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Zehnerpotenzen werden verwendet, um sehr große oder sehr kleine Zahl übersichtlicher darzustellen.
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Team Zehnerpotenzen Lehrer
Was der Unterschied zwischen Zehnerpotenzen mit negativem und positivem Exponenten ist, wie Du mit Zehnerpotenzen rechnest und sie multiplizierst, lernst Du in dieser Erklärung. Abgesehen davon erfährst Du, anhand von Aufgaben und Beispielen, was die technische beziehungsweise wissenschaftliche Schreibweise ist.
Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten. Durch diese Notation kannst Du sehr große und sehr kleine Zahlen kurz und kompakt darstellen, ohne die Zahlen komplett ausschreiben zu müssen.
Allgemein sieht die Form der Zehnerpotenz dann so aus \[10^c\] \(c\) ist dabei ein beliebiger ganzzahliger Exponent. Wenn Du mit Zehnerpotenzen rechnest, dann wirst Du noch meist einen Faktor \(a\) vor der Zehnerpotenz finden, eine beliebige reele Zahl. Dann sieht das Ganze so aus: \[a\cdot10^c\]
In diesem Abschnitt erfährst Du, was positive Zehnerpotenzen sind. Positive Zehnerpotenzen sind Zehnerpotenzen der Form \[10^c\] mit positivem Exponenten \(c\), also mit \(c>0\).
Hier siehst Du eine positive Zehnerpotenz mit Exponent \(4\).\[10^4\]
Um positive Zehnerpotenzen \(10^c\) anders auszudrücken, kannst Du auch eine \(1\) mit \(n\) Nullen aufschreiben. Es handelt sich also immer um Zahlen, die größer oder gleich Eins sind.
Analog dazu gibt es aber auch negative Zehnerpotenzen.
Negative Zehnerpotenzen sind Zehnerpotenzen der Form \[10^c\] mit negativem Exponenten \(c\), also mit \(c<0\).
Unten siehst Du eine negative Zehnerpotenz mit Exponent \(-3\).\[10^{-3}\] In diesem Fall ist der Exponent also negativ.
Du kannst die \(10^{-3}\) auch in eine positive Zehnerpotenz umschreiben, indem Du die Potenzgesetze anwendest. Dann sieht das folgendermaßen aus:\[10^{-3}=\frac{1}{10^3}\]
Falls Du nicht mehr genau weißt, wie der Schritt oben funktioniert, schau gern im Artikel zum Thema Potenzieren nach.
Negative Zehnerpotenzen \(10^-c\) bestehen immer aus der Zahl \(0{,}1\) mit \(c\) Nullen vor der Eins. Es handelt sich also immer um eine Zahl, die kleiner oder gleich \(0{,}1\) ist.
Im Folgenden findest Du eine Tabelle mit den Namen der Zehnerpotenzen. Zusätzlich hat es sich bewährt, große und kleine Zahlen bei den Einheiten mit sogenannten Präfixen (Vorsilben) zu beschreiben. Diese findest Du rechts in den Tabellen.
Für positive Zehnerpotenzen gilt:
| Dezimalzahl | Zehnerpotenz | Name | Präfix (Vorsilbe) |
| \(1\) | \(10^0\) | Eins | - |
| \(1{\color{#1478C8}0}\) | \(10^{\color{#1478C8}1}\) | Zehn | Deka (da) |
| \(1{\color{#1478C8}00}\) | \(10^{\color{#1478C8}2}\) | Hundert | Hekto (h) |
| \(1\,{\color{#1478C8}000}\) | \(10^{\color{#1478C8}3}\) | Tausend | Kilo (k) |
| \(1\,{\color{#1478C8}000\,000}\) | \(10^{\color{#1478C8}6}\) | Million | Mega (M) |
| \(1\,{\color{#1478C8}000\,000\,000}\) | \(10^{\color{#1478C8}9}\) | Billion | Giga (G) |
| \(1\,{\color{#1478C8}000\,000\,000\,000}\) | \(10^{\color{#1478C8}12}\) | Billiarde | Tera (T) |
Für negative Zehnerpotenzen gilt:
| Dezimalzahl | Zehnerpotenz | Name | Präfix (Vorsibe) |
| \(1\) | \(10^0\) | Eins | - |
| \({\color{#1478C8}0}{,}1\) | \(10^{\color{#1478C8}-1}\) | Zehntel | Dezi (d) |
| \({\color{#1478C8}0{,}0}1\) | \(10^{\color{#1478C8}-2}\) | Hundertstel | Centi (c) |
| \({\color{#1478C8}0{,}00}1\) | \(10^{\color{#1478C8}-3}\) | Tausendstel | Milli (m) |
| \({\color{#1478C8}0{,}000\,00}1\) | \(10^{\color{#1478C8}-6}\) | Millionstel | Mikro (μ) |
| \({\color{#1478C8}0{,}000\,000\,00}1\) | \(10^{\color{#1478C8}-9}\) | Milliardstel | Nano (nm) |
| \({\color{#1478C8}0{,}000\,000\,000\,00}1\) | \(10^{\color{#1478C8}-12}\) | Billionstel | Pico (p) |
Die genannten Präfixe können dann in Kombination mit Einheiten beispielsweise so angewendet werden:
Das kennst Du bestimmt aus dem Supermarkt. Wenn Du zum Beispiel \(1\,\text{kg}\) Äpfel kaufst. Dann ist in dem Fall der Präfix Kilo und die Einheit Gramm. Wenn Du in die Tabelle schaust, dann findest Du beim Präfix Kilo die Zehnerpotenz \(10^3\). Das bedeutet, wenn Du \(1\, \text{kg}\) in die Einheit Gramm (\(\text{g}\)) umwandeln möchtest, dann ergibt sich Folgendes:
\[1\,\text{kg}=1\cdot10^3\, \text{g}=1\,000\, \text{g}\]
Ein anderes Beispiel mit der Einheit Meter (\(\text{m}\)).
Eine Straße ist \(5{,}2\, \text{km}\) lang. Wie viele Meter (\(\text{m}\)) sind das?
Lösung
Du liest aus der obigen Tabelle in der Zeile für das Präfix Kilo die Zehnerpotenz \(10^3\) ab. Also lautet die Rechnung:\[5,2\,\text{km}=5,2\cdot10^3 \, \text{m} = 5\,200 \, \text{m}\]
Nun erfährst Du, wie Du mithilfe einer Stellenwerttafel Zahlen in Zehnerpotenzen umwandeln kannst.
Nachfolgend wirst Du sehen, was eine Stellenwerttafel ist und wie Du diese auf Zehnerpotenzen anwendest.
Eine Stellenwerttafel hilft Dir schnell zu erkennen, welche Ziffer an welcher Stelle steht und welchen Wert sie hat. Die gesamte Zahl wird links unten in der Zeile aufgeschrieben. Die einzelnen Ziffern kommen an die jeweiligen Stellen unter M, HT, ZT usw.
| \(10^6\) | \(10^5\) | \(10^4\) | \(10^3\) | \(10^2\) | \(10^1\) | \(10^0\) | |
| M | HT | ZT | T | H | Z | E | |
| Zahl |
M steht dabei für Millionen, HT für Hunderttausender, ZT für Zehntausender, T für Tausender, H für Hunderter, Z für Zehner und E für Einer.
Aber wie funktioniert das mit dem Umwandeln in der Praxis?
Dafür kannst Du Dir mal ein Beispiel anschauen.Angenommen, Du hast die Zahl \(3475\) und möchtest diese mithilfe von Zehnerpotenzen darstellen. Dafür kannst Du die oben gelernte Stellenwerttafel zur Hilfe nehmen. In diesem Fall hat die Zahl \(4\) Stellen, also brauchst Du eine Stellenwerttafel, die bis zur Tausenderstelle geht.
| \(10^3\) | \(10^2\) | \(10^1\) | \(10^0\) |
| T | H | Z | E |
| \(3\) | \(4\) | \(7\) | \(5\) |
Hast Du die Zahl eingetragen, so siehst Du genau, welche Stelle mit welcher Zehnerpotenz korrespondiert. Jetzt multiplizierst Du die jeweilige Stelle mit der zugehörigen Zehnerpotenz und addierst diese Produkte.
\[{\color{#1478c8}3} \cdot {\color{#ffcd00}10^3} + {\color{#1478c8}4} \cdot {\color{#8363e2}10^2} + {\color{#1478c8}7} \cdot {\color{#fa3273}10^1} + {\color{#1478c8}5} \cdot {\color{#00dcb4}10^0}\]
Zum Schluss kannst Du beispielsweise die \(10^0\) weglassen. Und so kannst Du die Zahl \(3475\) mit Zehnerpotenzen ausdrücken:
\[3475 = 3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 5\]
Du kannst aber nicht nur eine Zahl mit Zehnerpotenzen darstellen, Du kannst auch Zehnerpotenzen als Zahlen umschreiben.
Angenommen, Du hast folgende Zehnerpotenzen gegeben und sollst sie zu einer Zahl umschreiben: \(8 \cdot 10^6 + 4 \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^2\).
Auch hier kannst Du wieder mit einer Stellenwerttabelle arbeiten. Trage die Koeffizienten in die Spalte mit der passenden Zehnerpotenz ein. Wenn es einen Koeffizienten in der Angabe nicht gibt, so kann diese Zehnerpotenz dargestellt werden, indem sie mit \(0\) multipliziert wird.
| \(10^6\) | \(10^5\) | \(10^4\) | \(10^3\) | \(10^2\) | \(10^1\) | \(10^0\) |
| M | HT | ZT | T | H | Z | E |
| \(8\) | \(4\) | \(7\) | \(0\) | \(3\) | \(0\) | \(0\) |
Jetzt kannst Du die entstandene Zahl in der letzten Zeile einfach abschreiben und schon hast Du Dein Ergebnis.
\[{\color{#1478c8}8} \cdot 10^6 + {\color{#1478c8}4} \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^2 = {\color{#1478c8}8\,470\,300}\]Wie Du mit normalen Zahlen rechnen kannst, so kannst Du auch mit Zehnerpotenzen rechnen. Du kannst sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
Beim Addieren von Zehnerpotenzen hast Du grundsätzlich zwei Möglichkeiten, wie Du vorgehen kannst. Für die erste Möglichkeit musst Du nur wissen, wie normale Zahlen addiert werden. Für die andere Möglichkeit musst Du die Potenzgesetze kennen.
Um zwei Zehnerpotenzen zu addieren, hast Du grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
Aber wie sieht das in der Praxis aus?
Führe folgende Rechnung auf zwei Arten durch:
\[32\cdot10^2+28\cdot10^3\]
Lösung
Möglichkeit 1
Als Erstes schreibst Du die Zehnerpotenzen als ganze Zahlen auf.
\begin{align}32 \cdot 10^{\color{#1478c8}2} &= 3\,2{\color{#1478c8}00} \\ 28 \cdot 10^{\color{#1478c8}3} &= 28\,{\color{#1478c8}000}\end{align}
Anschließend addierst Du die beiden Zahlen wie gewohnt.
\[3\,200 + 28\,000 = 31\,200\]
Möglichkeit 2
Bei der zweiten Möglichkeit musst Du zuerst die beiden Zehnerpotenzen auf den gleichen Exponenten bringen. Dafür kannst Du eine Null der \(28\) hinzufügen, sodass sich der Exponent dieser Zehnerpotenz um eins verringert.
\[28 \cdot 10^{\color{#1478c8}3} \rightarrow 28{\color{#1478c8}0} \cdot 10^{\color{#1478c8}2}\]
Anschließend kannst Du jetzt die Vorfaktoren addieren und die Zehnerpotenz beibehalten.
\[{\color{#1478c8}280} \cdot {\color{#00dcb4}10^2} + {\color{#1478c8}32} \cdot {\color{#00dcb4}10^2} = ({\color{#1478c8}280} + {\color{#1478c8}32}) \cdot {\color{#00dcb4}10^2} = {\color{#1478c8}312} \cdot {\color{#00dcb4}10^2}\]
Weiter gehts mit Zehnerpotenzen subtrahieren im nächsten Absatz.
Analog zum Addieren von Zehnerpotenzen funktioniert auch das Subtrahieren von Zehnerpotenzen.
Um zwei Zehnerpotenzen zu subtrahieren, hast Du grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
An einem Beispiel kann das dann wie folgt aussehen:
Führe folgende Rechnung auf zwei Arten durch:
\[32\cdot10^5-28\cdot10^2\]
Lösung
Möglichkeit 1
Schreibe zuerst die Zehnerpotenzen als ganze Zahlen auf.
\begin{align} 32 \cdot 10^{\color{#1478c8}5} &= 3\,2{\color{#1478c8}00\,000} \\ 28 \cdot 10^{\color{#1478c8}2} &= 2\,8{\color{#1478c8}00}\end{align}
Jetzt kannst Du die beiden Zahlen subtrahieren.
\[3\,200\,000 - 2\,800 = 3\,197\,200\]
Möglichkeit 2
Du kannst aber auch anders vorgehen, indem Du die Exponenten der Zehnerpotenzen angleichst.
\[32 \cdot 10^{\color{#1478c8}5} \rightarrow 32\,{\color{#1478c8}000} \cdot 10^{\color{#1478c8}2}\]
Dann kannst Du so rechnen, dass Du nur die Vorfaktoren subtrahierst, die Zehnerpotenz beim Ergebnis dann aber mit übernimmst.
\[{\color{#1478c8}32\,000} \cdot {\color{#00dcb4}10^2} - {\color{#1478c8}28} \cdot {\color{#00dcb4}10^2} = ({\color{#1478c8}32\,000} - {\color{#1478c8}28}) \cdot {\color{#00dcb4}10^2} = {\color{#1478c8}31\,972} \cdot {\color{#00dcb4}10^2}\]
Zehnerpotenzen multiplizieren funktioniert im Vergleich zu Addieren/Subtrahieren etwas anders.
Um zwei Zehnerpotenzen zu multiplizieren, gehst Du wie folgt vor:
In der Praxis kann das dann beispielsweise so aussehen:
Multipliziere die folgenden zwei Werte:
\[3 \cdot 10^2 \cdot 4 \cdot 10^3\]
Lösung
Zuerst sortierst Du die Vorfaktoren links in eine Klammer und die Zehnerpotenzen rechts in eine Klammer.
\[{\color{#1478c8}3} \cdot {\color{#00dcb4}10^2} \cdot {\color{#1478c8}4} \cdot {\color{#00dcb4}10^3} = ({\color{#1478c8}3} \cdot {\color{#1478c8}4}) \cdot ({\color{#00dcb4}10^2} \cdot {\color{#00dcb4}10^3})\]
Dann multiplizierst Du die Vorfaktoren wie natürliche Zahlen.
\[({\color{#1478c8}3} \cdot {\color{#1478c8}4} ) \cdot (10^{\color{#00dcb4}2} \cdot 10^{\color{#00dcb4}3}) = {\color{#1478c8}12} \cdot (10^{\color{#00dcb4}2} \cdot 10^{\color{#00dcb4}3})\]
Zum Schluss addierst Du jetzt die Exponenten der Zehnerpotenzen.
\[12 \cdot (10^{{\color{#00dcb4}2 + 3}}) = 12 \cdot 10^{\color{#00dcb4}5}\]
Merke! Beim Multiplizieren von Zehnerpotenzen addierst Du deren Exponenten und behältst die Zehnerpotenz bei.
Zehnerpotenzen dividieren geht fast wie Zehnerpotenzen multiplizieren, nur mit einer kleinen Änderung.
Um zwei Zehnerpotenzen zu dividieren, gehst Du wie folgt vor:
Hier ein Beispiel dazu:
Führe folgende Division durch:
\[\frac{8\cdot10^6}{2\cdot10^1}\]
Lösung
Als Erstes sortierst Du wieder die Vorfaktoren links in eine Klammer und die Zehnerpotenzen rechts in eine Klammer.
\[\frac {{\color{#1478c8}8} \cdot {\color{#00dcb4}10^6}} {{\color{#1478c8}2} \cdot {\color{#00dcb4}10^1}} = \left(\frac{{\color{#1478c8}8}}{{\color{#1478c8}2}}\right) \cdot \left(\frac{{\color{#00dcb4}10^6}} {{\color{#00dcb4}10^1}}\right) \]
Anschließend dividierst Du die Vorfaktoren wie natürliche Zahlen.
\[\left(\frac{{\color{#1478c8}8}}{{\color{#1478c8}2}}\right) \cdot \left( \frac{10^{\color{#00dcb4}6}}{10^{\color{#00dcb4}1}}\right) = {\color{#1478c8}4} \cdot \left( \frac {10^{\color{#00dcb4}6}}{10^{\color{#00dcb4}1}} \right)\]
Zum Schluss subtrahierst Du dann die Exponenten der Zehnerpotenzen.
\[{\color{#1478c8}4} \cdot \left(10^{{\color{#00dcb4}6} - {\color{#00dcb4}1}} \right) = {\color{#1478c8}4} \cdot 10^{\color{#00dcb4}5}\]
Die wissenschaftliche, oder auch technische Schreibweise, wird verwendet, um besonders große und besonders kleine Zahlen darzustellen. Das Besondere an dieser Schreibweise ist, dass der Vorfaktor größer oder gleich eins, aber kleiner als zehn ist.
Für die technische Schreibweise einer Zehnerpotenz
\[{\color{#1478c8}a} \cdot 10^c\]
gilt Folgendes für den Vorfaktor \({\color{#1478c8}a}\) :
\[1 \leq {\color{#1478c8}a} < 10\]
Der Exponent \(c\) der Zehnerpotenz gibt die Stellenzahl an, um die Du das Komma nach rechts (positiver Exponent) oder links (negativer Exponent) verschieben musst. Sieh Dir dazu das untere Beispiel an.
Forme die folgenden Zahlen in die technische Schreibweise bzw. ohne Zehnerpotenz um.
Lösung
1.
Um diese Zahl in der technischen Schreibweise umzuschreiben, reicht es nicht, die Nullen zu zählen und als Zehnerpotenz festhalten, da der Vorfaktor dann größer als \(10\) ist. Du musst den Vorfaktor also mit Nachkommastellen darstellen. Du zählst also die \(4\) Nullen und weitere \(4\) Nullen, da Du das Komma um vier Stellen verschiebst.
\[3{\color{#1478c8}\underbrace{80920000}_{8\, \text{Stellen}}} \rightarrow 3,8092 \cdot 10^{\color{#1478c8}8}\]
2.
Um diese Zahl ohne die Potenz zu schreiben, musst Du so viele Nullen hinzufügen, wie es der Exponent verlangt. In diesem Fall ist der Exponent negativ, wodurch die Nullen vor der Zahl eingefügt werden müssen, sodass die Zahl kleiner wird.
\[4,92020063 \cdot 10^{\color{#1478c8}-3} \rightarrow {\color{#1478c8}0,00}492020063\]
In den folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen überprüfen.
Forme die Zehnerpotenz \(824\cdot10^4\) in die wissenschaftliche Schreibweise um.
Lösung
Um die wissenschaftliche Schreibweise zu erhalten, musst Du den Vorfaktor \(824\) auf eine Dezimalzahl, also \(8,24\) ändern und den Exponenten \(4\) entsprechend anpassen. Du verschiebst das Komma also um \(2\) Stellen nach links und den Exponenten \(4\) erhöhst Du um \(2\). Dann ergibt sich:\[824\cdot10^4=8,{\color{#1478c8}24}\cdot10^{4+{\color{#1478c8}2}}=8,24\cdot10^6\]
Fasse folgende Rechnung mithilfe von Potenzgesetzen als Zehnerpotenz zusammen: \[25\cdot10^2+27\cdot10^4-30\cdot10^3\]
Lösung
Dadurch, dass es sich hier um Strichrechnungen handelt, müssen die Zehnerpotenzen den gleichen Exponenten haben. In diesem Fall wird der kleinste Exponent, also \(2\) genommen.
\begin{align} 27 \cdot 10^{\color{#1478c8}4} &\rightarrow 27{\color{#1478c8}00} \cdot 10^{\color{#1478c8}2} \\ 30 \cdot 10^{\color{#1478c8}3} &\rightarrow 30{\color{#1478c8}0} \cdot 10^{\color{#1478c8}2} \end{align}
Anschließend kannst Du dann die Vorfaktoren addieren bzw. subtrahieren.
\[(25 + 2700 - 300) \cdot 10^2 = 2425 \cdot 10^2\]
Fasse folgende Rechnung mithilfe von Potenzgesetzen als Zehnerpotenz zusammen: \[\frac{8\cdot10^6\cdot11\cdot10^5}{2\cdot10^2}\]
Lösung
Als Erstes multiplizierst Du beiden Zehnerpotenzen im Zähler, indem Du die Vorfaktoren multiplizierst und ide Exponenten addierst.
\[{\color{#1478c8}8} \cdot 10^{\color{#00dcb4}6} \cdot {\color{#1478c8}11} \cdot 10^{\color{#00dcb4}5} = ({\color{#1478c8}8} \cdot {\color{#1478c8}11}) \cdot (10^{{\color{#00dcb4}6 + 5}}) = {\color{#1478c8}88} \cdot 10^{\color{#00dcb4}{11}}\]
Anschließend dividierst Du dieses Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs. Dafür kannst Du die Vorfaktoren dividieren und die Exponenten subtrahieren.
\[\frac{{\color{#1478c8}88} \cdot 10^{{\color{#00dcb4}11}}}{{\color{#1478c8}2} \cdot 10^{\color{#00dcb4}2}} = \frac{{\color{#1478c8}88}}{{\color{#1478c8}2}} \cdot 10^{{\color{#00dcb4}11}-{\color{#00dcb4}2}} = {\color{#1478c8}44} \cdot 10^{\color{#00dcb4}9}\]
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Wie berechne ich die Zehnerpotenz?
Du kannst Zehnerpotenzen berechnen, indem Du sie in eine ganze Zahl umwandelst. Dabei hängst Du so viele Nullen an den Vorfaktor, wie der Exponent groß ist. Bei negativem Exponenten schreibst Du die Nullen vor den Vorfaktor, sodass eine Zahl, die kleiner als 0,1 ist, entsteht.
Wie addiert man Zehnerpotenzen?
Um Zehnerpotenzen zu addieren, gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
Wie heißen die Zehnerpotenzen?
Zehnerpotenzen haben abhängig von ihrem Exponenten unterschiedliche Namen. Hier die wichtigsten Bezeichnungen aufgelistet:
10-3 Tausendstel oder Milli.
10-2 Hundertstel oder Centi.
10-1 Zehntel oder Dezi.
100 Eins.
101 Zehn oder Deka.
102 Hundert oder Hekto.
103 Tausend oder Kilo.
106 Million oder Mega.
Wie werden Zehnerpotenzen multipliziert?
Zehnerpotenzen werden multipliziert, indem Du wie folgt vorgehst:
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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