Wurzelgesetze

Wurzelgesetze — Formelsammlung

Die folgende Tabelle gibt Dir eine Übersicht zu den verschiedenen Wurzelgesetzen. Eine Erklärung sowie Beispiele dazu findest Du weiter unten.

Wurzelgesetz für die Multiplikation

Wurzeln können multipliziert werden, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. Im folgenden Beispiel werden zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert.

Das Beispiel zeigt, dass Du Wurzeln multiplizieren kannst, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. In diesem Fall multiplizierst Du die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel. Im Beispiel sind die Radikanden 5 und 7.

Wurzelgesetz können auch allgemein mit Variablen geschrieben werden.

Du kannst Wurzeln nur dann multiplizieren und das Wurzelgesetz anwenden, wenn an beiden Wurzeln derselbe Exponent steht.

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Multiplikation

Das Anwenden des Wurzelgesetzes für die Multiplikation vereinfacht den Ausdruck. $\sqrt[3]{35}$ ist deutlich kürzer als $\sqrt[3]{5}·\sqrt[3]{7}$. Rechnungen werden dadurch übersichtlicher, selbst wenn Variablen vorkommen. Auch $\sqrt{7x}$ist einfacher notiert als $\sqrt{7}·\sqrt{x}$.

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation vereinfacht aber nicht nur den Ausdruck, es kann Dir auch einen echten Rechenvorteil bringen.

Das Beispiel zeigt, dass es anhand des Wurzelgesetzes manchmal möglich sein kann, eine Wurzel im Kopf zu berechnen, obwohl dies bei den beiden einzelnen Wurzeln als Faktoren nicht möglich war. Ein weiteres Beispiel, das einen solchen Rechenvorteil liefert, ist $\sqrt{5}·\sqrt{20}=\sqrt{100}=10$.

Wurzel multiplizieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du einige Aufgaben, mit denen Du Dein Wissen vertiefen kannst.

Wurzelgesetz für die Division

Das Wurzelgesetz für die Division ist analog zum Wurzelgesetz für die Multiplikation aufgebaut. Auch hier kannst Du es nur anwenden, wenn die Wurzelexponenten identisch sind.

Statt dem Bruchstrich könntest Du im Beispiel auch ein Divisionszeichen verwenden. Übersichtlicher ist es aber mit dem Bruchstrich.

Mit Variablen formuliert sieht das Wurzelgesetz dann so aus:

Beachte auch hier, dass Du die Rechenregel wirklich nur dann anwenden kannst, wenn dieselbe Zahl als Exponent an den Wurzeln steht.

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Division

Die Vorteile des Wurzelgesetzes bei der Division sind ähnlich wie bei der Multiplikation. Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Ausdruck übersichtlicher machen. $\sqrt[3]{\frac{21}{3}}$ ist bereits übersichtlicher als $\frac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{3}}$. Wenn Du noch $\frac{21}{3}$zu 7 kürzt, ist die Darstellung noch einfacher: $\sqrt[3]{7}$

Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Rechenvorteil bringen.

Du kannst das Wurzelgesetz für die Division also manchmal anwenden, um eine Wurzel zu berechnen, die Du ohne das Wurzelgesetz nicht im Kopf ausrechnen kannst. Dies funktioniert aber nur dann, wenn durch die Division eine Zahl entsteht, deren Wurzel Du im Kopf berechnen kannst.

Wurzeln dividieren – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen vertiefen.

Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion

Die Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion sind nicht unbedingt Rechengesetze. Viel eher bauen sie auf dem Distributivgesetz auf.

Wenn Du zum Beispiel $7·x+3·x$ rechnen sollst, kannst Du das Distributivgesetz anwenden.

Ähnlich kannst Du auch vorgehen, wenn Du Wurzel addieren möchtest.

Wurzelgesetz für die Addition

Das Wurzelgesetz für die Addition darfst Du anwenden, wenn der Wurzelausdruck sowohl denselben Wurzelexponenten, als auch denselben Radikanden hat.

Das Beispiel zeigt, dass sich im Gegensatz zur Multiplikation und Division der reine Wurzelausdruck nicht verändert. $\sqrt[3]{5}$ bleibt $\sqrt[3]{5}$. Du verwendest das Distributivgesetz, um die Anzahl der Wurzeln zusammenzufassen.

Du erhältst viermal $\sqrt[3]{5}$ und dann noch zweimal $\sqrt[3]{5}$. Zusammen liegen sie sechsmal vor.

Wurzelgesetz für die Subtraktion

Das Wurzelgesetz für die Subtraktion ist analog zum Wurzelgesetz für die Addition aufgebaut. Auch hier wendest Du das Distributivgesetz an.

Im Beispiel hast Du zuerst sechsmal $\sqrt[4]{3}$. Davon ziehst Du zweimal $\sqrt[4]{3}$ab. Du hast dann nur noch viermal $\sqrt[4]{3}$.

Wurzeln addieren und subtrahieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du Aufgaben zum Vertiefen Deines Wissens.

Wurzeln potenzieren

Du darfst jede Wurzel potenzieren, also einen Wurzelausdruck hoch eine Zahl rechnen. Das Wurzelgesetz besagt, dass Du dazu direkt den Radikanden potenzieren darfst.

Das Beispiel zeigt, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Nun kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren.

Wurzeln potenzieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du zwei Beispiele als Übungsaufgaben.

Wurzeln radizieren

Wenn Du eine Wurzel ziehst, wird dies auch "radizieren" genannt. Du kannst auch eine Wurzel aus einer Wurzel ziehen.

Im Beispiel siehst Du, dass Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, indem Du die beiden Wurzelexponenten multiplizierst und an eine Wurzel schreibst. Die Zahl unter der Wurzel (Radikand) verändert sich nicht.

Auch wenn eine Quadratwurzel vorliegt und deswegen keine Zahl als Wurzelexponent steht, musst Du mit 2 multiplizieren, da der Exponent der Wurzel trotzdem 2 beträgt.

Wurzeln radizieren – Aufgaben

Die folgenden Aufgaben kannst Du nun zum Üben nutzen.

Wurzeln als Potenz

Eine Wurzel kannst Du auch in eine Potenz umschreiben. Dann verschwindet das Wurzelzeichen und der neue Exponent drückt die Wurzel aus.

Das Beispiel zeigt, dass der neue Exponent ein Bruch ist. Der ursprüngliche Wurzelexponent steht nun im Nenner des Bruchs. Wenn es bereits vorher einen Exponenten gab, steht dieser im Zähler. Gab es vorher keinen Exponenten, steht eine 1 im Zähler.

Wurzeln als Potenz – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du üben, die Wurzel als Potenz zu schreiben.