe über $a_{k}$ von $k = s$ bis n.

Die Laufvariable k wird oftmals auch mit anderen Buchstaben wie i oder j bezeichnet.

Die Bezeichnung der Bausteine klingt vielleicht etwas abstrakt, weshalb Du Dir einmal folgendes Beispiel mit Zahlenwerten ansehen kannst:

Gegeben ist die Summe über $2 \cdot k$ von $k = 1$ bis 5:

$\sum_{k = 1}^{5} 2 \cdot k$

Hierbei ist Dein Startwert für die Laufvariable k 1 und Dein Endwert, bis zu dem die Laufvariable k läuft 5. In diesem Fall heißt das, dass Deine Laufvariable nacheinander jeden Wert in der Folge von 1 bis 5 annimmt.

Wie Du jetzt Deine Summe aus dem Summenzeichen aufstellst, lernst Du im Folgenden kennen.

Summenzeichen – berechnen von Summen

Die Summe, die Du jetzt mit dem Summenzeichen vereinfacht dargestellt hast, kannst Du berechnen. Dafür müssen Dein Startwert, Endwert und Deine Funktion gegeben sein, also was summiert werden soll.

Die Summe, die Du durch Dein Summenzeichen verkürzt aufgeschrieben hast, kannst Du berechnen, indem Du nacheinander alle Werte in der Folge der ganzen Zahlen vom Startwert s bis zum Endwert n einsetzt.

Summenzeichen Summenzeichen erklärt StudySmarter Abbildung 2: Berechnen der Summen übera_k von k=s bis n

Dafür kannst Du folgende Vorgehensweise anwenden:

Schritt Nummer

Durchführung

Beispiel

Schritt 1

Zuerst schaust Du Dir an, was Dein Startwert der Laufvariable k und Dein Endwert n ist.

Gegeben ist die Summe

\sum_{k = 1}^{5} 2 \cdot k

In diesem Fall gilt:

Startwert der Laufvariable $k = 1$
Endwert $n = 5$

Schritt 2

Danach kannst Du Deine Funktionswerte ausrechnen. Dafür berechnest Du für

k = s

bis

k = n

die Funktion

a_{k}

. Für Dein k setzt Du jeweils nacheinander die Werte in der Folge der ganzen Zahlen von s bis n ein.

Werte für k	Funktion $a_{k}$	Funktionswerte
$k = 1$	$a_{1} = 2 \cdot 1$	$2 \cdot 1 = 2$
$k = 2$	$a_{2} = 2 \cdot 2$	$2 \cdot 2 = 4$
$k = 3$	$a_{3} = 2 \cdot 3$	$2 \cdot 3 = 6$
$k = 4$	$a_{4} = 2 \cdot 4$	$2 \cdot 4 = 8$
$k = 5$	$a_{5} = 2 \cdot 5$	$2 \cdot 5 = 10$

Schritt 3

Jetzt kannst Du den Wert Deiner Summe berechnen, indem Du die Funktionswerte nacheinander addierst.

\begin{array}{rcl} 2 + 4 + 6 + 8 + 10 & = & 30 \end{array}

Schritt 4

Im vierten Schritt kannst Du die Summe noch mal komplett aufschreiben, damit die Rechnung im Ganzen stimmig ist.

\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{5} 2 \cdot k & = & 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \\ = & 2 + 4 + 6 + 8 + 10 \\ = & 30 \end{array}

Wenn Du Dir in der Anwendung der Schritte sicher bist, kannst Du Schritt 2 und 3 auch auslassen und direkt zu Schritt 4 springen.

Im Folgenden findest Du nun ein zusammenhängendes Beispiel, in dem Du die Anwendung der Schritte noch mal sehen kannst:

Gegeben ist die Summe über $(k^{2} - 4)$ von $k = 2$ bis 6:

$\sum_{k = 2}^{6} (k^{2} - 4)$

Schritt 1

Schau Dir als Erstes an, was Dein Startwert der Laufvariable k und Dein Endwert n ist. In diesem Beispiel gilt:

Startwert der Laufvariable $k = 2$
Endwert $n = 6$

Schritt 2

Jetzt berechnest Du Deine Funktionswerte, indem Du für $k = 2$ bis $k = 6$ die Funktion $a_{k} = (k^{2} - 4)$ ausrechnest. Für Dein k setzt Du jeweils nacheinander die Werte in der Folge der ganzen Zahlen von 2 bis 6 ein.

Werte für k	Funktion $a_{k}$	Funktionswerte
$k = 2$	$a_{2} = (2^{2} - 4)$	$(2^{2} - 4) = 4 - 4 = 0$
$k = 3$	$a_{3} = (3^{2} - 4)$	$(3^{2} - 4) = 9 - 4 = 5$
$k = 4$	$a_{4} = (4^{2} - 4)$	$(4^{2} - 4) = 16 - 4 = 12$
$k = 5$	$a_{5} = (5^{2} - 4)$	$(5^{2} - 4) = 25 - 4 = 21$
$k = 6$	$a_{6} = (6^{2} - 4)$	$(6^{2} - 4) = 36 - 4 = 32$

Schritt 3

Jetzt kannst Du den Wert Deiner Summe berechnen, indem Du die Funktionswerte nacheinander addierst:

$0 + 5 + 12 + 21 + 32 = 70$

Schritt 4

Nun kannst Du Deine Summe noch einmal komplett aufschreiben:

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 2}^{6} (k^{2} - 4) & = & (2^{2} - 4) + (3^{2} - 4) + (4^{2} - 4) + (5^{2} - 4) + (6^{2} - 4) \\ = & 0 + 5 + 12 + 21 + 32 \\ = & 70 \end{array}$

Summenzeichen Rechenregeln

Um mit dem Summenzeichen zu rechnen und Deine Rechnungen auch teilweise vereinfachen zu können, gibt es einige Rechenregeln, die Du anwenden kannst. Diese lernst Du im Folgenden kennen.

Konstante Faktoren vorziehen

Manchmal hast Du in Deiner Funktion im Summenzeichen einen konstanten Faktor gegeben. Hier kannst Du das Distributivgesetz anwenden, um Deine Rechnung zu vereinfachen.

Zur Erinnerung: Durch das Distributivgesetz der Multiplikation gilt für alle Zahlen a, b und c: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Da es sich bei der Anwendung des Summenzeichens um eine verkürzte Darstellung einer Summe handelt, greift so auch hier das Distributivgesetz.

Ist ein konstanter Faktor in Deiner Funktion im Summenzeichen vorhanden, so darfst Du diesen vor das Summenzeichen ziehen:

$\sum_{k = s}^{n} c \cdot a_{k} = c \cdot \sum_{k = s}^{n} a_{k}$

Zur Anwendung und als Beweis der Regel kannst Du Dir ein Beispiel ansehen:

Gegeben ist die Summe

$\sum_{k = 1}^{3} 5 \cdot k$

In dieser hast Du in Deiner Funktion einen konstanten Faktor, die 5 gegeben. Laut der Regel gilt also:

$\sum_{k = 1}^{3} 5 \cdot k = 5 \cdot \sum_{k = 1}^{3} k$

Um das zu beweisen, rechnest Du beide Summen aus und vergleichst sie:

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{3} 5 \cdot k & = & 5 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \\ = & 5 + 10 + 15 \\ = & 30 \end{array}$

und

$\begin{array}{rcl} 5 \cdot \sum_{k = 1}^{3} k & = & 5 \cdot (1 + 2 + 3) \\ = & 5 \cdot 6 \\ = & 30 \end{array}$

Du kannst nun sehen, dass bei beiden 30 als Ergebnis herauskommt.

Summenzeichen addieren

Wenn Du mehrere Summen addieren möchtest und diese den gleichen Startwert s und Endwert n haben, darfst Du diese zu einer Summe mit einem Summenzeichen zusammenfassen.

Bei der Addition von Summen mit dem gleichen Startwert s und Endwert n gilt:

$\sum_{k = s}^{n} a_{k} + \sum_{k = s}^{n} b_{k} = \sum_{k = s}^{n} a_{k} + b_{k}$

Hier greift das Assoziativgesetz der Addition, welches sagt, dass Du Teilrechnungen in einer Addition in beliebiger Reihenfolge ausführen darfst.

Zu Erinnerung: Das Assoziativgesetz der Addition lautet für alle Zahlen a, b und c: $a + (b + c) = (a + b) + c$

Im Folgenden findest Du ein Beispiel dazu.

Gegeben ist die Summe, die aus mehreren verschiedenen Summen besteht:

$\sum_{k = 2}^{4} k + \sum_{k = 2}^{4} k^{2}$

Diese kannst Du mit einem Summenzeichen zusammenfassen:

$\sum_{k = 2}^{4} k + \sum_{k = 2}^{4} k^{2} = \sum_{k = 2}^{n} k + k^{2}$

Um das zu beweisen, rechnest Du beide Summen aus und vergleichst sie:

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 2}^{4} k + \sum_{k = 2}^{4} k^{2} & = & (2 + 3 + 4) + (2^{2} + 3^{2} + 4^{2}) \\ = & (9) + (4 + 9 + 16) \\ = & 9 + 29 \\ = & 38 \end{array}$

und

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 2}^{n} (k + k^{2}) & = & (2 + 2^{2}) + (3 + 3^{2}) + (4 + 4^{2}) \\ = & (6) + (12) + (20) \\ = & 38 \end{array}$

Du kannst nun sehen, dass bei beiden 38 als Ergebnis herauskommt, da Du einfach die Reihenfolge der Addition in der Summe verschoben hast.

Summenzeichen aufteilen

Es ist möglich, dass Du aus einer Summe mehrere Teilsummen bildest.

Die Regel zur Aufteilung von Summenzeichen lautet in Formelschreibweise:

$\sum_{k = s}^{n} a_{k} = \sum_{k = s}^{m} a_{k} + \sum_{k = m + 1}^{n} a_{k}$

mit $m < n$

Zur Anwendung der Regel kannst Du Dir ein Beispiel ansehen:

Gegeben ist die Summe

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{3}{k}$

Durch Anwendung der Regel kannst Du diese Summe wie folgt aufteilen:

1. Schritt: Wähle für Deine erste Teilsumme einen Endwert m, der kleiner ist als Dein eigentlicher Endwert n.

Im Falle Deiner gegebenen Summe kannst Du beispielsweise 3 als den Endwert m Deiner Teilsumme wählen, denn 3 ist kleiner als 6.

Schritt 2: Nehme die nächstgrößere Zahl als Startwert für Deine nächste Teilsumme.

Im Falle Deiner gegebenen Summe wäre die 4 der Startwert für Deine nächste Teilsumme und 6 der Endwert n, den Du bereits kennst.

Mit Anwendung der Formel sieht das Ganze dann so aus:

$\sum_{k = 1}^{6} \frac{3}{k} = \sum_{k = 1}^{3} \frac{3}{k} + \sum_{k = 4}^{6} \frac{3}{k}$

Nun kannst Du diese Summe wieder ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{3} \frac{3}{k} + \sum_{k = 4}^{6} \frac{3}{k} & = & (\frac{3}{1} + \frac{3}{2} + \frac{3}{3}) + (\frac{3}{4} + \frac{3}{5} + \frac{3}{6}) \\ = & \frac{11}{2} + \frac{37}{20} \\ = & \frac{147}{20} \end{array}$

So kannst Du Deine Summe in beliebig viele Teilsummen aufteilen, bis Du bei Deinem eigentlichen Endwert n angekommen bist.

Indexverschiebung

Die Indexverschiebung kannst Du Dir wie folgt vorstellen: Dein Startwert und Dein Endwert n werden jeweils um denselben Wert m erhöht oder reduziert. Deinen Funktionswert musst Du um den umgekehrten Wert anpassen, also um m reduzieren, oder erhöhen.

Die Regel zur Indexverschiebung lautet:

$\sum_{k = s}^{n} a_{k} = \sum_{k = s + m}^{n + m} a_{k - m}$

Diese Indexverschiebung kannst Du zum Beispiel anwenden, wenn Du zwei Summen addieren willst, bei denen Startwert s und Endwert n um denselben Betrag voneinander abweichen:

$\sum_{k = 0}^{n} a_{k} + \sum_{k = 3}^{n + 3} b_{k} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} + \sum_{k = 0}^{n} b_{k + 3} = \sum_{k = 0}^{n} (a_{k} + b_{k + 3})$

Summenzeichen mit zwei Laufvariablen – Doppelsummen

Manchmal kann es vorkommen, dass zwei Summenzeichen direkt hintereinanderstehen, sogenannte Doppelsummen. In einem solchen Fall werden Summen über Summen gebildet.

Für Summen über Summen gibt es eine bestimmte Notationsform:

$\sum_{i = t}^{m} \sum_{k = s}^{n} a_{i, k} = \sum_{i = t, k = s}^{i = m, k = n} a_{i, k}$

Es wird somit die Summe über alle Kombinationen von möglichen Werten der Laufvariablen i, k gebildet:

$\sum_{i = t, k = s}^{i = m, k = n} a_{i, k} = a_{t, s} + . . . + a_{m, n}$

Um zu verdeutlichen, welcher Endwert m, n zu welcher Laufvariable i, k gehört, muss die jeweilige Laufvariable über dem Summenzeichen angegeben werden.

Ein Beispiel dafür findest Du im Folgenden:

Gegeben ist die Doppelsumme

$\sum_{i = 1}^{2} \sum_{k = 3}^{4} i \cdot k$

Die Doppelsumme kannst Du mit einem Summenzeichen umschreiben in:

$\sum_{i = 1}^{2} \sum_{k = 3}^{4} i \cdot k = \sum_{i = 1, k = 3}^{i = 2, k = 4} i \cdot k$

Nun bildest Du die Summe über alle Kombinationen von möglichen Werten der Laufvariablen i, k. Als kleine Hilfestellung kannst Du die Kombinationen vorerst verallgemeinert mit der Funktion $a_{i, k}$ aufschreiben:

$\sum_{i = 1, k = 3}^{i = 2, k = 4} a_{i, k} = a_{1, 3} + a_{1, 4} + a_{2, 3} + a_{2, 4}$

Jetzt kannst Du Deine Funktion $i \cdot k$ einsetzen:

$\begin{array}{rcl} \sum_{i = 1, k = 3}^{i = 2, k = 4} i \cdot k & = & 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 \\ = & 3 + 4 + 6 + 8 \\ = & 21 \end{array}$

Summenzeichen multiplizieren

Wenn Du zwei Summenzeichen multiplizieren möchtest, funktioniert das prinzipiell genauso, wie die Multiplikation von zwei Summen.

Die Summen, die durch die Summenzeichen dargestellt werden, kannst Du Dir als Summen in einer Klammer vorstellen. Wenn Summenzeichen multipliziert werden, so kannst Du die einzelnen Summen also in einer Klammer schreiben und den Malpunkt, der die Multiplikation impliziert, dazwischen schreiben:

$\sum_{k = s}^{n} \cdot \sum_{i = t}^{m} = (a_{s} + a_{s + 1} + . . . + a_{n}) \cdot (a_{t} + a_{t + 1} + . . . + a_{m})$

Bei der Auflösung dieses Terms gilt nun die Klammerregel. Du rechnest also erst die Summen innerhalb der Klammern aus und multiplizierst die Ergebnisse der Summen anschließend.

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = s}^{n} \cdot \sum_{i = t}^{m} & = & \underset{\underset{M u l t i l i k a t i o n E r g e b n i s s e 1 . u n d 2 . R e c h n u n g}{3 . R e c h n u n g :}}{\underset{⏟}{\underset{S u m m e 1 a u f l ö s e n}{\underset{1 . R e c h n u n g :}{\underset{⏟}{(a_{s} + a_{s + 1} + . . . + a_{n})}}} \cdot \underset{S u m m e 2 a u f l ö s e n}{\underset{2 . R e c h n u n g :}{\underset{⏟}{(a_{t} + a_{t + 1} + . . . + a_{m})}}}}} \end{array}$

Zur Erinnerung: Die Klammerregel besagt, dass bei Klammern in mathematischen Ausdrücken die Operationen (z. B. Plus) innerhalb der Klammern immer vor denjenigen außerhalb der Klammern ausgeführt werden.

Die Multiplikation von zwei Summenzeichen kannst Du Dir in folgendem Beispiel genauer ansehen, bei dem zwei Summen multipliziert werden:

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{3} \frac{1}{k} \cdot \sum_{i = 1}^{4} i & = & (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \cdot (1 + 2 + 3 + 4) \\ = & \frac{11}{6} \cdot 10 \\ = & \frac{55}{3} \end{array}$

Ableitung Summenzeichen

Manchmal ist es erforderlich, die Ableitung eines Summenzeichens zu berechnen. Da das Summenzeichen die verkürzte Darstellung einer Summe ist, gilt bei der Ableitung des Summenzeichens die Summenregel. Diese besagt, dass die Ableitung einer Summe die Summe der einzelnen Ableitungen aller Summanden ist.

Die Ableitung des Summenzeichens kannst Du deshalb so berechnen:

$(\sum_{k = s}^{n} a_{k})' = (a_{s} + a_{s + 1} + . . . + a_{n})' = a'_{s} + a'_{s + 1} + . . . + a'_{n}$

Die Ableitung erfolgt immer nach einer Variable, z. B. der Variable x oder k, weshalb Du genau schauen musst, nach welcher Variable die Ableitung gefragt ist.

Summenzeichen Sonderfälle

Bei der Anwendung des Summenzeichens gibt es einige Fälle, die bestimmte Formeln benötigen, um die Summen zu berechnen oder die Berechnung zu vereinfachen. Diese kannst Du in der folgenden Tabelle sehen.

Sonderfall	Regel	Beispiel
Summenzeichen mit Konstanten	$\sum_{k = s}^{n} c = (n - s + 1) \cdot c$	$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 3}^{6} 5 & = & (6 - 3 + 1) \cdot 5 \\ = & 4 \cdot 5 \\ = & 20 \end{array}$
Summenzeichen mit Konstanten und Startwert $s = 1$	$\sum_{k = 1}^{n} c = n \cdot c$	$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{7} 9 & = & 7 \cdot 9 \\ = & 63 \end{array}$
Startwert s gleich Endwert n	$\sum_{k = n}^{n} a_{k} = a_{n}$	$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 2}^{2} \frac{2}{k} & = & \frac{2}{2} \\ = & 1 \end{array}$
Summenzeichen mit $a_{k} = k$ und $s = 1$	$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$	$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{100} k & = & \frac{100 (100 + 1)}{2} \\ = & 5050 \end{array}$
Summenzeichen mit $a_{k} = k^{2}$ und $s = 1$	$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$	$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{20} k^{2} & = & \frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6} \\ = & 2870 \end{array}$

Summenzeichen Aufgaben

Im Folgenden findest Du einige Aufgaben, die Du zum Üben der Anwendung des Summenzeichens lösen kannst.

Aufgabe 1

Löse folgende Summe schrittweise:

$\sum_{k = 1}^{7} (k^{2} + 2)$

Lösung

Schritt 1

Schau Dir als Erstes an, was Dein Startwert der Laufvariable k und Dein Endwert n ist. In diesem Beispiel gilt:

Startwert der Laufvariable $k = 1$
Endwert $n = 7$

Schritt 2

Jetzt berechnest Du Deine Funktionswerte, indem Du für $k = 1$ bis $k = 7$ die Funktion $a_{k} = (k^{2} + 2)$ ausrechnest. Für Dein k setzt Du jeweils nacheinander die Werte in der Folge der ganzen Zahlen von 1 bis 7 ein.

Werte für k	Funktion $a_{k}$	Funktionswerte
$k = 1$	$a_{1} = (1^{2} + 2)$	$(1^{2} + 2) = 1 + 2 = 3$
$k = 2$	$a_{2} = (2^{2} + 2)$	$(2^{2} + 2) = 4 + 2 = 6$
$k = 3$	$a_{3} = (3^{2} + 2)$	$(3^{2} + 2) = 9 + 2 = 11$
$k = 4$	$a_{4} = (4^{2} + 2)$	$(4^{2} + 2) = 16 + 2 = 18$
$k = 5$	$a_{5} = (5^{2} + 2)$	$(5^{2} + 2) = 25 + 2 = 27$
$k = 6$	$a_{6} = (6^{2} + 2)$	$(6^{2} + 2) = 36 + 2 = 38$
$k = 7$	$a_{7} = (7^{2} + 2)$	$(7^{2} + 2) = 49 + 2 = 51$

Schritt 3

Jetzt kannst Du den Wert Deiner Summe berechnen, indem Du die Funktionswerte nacheinander addierst:

$3 + 6 + 11 + 18 + 27 + 38 + 51 = 154$

Schritt 4

Nun kannst Du Deine Summe noch einmal komplett aufschreiben:

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{7} (k^{2} + 2) & = & (1^{2} + 2) + (2^{2} + 2) + (3^{2} + 2) + (4^{2} + 2) + (5^{2} + 2) + (6^{2} + 2) + (7^{2} + 2) \\ = & 3 + 6 + 11 + 18 + 27 + 38 + 51 \\ = & 154 \end{array}$

Aufgabe 2

Berechne die Summe

$\sum_{k = 2}^{8} 8 \cdot k$

Lösung

In dieser hast Du in Deiner Funktion einen konstanten Faktor, die 5 gegeben. Du kannst also die Regel für das Vorziehen konstanter Faktoren anwenden:

$\sum_{k = 2}^{8} 8 \cdot k = 8 \cdot \sum_{k = 2}^{8} k$

Nun kannst Du die Summe ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} 8 \cdot \sum_{k = 2}^{8} k & = & 8 \cdot (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) \\ = & 8 \cdot 35 \\ = & 280 \end{array}$

Aufgabe 3

Addiere die Summen:

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{k}{2}$ und $\sum_{k = 1}^{3} 4 \cdot k$

Lösung

Beim Addieren von Summen gilt die folgende Regel:

$\sum_{k = s}^{n} a_{k} + \sum_{k = s}^{n} b_{k} = \sum_{k = s}^{n} a_{k} + b_{k}$

Angewendet auf Deine Summen gilt somit:

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{k}{2} + \sum_{k = 1}^{3} 4 \cdot k = \sum_{k = 1}^{3} \frac{k}{2} + 4 \cdot k$

Nun kannst Du das Ergebnis der Addition der beiden Summen ausrechnen:

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 1}^{3} \frac{k}{2} + \sum_{k = 1}^{3} 4 \cdot k & = & (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) + (4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3) \\ = & (3) + (4 + 8 + 12) \\ = & 3 + 24 \\ = & 27 \end{array}$

Summenzeichen – Das Wichtigste

Das Summenzeichen ist der griechische Großbuchstabe Sigma: $\sum_{}^{}$
Das Summenzeichen ist eine verkürzte Darstellung einer Summe
Das Summenzeichen setzt sich wie folgt zusammen: ∑k=snak=as+as+1+...+an
- Dabei sind die Bausteine wie folgt definiert:
  - Laufvariable k: veränderliche Variable, über die die Summe läuft.
  - Startwert s: kleinster Wert der Laufvariable
  - Endwert n: größter Wert der Laufvariable
Bei der Berechnung des Summenzeichens kannst Du 4 Schritte anwenden:
- Schritt 1: Zuerst schaust Du Dir an, was Dein Startwert der Laufvariable k und Dein Endwert n ist.
- Schritt 2: Danach kannst Du Deine Funktionswerte ausrechnen. Dafür berechnest Du für $k = s$ bis $k = n$ die Funktion $a_{k}$ . Für Dein k setzt Du jeweils nacheinander die Werte in der Folge der ganzen Zahlen von s bis n ein.
- Schritt 3: Jetzt kannst Du den Wert Deiner Summe berechnen, indem Du die Funktionswerte nacheinander addierst.
- Schritt 4: Im vierten Schritt kannst Du die Summe noch mal komplett aufschreiben, damit die Rechnung im Ganzen stimmig ist.
Ist ein konstanter Faktor in Deiner Funktion im Summenzeichen vorhanden, so darfst Du diesen vor das Summenzeichen ziehen: $\sum_{k = s}^{n} c \cdot a_{k} = c \cdot \sum_{k = s}^{n} a_{k}$
Bei der Addition von Summen mit dem gleichen Startwert s und Endwert n gilt: $\sum_{k = s}^{n} a_{k} + \sum_{k = s}^{n} b_{k} = \sum_{k = s}^{n} a_{k} + b_{k}$
Regel zur Aufteilung von Summenzeichen lautet in Formelschreibweise: $\sum_{k = s}^{n} a_{k} = \sum_{k = s}^{m} a_{k} + \sum_{k = m + 1}^{n} a_{k}$ mit $m < n$
Die Regel zur Indexverschiebung lautet: $\sum_{k = s}^{n} a_{k} = \sum_{k = s + m}^{n + m} a_{k - m}$
Für Summen über Summen gibt es eine bestimmte Notationsform: $\sum_{i = t}^{m} \sum_{k = s}^{n} a_{i, k} = \sum_{i = t, k = s}^{i = m, k = n} a_{i, k}$

Nachweise

Papula (2022). Mathematische Formelsammlung. Springer Vieweg.
Jansen (2014). Umgang mit dem Summenzeichen. GRIN Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Summenzeichen

Das Summenzeichen ist ein Symbol. Mithilfe dieses können Summen in einer kurzen Schreibweise dargestellt, genauer gesagt zusammengefasst werden. Die Summe, die Du durch Dein Summenzeichen verkürzt aufgeschrieben hast, kannst Du berechnen, indem Du nacheinander alle Werte in der Folge der ganzen Zahlen vom Startwert s bis zum Endwert n einsetzt.

Das Summenzeichen selbst ist bereits die vereinfachte Darstellung einer Summe. Durch die Anwendung diverser Rechenregeln kannst Du aber das Summenzeichen gegebenenfalls weiter vereinfachen.

Zwei Summenzeichen hintereinander werden auch Doppelsummen genannt. In einem solchen Fall werden Summen über Summen gebildet, was heißt, dass somit die Summe über alle Kombinationen von möglichen Werten der Laufvariablen i, k gebildet wird.

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Lässt sich ein Summenzeichen ableiten? Falls ja, wie?

Ja. Ein Summenzeichen kann abgeleitet werden durch die Addition der Ableitungen der einzelnen Summanden. Hier wird die Summenregel angewendet.

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