Wurzelgesetze

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Beim Wurzelziehen geht es in der Mathematik nicht ums Gärtnern, sondern um die mathematische Wurzel. Welche Wurzelgesetze es gibt, wie Du sie anwendest und wie sie Dir beim Rechnen helfen, erfährst Du in dieser Erklärung.

Wurzelgesetze – Grundlagenwissen

Eine Wurzel in der Mathematik besteht meist aus drei Teilen: einem Wurzelzeichen, einem Wurzelexponenten und einem Radikand.

Die Bezeichnungen der einzelnen Teile eines Wurzelausdrucks siehst Du hier:

Wurzelgesetz Wurzel Bezeichnungen StudySmarter Abbildung 1: Bezeichnungen der Wurzelbestandteile

Den Ausdruck $\sqrt[n]{a}$ kannst Du als "n-te Wurzel von a" aussprechen. Wenn der Wurzelexponent die 2 ist, also $\sqrt[2]{a}$ , wird die 2 meist weggelassen und nur $\sqrt{a}$ geschrieben. Die zweite Wurzel heißt Quadratwurzel. Die dritte Wurzel ( $\sqrt[3]{a}$ ) wird Kubikwurzel genannt.

Beim Rechnen mit Wurzeln können Wurzelgesetze von Hilfe sein. Sie ermöglichen es Dir, Terme mit Wurzeln übersichtlicher aufzuschreiben und Rechenvorteile zu erkennen. Alle Wurzelgesetze gelten jedoch nur für positive Radikanden, es darf also kein Minus unter der Wurzel stehen.

Wurzelgesetze — Formelsammlung

Die folgende Tabelle gibt Dir eine Übersicht zu den verschiedenen Wurzelgesetzen. Eine Erklärung sowie Beispiele dazu findest Du weiter unten.

Wurzelgesetz	Formel
Wurzeln multiplizieren	$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
Wurzeln dividieren	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
Wurzeln addieren	$x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$
Wurzeln subtrahieren	$x \cdot \sqrt[n]{a} - y \cdot \sqrt[n]{a} = (x - y) \cdot \sqrt[n]{a}$
Wurzeln potenzieren	${(\sqrt[n]{a})}^{x} = \sqrt[n]{a^{x}}$
Wurzeln radizieren	$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
Wurzeln als Potenz	$\begin{array}{rcl} \sqrt[n]{a^{m}} & = & a^{\frac{m}{n}} \\ \sqrt[n]{a} & = & a^{\frac{1}{n}} \end{array}$

Wurzelgesetz für die Multiplikation

Wurzeln können multipliziert werden, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. Im folgenden Beispiel werden zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert.

Du möchtest $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7}$ rechnen. Dies ist möglich, da in beiden Fällen die dritte Wurzel gezogen wird:

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{5 \cdot 7} = \sqrt[3]{35}$

Das Beispiel zeigt, dass Du Wurzeln multiplizieren kannst, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. In diesem Fall multiplizierst Du die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel. Im Beispiel sind die Radikanden 5 und 7.

Wurzelgesetz können auch allgemein mit Variablen geschrieben werden.

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation darfst Du anwenden, wenn zwei Wurzelausdrücke denselben Wurzelexponenten haben. Es lautet:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

Du kannst Wurzeln nur dann multiplizieren und das Wurzelgesetz anwenden, wenn an beiden Wurzeln derselbe Exponent steht.

Wenn zum Beispiel der Term $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{5}$ gegeben ist, sind die Exponenten der Wurzeln unterschiedlich. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden und den Term nicht weiter vereinfachen.

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Multiplikation

Das Anwenden des Wurzelgesetzes für die Multiplikation vereinfacht den Ausdruck. $\sqrt[3]{35}$ ist deutlich kürzer als $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7}$ . Rechnungen werden dadurch übersichtlicher, selbst wenn Variablen vorkommen. Auch $\sqrt{7 x}$ ist einfacher notiert als $\sqrt{7} \cdot \sqrt{x}$ .

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation vereinfacht aber nicht nur den Ausdruck, es kann Dir auch einen echten Rechenvorteil bringen.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$

Es ist schwierig, die Wurzel aus 3 sowie die Wurzel aus 12 im Kopf zu berechnen. Wenn Du hier das Wurzelgesetz anwendest, wird aus $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ genau $\sqrt{36}$ . 36 ist eine Quadratzahl und die Wurzel aus 36 ist 6.

Das Beispiel zeigt, dass es anhand des Wurzelgesetzes manchmal möglich sein kann, eine Wurzel im Kopf zu berechnen, obwohl dies bei den beiden einzelnen Wurzeln als Faktoren nicht möglich war. Ein weiteres Beispiel, das einen solchen Rechenvorteil liefert, ist $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

Wurzel multiplizieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du einige Aufgaben, mit denen Du Dein Wissen vertiefen kannst.

Aufgabe 1

Vereinfache, wenn möglich.

a) $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{6}$

b) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{6}$

c) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Lösung

a)Beide Wurzeln haben denselben Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz für die Multiplikation anwenden:

$\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{3 \cdot 6} = \sqrt[4]{18}$

Die Wurzeln haben unterschiedliche Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz nicht anwenden und kannst den Term nicht vereinfachen.

In beiden Faktoren steht eine Quadratwurzel. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$

Hier entsteht ein Rechenvorteil: 81 ist eine Quadratzahl, deswegen kannst Du die Wurzel im Kopf berechnen.

Wurzelgesetz für die Division

Das Wurzelgesetz für die Division ist analog zum Wurzelgesetz für die Multiplikation aufgebaut. Auch hier kannst Du es nur anwenden, wenn die Wurzelexponenten identisch sind.

$\frac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{21}{3}} = \sqrt[3]{7}$

Um $\sqrt[3]{21}$ durch $\sqrt[3]{3}$ zu rechnen, kannst Du die Radikanden dividieren.

Statt dem Bruchstrich könntest Du im Beispiel auch ein Divisionszeichen verwenden. Übersichtlicher ist es aber mit dem Bruchstrich.

Mit Variablen formuliert sieht das Wurzelgesetz dann so aus:

Das Wurzelgesetz für die Division für Wurzel mit demselben Wurzelexponenten lautet:

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Beachte auch hier, dass Du die Rechenregel wirklich nur dann anwenden kannst, wenn dieselbe Zahl als Exponent an den Wurzeln steht.

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Division

Die Vorteile des Wurzelgesetzes bei der Division sind ähnlich wie bei der Multiplikation. Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Ausdruck übersichtlicher machen. $\sqrt[3]{\frac{21}{3}}$ ist bereits übersichtlicher als $\frac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{3}}$ . Wenn Du noch $\frac{21}{3}$ zu 7 kürzt, ist die Darstellung noch einfacher: $\sqrt[3]{7}$

Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Rechenvorteil bringen.

$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$

Es ist schwierig, die Wurzel aus 32 und die Wurzel aus 2 im Kopf zu berechnen. Wenn Du jetzt aber das Wurzelgesetz für die Division anwendest und 32 durch 2 teilst, erhältst Du 16. Die 16 ist eine Quadratzahl, $\sqrt{16}$ ist 4.

Du kannst das Wurzelgesetz für die Division also manchmal anwenden, um eine Wurzel zu berechnen, die Du ohne das Wurzelgesetz nicht im Kopf ausrechnen kannst. Dies funktioniert aber nur dann, wenn durch die Division eine Zahl entsteht, deren Wurzel Du im Kopf berechnen kannst.

Wurzeln dividieren – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen vertiefen.

Aufgabe 2

Vereinfache, wenn möglich.

a) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[3]{5}}$

b) $\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{8}}$

c) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$

Lösung

Die Exponenten der Wurzeln im Zähler und im Nenner stimmen nicht überein. Du kannst nicht vereinfachen.

Die Wurzelexponenten stimmen überein. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

$\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{7}{8}}$

Auch hier kannst Du das Wurzelgesetz anwenden:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Hier kannst Du einen Rechenvorteil nutzen. Durch das Umformen stehen im Zähler und im Nenner Quadratzahlen. Du kannst die Wurzel ziehen.

Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion

Die Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion sind nicht unbedingt Rechengesetze. Viel eher bauen sie auf dem Distributivgesetz auf.

Das Distributivgesetz erlaubt Dir, auszuklammern.

Das Distributivgesetz lautet:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Wenn Du zum Beispiel $7 \cdot x + 3 \cdot x$ rechnen sollst, kannst Du das Distributivgesetz anwenden.

$7 \cdot x + 3 \cdot x = (7 + 3) \cdot x = 10 x$ $7 \cdot x + 3 \cdot x = (7 + 3) \cdot x = 10 \cdot x$

Ähnlich kannst Du auch vorgehen, wenn Du Wurzel addieren möchtest.

Wurzelgesetz für die Addition

Das Wurzelgesetz für die Addition darfst Du anwenden, wenn der Wurzelausdruck sowohl denselben Wurzelexponenten, als auch denselben Radikanden hat.

$4 \cdot \sqrt[3]{5} + 2 \cdot \sqrt[3]{5} = (4 + 2) \cdot \sqrt[3]{5} = 6 \cdot \sqrt[3]{5}$

Das Beispiel zeigt, dass sich im Gegensatz zur Multiplikation und Division der reine Wurzelausdruck nicht verändert. $\sqrt[3]{5}$ bleibt $\sqrt[3]{5}$ . Du verwendest das Distributivgesetz, um die Anzahl der Wurzeln zusammenzufassen.

Du erhältst viermal $\sqrt[3]{5}$ und dann noch zweimal $\sqrt[3]{5}$ . Zusammen liegen sie sechsmal vor.

Beim Wurzelgesetz für die Addition darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:

$x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Wurzelgesetz für die Subtraktion

Das Wurzelgesetz für die Subtraktion ist analog zum Wurzelgesetz für die Addition aufgebaut. Auch hier wendest Du das Distributivgesetz an.

$6 \cdot \sqrt[4]{3} - 2 \cdot \sqrt[4]{3} = (6 - 2) \cdot \sqrt[4]{3} = 4 \cdot \sqrt[4]{3}$

Im Beispiel hast Du zuerst sechsmal $\sqrt[4]{3}$ . Davon ziehst Du zweimal $\sqrt[4]{3}$ ab. Du hast dann nur noch viermal $\sqrt[4]{3}$ .

Beim Wurzelgesetz für die Subtraktion darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:

$x \cdot \sqrt[n]{a} - y \cdot \sqrt[n]{a} = (x - y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Wurzeln addieren und subtrahieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du Aufgaben zum Vertiefen Deines Wissens.

Aufgabe 3

Vereinfache, wenn möglich.

a) $4 \cdot \sqrt{2} + 6 \cdot \sqrt{2}$

b) $3 \cdot \sqrt[3]{4} + 2 \cdot \sqrt[4]{4}$

c) $5 \cdot \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4}$

Lösung

Die Wurzeln stimmen überein. Du kannst zusammenfassen.

$4 \cdot \sqrt{2} + 6 \cdot \sqrt{2} = (4 + 6) \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot \sqrt{2}$

Die Wurzeln haben unterschiedlichen Wurzelexponenten. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden.

Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

$5 \cdot \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} = (5 - 1) \cdot \sqrt[3]{4} = 4 \cdot \sqrt[3]{4}$

Wurzeln potenzieren

Du darfst jede Wurzel potenzieren, also einen Wurzelausdruck hoch eine Zahl rechnen. Das Wurzelgesetz besagt, dass Du dazu direkt den Radikanden potenzieren darfst.

Potenzieren ist das Fachwort dafür, wenn Du eine Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizierst und dies mit einem Exponenten ausdrückst.

${(\sqrt[3]{5})}^{4} = \sqrt[3]{5^{4}}$

Das Beispiel zeigt, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Nun kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren.

Eine Wurzel wird potenziert, indem der Radikand potenziert wird.

id="2680428" role="math" ${(\sqrt[n]{a})}^{x} = \sqrt[n]{a^{x}}$

Wurzeln potenzieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du zwei Beispiele als Übungsaufgaben.

Aufgabe 4

Vereinfache.

a) ${(\sqrt[3]{5})}^{2}$

b) ${(\sqrt{6})}^{3}$

Lösung

${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{5^{2}} = \sqrt[3]{25}$

${(\sqrt{6})}^{3} = \sqrt{6^{3}} = \sqrt{216}$

Wurzeln radizieren

Wenn Du eine Wurzel ziehst, wird dies auch "radizieren" genannt. Du kannst auch eine Wurzel aus einer Wurzel ziehen.

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{7}} = \sqrt[3 \cdot 4]{7} = \sqrt[12]{7}$

Im Beispiel siehst Du, dass Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, indem Du die beiden Wurzelexponenten multiplizierst und an eine Wurzel schreibst. Die Zahl unter der Wurzel (Radikand) verändert sich nicht.

Das Wurzelgesetz zum Radizieren lautet:

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$

Auch wenn eine Quadratwurzel vorliegt und deswegen keine Zahl als Wurzelexponent steht, musst Du mit 2 multiplizieren, da der Exponent der Wurzel trotzdem 2 beträgt.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{\sqrt[3]{4}} & = & \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4} \\ \sqrt{\sqrt{5}} & = & \sqrt[2 \cdot 2]{5} = \sqrt[4]{5} \end{array}$

Wurzeln radizieren – Aufgaben

Die folgenden Aufgaben kannst Du nun zum Üben nutzen.

Aufgabe 5

Vereinfache.

a) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}}$

b) $\sqrt[3]{\sqrt{5}}$

Lösung

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}} = \sqrt[4 \cdot 3]{12} = \sqrt[12]{12}$

$\sqrt[3]{\sqrt{5}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5} = \sqrt[6]{5}$

Wurzeln als Potenz

Eine Wurzel kannst Du auch in eine Potenz umschreiben. Dann verschwindet das Wurzelzeichen und der neue Exponent drückt die Wurzel aus.

$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{6} & = & 6^{\frac{1}{3}} \\ \sqrt{3^{5}} & = & 3^{\frac{5}{2}} \end{array}$

Das Beispiel zeigt, dass der neue Exponent ein Bruch ist. Der ursprüngliche Wurzelexponent steht nun im Nenner des Bruchs. Wenn es bereits vorher einen Exponenten gab, steht dieser im Zähler. Gab es vorher keinen Exponenten, steht eine 1 im Zähler.

Wurzeln können in Potenzen umgeschrieben werden:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[n]{a^{m}} & = & a^{\frac{m}{n}} \\ \sqrt[n]{a} & = & a^{\frac{1}{n}} \end{array}$

Wurzeln als Potenz – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du üben, die Wurzel als Potenz zu schreiben.

Aufgabe 6

Schreibe als Potenz.

a) $\sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt{x^{3}}$

Lösung

$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt{x^{3}} = x^{\frac{3}{2}}$

Wurzelgesetze – Das Wichtigste

Wurzelgesetz für die Multiplikation:an · bn = a · bn
- gleicher Wurzelexponent
Wurzelgesetz für die Division:anbn = abn
- gleicher Wurzelexponent
Wurzelgesetz für die Addition:x · an + y · b n = (x + y) · an
- gleicher Wurzelexponent
- gleicher Radikand
Wurzelgesetz für die Subtraktion :x · an - y · an = (x - y) · an
- gleicher Wurzelexponent
- gleicher Radikand
Wurzeln potenzieren: ${(\sqrt[n]{a})}^{x} = \sqrt[n]{a^{x}}$
Wurzeln radizieren: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
Wurzeln als Potenz: $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wurzelgesetze

Die Wurzelgesetze können Dir helfen, um mit Wurzeln zu rechnen. Insbesondere beim Multiplizieren und Dividieren kannst Du sie nutzen, um Wurzeln zusammenzufassen.

Wenn Du zwei Wurzel multiplizieren oder dividieren willst und sie denselben Wurzelexponenten haben, kannst Du ihre Radikanden multiplizieren bzw. dividieren.

Beim Addieren oder Subtrahieren darfst du dies nicht machen!

Wenn du zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten multiplizierst oder dividierst, verändert sich der Wurzelradikand nicht.

Wenn Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, kannst Du die beiden Wurzelexponenten multiplizieren und erhältst den neuen Wurzelexponenten.

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Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes multiplizieren kannst?

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Wurzel multiplizieren kann.

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes dividieren kannst?

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Radikanden dividieren kann.

Erkläre, wie Du die Wurzel aus einer Wurzel ziehen kannst.

Ich kann die Wurzel aus einer Wurzel ziehen, indem ich die beiden Wurzelexponenten multipliziere. Das Produkt ist der neue Wurzelexponent. Der Radikand verändert sich nicht.

Erkläre, ob alle Wurzeln addiert werden können.

Wurzeln können nicht beliebig addiert werden. Eine Addition von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln gleich sind.

Welche Aussage zum Addieren von Wurzeln ist richtig?

Wurzeln können nur addiert werden, wenn die Wurzeln gleich sind.

Wann sind zwei Wurzeln gleichnamig?

Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

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