Treffen sich zwei Mathematiker, Gauss und Sylvester, bewaffnet mit ihren mächtigsten Waffen: Stift und Papier. “Schau mal, die sieht richtig symmetrisch aus”, sagt Gauss ganz energisch. Entzückt erwidert Sylvester: “Da stimme ich dir zu, werter Freund. Ein Pracht-Exemplar, in der Tat. Was aber hältst du von der?” Gauss zieht seine Augenbraue hoch und antwortet: “Sieht durchaus besonders aus, jedoch zu einheitlich für meinen Geschmack.”
Um Missverständnisse zu vermeiden: Die beiden Mathematiker sprechen über Matrizen. Aber nicht über beliebige Matrizen. Besonders oder nicht besonders, das ist hier die Frage; und darauf bekommst Du Antworten.
Konkret erfährst Du, was besondere Matrizen sind, und insbesondere lernst Du die folgenden wichtigen Sonderfälle kennen: Die Einheitsmatrix, inverse Matrizen, symmetrische Matrizen und schließlich orthogonale Matrizen.
Matrizen – Übersicht & Eigenschaften
Damit Du überhaupt erkennen kannst, wann Du es mit besonderen Matrizen zu tun hast, brauchst Du ein Verständnis über Matrizen und ihre Eigenschaften im Allgemeinen.
Was also ist eine Matrix? Das folgende Bild enthält alle Informationen, die Du für eine Antwort brauchst.
Abbildung 1: Eine Matrix ist eine spezielle Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten.
Du siehst Zahlen, die nach einem bestimmten Schema angeordnet sind. Die horizontalen Anordnungen heißen Zeilen; die vertikalen Anordnungen Spalten. Genau diese Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten ist eine Matrix; nicht mehr und nicht weniger.
Wenn Du Dich für eine bestimmte Zahl innerhalb dieser Anordnung interessierst, so musst Du nur die entsprechende Zeile und Spalte angeben. Zum Beispiel wäre die Zahl 5 im konkreten Beispiel diejenige Zahl, die sich in der 2-ten Zeile und 3-ten Spalte befindet.
Allgemeine 3x3-Matrix
Lass uns das etwas allgemeiner fassen. Statt konkrete Zahlen füllen wir die Matrix mit Platzhalter aus, die uns nur Information darüber geben, in welcher Zeile und Spalte sich diese befinden (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2: Template einer Matrix mit neun Elementen
Die tiefgestellten Zahlen heißen Indizes; eine solche Zahl heißt Index. Weit verbreitet ist die Konvention, dass der erste Index die Zeile angibt, der zweite Index hingegen die Spalte.
Eine Zahl oder ein Platzhalter innerhalb einer Matrix nennen wir ein Element der Matrix. Besitzt die Matrix Zeilen und Spalten, so heißt diese Matrix eine Matrix (gelesen: “m kreuz n Matrix”).
Wir werden uns im Rest dieses Artikels nur mit quadratischen Matrizen beschäftigen, also solche Matrizen für die gilt, oder in Worten: Bei quadratischen Matrizen ist die Anzahl an Zeilen m gleich der Anzahl an Spalten n.
Das Symbol “ ” ist beispielsweise der Platzhalter für eine Zahl, die sich in der zweiten Zeile und dritten Spalte befindet. Wenn wir schreiben “”, so meinen wir, dass sich in der zweiten Zeile und ersten Spalte die Zahl 5 befinden soll, oder sich befindet.
Du wirst gleich sehen, dass besondere Matrizen oft dadurch charakterisiert sind, wie sie sich in Summen und Produkte verhalten.
Lass uns daher einen kurzen Blick darauf werfen, wie wir sinnvoll mit Matrizen rechnen können. Insbesondere wie wir zwei Matrizen miteinander addieren und multiplizieren können.
Rechnen mit Matrizen – Addition und Multiplikation
Die Addition zweier Matrizen ist elementweise definiert. Das wird mit dem folgenden Beispiel klar.
Betrachte die zwei Matrizen
Du möchtest die Summen-Matrix berechnen. Um das erste Element von zu bestimmen (das heißt, dasjenige Element, das sich in der ersten Zeile und ersten Spalte von befindet), addierst Du die entsprechenden Elemente von und zusammen. Du rechnest also 1.
Diesen Prozess führst Du mit den restlichen acht Elementen aus. Wenn Du Dich beispielsweise für das Element von interessierst, so gehst Du nacheinander in die zweite Zeile und dritte Spalte der Matrizen und , notierst Dir die Elemente (in diesem Fall die Zahl 2 für und die Zahl 1 für ) und addierst sie schließlich.
Insgesamt erhältst Du das Ergebnis
.
Die Addition zweier Matrizen kann verallgemeinert werden.
Addition zweier Matrizen
Seien A und B zwei nxn-Matrizen. Die Summen-Matrix definieren wir über ihre Elemente wie folgt: Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von C ist gegeben durch
.
In Worten: Das Element von der Summen-Matrix C in der i-ten Zeile und j-ten Spalte ist die Summe der Elemente von A und B, die sich ebenfalls in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A bzw. von B befinden.
Im Spezialfall von 3x3-Matrizen sieht das dann folgendermaßen aus
Die Multiplikation zweier Matrizen ist nicht elementweise definiert. Stattdessen gibt es eine bestimmte Regel.
Multiplikation zweier Matrizen
Nehmen wir an, dass Du das Element der Produkt-Matrix finden möchtest.
Um das zu berechnen, nimmst Du zunächst die erste Zeile der Matrix und die erste Spalte der Matrix . Dann rotierst Du die erste Zeile von , sodass Du nun zwei Spalten hast, die Du nebeneinander stellen kannst. Du gehst jetzt durch diese Spalten Zeile für Zeile und multiplizierst jeweils die beiden Elemente. Anschließend addierst Du all diese Produkte miteinander. Das Ergebnis ist das Element . Abbildung 3 veranschaulicht den Vorgang.
Abbildung 3: Das Matrixprodukt veranschaulicht. Hier wird gezeigt, wie das erste Element von C berechnet wird.
Die Regel wendest Du dann für alle Elemente von an. Dabei gibt der erste Index immer die entsprechende Zeile von und der zweite Index die entsprechende Spalte von an. Für das Element beispielsweise nimmst Du die erste Zeile von und die dritte Spalte von .
Matrizen als Darstellung von Linearen Abbildungen
Matrizen stellen unter anderem sogenannte lineare Abbildungen zwischen Vektorräume dar. Klingt abstrakt? Ist es auch. Daher Matrizen. Statt mit linearen Abbildungen zu arbeiten, kannst Du dich mit konkreten Matrizen beschäftigen, und dabei gleichzeitig interessante Fakten über die linearen Abbildungen lernen.
Vielleicht hattest Du schon einmal Kontakt mit diesem Prinzip: Nachdem Du zwei Äpfel mit zwei weiteren Äpfel zusammengebracht hast, hattest Du vier Äpfel vor Dir liegen. Ohne dass Dir das bewusst war, hast Du durch solche Darstellungen der abstrakten Zahlen 2 und 4 gelernt, dass ist.
Matrixprodukt entspricht Verknüpfung linearer Abbildungen
Lineare Abbildungen zwischen Vektorräume kannst Du verknüpfen, das heißt Du führst erst die eine Abbildung aus und dann direkt danach die nächste Abbildung. Zum Beispiel sind Rotationen lineare Abbildungen. Du kannst ein Stück Papier um 90° drehen und direkt danach um weitere 120°. Das Gesamtergebnis ist dann eine Rotation um 210°.
Wenn wir einmal vereinbart haben, wie Matrizen lineare Abbildungen darstellen sollen, so folgt die Regel für das Matrixprodukt automatisch; sie wird uns in gewisser Weise aufgezwungen. Was also das Matrixprodukt repräsentiert, ist die Verknüpfung zweier linearer Abbildungen, die jeweils durch die Matrizen dargestellt werden.
Jetzt hast Du alles zusammen, um Dir besondere Matrizen anzusehen und zu verstehen, was sie so besonders macht.
Sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation muss das "Format" der beteiligten Matrizen stimmen. Da Du dich hier ausschließlich mit quadratischen Matrizen beschäftigst, bedeutet das, dass die beteiligten Matrizen dasselbe Format vorweisen müssen. Du kannst also beispielsweise zwei 3x3-Matrizen miteinander addieren und multiplizieren; eine 3x3-Matrix und eine 2x2-Matrix hingegen nicht (das "3x3" oder "2x2" ist das Format der Matrix).
Einheitsmatrix – wenn die Multiplikation nichts ändern soll
Du weißt nun, dass eine Matrix vollständig dadurch beschrieben ist, wie und welche Zahlen in Zeilen und Spalten angeordnet sind.
Besondere Matrizen sind damit besondere Anordnungen von Zahlen. Du könntest zum Beispiel sagen, dass jedes Element der Matrix die Zahl 0 sein soll. Damit hättest Du eine Matrix, die Du Null-Matrix nennen könntest.
Die Null-Matrix fällt direkt ins Auge und ist damit auf jeden Fall eine besondere Matrix. Sie erfüllt eine ganz bestimmte Rolle: Wenn Du sie zu einer anderen Matrix addierst, passiert nichts. Bezeichnen wir die Null-Matrix mit und sei eine weitere Matrix. Dann gilt
.
Die Einheitsmatrix (allgemein und im Fall von 3x3-Matrizen)
Für die Multiplikation gibt es auch eine besondere Matrix, die eine ähnliche Rolle erfüllt: Die Einheitsmatrix. Multiplizierst Du sie mit einer weiteren Matrix , so geschieht nichts. Die Einheitsmatrix wird oft mit bezeichnet. Es gilt also
.
Die Einheitsmatrix hat immer dieselbe Form: Entlang der Diagonale hast Du die Zahl 1, überall sonst nur Nullen. Im Fall von 3x3-Matrizen sieht die Einheitsmatrix daher so aus
.
An dieser Stelle eine kleine Warnung: Während die Addition zweier Matrizen stets kommutativ ist (das heißt die Reihenfolge spielt keine Rolle), ist das bei der Multiplikation nicht der Fall. Konkret: Sind A und B zwei Matrizen, so ist im Allgemeinen A∙B ungleich B∙A. Die Einheitsmatrix ist hier ein Spezialfall. Egal mit welcher anderen Matrix Du sie multiplizierst, die Reihenfolge der Multiplikation ist nicht entscheidend.
Inverse Matrix – wenn zwei Matrizen eine Einheit bilden
Was die Zahl 1 für die Multiplikation von Zahlen ist, ist die Einheitsmatrix für die Multiplikation von Matrizen. Zu jeder Zahl x (außer der Null) kannst Du eine Zahl y finden, sodass
ist. Wir nennen y den Kehrwert von x, oder auch die zu x inverse Zahl. Das wird oft mit notiert.
Ist zum Beispiel , so ist , denn
.
Ähnlich gibt es besondere Matrizen, die für eine Matrix A dieselbe Rolle spielen wie die Zahl y für die Zahl x gespielt hat.
Inverse Matrizen und Invertierbarkeit einer Matrix
Solche Matrizen heißen inverse Matrizen. Die zu A inverse Matrix wird mit bezeichnet, und es gilt
(Beachte auch hier, dass das Produkt zwischen einer Matrix A und ihrer inversen Matrix stets kommutativ ist.)
Wir sagen in diesem Fall auch, dass die Matrix A invertierbar ist.
Anders als bei Zahlen gibt es Matrizen, die nicht die Null-Matrix sind, für die es aber keine inverse Matrix gibt. Woran kannst Du nun feststellen, ob zu einer gegebene Matrix eine inverse Matrix existiert?
Auf jeden Fall wäre es aufwändig, in der Tat unmöglich, alle möglichen Matrizen durchzugehen und das Matrixprodukt zu berechnen, in der Hoffnung, dass Du die "richtige" Matrix findest.
Hier kommt die Determinante einer Matrix zum Einsatz. Du kannst Dir die Determinante als eine Maschine vorstellen, die eine Matrix A nimmt und eine Zahl det(A) ausspuckt ("det(A)" liest du als "Determinante von A").
Wenn diese Zahl ungleich Null ist, so weißt Du direkt, dass die entsprechende Matrix invertierbar ist.
Zu wissen, dass die inverse Matrix existiert, ist das eine; die inverse Matrix zu berechnen, ist aber eine andere Sache. Ein Berechnungs-Verfahren zur Bestimmung von inversen Matrizen ist der sogenannte Gauß-Jordan-Algorithmus.
Die Gruppe der invertierbaren nxn-Matrizen (ein enorm wichtiges Objekt der Mathematik)
Du kannst alle nxn-Matrizen, die invertierbar sind, als eine Menge zusammenfassen. Auf dieser Menge kannst Du dann eine Regel einführen (auch Verknüpfung genannt), die eindeutig angibt, wie Du zwei Elemente der Menge nimmst und daraus ein neues Element der Menge produzierst.
Entscheidest Du dich konkret für das Matrixprodukt als Regel, so erhältst Du ein mathematisches Objekt (bestehend aus der Menge der invertierbaren nxn-Matrizen und dem Matrixprodukt als Verknüpfung), das ein wichtiges Beispiel für eine Gruppe ist.
Gruppen sind bestimmte mathematische Strukturen, die Bestandteil der abstrakten Algebra sind. Auch wenn es "abstrakte Algebra" heißt, so spielt die Gruppentheorie eine entscheidende Rolle in der Physik; insbesondere im Standardmodell der Teilchenphysik. In der Tat wurden mit Hilfe der Gruppentheorie Teilchen vorhergesagt, die heute als Quarks bezeichnet werden. Mit der abstrakten Algebra wurde also die Zukunft vorhergesagt!
Symmetrische Matrix – wenn das Spiegelbild übereinstimmt
Eine weitere Operation, die Du auf Matrizen anwenden kannst, ist die Transposition. Was Du hier im Wesentlichen machst, ist Spalten in Zeilen und Zeilen in Spalten umzuwandeln. Die Abbildung 4 liefert Dir eine Veranschaulichung davon.
Abbildung 4: Veranschaulichung der Transposition einer 3x3-Matrix. Die Zeilen werden zu Spalten und die Spalten werden zu Zeilen.
Du kannst dir die Transposition (zumindest bei quadratischen Matrizen) auch so vorstellen, dass Du die Elemente entlang der Diagonale reflektierst.
Nun gibt es besondere Matrizen, bei denen diese Reflektion einer Spiegelung gleicht. Eine solche Matrix bezeichnen wir als symmetrische Matrix.
Was aber heißt es, dass die Reflektion einer Spiegelung gleicht? All diejenigen Elemente, die sich bezüglich der Diagonalen "gegenüberstehen" sind identisch. In Abbildung 5 haben wir - wie in Abbildung 4 - die Transposition durch die Farbkodierung der Zeilen bzw. Spalten dargestellt. Diesmal aber ist die Matrix nach der Transposition dieselbe wie die Matrix vor der Transposition (nachdem Du dir die Farben wegdenkst).
Abbildung 5: Symmetrische Matrizen werden durch Transposition nicht verändert.
Symmetrische Matrix
Formal ausgedrückt, ist eine Matrix A eine symmetrische Matrix, wenn sie die Eigenschaft
erfüllt. Das hochgestellte "T" teilt Dir mit, dass du die Matrix transponieren sollst. Den Ausdruck "" liest Du als "A transponiert".
Schauen wir uns ein paar konkrete Beispiele von symmetrischen Matrizen an.
Die Einheitsmatrix und die Null-Matrix sind Beispiele für symmetrische Matrizen.
Allgemein kannst Du eine symmetrische Matrix folgendermaßen basteln: Wähle ein Format aus, sagen wir 3x3. Schreibe entlang der Diagonalen Deine Lieblingszahlen. Nun fügst Du weitere Zahlen im "unteren linken" Teil der Matrix ein. Die bisherigen Schritte könnten Dich zum folgenden Ergebnis führen
.
Die Sternchen-Symbole sind Platzhalter für Zahlen. Damit die Matrix eine symmetrische Matrix wird, hast Du für diese Zahlen keine Freiheiten mehr. Die resultierende Matrix muss dann wie folgt aussehen
.
Natürlich hättest Du auch den "oberen rechten" Teil erst ausfüllen können. In diesem Fall wäre dann der "untere linke" Teil vorgegeben, um eine symmetrische Matrix zu erhalten.
Orthogonale Matrix – wenn sich Zeilen und Spalten nicht vertragen
Die Transposition gemeinsam mit den inversen Matrizen und der Einheitsmatrix führt uns zur letzten hier behandelten Art von besonderen Matrizen, den orthogonalen Matrizen.
Die inverse Matrix einer orthogonalen Matrix ist gerade die transponierte Matrix .
Die Einheitsmatrix ist auch ein Beispiel für eine orthogonale Matrix.
Matrizen, die eine Drehung um den Koordinatenursprung darstellen (gennant Drehmatrizen), sind orthogonal. Ebenso sind Matrizen, die eine Spiegelung um eine Ursprungsgerade repräsentieren (genannt Spiegelungsmatrizen), Beispiele für orthogonale Matrizen.
Etwas konkreter ist die Matrix
orthogonal, denn es gilt
.
Damit eine Matrix überhaupt die Chance hat, eine orthogonale Matrix zu sein, muss sie zumindest invertierbar sein. Aus der Vertiefung zu den inversen Matrizen weißt Du, dass dafür die Determinante der Matrix ungleich Null sein muss.
Orthogonale Matrizen haben die Eigenschaft, dass ihre Determinante entweder gleich +1 oder -1 ist. Wenn Du also die Determinante einer Matrix bestimmst und sie nicht +1 oder -1 ist, so kann sie keine orthogonale Matrix sein. Umgekehrt bedeutet eine Determinante von +1 oder -1 nicht notwendigerweise, dass die Matrix orthogonal ist.
Wieso heißen diese besondere Matrizen orthogonal? Schauen wir uns dazu das Produkt etwas genauer an.
Um das erste Element zu erhalten, nimmst Du die erste Zeile von und die erste Spalte von und gehst durch den Prozess, den wir in Abbildung 4 veranschaulicht haben. Das Ergebnis dieses Prozesses findest Du auch unter den Namen Skalarprodukt. Ein Skalarprodukt (in diesem Fall) bildest Du zwischen zwei Vektoren, wobei Du hier die Spalten der Matrix als Vektoren auffasst.
Wenn du dich also für das erste Element von interessierst, bildest du das Skalarprodukt zwischen der ersten Zeile von und der ersten Spalte von ; beides fasst Du als Spaltenvektoren auf.
Beobachte, dass die erste Zeile von gerade die erste Spalte von ist. Nun soll das Matrixprodukt die Einheitsmatrix ergeben. Das heißt, Du erhältst nur für dieselben Spalten ein Skalarprodukt ungleich Null (also etwa zweimal die erste Spalte oder zweimal die dritte Spalte).
Vermischt Du aber Spalten miteinander, beispielsweise die erste mit der zweiten Spalte, so erhältst du ein Skalarprodukt von Null. Und ein Skalarprodukt von Null hat die geometrische Interpretation, dass die entsprechenden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Die Bezeichnung "orthogonal" ist nur ein (in der Mathematik weitverbreitetes) Synonym für "senkrecht aufeinander".
Eine orthogonale Matrix heißt demnach orthogonal, weil die Spalten (aufgefasst als Vektoren) paarweise senkrecht aufeinander stehen.
Besondere Matrizen sind insofern besonders, dass sie sich unter bestimmten Operationen "anders" verhalten. Was genau "anders" heißt, ist abhängig von den Details der Operation.
Im Fall der Multiplikation ist die Einheitsmatrix eine besondere Matrix, weil sie die einzige Matrix ist, die beim Matrixprodukt "keine Wirkung" zeigt. Im Fall der Transposition sind symmetrische Matrizen besondere Matrizen, weil sie die einzigen sind, die durch die Transposition nicht verändert werden.
Besondere Matrizen – Aufgaben
Nun bist Du an der Reihe, anhand kurzer Aufgaben dein Wissen über besondere Matrizen zu testen und zu vertiefen. Du kannst bei Unsicherheiten noch einmal den entsprechenden Abschnitt im Haupttext durchlesen.
Aufgabe
Betrachte die folgende Matrix
.
Begründe, ob diese Matrix ein Beispiel für besondere Matrizen ist. Im Fall der inversen Matrix ist nur die Invertierbarkeit zu untersuchen.
Lösung
Die Matrix A hat zwar entlang der Diagonalen nur Einsen, jedoch befinden sich außerhalb der Diagonalen Zahlen, die ungleich Null sind. Damit ist A nicht die Einheitsmatrix.
Wir berechnen die Determinante von A, indem wir den Entwicklungssatz von Laplace auf die erste Zeile anwenden. Dadurch erhalten wir
.
Wir gehen in unserem Artikel "Determinante berechnen" im Detail darauf ein, was denn die Determinante überhaupt ist und wie Du sie berechnen kannst. Schaue also gerne dort vorbei.
Da die Determinante von A gleich 111 und damit ungleich Null ist, ist A invertierbar. Die zu A inverse Matrix existiert demnach. Damit wissen wir aber auch, dass A keine orthogonale Matrix sein kann.
Schließlich ist A eine symmetrische Matrix, denn
.
Aufgabe
Es sind drei Matrizen A, B und C gegeben, die die folgende Eigenschaft besitzen:
Begründe, ob und zu welcher Art von besonderen Matrizen diese Matrizen zugeordnet werden können.LösungAnhand der Determinante können wir nicht feststellen, ob die Matrix symmetrisch ist. Dazu brauchen wir die Matrix selbst und müssen die Transposition berechnen.Da die Determinanten von A und B ungleich Null sind, sind sie invertierbar. Die Matrix C hingegen besitzt keine inverse Matrix. Sie ist damit auch nicht die Einheitsmatrix.Außerdem ist die Determinante von A nicht gleich +1 oder -1, weshalb A keine orthogonale Matrix sein kann. Sie kann daher auch nicht die Einheitsmatrix sein. Die Matrix B könnte eine orthogonale Matrix oder die Einheitsmatrix sein, jedoch lässt sich nur anhand der Determinante nicht darauf schließen.
Besondere Matrizen – Das Wichtigste
- Besondere Matrizen sind dadurch charakterisiert, dass sie bezüglich bestimmter Operationen bestimmte Eigenschaften besitzen.
- Die Einheitsmatrix ist diejenige Matrix, die beim Matrixprodukt keine Wirkung zeigt. Konkret: Ist A eine weitere beliebige Matrix, so gilt: . Die Einheitsmatrix besitzt also bezüglich der Operation des Matrixprodukts die definierende Eigenschaft, dass sie "nichts bewirkt".
- Eine Matrix A, deren Determinante ungleich Null ist, besitzt eine inverse Matrix . Die inverse Matrix ist durch die Gleichung charakterisiert.
- Symmetrische Matrizen sind besondere Matrizen, da sie durch die Transposition nicht verändert werden, das heißt .
- Schließlich sind orthogonale Matrizen auch Beispiele für besondere Matrizen, da sie bezüglich der Transposition und des Matrixprodukts die definierende Eigenschaft erfüllen. Orthogonale Matrizen besitzen immer eine Determinante von +1 oder -1.
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