Vielfaches

Algebra

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Vielfaches Definition StudySmarter

Hast Du schon mal von dem sogenannten kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) gehört? Dieser Begriff kommt häufig im Kontext der Bruchrechnung vor. Um das kgV zu verstehen, ist es sinnvoll, sich erstmal das Thema Vielfache anzuschauen. Aber was ist das Vielfache denn genau? Und wie wird dieses Vielfache überhaupt berechnet? Wenn Du Dich das fragst, dann bist Du hier genau richtig!

Vielfaches – Definition

Bei dem Thema Vielfaches spielt die Multiplikation eine große Rolle. Die Multiplikation ist eine der Grundrechenarten und essentiell für die Berechnung von Vielfachen. Schau Dir dazu gerne eine kurze Wiederholung an, um optimal auf das Thema Vielfache vorbereitet zu sein!

Wiederholung – Multiplikation

Die Multiplikation gehört zu den vier Grundrechenarten. Addition, Subtraktion und Division sind die anderen drei Grundrechenarten

Möchtest Du Dir die vier Grundrechenarten genau anschauen? Dann klick doch gerne in die zugehörigen Artikel Addition, Subtraktion, Dividieren und Multiplizieren!

Bei der Multiplikation werden zwei oder mehrere Elemente miteinander verrechnet. Dazu verwendest Du das Rechenzeichen "Mal" ( $\cdot$ ).

Bei der Multiplikation können zwei oder mehrere Zahlen durch das Rechenzeichen $\cdot$ miteinander verrechnet werden. Dabei werden diese Zahlen mehrfach miteinander addiert.

Das Ergebnis einer Multiplikation wird Produkt genannt. Um das Vielfache zu berechnen, wendest Du ebenfalls die Multiplikation an.

Vielfaches einer Zahl

Das Vielfache einer natürlichen Zahl ist nämlich das Produkt einer Multiplikation. Um das Vielfache einer natürlichen Zahl zu ermitteln, kannst Du die Zahl mit einer anderen natürlichen Zahl multiplizieren. Jeder Zahl kannst Du eigene Vielfache zuordnen. Das heißt, dass nicht jede beliebige Zahl automatisch das Vielfache einer anderen Zahl ist.

Das Vielfache einer natürlichen Zahl ist das Produkt p aus der Multiplikation einer Zahl x mit einem Faktor y.

$x \cdot y = p$

Wenn Du also eine natürliche Zahl mit einer anderen natürlichen Zahl multiplizierst, ist das Ergebnis dieser Multiplikation das Vielfache der ersten Zahl. Dabei ist dann das Vielfache p um y - Mal größer als die Zahl x.

Du kannst eine Zahl mit unendlich vielen Zahlen multiplizieren, deswegen hat jede Zahl auch unendlich viele Vielfachen.

Die Vielfachen von Zahlen kannst Du ebenfalls in einer sogenannten Vielfachenmenge angeben. In die Vielfachenmenge schreibst Du in Mengenschreibweise alle möglichen Vielfachen einer Zahl auf. Dafür multiplizierst Du die Zahl mit 1, 2, 3, 4 usw. und schreibst die Ergebnisse der Multiplikation in eine Mengenklammer. Die Vielfachenmenge wird dabei mit einem großen V und der tiefgestellten Zahl beschrieben.

$V_{x} = \{x \cdot 1; x \cdot 2; x \cdot 3; x \cdot 4; . . .\}$

Damit hast Du dann die Vielfachenmenge V_x der Zahl x aufgestellt.

Wie sieht das Ganze dann in der Anwendung aus?

Aufgabe 1

Berechne die Vielfachen der Zahl 6 und beschreibe sie mit einer Vielfachenmenge V₆.

Lösung

Zuerst multiplizierst Du die Zahl 6 mit 1, mit 2, mit 3 usw.

$\begin{array}{rcl} 6 \cdot 1 & = & 6 \\ 6 \cdot 2 & = & 12 \\ 6 \cdot 3 & = & 18 \\ 6 \cdot 4 & = & 24 \\ 6 \cdot 5 & = & 30 \\ 6 \cdot 6 & = & 36 \\ 6 \cdot 7 & = & 42 \\ 6 \cdot 8 & = & 48 \\ 6 \cdot 9 & = & 54 \\ 6 \cdot 10 & = & 60 \\ . . . \end{array}$

Diese Vielfachen kannst Du dann als Vielfachenmenge V₆ ausdrücken.

$V_{6} = \{6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; . . .\}$

Damit hast Du die Vielfachen von der Zahl 6 bestimmt.

Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache. Das heißt, Du könntest bei diesem Beispiel die Zahl 6 auch noch weiterhin mit 11, 12, 13 usw. multiplizieren und die Ergebnisse in die Vielfachenmenge eintragen.

Vielfaches der Quersumme

So wie es das Vielfache einer Zahl gibt, gibt es auch das Vielfache der Quersumme.

Weißt Du noch, was die Quersumme ist? Die Quersumme ist das Ergebnis der Addition aller Ziffern einer Zahl. Mithilfe der Quersumme kann auch die Teilbarkeit einer großen Zahl durch 3, 6 und 9 überprüft werden.

Wie bei jeder anderen Zahl auch, können Vielfache von Quersummen aufgestellt werden.

Aufgabe 2

Bilde die Quersumme von der natürlichen Zahl 1725 und stelle eine Vielfachenmenge der Quersumme auf.

Lösung

Um die Quersumme zu bilden, addierst Du die einzelnen Ziffern miteinander.

$1725 = 1 + 7 + 2 + 5 = 15$

Die Quersumme der Zahl 1725 ergibt 15. Von dieser Zahl kannst Du jetzt auch die Vielfachen berechnen:

$\begin{array}{rcl} 15 \cdot 1 & = & 15 \\ 15 \cdot 2 & = & 30 \\ 15 \cdot 3 & = & 45 \\ 15 \cdot 4 & = & 60 \\ 15 \cdot 5 & = & 75 \\ 15 \cdot 6 & = & 90 \\ 15 \cdot 7 & = & 105 \\ 15 \cdot 8 & = & 120 \\ . . . \end{array}$

Davon kannst Du jetzt auch eine Vielfachenmenge V₁₅ aufstellen.

$V_{15} = \{15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; . . .\}$

So kannst Du die Vielfache der Quersumme berechnen.

Du kannst Dir den Zusammenhang zwischen den Teilbarkeitsregeln und der Quersumme in der Erklärung "Quersumme" anschauen!

So wie es ein Vielfaches gibt, gibt es auch einen Teiler. Der Teiler kann als das Gegenteil des Vielfachen gesehen werden.

Vielfaches und Teiler

Um den Teiler einer natürlichen Zahl zu ermitteln, benötigst Du eine zweite Grundrechenart, und zwar die Division. Du kannst einer Zahl, wie beim Vielfachen auch, mehrere Teiler zuordnen. Jede Zahl hat den gemeinsamen Teiler eins.

Teiler sind alle Zahlen d, die durch eine Zahl x geteilt werden können, ohne dass ein Rest übrig bleibt.

$x \div d = y$

Das heißt, der Teiler ist ein Divisor. Die Zahl x ist der Dividend. Der Wert y ist das Ergebnis der Division. d ist ein Teiler, wenn das Ergebnis y ganzzahlig ist.

Auch Teiler kannst Du in einer Teilermenge ausdrücken. Die Teilermenge der Zahl x ist die Teilmenge T_x. Um die Teilermenge aufzustellen, dividierst Du die Zahl x mit allen möglichen Teilern d und schreibst sie in eine Mengenklammer:

$T_{x} = \{x \div 1; x \div d; . . .\}$

Und wie sieht der Teiler in der Anwendung aus?

Aufgabe 2

Berechne alle Teiler der Zahl 12 und schreibe sie in eine Teilermenge T₁₂.

Lösung

Welche Zahlen sind alle durch 12 teilbar? Das kannst Du durch schriftliche Division oder mithilfe der Teilbarkeitsregeln ermitteln.

Schau dazu gerne in den Artikel "Teilbarkeitsregeln"!

$\begin{array}{rcl} 12 \div 1 & = & 12 \\ 12 \div 2 & = & 6 \\ 12 \div 3 & = & 4 \\ 12 \div 4 & = & 3 \\ 12 \div 6 & = & 2 \\ 12 \div 12 & = & 1 \end{array}$

Mit diesen Ergebnissen kannst Du dann auch die Teilermenge T₁₂ von 12 aufstellen:

$T_{12} = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$

Das Thema Teiler kannst Du Dir aber auch gerne nochmal in der Erklärung "Teiler" genauer anschauen!

Gemeinsames Vielfaches berechnen

Du kannst von zwei oder mehreren Zahlen die gemeinsamen Vielfachen berechnen. Wie es der Name schon sagt, ist das gemeinsame Vielfache ein Vielfaches, das zwei oder mehrere Zahlen gemeinsam haben. Das gemeinsame Vielfache berechnest Du, indem Du entweder die Primfaktorzerlegung anwendest oder die Vielfachenmengen aufstellst und die gemeinsamen Vielfachen daraus ermittelst.

Dir sagt Primfaktorzerlegung nichts? Dann schau gerne in der Erklärung zur "Primfaktorzerlegung" vorbei.

Ein besonderes und bekanntes gemeinsames Vielfaches ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kleinste gemeinsame Vielfache (abgekürzt: kgV) ist ein bestimmtes Vielfaches zwischen zwei natürlichen Zahlen. Das kgV benötigst Du oft bei dem Rechnen mit Brüchen, also bei der Addition und Subtraktion von Brüchen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das kleinst - mögliche Vielfache zwischen zwei Zahlen.

$k g V (x; y)$

Das kleinste gemeinsame Vielfache kannst Du entweder mit Vielfachenmengen ermitteln oder mithilfe der Primfaktorzerlegung berechnen. In dem folgenden Beispiel kannst Du Dir die Ermittlung des kgV mithilfe von Vielfachenmengen anschauen.

Aufgabe 3

Ermittle das kgV der Zahlen 4 und 5 mithilfe von Vielfachenmengen.

Lösung

Um die kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beiden Zahlen herauszufinden, kannst Du von beiden die Vielfachenmenge aufstellen und die gleichen Vielfachen markieren.

$V_{4} = \{4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; . . .\} V_{5} = \{5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40 . . .\}$

Die Vielfachen sind in diesen Vielfachenmengen die Zahlen 20 und 40. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist in diesem Fall die Zahl 20.

Möchtest Du wissen, wie Du das kleinste gemeinsame Vielfache mithilfe der Primfaktorzerlegung ermitteln kannst? Dann schau gerne in die Erklärung "kleinster gemeinsamer Vielfacher".

Jetzt kannst Du Dir gerne einige Übungen und Beispiele zum Vielfachen anschauen.

Vielfaches – Berechnen und Beispiele

Hier findest Du Beispiele und Übungen zur Berechnung des Vielfachen. Wenn Du irgendwo hängst, oder irgendwo nicht mehr weiterkommst, kannst Du gerne nochmal nach oben gehen und Dir die Definitionen anschauen!

Aufgabe 4

Hilf dem Holzfäller zum Baum zu gelangen, indem Du ihm den Weg zeigst, der über die Vielfachen von 7 geht!

Vielfaches Holzfäller Vielfaches Beispiele StudySmarter Abbildung 1: Holzfäller vor dem Baum

Lösung

Markiere den Weg über die Baumstämme zum Baum hin, indem Du die Baumstämme mit den Vielfachen von der Zahl 7 markierst:

Vielfaches Holzfäller Vielfaches Beispiele StudySmarter Abbildung 2: der richtige Weg

Über diesen Weg kann der Holzfäller zu dem Baum gelangen.

Aufgabe 5

Markiere alle Vielfachen der Zahl 6 in der folgenden Abbildung:

Vielfaches Tabelle Vielfaches einer Zahl StudySmarter Abbildung 3: Tabelle bis 100

Lösung

Vielfaches Tabelle Vielfaches einer Zahl StudySmarter Abbildung 4: Vielfache der Zahl 6

Wie Du siehst, entsteht in der Tabelle dann sogar ein Muster. Das passiert bei allen Vielfachen, die in einer solchen Tabelle markiert werden.

Vielfaches – Das Wichtigste

Für das Vielfache wird die Multiplikation benötigt
Das Vielfache einer Zahl ist das Produkt einer Zahl und einer anderen Zahl ( $x \cdot y = p$ )
Der Teiler ist das Gegenteil des Vielfachen
Mehrere Vielfache einer Zahl x können in einer Vielfachenmenge V_x dargestellt werden
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer Zahlen kann mithilfe vom Vergleichen der Vielfachenmenge oder der Primfaktorzerlegung ermittelt werden

Nachweise

Endner (2007). Mathematik - Illustrierte Power-Selbsthilfe und Nachschlagewerk. Wagner.
Padberg; Büchter (2015). Vertiefung Mathematik Primarstufe - Arithmetik/Zahlentheorie. Springer Berlin Heidelberg.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Vielfaches

Das Vielfache einer Zahl x ist das Produkt der Zahl x mit einer ganzen Zahl ℕ. Das Produkt ist ebenfalls eine ganze Zahl.

Ein Vielfaches ist das 1 -, 2 -, 3 -, 4 - usw. fache einer Zahl x. Um das Vielfache zu ermitteln, wird die Zahl x mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 usw. multipliziert.

Der Teiler ist das Gegenteil des Vielfachen. Ein Teiler ist eine Zahl d, die durch eine Zahl x geteilt werden kann, ohne, dass ein Rest übrig bleibt.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) kann durch das Vergleichen der Vielfachenmenge der Zahlen oder durch Primfaktorzerlegung berechnet werden.

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Was ist das Vielfache einer Zahl?

Das Vielfache einer Zahl ist das 1-, 2-, 3-, 4- usw. fache dieser Zahl.

Wie kann das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmt werden?

Durch Primfaktorzerlegung oder das Vergleichen der Vielfachenmenge.

Wie können die Vielfache einer Zahl x zusammengefasst werden?

Mit der Vielfachenmenge V_x.

Welche Zahl ist 7 - mal so groß, wie die Zahl 9?

Was ist das 17 - fache von der Zahl 8?

136

18 ist ein Vielfaches von 6.

Wahr.

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