Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit als Teil der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung liefert Dir beispielsweise eine Antwort auf die Frage, wie sicher Du beim nächsten Würfelspiel mit einem Würfel eine ungerade Zahl würfelst. Ist die Chance bei einem sechsseitigen Würfel eher hoch oder niedrig und wieso? 

Los geht’s Leg kostenfrei los
Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit

Erstelle Lernmaterialien über Wahrscheinlichkeit mit unserer kostenlosen Lern-App!

  • Sofortiger Zugriff auf Millionen von Lernmaterialien
  • Karteikarten, Notizen, Übungsprüfungen und mehr
  • Alles, was du brauchst, um bei deinen Prüfungen zu glänzen
Kostenlos anmelden

Lerne mit Millionen geteilten Karteikarten

Leg kostenfrei los
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Entscheide, welche der folgenden Aussagen korrekt ist. 

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Nenne eine Art Experiment, bei dem alle Ausgänge des Experiments gleich sicher eintreten.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Für ein Laplace-Experiment wurde folgende Ergebnismenge \(\Omega\) aufgestellt:

\[\Omega=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}\]

Gib ein Ereignis \(E\) an, das mit einer Wahrscheinlichkeit von \(P(E)=\dfrac{1}{2}\) eintritt.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Prüfe die Angaben über Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace-Experiment mit einem sechsseitigen Würfel.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

In einer Urne befinden sich fünf farbige Kugeln (drei blau und zwei rot). Bei einem Zufallsexperiment wird eine Kugel entnommen, die Farbe notiert und wieder zurückgelegt. Anschließend wird erneut eine Kugel gezogen und die Farbe notiert.

Entscheide, ob sich Wahrscheinlichkeit für das Ziehen der zweiten Kugel verändert. 

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Der Wert \(P(E)=0,2\) gibt an, dass ...

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Überprüfe folgende Aussage:


„Das Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel ist immer ein Laplace-Experiment.“

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Entscheide, welche Formel die Laplace-Regel korrekt abbildet. 

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Beschreibe, was die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) bei einem Zufallsexperiment angibt.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Die statistische Wahrscheinlichkeit...

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Wähle aus den folgenden Aussagen zutreffende Merkmale für Zufallsexperimente aus.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Entscheide, welche der folgenden Aussagen korrekt ist. 

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Nenne eine Art Experiment, bei dem alle Ausgänge des Experiments gleich sicher eintreten.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Für ein Laplace-Experiment wurde folgende Ergebnismenge \(\Omega\) aufgestellt:

\[\Omega=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}\]

Gib ein Ereignis \(E\) an, das mit einer Wahrscheinlichkeit von \(P(E)=\dfrac{1}{2}\) eintritt.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Prüfe die Angaben über Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace-Experiment mit einem sechsseitigen Würfel.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

In einer Urne befinden sich fünf farbige Kugeln (drei blau und zwei rot). Bei einem Zufallsexperiment wird eine Kugel entnommen, die Farbe notiert und wieder zurückgelegt. Anschließend wird erneut eine Kugel gezogen und die Farbe notiert.

Entscheide, ob sich Wahrscheinlichkeit für das Ziehen der zweiten Kugel verändert. 

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Der Wert \(P(E)=0,2\) gibt an, dass ...

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Überprüfe folgende Aussage:


„Das Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel ist immer ein Laplace-Experiment.“

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Entscheide, welche Formel die Laplace-Regel korrekt abbildet. 

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Beschreibe, was die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) bei einem Zufallsexperiment angibt.

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Die statistische Wahrscheinlichkeit...

Antwort zeigen
  • + Add tag
  • Immunology
  • Cell Biology
  • Mo

Wähle aus den folgenden Aussagen zutreffende Merkmale für Zufallsexperimente aus.

Antwort zeigen

Wandle deine Dokumente mit AI in Karteikarten um

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Wie die Wahrscheinlichkeit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung definiert ist, wie Du sie berechnen kannst, was der Unterschied zwischen statistischer und klassischer Wahrscheinlichkeit ist und vieles mehr erfährst Du in dieser Erklärung.

    Wahrscheinlichkeitsrechnung – Wahrscheinlichkeit

    Um den Begriff Wahrscheinlichkeit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu definieren, zunächst kurz zurück zum Würfelspiel:

    Du kannst einen sechsseitigen Würfel in der Stochastik für Experimente nutzen, bei denen Du zu Beginn nicht weißt, welches Ergebnis herauskommt. Jede Augenzahl von \(1\) bis \(6\) ist als Versuchsausgang möglich.

    Der Ausgang des Versuchs ist rein zufällig, weshalb diese Art Experiment als Zufallsexperiment bezeichnet.

    Du kannst im Artikel „Zufallsexperiment“ direkt nachlesen, unter welchen Bedingungen ein Experiment durchgeführt werden muss, um als Zufallsexperiment zu gelten.

    Alle möglichen Ergebnisse des Experiments (sogenannte Elementarereignisse \(\omega_i\)) werden in der Ergebnismenge \(\Omega\) angegeben: \(\Omega=\{\omega_1;\, \omega_2;\,...\,;\, \omega_i\}\).

    Interessiert Dich beispielsweise das „Würfeln einer ungeraden Zahl“ bei einem sechsseitigen Würfel, dann fasst Du ein oder mehrere Versuchsausgänge zu einem Ereignis \(E\) zusammen, das beim Experiment eintreten kann, aber nicht muss.

    \begin{align}E=\{1; \,3;\,5\} \hspace{1cm} E:\text{„Würfeln einer ungeraden Zahl“}\end{align}

    Alles rund um das Thema der Ereignisse findest Du in der Erklärung „Ereignis“. Die Artikel „Mengenalgebra“ und „Venn-Diagramm“ zeigen Dir außerdem, wie Du Ereignisse miteinander verknüpfen und veranschaulichen kannst.

    Und wie „sicher“ wird beim nächsten Würfelwurf eine ungerade Zahl geworfen? Das gibt die sogenannte Wahrscheinlichkeit an.

    Eine zahlenmäßige Erfassung, wie „sicher“ oder „unsicher“ ein Ereignis \(E\) im Rahmen eines Zufallsexperiments eintritt, entspricht der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\).

    Der Mathematiker Andrej N. Kolmogorow hat in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gewisse Wahrscheinlichkeitsaxiome festgelegt, die der Wahrscheinlichkeit bestimmte Eigenschaften zuteilen. Hier siehst Du einen kleinen Ausschnitt:

    • Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) eines Ereignis \(E\) liegt zwischen \(0\) und \(1\): \(0 \leq P(E) \leq 1\)
    • Das sichere Ereignis (Ergebnismenge \(\Omega\)) tritt mit \(100\,\%\)-tiger Sicherheit ein: \(P(\Omega)=1\)
    • Das unmögliche Ereignis \(\emptyset\) tritt mit \(0\,\%\)-tiger Sicherheit ein: \(P(\emptyset)=0\)
    • In Summe ergeben die Wahrscheinlichkeiten aller Ausgänge \(\omega_i\) des Experiments \(1\): \(\sum P(\{\omega_i\})=1\)

    In der Erklärung „Axiome von Kolmogorow“ findest Du ausführlichere Informationen zu diesen Eigenschaften und Wahrscheinlichkeitsaxiomen sowie entsprechende Beispiele und Übungen.

    Die Eigenschaften legen zwar Bedingungen für die Wahrscheinlichkeit auf, zeigen aber nicht, wie hoch die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für ein Ereignis \(E\) bei einem Zufallsexperiment ist.

    Wahrscheinlichkeit berechnen – einfach erklärt

    Wie die Höhe der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\), dass ein Ereignis \(E\) eintritt, berechnet wird, hängt davon ab, welche Art Wahrscheinlichkeit betrachtet wird. In dieser Erklärung werden hauptsächlich zwei Formen von Wahrscheinlichkeiten behandelt:

    • Statistische Wahrscheinlichkeit näherungsweise als relative Häufigkeit
    • Klassische Wahrscheinlichkeit als exakte Berechnung bei Laplace-Experimenten

    Zunächst zum Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und Häufigkeit.

    Wahrscheinlichkeit relative und absolute Häufigkeit

    Die statistische Wahrscheinlichkeit verknüpft den Wert der relativen Häufigkeit \(h_n(E)\) eines Ereignisses \(E\) bei sehr großen Versuchsreihen mit der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) eines Ereignisses \(E\).

    In den Erklärungen „Absolute Häufigkeit“ und „Relative Häufigkeit“ kannst Du alles rund um das Thema Häufigkeit nachlesen.

    Sind in einem Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten also nicht bekannt, dann kannst Du den Zufallsversuch sehr sehr oft wiederholen und überprüfen, wie oft ein gewisses Ereignis \(E\) eintritt (absolute Häufigkeit \(H_n(E)\)). Wird die absolute Häufigkeit \(H_n(E)\) durch die Gesamtanzahl der Wiederholungen \(n\) geteilt, ergibt sich zudem noch die relative Häufigkeit \(h_n(E)\).


    In der Praxis wird die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) bei einer hinreichend großen Anzahl \(n\) von Versuchen näherungsweise über die relative Häufigkeit \(h_n(E)\) angegeben (statistische Wahrscheinlichkeit):

    \begin{align}P(E) ≈ h_n(E)\end{align}

    Mathematisch lässt sich die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) jedoch nicht als Grenzwert der relativen Häufigkeit \(h_n(E)\) für \(n → \infty \) angeben. Mehr zum Thema findest Du in der Erklärung „Gesetz der großen Zahlen“.

    Um den Zusammenhang besser zu verstehen, sieh Dir das folgende Beispiel dazu an!

    Statistische Wahrscheinlichkeit Beispiel

    Um die statistische Wahrscheinlichkeit in einem Zufallsexperiment zu ermitteln, wird das Experiment sehr oft wiederholt.

    Schnapp Dir gerne einen Würfel, wenn Du einen Würfel Zuhause hast und experimentiere gleich mit!

    Würfelst Du \(12\) Mal hintereinander mit einem sechsseitigen, nicht manipulierten Würfel, wie oft tritt dabei das Ereignis \(E\) „Würfeln der Augenzahl \(3\)“ ein? Wie oft bei \(1\,200\) Würfen? Das lässt sich über ein kleines Experiment ermitteln.

    Für eine bestimmte Anzahl \(n\) an Würfen wird notiert, wie oft das Ereignis \(E\) „Würfeln der Augenzahl \(3\)“ eintritt.

    Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit Würfelwurf StudySmarterAbbildung 1: Würfelwurf

    In der folgenden Tabelle ist die Anzahl \(n\) aufgelistet und die absolute Häufigkeit \(H_n(\{3\})\), was der Anzahl der Fälle entspricht, bei denen die Augenzahl „drei“ gewürfelt wurde.

    \(n\)\(H_n(\{3\})\)\(h_n(\{3\})=\dfrac{H_n(\{3\})}{n}\)
    \(12\)\(3\) \(0,25\)
    \(120\)\(17\)\(\text{~}0,14\)
    \(1\,200\)\(196\)\(\text{~}0,163\)
    \(12\,000\)\(2\,002\)\(\text{~}0,167\)
    Die Tabelle zeigt, je höher die Anzahl \(n\) der Würfe ist, desto mehr nähert sich die relative Häufigkeit \(h_n(\{3\})\) einem konstanten Wert an, der in diesem Fall etwa bei \(h_n(\{3\})\,\text{≈}\,0,1\overline{6}\,\text{≈}\,\frac{1}{6}\) liegt. Demnach wird etwa bei jedem \(6.\) Wurf die Augenzahl „drei“ erwartet.

    Musst Du also bei einem Zufallsexperiment mit unbekannter Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ermitteln, so gelingt dies in der Praxis nur über ausreichend große Versuchsreihen, es sei denn, bei Deinem Zufallsexperiment handelt es sich um ein sogenanntes Laplace-Experiment.

    Laplace Wahrscheinlichkeit – Klassische Wahrscheinlichkeit

    Nimm Dir doch noch einmal Deinen Würfel zur Hand und betrachte ihn genauer. Er besitzt sechs gleich große Seiten, mit unterschiedlichen Augenzahlen. Führst Du damit einen Wurf aus, so kann die Augenzahl „drei“ genauso sicher bzw. unsicher eintreten, wie die Augenzahl „fünf“.

    Jeder Versuchsausgang bzw. jedes Elementarereignis \(\omega_i\) (Augenzahlen \(1\) bis \(6\)) des Würfelwurfs tritt mit gleich großer Wahrscheinlichkeit ein. So eine Art Zufallsexperiment wird als Laplace-Experiment bezeichnet.

    In einem Laplace-Experiment mit endlicher Ergebnismenge \(\Omega\) und \(|\Omega|\) Elementarereignissen tritt jedes Elementarereignis \(\omega_i\) mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit \(P(\{\omega_i\})\) ein.

    \begin{align}P(\{\omega_i\})=\dfrac{1}{|\Omega|}\end{align}

    Genau genommen erreichen nur professionell hergestellte Würfel diese Bedingung, da jede noch so kleine Kerbe oder Unebenheit dazu führt, dass nicht mehr alle Seiten mit gleich großer Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden und der Würfel somit gezinkt ist.

    Handelt es sich bei Deinem Zufallsexperiment also um ein Laplace-Experiment, so kannst Du die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für ein Ereignis \(E\) über eine Formel berechnen.

    Die klassische Wahrscheinlichkeit nach der Laplace-Regel ist definiert als Quotient der Anzahl der günstigen Fälle \(|E|\) für das Ereignis \(E\) und der Anzahl der insgesamt möglichen Fälle \(|\Omega|\) bei einem Laplace-Experiment.

    \begin{align}P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}\end{align}

    Schaue gerne in der Erklärung „Laplace Experiment“ vorbei, um mehr darüber zu erfahren.

    Wie kannst Du dieses Wissen über die Wahrscheinlichkeit nun konkret nutzen und wie gehst Du bei der Bestimmung vor? Das erfährst Du im nächsten Kapitel!

    Wahrscheinlichkeit bestimmen – Beispiele

    Hast Du eine Münze zur Hand? Lege Dir gerne eine Münze bereit, um das nachfolgende Zufallsexperiment zu Hause nachzumachen.

    Bei einem zweimaligen Münzwurf mit einer Münze soll die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) ermittelt werden, bei der mindestens einmal „Kopf“ geworfen wird.

    Lösung

    Der zweimalige Wurf einer Münze liefert vier mögliche Ergebnisse (Elementarereignisse), die alle gleich wahrscheinlich eintreten. Es handelt sich hierbei um ein Laplace-Experiment.

    Ein Hilfsmittel bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten ist ein Ereignisbaum, der das Zufallsexperiment visualisiert. Mehr dazu findest Du in der Erklärung „Baumdiagramm“.

    Wahrscheinlichkeit Zweimaliger Münzwurf Ergebnisse StudySmarterAbbildung 2: Mögliche Ergebnisse bei zweimaligem Würfeln

    In der Ergebnismenge \(\Omega\) kannst Du alle möglichen Ergebnisse zusammenfassen.

    \begin{align} \Omega = \{KK;\,KZ;\,ZK;\,ZZ\} \end{align}

    Nach der Laplace-Regel kannst Du nun die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für das Ereignis \(E\) „Mindestens einmal Kopf“ berechnen. In \(3\) von insgesamt \(4\) möglichen Ergebnissen ist mindestens einmal „Kopf“ enthalten, wodurch gilt:

    \begin{align} P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\end{align}

    Demnach erhältst Du bei einem zweimaligen Münzwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(75\,\%\) mindestens einmal „Kopf“.

    Statt über die Laplace-Regel kannst Du die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) auch über verschiedene Rechenregeln zu Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung“.

    Bei mehrmaligem Werfen einer Münze verändert sich die Wahrscheinlichkeit für das Werfen von „Kopf“ oder „Zahl“ nicht, egal, wie oft Du den Wurf wiederholst.

    In manchen mehrstufigen Zufallsexperimenten kann sich die Wahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe verändern. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(B\) in Stufe \(2\) „bedingt“ durch die Wahrscheinlichkeit eines vorangegangenen Ereignisses \(A\) in Stufe \(1\).

    Mehr zur Wahrscheinlichkeit \(P(B|A)\) von Ereignis \(B\) bedingt durch Ereignis \(A\) kannst Du im Artikel „Bedingte Wahrscheinlichkeit“ lesen.

    In den zugehörigen Karteikarten zur Wahrscheinlichkeit in den Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst Du Dein Wissen bei verschiedenen Übungsaufgaben testen!

    Wahrscheinlichkeit – Das Wichtigste

    • Ein Ereignis \(E\) fasst in einem Zufallsexperiment ein oder mehrere Versuchsausgänge (Elementarereignisse \(\omega_i\)) zusammen.
    • Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) erfasst zahlenmäßig, wie „sicher“ oder „unsicher“ ein Ereignis \(E\) bei einem Zufallsexperiment eintritt.
    • Der Zahlenwert der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) bewegt sich zwischen \(0\) und \(1\).
    • Bei \(P(E)=1\) tritt ein Ereignis \(E\) mit \(100\,\%\)-tiger Sicherheit ein, bei \(P(E)=0\) mit \(0\,\%\)-tiger Sicherheit.
    • Wird ein Zufallsexperiment hinreichend oft wiederholt, kann die Wahrscheinlichkeit P(E) über die relative Häufigkeit \(h_n(E)\) angegeben werden (statistische Wahrscheinlichkeit): \[P(E)\,\text{≈}\,h_n(E)\]
    • Bei Laplace-Experimenten wird die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) über die Laplace-Regel berechnet (klassische Wahrscheinlichkeit): \[P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}\]
    Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit
    Lerne mit 80 Wahrscheinlichkeit Karteikarten in der kostenlosen StudySmarter App

    Wir haben 14,000 Karteikarten über dynamische Landschaften.

    Mit E-Mail registrieren

    Du hast bereits ein Konto? Anmelden

    Häufig gestellte Fragen zum Thema Wahrscheinlichkeit

    Was ist die Wahrscheinlichkeit? 

    Die Wahrscheinlichkeit P(E) beschreibt, wie „sicher“ oder „unsicher“ ein Ereignis E in einem Zufallsexperiment eintritt. Sie liegt zwischen den Werten 0 und 1, wobei für P(E)=1 das Ereignis E mit 100 %-tiger Sicherheit eintritt.

    Wie kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden? 

    Die Wahrscheinlichkeit P(E) zum Eintreten eines Ereignis E wird bei Laplace-Experimenten über die Laplace-Regel berechnet: P(E) = |E| : |Ω|.

    Sind die Wahrscheinlichkeiten unbekannt und ist das Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment, so kann in der Praxis die Wahrscheinlichkeit P(E) näherungsweise über die relative Häufigkeit angegeben werden (bei einer hinreichend großen Anzahl an Versuchen): P(E) ≈ hn(E).

    Ist die relative Häufigkeit die Wahrscheinlichkeit? 

    Wird ein Zufallsexperiment hinreichend oft wiederholt, so kann in der Praxis die Wahrscheinlichkeit P(E) näherungsweise über die relative Häufigkeit angegeben werden (statistische Wahrscheinlichkeit: P(E) ≈ hn(E).

    Wie komme ich auf die Wahrscheinlichkeit? 

    Ist das vorliegende Zufallsexperiment ein Laplace-Experiment, so kann die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignis E über die Laplace-Regel bestimmt werden: P(E) = |E| : |Ω|.

    Bei unbekannten Wahrscheinlichkeiten (kein Laplace-Experiment) kann die Wahrscheinlichkeit P(E) näherungsweise über die relative Häufigkeit angegeben werden: P(E) ≈ hn(E).

    Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

    Entscheide, welche der folgenden Aussagen korrekt ist. 

    Prüfe die Angaben über Wahrscheinlichkeiten in einem Laplace-Experiment mit einem sechsseitigen Würfel.

    In einer Urne befinden sich fünf farbige Kugeln (drei blau und zwei rot). Bei einem Zufallsexperiment wird eine Kugel entnommen, die Farbe notiert und wieder zurückgelegt. Anschließend wird erneut eine Kugel gezogen und die Farbe notiert.Entscheide, ob sich Wahrscheinlichkeit für das Ziehen der zweiten Kugel verändert. 

    Weiter

    Entdecken Lernmaterialien mit der kostenlosen StudySmarter App

    Kostenlos anmelden
    1
    Über StudySmarter

    StudySmarter ist ein weltweit anerkanntes Bildungstechnologie-Unternehmen, das eine ganzheitliche Lernplattform für Schüler und Studenten aller Altersstufen und Bildungsniveaus bietet. Unsere Plattform unterstützt das Lernen in einer breiten Palette von Fächern, einschließlich MINT, Sozialwissenschaften und Sprachen, und hilft den Schülern auch, weltweit verschiedene Tests und Prüfungen wie GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur und mehr erfolgreich zu meistern. Wir bieten eine umfangreiche Bibliothek von Lernmaterialien, einschließlich interaktiver Karteikarten, umfassender Lehrbuchlösungen und detaillierter Erklärungen. Die fortschrittliche Technologie und Werkzeuge, die wir zur Verfügung stellen, helfen Schülern, ihre eigenen Lernmaterialien zu erstellen. Die Inhalte von StudySmarter sind nicht nur von Experten geprüft, sondern werden auch regelmäßig aktualisiert, um Genauigkeit und Relevanz zu gewährleisten.

    Erfahre mehr
    StudySmarter Redaktionsteam

    Team Mathe Lehrer

    • 9 Minuten Lesezeit
    • Geprüft vom StudySmarter Redaktionsteam
    Erklärung speichern Erklärung speichern

    Lerne jederzeit. Lerne überall. Auf allen Geräten.

    Kostenfrei loslegen

    Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

    Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.

    • Karteikarten & Quizze
    • KI-Lernassistent
    • Lernplaner
    • Probeklausuren
    • Intelligente Notizen
    Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!
    Mit E-Mail registrieren

    Alle Inhalte freischalten mit einem kostenlosen StudySmarter-Account.

    • Sofortiger Zugriff auf Millionen von Lernmaterialien.
    • Karteikarten, Notizen, Übungsprüfungen, AI-tools und mehr.
    • Alles, was du brauchst, um bei deinen Prüfungen zu bestehen.
    Second Popup Banner