Andrea und Julia bekommen in Matheunterricht eine Rechenaufgabe gestellt, die sie ohne Taschenrechner lösen sollen. Gesucht ist das Ergebnis der Rechnung . Andrea rechnet die einzelnen Summanden der Reihe nach von links nach rechts zusammen. Erst und anschließend . Julia hingegen erkennt, dass eine volle Zahl ergibt, nämlich 30 . Damit erkennt sie sofort, dass die Zahl 47 ergibt und somit als Endergebnis 47 heraus kommen muss. Während Andrea noch rechnet ist Julia bereits fertig. Sie hat sogenannte Rechenvorteile erkannt und genutzt. Welche Rechenvorteile es gibt und wann Du sie anwenden kannst, lernst Du in dieser Erklärung kennen.
Wiederholung – Zahlen, Grundrechenarten und Rechengesetze
Für das Erkennen von Rechenvorteilen ist es essenziell, dass Du Dich mit dem Thema Zahlen auskennst und die Grundrechenarten und Rechengesetze beherrschst. Damit Du gleich in das Thema des vorteilhaften Rechnens einsteigen kannst, hast Du in den folgenden Abschnitten nochmal eine kurze Wiederholung zu diesen Themen.
Zahlen und Zahlenarten
In der Mathematik findest Du Zahlen in allen Arten von Aufgabenstellungen. Sie sind daher unabdingbar. Je nachdem, um welchen Aufgabentypen es sich handelt oder welches mathematische Problem gelöst werden soll, werden unterschiedliche Zahlentypen gebraucht.
Die unterschiedlichen Zahlentypen kannst Du in der nachfolgenden Tabelle sehen.
| Zahlenart | Erklärung | Beispiel |
| Natürliche Zahlen | Natürliche Zahlen werden zum Zählen von Objekten verwendet. Sie sind positive, ganze Zahlen ohne Nachkommastellen. | |
| Negative Zahlen | Negative Zahlen sind ganze Zahlen ohne Nachkommastellen mit einem negativen Vorzeichen. Sie liegen auf einem Zahlenstrahl links von der 0. | |
| Ganze Zahlen | Die ganzen Zahlen umfassen alle natürlichen Zahlen, negativen Zahlen und die 0. Ganze Zahlen besitzen kein Komma und keine Nachkommastellen. | |
| Rationale Zahlen | Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich als Brüche darstellen lassen, auch "Bruchzahlen" genannt. Sie lassen sich als Quotient zweier ganzer Zahlen ausdrücken. Auch ganze Zahlen, Kommazahlen und gemischte Zahlen sind rationale Zahlen. | |
| Irrationale Zahlen | Irrationale Zahlen sind Zahlen, die im Gegensatz zu den rationalen Zahlen nicht als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können. Es sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich niemals wiederholen. | |
| Reelle Zahlen | Reelle Zahlen sind die Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen. | |
Neben den Zahlen sind ebenso die Grundrechenarten und Rechengesetze relevant.
Grundrechenarten
Insgesamt gibt es vier Grundrechenarten. Diese findest Du in der nachfolgenden Tabelle:
| Grundrechenart | Rechenoperator | Beispiel |
| Addition | Plus (+) | |
| Subtraktion | Minus (-) | |
| Multiplikation | Mal (⋅) | |
| Division | Geteilt durch (:) | |
In der Erklärung "Grundrechenarten" kannst Du nochmal alles zu diesem Thema im Detail nachlesen.
Rechengesetze und Rechenregeln
Zum Erkennen von Rechenvorteilen sind ebenso die Rechengesetze relevant, da Du diese bei dem Lösen von Aufgaben anwenden kannst. Sie helfen Dir oft, Deine Rechnungen so weit es geht zu vereinfachen oder vorteilhaft umzustellen. Eine Auflistung einiger Rechenregeln findest Du in der nachfolgenden Tabelle. Diese werden im weiteren Verlauf der Erklärung angewandt.
| Rechengesetz/ -regel | Erklärung | Beispiel |
| Punkt-vor-Strich | Punktrechnungen ( ⋅ und : ) müssen vor Strichrechnungen ( + und - ) berechnet werden. | |
| Vorrang von Potenzen | Potenzen werden zuerst berechnet, danach erfolgt erst die Multiplikation und Division. | |
| Klammerregel | In Termen müssen Klammern zuerst berechnet werden. | |
| Kommutativgesetz | Es spielt keine Rolle in welcher Reihenfolge Zahlen addiert oder multipliziert werden. Es gilt nicht bei der Subtraktion und Division. | |
| Assoziativgesetz | Klammern können bei einer Addition und Multiplikation beliebig gesetzt werden. Dies gilt nicht bei der Subtraktion und Division. | |
| Distributivgesetz | Für alle reellen Zahlen a, b und c gilt:
| |
| Potenzgesetze | Für reelle Zahlen a, b, s und t gilt:
|
|
In der Erklärung zu Rechengesetzen kannst Du Dein Wissen weiter vertiefen.
Rechenvorteile – Erklärung
Zuerst kannst Du Dir ansehen, was ein Rechenvorteil im Allgemeinen ist. Im Wort Rechenvorteil steckt das Wort Vorteil. Ein Vorteil ist etwas, das jemandem einen Nutzen bringt. Beim Rechnen ist das Hauptziel, ein Ergebnis zu bekommen und das möglichst effizient.
Ein Rechenvorteil ist etwas, was Dir helfen kann, schneller und effizienter zu Deinem Ergebnis zu kommen.
Dazu kannst Du oftmals auf bestimmte mathematische Tricks zurückgreifen oder Rechengesetze anwenden.
Rechenvorteile können Dir helfen, manche Aufgaben bereits im Kopf zu lösen, ohne Deinen ganzen Term in den Taschenrechner eintippen zu müssen. Wie Du Rechenvorteile erkennst und diese geschickt anwendest lernst Du in dieser Erklärung kennen.
Zunächst ist es wichtig, dass Du lernst Rechenvorteile zu erkennen. Dadurch kannst Du sie anschließend nutzen, indem Du bestimmte mathematische Tricks und Gesetze anwendest. Je nach Zahlenart oder Rechenart gibt es unterschiedliche mathematische Tricks, die Du anwenden kannst. Diese werden in den folgenden Abschnitten unterschieden.
Rechenvorteile nach Rechenart – Nutzung und Beispiele
Du kannst Dir Möglichkeiten zum vorteilhaften Rechnen je nach Grundrechenart ansehen. Dazu werden die Rechenvorteile beim
betrachtet.
Rechenvorteile Addition
Bei einer Addition werden zwei oder mehrere Zahlen nacheinander zusammengezählt. Manchmal werden nicht nur kleine Zahlen wie addiert, sondern auch größere Zahlen wie . Um große Zahlen zu addieren, kannst Du einen mathematischen Trick anwenden. Diesen kannst Du Dir am besten anhand eines Beispiels ansehen.
Gesucht ist das Ergebnis der Summe:
Hier hast Du zwei Zahlen gegeben, die nicht voll sind. Um Dir die Addition zu erleichtern kannst Du die Rechnung aufteilen und zuerst die Summe der Einerstellen bilden. Das Ergebnis, das Du so erhältst kannst Du anschließend zu Deiner so entstanden, vollen Zehnerzahl dazu addieren:
Wenn Du Aufgaben lösen willst ist es generell oft vorteilhaft, mit vollen Zehnerzahlen wie 10, 30, 200, 1000 zu rechnen anstatt mit Zahlen wie 17, 39, 208, 1019. Manchmal lassen sich Summen aus mehr als zwei Zahlen so umstellen, dass als Zwischenergebnisse ganze Zahlen herauskommen und Du mit diesen weiterrechnen kannst. Dies ist aufgrund des Kommutativgesetzes möglich, denn die Zahlen können in beliebiger Reihenfolge addiert werden und das kann Dir bei einer schnelleren und effizienteren Addition helfen. Die Klammern darfst Du aufgrund des Assoziativgesetzes beliebig setzen.
Denkst Du an das Beispiel aus der Einleitung, so war das Ergebnis der Summe
gesucht. Andrea addierte die einzelnen Zahlen in der Reihenfolge, wie sie gegeben waren. Sie rechnete:
Julia wendete einen mathematischen Trick an. Sie sieht, dass eine volle Zahl ergibt, nämlich 30. Damit bekam sie als Zwischenergebnis eine volle Zahl und konnte so schnell und effizient das Endergebnis berechnen:
Julia konnte so die gegebene Rechenaufgabe vorteilhaft, mithilfe eines mathematischen Tricks, lösen.
Durch das geschickte Anwenden des Kommutativ- und Assoziativgesetzes lassen sich auch längere Rechenaufgaben schnell lösen. Dafür hast Du im Folgenden ein weiteres Beispiel.
Gesucht ist die Lösung der Summe:
Nun wendest Du das Kommutativgesetz an. Bei der gegebenen Summe suchst Du erneut Zahlen heraus, die addiert wiederum ganze Zahlen ergeben und stellst die Rechnung dementsprechend um. Die Klammern können aufgrund der Geltung des Assoziativgesetzes wieder beliebig gesetzt werden:
Somit konntest Du aus eine lange Summe geschickt umstellen um diese effizient auszurechnen.
Rechenvorteile Subtraktion
Bei der Subtraktion an sich darf das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz nicht angewendet werden. Dennoch gibt es auch bei der Subtraktion Möglichkeiten, die eine vorteilhafte Subtraktion ermöglichen. Dafür sind wieder volle Zahlen mit einer 0 an der Einerstelle hilfreich. Wie Du mit einem mathematischen Trick auf volle Zahlen kommst, lernst Du im nachfolgenden Beispiel.
Gesucht ist Die Lösung der folgenden Rechnung:
Hier hast Du zwei Zahlen gegeben, die nicht voll sind und voneinander abgezogen werden sollen. Um Dir die Subtraktion zu erleichtern kannst Du Dir überlegen, wie Du eine voll Zahl bekommen kannst. Bei der 19 fehlt beispielsweise nur 1 zur 20. Um nun die Rechnung nicht zu verfälschen, musst Du auch bei der 72 die 1 dazuzählen. So heben sich die Zahlen wieder auf und Du kommst auf das gleiche Ergebnis, aber Du kannst mit einer vollen Zahl rechnen. Deine Rechnung sieht dann wie folgt aus:
Zwar gilt bei der Subtraktion das Kommutativ- und Assoziativgesetz nicht, allerdings darfst Du bei mehreren Subtrahenden diese untereinander vertauschen. Nur der Minuend mit positiven Vorzeichen muss stehen bleiben.
Begriffe der Subtraktion
Es gibt bestimmte Begriffe, um eine Subtraktion und ihre Bestandteile zu beschreiben. Die Subtraktion als Ganzes entspricht der Berechnung aus Minuend und Subtrahend mit der Differenz als Lösung. In Abbildung 1 kannst Du Dir ansehen, was Minuend, Subtrahend und Differenz in einer Subtraktion sind.
Abbildung 1: Bestandteile der Subtraktion
Es kann nur einen Minuenden, aber mehrere Subtrahenden geben.
Durch den Tausch der Subtrahenden untereinander kannst Du Dir die Rechnung wieder so umstellen, dass Du volle Zahlen bekommst und schnell mit diesen weiterrechnen kannst. Wie das geht kannst Du Dir im Folgenden ansehen:
Gesucht ist Die Lösung der folgenden Rechnung:
Du kannst die Subtrahenden wie folgt vertauschen, um mit volle Zahlen zu rechnen:
Mit den eben gelernten Tricks kannst Du Deine Subtraktion vorteilhaft lösen und schnell an Dein gesuchtes Ergebnis kommen.
Rechenvorteile Multiplikation
Bei der Multiplikation darf das Kommutativ- und Assoziativgesetz angewendet werden. Auch bei der Multiplikation helfen Dir volle Zahlen, um Dein Produkt schnell berechnen zu können. Dazu kannst Du Dir einige Beispiele ansehen.
Gesucht ist das Produkt aus den Zahlen:
Hier kannst Du Dein Produkt mithilfe des Kommutativgesetzes so umstellen, dass Du zuerst ausrechnest und anschließend die 18 mit einer vollen Zahl, der 10 multiplizieren kannst.
Zur Erinnerung: Multiplizierst Du eine Zahl mit der Zahl 10, so erhältst Du das Ergebnis, indem Du an diese Zahl eine 0 anhängst.
Deine Rechnung würde dann so aussehen:
Wenn Du nun Zahlen hast, die mit einer vollen Zahl außer der 10 multipliziert werden, gibt es einen weiteren mathematischen Trick, den Du anwenden kannst. Diesen lernst Du in folgendem Beispiel kennen.
Gegeben ist die folgende Rechnung:
Hier kannst Du wieder schauen, ob Du das Kommutativgesetz geschickt anwenden kannst um eine volle Zahl zu erhalten. Durch die Geltung des Assoziativgesetzes kannst Du Deine Klammern ebenfalls beliebig setzen. In diesem Fall kannst Du zuerst ausrechnen, da Du so eine volle Zahl, die 30, erhältst:
Um zu berechnen kannst Du einen mathematischen Trick anwenden. Du kannst die Zahl 30 in einzelne Produkte aufteilen, denn . Somit kannst Du die 23 mit der Zahl 3 im Kopf multiplizieren und anschließend mit der 10 multiplizieren um das Gesamtergebnis zu erhalten. Multiplizierst Du eine Zahl mit der Zahl 10, so erhältst Du das Ergebnis, indem Du an diese Zahl eine 0 anhängst. Somit sieht Deine Rechnung wie folgt aus:
Rechenvorteile Division
Im Gegensatz zur Multiplikation darf das Kommutativ- und Assoziativgesetz bei der Division nicht angewendet werden. Allerdings gibt es ein paar Teilbarkeitsregeln, die Dir bei der Erkennung von möglichen Teilern helfen können. Damit kannst Du schnell sehen, ob eine Zahl überhaupt durch eine andere Zahl teilbar ist. Die Teilbarkeitsregeln kannst Du Dir in der folgenden Tabelle ansehen:
| Teilbar durch: | Bedingung: |
| 2 | Alle geraden Zahlen (enden auf 0, 2, 4, 6, 8) sind durch 2 teilbar. |
| 3 | Die Quersumme ist durch 3 teilbar. |
| 4 | Die letzten beiden Stellen einer Zahl sind durch 4 teilbar. |
| 5 | Die letzte Stelle einer Zahl ist 0 oder 5. |
| 6 | Die letzte Stelle einer Zahl ist durch 2 oder 3 teilbar. |
| 7 | - |
| 8 | Die letzten 3 Stellen einer Zahl sind durch 8 teilbar. |
| 9 | Die Quersumme einer Zahl ist durch 9 teilbar. |
| 10 | Die letzte Stelle einer Zahl ist eine 0. |
Zur Erinnerung: Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl.
Hast Du große Zahlen gegeben, so kannst Du die Division auf mehrere Teile aufteilen, um Deine Rechnung schnell und effizient im Kopf durchführen zu können. Wie das geht und wie Dir die Teilbarkeitsregeln helfen können, vorteilhaft zu rechnen kannst Du Dir im folgenden Beispiel ansehen:
Gesucht ist die Lösung der folgenden Aufgabe:
Um Die Division schnell ohne Taschenrechner durchführen zu können ist es vorteilhaft, diese aufzuteilen. Die 12 setzt sich beispielsweise entweder aus oder zusammen. Oft ist es hilfreich, eine Zahl zuerst durch den kleinstmöglichen Teiler zu teilen. Da 108 eine gerade Zahl ist weißt Du, dass sie durch 2 teilbar sein muss. Die 2 ist in diesem Fall der kleinstmögliche Teiler. Somit kannst Du Deine Rechnung folgendermaßen aufteilen:
Als nächstes kannst Du ausrechnen. Wenn Du etwas durch 2 teilst ergibt es genau die Hälfte der ursprünglichen Zahl, in diesem Fall 54:
Nun musst Du noch ausrechnen. Durch das große Einmaleins weißt Du, dass gilt, weshalb Dein Ergebnis nun lautet:
Damit hast Du die Lösung Deiner Aufgabe gefunden. Die Rechnung im Ganzen siehst Du im Folgenden nochmal:
Rechenvorteile Potenzen
Auch beim Potenzieren und der Multiplikation von Potenzen können Dir die Potenzgesetze behilflich sein, vorteilhaft zu rechnen. Diese kannst Du nutzen, um Deine Rechnung zu verkürzen und Deine Aufgabe effizient zu lösen.
Wenn beispielsweise in einem Produkt Deine beiden Potenzen die gleiche Basis haben kannst Du dieses Gesetz anwenden:
Deine Exponenten können somit addiert werden und die Basis bleibt dieselbe.
Du hast beispielsweise folgende Aufgabe gegeben:
Die Basis 5 bleibt erhalten und die Exponenten werden addiert, um Dein Ergebnis zu erhalten:
Aber auch bei unterschiedlichen Basen kannst Du eine Regel anwenden:
Wenn in einem Produkt beide Potenzen eine unterschiedliche Basis haben, jedoch der Exponent gleich ist, so kannst Du die Rechnung so verkürzen:
Du hast beispielsweise folgende Aufgabe gegeben:
Die Basis 5 bleibt erhalten und die Exponenten werden addiert, um Dein Ergebnis zu erhalten:
Rechenvorteile kombinierte Grundrechenarten - Distributivgesetz
Manchmal kann es sein, dass Du mehrere Grundrechenarten kombiniert hast. Also nicht nur reine Summen oder reine Differenzen berechnen sollst, sondern auch noch Produkte oder Quotienten berechnen musst. Wenn das der Fall ist, kann Dir das Distributivgesetz behilflich sein, vor allem bei längeren Aufgaben mit konstantem Faktor. Auch das kannst Du Dir mithilfe einiger Beispiele ansehen.
Gesucht ist das Ergebnis folgender Aufgabe:
Du hast als konstanten Faktor in den Produkten jeweils die 3 gegeben. Durch das Distributivgesetz kannst Du diesen ausklammern und so diese Aufgabe effizient verkürzen, ohne dass Du die Summe und Differenz aus großen Zahlen bilden musst:
Eine Besonderheit stellen rationale Zahlen, also Bruchzahlen, dar. Bei ihnen lassen sich aber die gleichen Rechenvorteile nutzen, die Du bereits gerade kennengelernt hast.
Rechenvorteile rationale Zahlen
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren müssen diese auf den gleichen Nenner gebracht werden. Manchmal sind in längeren Summen schon mehrere Brüche mit dem gleichen Nenner gegeben. Somit kannst Du wieder das Kommutativgesetz anwenden und die Rechnung so umstellen, dass Du zuerst die Brüche mit gleichem Nenner addierst, bevor Du die übrig gebliebenen Brüche auf einen Nenner bringst.
Gesucht ist das Ergebnis der folgenden Rechnung:
Du kannst erkennen, dass ein paar Brüche denselben Nenner haben. Es ist in diesem Fall daher sinnvoll, die Rechnung so umzustellen, dass Du die Brüche mit dem gleichen Nenner zuerst addieren kannst. Anschließend kannst Du die so entstandenen Brüche mit unterschiedlichem Nenner addieren, indem Du sie auf denselben Nenner bringst:
Rechenvorteile – Übungen und Aufgaben
Im Folgenden findest Du einige Aufgaben, mit denen Du das Erkennen und Anwenden von Rechenvorteilen üben kannst.
Aufgabe 1
Rechne folgende Aufgabe geschickt aus:
Lösung
Bei dieser Aufgabe ist eine Summe gesucht. Bei Summen darfst Du das Kommutativgesetz anwenden, also die Zahlen in beliebiger Reihenfolge addieren, sowie das Assoziativgesetz, also Klammern beliebig setzen. Um Die Aufgabe geschickt zu lösen, schaust Du wieder, ob die Zahlen sich so addieren lassen, dass Du volle Zahlen erhältst und mit diesen weiterrechen kannst. Damit kannst Du die Aufgabe wie folgt lösen:
Aufgabe 2
Löse folgende Aufgabe geschickt:
Lösung
In diesem Fall ist es geschickt, das Kommutativgesetz anzuwenden und zuerst auszurechnen, da Du so eine volle Zahl, die 20 erhältst. Durch die Geltung des Assoziativgesetzes, kannst Du Deine Klammern beliebig setzen. Das Ergebnis kannst Du anschließend mit der Zahl 11 multiplizieren. Zwar hast Du hier zwei große Zahlen, allerdings kannst Du rechnen und das Ergebnis mit 10 multiplizieren, also an das Ergebnis eine 0 anhängen. Das Ergebnis dieser Rechnung wiederum kannst Du dann mit der 3 multiplizieren. Deine Gesamtrechnung würde dann so aussehen:
Aufgabe 3
Rechne folgende Aufgabe geschickt aus:
Lösung
Bei dieser Aufgabe sind Produkte und Summen enthalten. Du hast als konstanten Faktor in den Produkten jeweils die Zahl 2 gegeben. Durch das Distributivgesetz kannst Du diesen ausklammern und so diese Aufgabe effizient verkürzen, ohne dass Du die Summe und Differenz aus großen Zahlen bilden musst:
Rechenvorteile – Das Wichtigste
Nachweise
- Bernhard et at. (2019). Schnittpunkt Mathematik 7. Differenzierende Ausgabe. Ernst Klett Verlag
- Rechnen mit Spaß, Alle Rechengesetze, 5. Schuljahr (2000). Ernst Klett Verlag
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