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Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit als Teil der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung liefert Dir beispielsweise eine Antwort auf die Frage, wie sicher Du beim nächsten Würfelspiel mit einem Würfel eine ungerade Zahl würfelst. Ist die Chance bei einem sechsseitigen Würfel eher hoch oder niedrig und wieso?

Wie die Wahrscheinlichkeit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung definiert ist, wie Du sie berechnen kannst, was der Unterschied zwischen statistischer und klassischer Wahrscheinlichkeit ist und vieles mehr erfährst Du in dieser Erklärung.

Wahrscheinlichkeitsrechnung – Wahrscheinlichkeit

Um den Begriff Wahrscheinlichkeit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu definieren, zunächst kurz zurück zum Würfelspiel:

Du kannst einen sechsseitigen Würfel in der Stochastik für Experimente nutzen, bei denen Du zu Beginn nicht weißt, welches Ergebnis herauskommt. Jede Augenzahl von \(1\) bis \(6\) ist als Versuchsausgang möglich.

Der Ausgang des Versuchs ist rein zufällig, weshalb diese Art Experiment als Zufallsexperiment bezeichnet.

Du kannst im Artikel „Zufallsexperiment“ direkt nachlesen, unter welchen Bedingungen ein Experiment durchgeführt werden muss, um als Zufallsexperiment zu gelten.

Alle möglichen Ergebnisse des Experiments (sogenannte Elementarereignisse \(\omega_i\)) werden in der Ergebnismenge \(\Omega\) angegeben: \(\Omega=\{\omega_1;\, \omega_2;\,...\,;\, \omega_i\}\).

Interessiert Dich beispielsweise das „Würfeln einer ungeraden Zahl“ bei einem sechsseitigen Würfel, dann fasst Du ein oder mehrere Versuchsausgänge zu einem Ereignis \(E\) zusammen, das beim Experiment eintreten kann, aber nicht muss.

\begin{align}E=\{1; \,3;\,5\} \hspace{1cm} E:\text{„Würfeln einer ungeraden Zahl“}\end{align}

Alles rund um das Thema der Ereignisse findest Du in der Erklärung „Ereignis“. Die Artikel „Mengenalgebra“ und „Venn-Diagramm“ zeigen Dir außerdem, wie Du Ereignisse miteinander verknüpfen und veranschaulichen kannst.

Und wie „sicher“ wird beim nächsten Würfelwurf eine ungerade Zahl geworfen? Das gibt die sogenannte Wahrscheinlichkeit an.

Eine zahlenmäßige Erfassung, wie „sicher“ oder „unsicher“ ein Ereignis \(E\) im Rahmen eines Zufallsexperiments eintritt, entspricht der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\).

Der Mathematiker Andrej N. Kolmogorow hat in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gewisse Wahrscheinlichkeitsaxiome festgelegt, die der Wahrscheinlichkeit bestimmte Eigenschaften zuteilen. Hier siehst Du einen kleinen Ausschnitt:

  • Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) eines Ereignis \(E\) liegt zwischen \(0\) und \(1\): \(0 \leq P(E) \leq 1\)
  • Das sichere Ereignis (Ergebnismenge \(\Omega\)) tritt mit \(100\,\%\)-tiger Sicherheit ein: \(P(\Omega)=1\)
  • Das unmögliche Ereignis \(\emptyset\) tritt mit \(0\,\%\)-tiger Sicherheit ein: \(P(\emptyset)=0\)
  • In Summe ergeben die Wahrscheinlichkeiten aller Ausgänge \(\omega_i\) des Experiments \(1\): \(\sum P(\{\omega_i\})=1\)

In der Erklärung „Axiome von Kolmogorow“ findest Du ausführlichere Informationen zu diesen Eigenschaften und Wahrscheinlichkeitsaxiomen sowie entsprechende Beispiele und Übungen.

Die Eigenschaften legen zwar Bedingungen für die Wahrscheinlichkeit auf, zeigen aber nicht, wie hoch die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für ein Ereignis \(E\) bei einem Zufallsexperiment ist.

Wahrscheinlichkeit berechnen – einfach erklärt

Wie die Höhe der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\), dass ein Ereignis \(E\) eintritt, berechnet wird, hängt davon ab, welche Art Wahrscheinlichkeit betrachtet wird. In dieser Erklärung werden hauptsächlich zwei Formen von Wahrscheinlichkeiten behandelt:

  • Statistische Wahrscheinlichkeit näherungsweise als relative Häufigkeit
  • Klassische Wahrscheinlichkeit als exakte Berechnung bei Laplace-Experimenten

Zunächst zum Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit und Häufigkeit.

Wahrscheinlichkeit relative und absolute Häufigkeit

Die statistische Wahrscheinlichkeit verknüpft den Wert der relativen Häufigkeit \(h_n(E)\) eines Ereignisses \(E\) bei sehr großen Versuchsreihen mit der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) eines Ereignisses \(E\).

In den Erklärungen „Absolute Häufigkeit“ und „Relative Häufigkeit“ kannst Du alles rund um das Thema Häufigkeit nachlesen.

Sind in einem Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeiten also nicht bekannt, dann kannst Du den Zufallsversuch sehr sehr oft wiederholen und überprüfen, wie oft ein gewisses Ereignis \(E\) eintritt (absolute Häufigkeit \(H_n(E)\)). Wird die absolute Häufigkeit \(H_n(E)\) durch die Gesamtanzahl der Wiederholungen \(n\) geteilt, ergibt sich zudem noch die relative Häufigkeit \(h_n(E)\).


In der Praxis wird die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) bei einer hinreichend großen Anzahl \(n\) von Versuchen näherungsweise über die relative Häufigkeit \(h_n(E)\) angegeben (statistische Wahrscheinlichkeit):

\begin{align}P(E) ≈ h_n(E)\end{align}

Mathematisch lässt sich die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) jedoch nicht als Grenzwert der relativen Häufigkeit \(h_n(E)\) für \(n → \infty \) angeben. Mehr zum Thema findest Du in der Erklärung „Gesetz der großen Zahlen“.

Um den Zusammenhang besser zu verstehen, sieh Dir das folgende Beispiel dazu an!

Statistische Wahrscheinlichkeit Beispiel

Um die statistische Wahrscheinlichkeit in einem Zufallsexperiment zu ermitteln, wird das Experiment sehr oft wiederholt.

Schnapp Dir gerne einen Würfel, wenn Du einen Würfel Zuhause hast und experimentiere gleich mit!

Würfelst Du \(12\) Mal hintereinander mit einem sechsseitigen, nicht manipulierten Würfel, wie oft tritt dabei das Ereignis \(E\) „Würfeln der Augenzahl \(3\)“ ein? Wie oft bei \(1\,200\) Würfen? Das lässt sich über ein kleines Experiment ermitteln.

Für eine bestimmte Anzahl \(n\) an Würfen wird notiert, wie oft das Ereignis \(E\) „Würfeln der Augenzahl \(3\)“ eintritt.

Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit Würfelwurf StudySmarterAbbildung 1: Würfelwurf

In der folgenden Tabelle ist die Anzahl \(n\) aufgelistet und die absolute Häufigkeit \(H_n(\{3\})\), was der Anzahl der Fälle entspricht, bei denen die Augenzahl „drei“ gewürfelt wurde.

\(n\)\(H_n(\{3\})\)\(h_n(\{3\})=\dfrac{H_n(\{3\})}{n}\)
\(12\)\(3\) \(0,25\)
\(120\)\(17\)\(\text{~}0,14\)
\(1\,200\)\(196\)\(\text{~}0,163\)
\(12\,000\)\(2\,002\)\(\text{~}0,167\)
Die Tabelle zeigt, je höher die Anzahl \(n\) der Würfe ist, desto mehr nähert sich die relative Häufigkeit \(h_n(\{3\})\) einem konstanten Wert an, der in diesem Fall etwa bei \(h_n(\{3\})\,\text{≈}\,0,1\overline{6}\,\text{≈}\,\frac{1}{6}\) liegt. Demnach wird etwa bei jedem \(6.\) Wurf die Augenzahl „drei“ erwartet.

Musst Du also bei einem Zufallsexperiment mit unbekannter Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ermitteln, so gelingt dies in der Praxis nur über ausreichend große Versuchsreihen, es sei denn, bei Deinem Zufallsexperiment handelt es sich um ein sogenanntes Laplace-Experiment.

Laplace Wahrscheinlichkeit – Klassische Wahrscheinlichkeit

Nimm Dir doch noch einmal Deinen Würfel zur Hand und betrachte ihn genauer. Er besitzt sechs gleich große Seiten, mit unterschiedlichen Augenzahlen. Führst Du damit einen Wurf aus, so kann die Augenzahl „drei“ genauso sicher bzw. unsicher eintreten, wie die Augenzahl „fünf“.

Jeder Versuchsausgang bzw. jedes Elementarereignis \(\omega_i\) (Augenzahlen \(1\) bis \(6\)) des Würfelwurfs tritt mit gleich großer Wahrscheinlichkeit ein. So eine Art Zufallsexperiment wird als Laplace-Experiment bezeichnet.

In einem Laplace-Experiment mit endlicher Ergebnismenge \(\Omega\) und \(|\Omega|\) Elementarereignissen tritt jedes Elementarereignis \(\omega_i\) mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit \(P(\{\omega_i\})\) ein.

\begin{align}P(\{\omega_i\})=\dfrac{1}{|\Omega|}\end{align}

Genau genommen erreichen nur professionell hergestellte Würfel diese Bedingung, da jede noch so kleine Kerbe oder Unebenheit dazu führt, dass nicht mehr alle Seiten mit gleich großer Wahrscheinlichkeit gewürfelt werden und der Würfel somit gezinkt ist.

Handelt es sich bei Deinem Zufallsexperiment also um ein Laplace-Experiment, so kannst Du die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für ein Ereignis \(E\) über eine Formel berechnen.

Die klassische Wahrscheinlichkeit nach der Laplace-Regel ist definiert als Quotient der Anzahl der günstigen Fälle \(|E|\) für das Ereignis \(E\) und der Anzahl der insgesamt möglichen Fälle \(|\Omega|\) bei einem Laplace-Experiment.

\begin{align}P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}\end{align}

Schaue gerne in der Erklärung „Laplace Experiment“ vorbei, um mehr darüber zu erfahren.

Wie kannst Du dieses Wissen über die Wahrscheinlichkeit nun konkret nutzen und wie gehst Du bei der Bestimmung vor? Das erfährst Du im nächsten Kapitel!

Wahrscheinlichkeit bestimmen – Beispiele

Hast Du eine Münze zur Hand? Lege Dir gerne eine Münze bereit, um das nachfolgende Zufallsexperiment zu Hause nachzumachen.

Bei einem zweimaligen Münzwurf mit einer Münze soll die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) ermittelt werden, bei der mindestens einmal „Kopf“ geworfen wird.

Lösung

Der zweimalige Wurf einer Münze liefert vier mögliche Ergebnisse (Elementarereignisse), die alle gleich wahrscheinlich eintreten. Es handelt sich hierbei um ein Laplace-Experiment.

Ein Hilfsmittel bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten ist ein Ereignisbaum, der das Zufallsexperiment visualisiert. Mehr dazu findest Du in der Erklärung „Baumdiagramm“.

Wahrscheinlichkeit Zweimaliger Münzwurf Ergebnisse StudySmarterAbbildung 2: Mögliche Ergebnisse bei zweimaligem Würfeln

In der Ergebnismenge \(\Omega\) kannst Du alle möglichen Ergebnisse zusammenfassen.

\begin{align} \Omega = \{KK;\,KZ;\,ZK;\,ZZ\} \end{align}

Nach der Laplace-Regel kannst Du nun die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für das Ereignis \(E\) „Mindestens einmal Kopf“ berechnen. In \(3\) von insgesamt \(4\) möglichen Ergebnissen ist mindestens einmal „Kopf“ enthalten, wodurch gilt:

\begin{align} P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\end{align}

Demnach erhältst Du bei einem zweimaligen Münzwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(75\,\%\) mindestens einmal „Kopf“.

Statt über die Laplace-Regel kannst Du die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) auch über verschiedene Rechenregeln zu Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Regeln Wahrscheinlichkeitsrechnung“.

Bei mehrmaligem Werfen einer Münze verändert sich die Wahrscheinlichkeit für das Werfen von „Kopf“ oder „Zahl“ nicht, egal, wie oft Du den Wurf wiederholst.

In manchen mehrstufigen Zufallsexperimenten kann sich die Wahrscheinlichkeit von Stufe zu Stufe verändern. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(B\) in Stufe \(2\) „bedingt“ durch die Wahrscheinlichkeit eines vorangegangenen Ereignisses \(A\) in Stufe \(1\).

Mehr zur Wahrscheinlichkeit \(P(B|A)\) von Ereignis \(B\) bedingt durch Ereignis \(A\) kannst Du im Artikel „Bedingte Wahrscheinlichkeit“ lesen.

In den zugehörigen Karteikarten zur Wahrscheinlichkeit in den Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung kannst Du Dein Wissen bei verschiedenen Übungsaufgaben testen!

Wahrscheinlichkeit – Das Wichtigste

  • Ein Ereignis \(E\) fasst in einem Zufallsexperiment ein oder mehrere Versuchsausgänge (Elementarereignisse \(\omega_i\)) zusammen.
  • Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) erfasst zahlenmäßig, wie „sicher“ oder „unsicher“ ein Ereignis \(E\) bei einem Zufallsexperiment eintritt.
  • Der Zahlenwert der Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) bewegt sich zwischen \(0\) und \(1\).
  • Bei \(P(E)=1\) tritt ein Ereignis \(E\) mit \(100\,\%\)-tiger Sicherheit ein, bei \(P(E)=0\) mit \(0\,\%\)-tiger Sicherheit.
  • Wird ein Zufallsexperiment hinreichend oft wiederholt, kann die Wahrscheinlichkeit P(E) über die relative Häufigkeit \(h_n(E)\) angegeben werden (statistische Wahrscheinlichkeit): \[P(E)\,\text{≈}\,h_n(E)\]
  • Bei Laplace-Experimenten wird die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) über die Laplace-Regel berechnet (klassische Wahrscheinlichkeit): \[P(E)=\dfrac{|E|}{|\Omega|}\]

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit P(E) beschreibt, wie „sicher“ oder „unsicher“ ein Ereignis E in einem Zufallsexperiment eintritt. Sie liegt zwischen den Werten 0 und 1, wobei für P(E)=1 das Ereignis E mit 100 %-tiger Sicherheit eintritt.

Die Wahrscheinlichkeit P(E) zum Eintreten eines Ereignis E wird bei Laplace-Experimenten über die Laplace-Regel berechnet: P(E) = |E| : |Ω|.

Sind die Wahrscheinlichkeiten unbekannt und ist das Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment, so kann in der Praxis die Wahrscheinlichkeit P(E) näherungsweise über die relative Häufigkeit angegeben werden (bei einer hinreichend großen Anzahl an Versuchen): P(E) ≈ hn(E).

Wird ein Zufallsexperiment hinreichend oft wiederholt, so kann in der Praxis die Wahrscheinlichkeit P(E) näherungsweise über die relative Häufigkeit angegeben werden (statistische Wahrscheinlichkeit: P(E) ≈ hn(E).

Ist das vorliegende Zufallsexperiment ein Laplace-Experiment, so kann die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignis E über die Laplace-Regel bestimmt werden: P(E) = |E| : |Ω|.

Bei unbekannten Wahrscheinlichkeiten (kein Laplace-Experiment) kann die Wahrscheinlichkeit P(E) näherungsweise über die relative Häufigkeit angegeben werden: P(E) ≈ hn(E).

Finales Wahrscheinlichkeit Quiz

Frage

Wie berechnet man die relative Häufigkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Um die relative Häufigkeit zu berechnen benötigst du auch die absolute Häufigkeit, wobei du hier die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Ausprägungen n (Grundgesamtheit) teilst.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter dem arithmetischem Mittel?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter dem arithmetischem Mittel versteht man den Mittelwert einer Verteilung. Das heißt, es gibt an wo die Mitte einer Messung liegt oder umgangssprachlich gesagt der Durchschnitt.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter der kumulierten absoluten Häufigkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter der kumulierten absoluten Häufigkeit versteht man die die Summe aller Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt. Daher wird die kumulierte Häufigkeit auch als Summenhäufigkeit bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst durch die absolute Häufigkeit nur die Häufigkeit eines Wertes darstellen, während du durch die relative Häufigkeit auch Vergleiche hinsichtlich einer Leistung erstellen kannst.

Frage anzeigen

Frage

Ermittle die absolute Häufigkeit von folgendem Ereignis:


Phillip schießt mit einem blauen und einem roten Ball aufs Tor. Dabei schießt er den blauen Ball insgesamt 7 mal und trifft dabei 5 mal das Tor. Den roten Ball schießt er auch 7 mal und trifft 4 mal das Tor. Mit welchem Ball ist die absolute Häufigkeit höher das Tor zu treffen?

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Antwort

Die absolute Häufigkeit das Tor zu treffen liegt bei dem blauen Ball bei 5 und bei dem roten Ball bei 4. Das heißt er trifft mit dem blauen Ball häufiger das Tor.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Unterschied zwischen einem sicheren und einem unmöglichen Ereignis.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein sicheres Ereignis tritt auf jeden Fall ein, da es alle Elemente der Ergebnismenge beinhaltet. 

Ein unmögliches Ereignis kann nicht eintreten, da es kein Ergebnis der Ergebnismenge beinhaltet.

Frage anzeigen

Frage

Nenne 3 spezielle Ereignisse.

Antwort anzeigen

Antwort

  • sicheres Ereignis
  • unmögliches Ereignis
  • Gegenereignis

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was "disjunktes Ereignis" bedeutet.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei disjunkte Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, das heißt sie können niemals gleichzeitig eintreten.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Zusammenhang von  Ereignis und Gegenereignis.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Ereignis ist ein Teilergebnis einer Ergebismenge. Tritt dieses Ereignis nicht ein, handelt es sich um ein Gegenereignis.

Frage anzeigen

Frage

Wähle das Synonym für Elementarereignis aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Ergebnis

Frage anzeigen

Frage

Was besagt das Gesetz der großen Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit hn(X) eines Zufallsereignisses X immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit P(X) dieses Ereignisses annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.

Frage anzeigen

Frage

Was beschreibt die absolute Häufigkeit in einem Zufallsexperiment?

Antwort anzeigen

Antwort

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis X innerhalb eines Zufallsexperimentes mit n Versuchen eintritt. 

Frage anzeigen

Frage

Was ist die relative Häufigkeit in einem Zufallsexperiment?

Antwort anzeigen

Antwort

Die relative Häufigkeit hn(X) eines Zufallsereignisses X beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge n der Versuche. Hierbei handelt es sich also um eine Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt.

Frage anzeigen

Frage

Inwieweit hilft das Gesetz der großen Zahlen Versicherungsunternehmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Versicherungsunternehmen nutzen das Gesetz der großen Zahlen dafür, um eine ungefähre Vorhersage über den zukünftigen Schadensverlauf zu treffen. Je mehr Personen, Güter und Sachwerte nämlich versichert sind, desto weniger Einfluss hat der Zufall auf die Gesamtheit der Versicherten. 

Frage anzeigen

Frage

Stell dir vor, es liegt 8 mal hinter einander beim Münzwurf die Kopfseite oben. Solltest Du darauf wetten, dass beim nächsten Wurf die Zahlseite oben liegt?

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Antwort

Nein, denn jede Runde ist als unabhängiges Zufallsexperiment zu sehen. Die Wahrscheinlichkeit hat kein Gedächtnis und denkt, es müsse den Rückstand in der Häufigkeitsverteilung wieder aufholen. Du kannst also keine Vorhersage für die nächste Runde auf Basis der vorigen Runden treffen, auch wenn sich die Verteilung auf lange Sicht ausgleicht. 

Frage anzeigen

Frage

Wie können Wissenschaftler unter anderem dafür sorgen, dass Messfehler kaum Einfluss auf das Ergebnis von Experimenten nehmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Wissenschaftler führen gemäß dem Gesetz der großen Zahlen die Experimente mehrmals unter den selben Bedingungen durch, damit mögliche Messfehler die Ergebnis nicht beeinflussen.

Frage anzeigen

Frage

Was gibt die absolute Häufigkeit innerhalb eines Zufallsexperimentes?

Antwort anzeigen

Antwort

Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis X innerhalb eines Zufallsexperimentes mit n Versuchen eintritt. 

Frage anzeigen

Frage

Was beschreibt die relative Häufigkeit innerhalb eines Zufallsexperimentes?

Antwort anzeigen

Antwort

Die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses X beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge n der Versuche.

Frage anzeigen

Frage

Was geben kumulierte Häufigkeiten an?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine kumulierte Häufigkeit ist eine aufsummierte Häufigkeit. Sie gibt somit die Summe aller Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt an.

Frage anzeigen

Frage

Was trifft in Bezug auf die kumulierte Häufigkeit zu?


Die Summe der..

Antwort anzeigen

Antwort

..kumulierten relativen Häufigkeiten muss 1 ergeben.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen der absoluten und relativen Häufigkeit?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst durch die absolute Häufigkeit nur die Häufigkeit eines Wertes darstellen, während Du durch die relative Häufigkeit auch Vergleiche hinsichtlich einer Leistung erstellen kannst. 

Frage anzeigen

Frage

Was sagt das Gesetz der großen Zahlen in Bezug auf die relative Häufigkeit aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Laut dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der erwarteten Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses an, je höher die Gesamtanzahl der Versuche n ist. 

Frage anzeigen

Frage

Anna sagt: "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich in den Urlaub fahre ist 1,5."


Begründe, wieso Annas Aussage nicht richtig sein kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1. Anna hat die Wahrscheinlichkeit mit 1,5 angegeben. Aber 1,5 kann keine Wahrscheinlichkeitsangabe sein.

Frage anzeigen

Frage

Milo sagt: "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich morgen im Lotto gewinne ist 0".


Erkläre, was eine Wahrscheinlichkeit von 0 für dieses Ereignis bedeutet.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Wahrscheinlichkeit von 0 für ein Ereignis bedeutet, dass dieses Ereignis unmöglich ist. Es tritt sicher nicht ein.


Milo kann nur sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass er morgen im Lotto gewinnt, 0 ist, wenn er gar nicht Lotto gespielt hat. Dann ist es unmöglich zu gewinnen.

Auch wenn bei einer Teilnahme die Gewinnwahrscheinlichkeit sehr, sehr gering ist, ist sie trotzdem größer als 0.

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus den folgenden Aussagen zutreffende Merkmale für Zufallsexperimente aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ergebnis des Experiments tritt zufällig ein.

Frage anzeigen

Frage

Ergänze die Lücken durch passende Begriffe.


Experimente, die unter .......................... Bedingungen durchgeführt werden und

dessen .................. zufällig eintritt, werden als ..................................... bezeichnet. Da alle

 möglichen ......................... vorher ......................... sind, kann das Experiment theoretisch

 beliebig oft ............................... werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Lösungsvorschlag:


Experimente, die unter festgelegten Bedingungen durchgeführt werden und dessen Ergebnis zufällig eintritt, werden als Zufallsexperimente bezeichnet. Da alle möglichen Ausgänge/Ergebnisse vorher bekannt sind, kann das Experiment theoretisch beliebig oft wiederholt werden.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, was ein einstufiges Zufallsexperiment von einem mehrstufigen Zufallsexperiment unterscheidet.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem einstufigen Zufallsexperiment wird ein Vorgang einmalig durchgeführt, wie beispielsweise das einmalige Werfen eines Würfels. Das Ergebnis des Experiments ist genau ein Element (hier: Augenzahl des Würfels).


Werden mehrere Vorgänge hintereinander durchgeführt, so entspricht dies einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Als Ergebnis des Experiments ergeben sich zusammengesetzte Elemente, sogenannte Tupeln. Wird ein Würfel zweimal geworfen, so ergibt sich als Ergebnis etwa die Augenzahl 3 und die Augenzahl 4. 

Frage anzeigen

Frage

Die Mächtigkeit \(|\Omega|\) gibt ...

Antwort anzeigen

Antwort

... die Anzahl der Elemente im Ergebnisraum an.

Frage anzeigen

Frage

Eine Münze wird zweimalig geworfen, wobei jeweils entweder „Zahl“ oder „Kopf“ als Ergebnis möglich ist.

Gib eine passende Ergebnismenge \(\Omega\) für das Zufallsexperiment an.

Antwort anzeigen

Antwort

\(\Omega = \{KK; KZ; ZK; ZZ\} \)

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, bei welchen Experimenten es sich um Zufallsexperimente handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ziehen eines Loses.

Frage anzeigen

Frage

In einem Zufallsexperiment wird ein sechsseitiger, nicht manipulierter Würfel verwendet. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) ermittelt werden, mit der das Ereignis \(E\) Würfeln einer geraden Zahl“ eintritt.


Nenne die Elemente, die dem Ereignis \(E\) entsprechen.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem sechsseitigen Würfel können die Zahlen 1 bis 6 gewürfelt werden. In diesem Fall wird die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für das Würfeln einer geraden Zahl ermittelt. Nur die Augenzahlen 2, 4 und 6 treffen auf dieses Ereignis zu. Demnach gilt:


\begin{align}E=\{2;\, 4;\, 6\}\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage eines Klassenkameraden oder einer Klassenkameradin auf ihre Korrektheit.


„Bei einem Würfelwurf mit einem sechsseitigen Würfel (Zahlen 1 - 6) stellt das Würfeln der Augenzahl 7 ein unmögliches Ereignis dar.“

Antwort anzeigen

Antwort

Handelt es sich bei dem Würfelwurf um ein einstufiges Zufallsexperiment (einmaliges Würfeln), so ist die Aussage korrekt. Auf dem Würfel gibt es nur die Augenzahlen 1 bis 6. Es kann also keine 7 gewürfelt werden.


Wird im Zufallsexperiment aber beispielsweise das zweimalige Würfeln betrachtet (mehrstufig) und die Augenzahlen zusammengezählt, so ist die Aussage nicht korrekt. Die Augenzahl 7 kann sich etwa aus den Zahlen 3 und 4 oder 5 und 2 zusammensetzen.

Frage anzeigen

Frage

Das dreimalige Werfen einer Münze liefert insgesamt 8 mögliche Ergebnisse, zum Beispiel \(\{ZZK\}\) oder \(\{KZK\}\).


Gib eine Teilmenge an, die das Ereignis \(E\) „Mindestens zweimal Zahl“ beschreibt.

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Teilmenge müssen alle Ergebnisse ermittelt werden, die mindestens zweimal Zahl beinhalten. Insgesamt gibt es folgende 8 Möglichkeiten:


\begin{align} \Omega = \{ ZZZ;\, ZZK;\, ZKZ;\, ZKK;\, KZZ;\, KZK;\, KKZ;\, KKK\} \end{align}


Von diesen möglichen Ergebnissen enthalten 4 Ergebnisse mindestens zweimal Zahl und es gilt:


\begin{align} E = \{ ZZZ;\, ZZK;\, ZKZ;\, KZZ\} \end{align}

Frage anzeigen

Frage

In einem Zufallsexperiment mit 4 verschiedenen Spielkarten \( (♠, ♦, ♣, ♥) \) wird zunächst eine Karte aufgedeckt, das Symbol notiert und wieder umgedreht. Danach wird erneut eine Karte offengelegt und das Symbol notiert.


Zeige, dass das Zufallsexperiment 16 mögliche Ergebnisse liefern kann. 

Antwort anzeigen

Antwort

Das zweistufige Zufallsexperiment behandelt das Aufdecken aus jeweils 4 Karten \( (♠, ♦, ♣, ♥) \). Nach dem ersten Zug wird die aufgedeckte Karte wieder umgedreht. Es ist daher ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Somit ergibt sich folgende Ergebnismenge \(\Omega\):


\begin{align} \Omega = \{ &(♠,\,♠); (♠,\,♦); (♠,\,♣); (♠,\,♥); \\[0.1cm]
&(♦,\,♠); (♦,\,♦); (♦,\,♣); (♦,\,♥); \\[0.1cm]
&(♣,\,♠); (♣,\,♦); (♣,\,♣); (♣,\,♥); \\[0.1cm]
&(♥,\,♠); (♥,\,♦); (♥,\,♣); (♥,\,♥) \} \end{align}


Die Mächtigkeit \(|\Omega|\) ist hier \(|\Omega|=16\).

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Frage

Erkläre den Begriff Schnittmenge.

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Antwort

Die Schnittmenge ist die Mengenverknüpfung, bei der Elemente sind, die sich sowohl in der einen als auch der anderen Menge befinden.

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Frage

Worum handelt es sich bei einer Differenzmenge \(B \backslash A\)

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Antwort

Dabei handelt es sich um die Menge, die Elemente aus der Menge B beinhaltet ohne denen aus der Menge A.

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Frage

Bilde die Vereinigungsmenge für folgende Mengen:

\begin{align} A &= \{4, 5, 9\} \\ B &= \{2, 4\} \end{align}

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Antwort

\[A \cup B = \{2, 4, 5, 9\} \]

Frage anzeigen

Frage

Bilde die Schnittmenge zu folgenden Mengen:

\begin{align} C &= \{4, 5, 9, 12\} \\ D &= \{2, 5, 9, 13\} \end{align}

Antwort anzeigen

Antwort

\[C \cap D = \{5, 9\} \]

Frage anzeigen

Frage

Bilde die Differenzmenge \(B \backslash A \) zu den beiden Mengen:

\begin{align} A &= \{3, 5, 9, 20\} \\ B &= \{1, 2, 9, 20, 40\} \end{align}

Antwort anzeigen

Antwort

\[B \backslash A = \{1, 2, 40\} \]

Frage anzeigen

Frage

Erkläre den Begriff Venn-Diagramm.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Venn-Diagramm ist eine Relation von Mengen. Es werden Mengen als Kreise bzw. auch Ellipsen für mehr als 3 Mengen dargestellt und miteinander geschnitten. Dabei können die Zusammenhänge von Mengen nun markiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Schnittmenge für folgende Mengen?


\begin{align} A &= \{1, 3, 6\} \\ B &= \{2, 3\} \\ C &= \{3, 6\} \end{align}

Antwort anzeigen

Antwort

\[A \cap B \cap C = \{3\} \]

Frage anzeigen

Frage

Kann \((A \cap B) \cup C \) mit 2 Kreisen gelöst werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, da insgesamt 3 Mengen involviert sind.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der wichtigste Unterschied zwischen Euler- und Venn-Diagramm?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Venn-Diagramm sollen alle Schnittmengen gezeigt werden, auch wenn sie leer sind. Beim Euler-Diagramm darf es auch disjunkte Mengen geben.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Zeichen für die Differenzmenge?

Antwort anzeigen

Antwort

\[ \backslash \]

Frage anzeigen

Frage

Was bietet sich bei mehr als 4 Mengen auch an?

Antwort anzeigen

Antwort

KV-Diagramm

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für \(A \cap B \cap C\), wenn gilt:


\[A = \{1\}, B = \{2\}, C = \{3\}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[A \cap B \cap C = \{ \} \]

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche der folgenden Aussagen korrekt ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Ausdruck \(P(E)=1\) beschreibt, dass ein Ereignis \(E\) mit \(100\,\%\)-tiger Sicherheit eintritt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne eine Art Experiment, bei dem alle Ausgänge des Experiments gleich sicher eintreten.

Antwort anzeigen

Antwort

Laplace Experiment

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) bei einem Zufallsexperiment angibt.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) gibt einen zahlenmäßigen Wert an, wie "sicher" oder "unsicher" ein Ereignis \(E\) im Rahmen eines Zufallsexperiments eintritt.

Frage anzeigen

Frage

Die statistische Wahrscheinlichkeit...

Antwort anzeigen

Antwort

... entspricht näherungsweise der relativen Häufigkeit (bei hinreichend großen Versuchsreihen).

Frage anzeigen

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