Natürliche Zahlen

In diesem Artikel geht es um die natürlichen Zahlen. Eine kurze Definition der natürlichen Zahlen hast du vielleicht schon im Artikel Zahlenmengen gelesen. In den folgenden Abschnitten wirst du noch mehr über die natürlichen Zahlen kennenlernen. Zum Schluss kannst du dein Wissen in ein paar Übungsaufgaben testen und mithilfe der Karteikarten vertiefen.

Natürliche Zahlen Definition

Mit Sicherheit kennst du bereits natürliche Zahlen, denn: immer, wenn du etwas zählst, verwendest du natürliche Zahlen.

Um die natürlichen Zahlen formal zu definieren, nutzt man die sogenannte Mengenschreibweise. Dabei wird das Formel-zeichen genutzt. Das sieht dann so aus:

Die Menge der natürlichen Zahlen $\mathrm{\mathbb{N}}$ lautet:

Dass in der Klammer nur die Zahlen 1 bis 5 aufgeschrieben sind, heißt nicht, dass nur diese Zahlen natürliche Zahlen sind! Die Punkte am Ende der Klammer bedeuten, dass alle folgenden Zahlen auch dazugehören. Also die 6 und die 7, aber auch die 10, die 35, die 102, die 4374679..... das geht unendlich so weiter.

Deshalb ist die Menge der natürlichen Zahlen auch nicht beschränkt, sondern in ihr befinden sich unendlich viele Zahlen.

Die natürlichen Zahlen sind alle positiv.

Es gibt allerdings eine Ausnahme: Die Zahl 0. Sie ist weder positiv noch negativ. Allerdings gehört die 0 auch nicht immer zur Menge der natürlichen Zahlen. In der oberen Definition gehört sie nicht dazu. Wenn man aber die 0 dazuzählen möchte, dann schreibt man das wie folgt:

Auch wenn diese beiden Definitionen ein bisschen unterschiedlich sind, hat man sich darauf geeinigt, dass beide richtig sind.

Keine natürlichen Zahlen Definition

Zahlen, die nicht zu den natürlichen Zahlen gehören, sind beispielsweise die negativen Zahlen. Sie gehören zu der Menge der ganzen Zahlen.

Es gibt noch weitere Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind. Diese sind zum Beispiel Brüche, Kommazahlen oder irrationale Zahlen. Sie gehören in die Menge der rationalen Zahlen oder in die Menge der reellen Zahlen. Die Menge ist aber in allen diesen anderen Zahlenmengen enthalten.

Man kann diesen Zusammenhang auch in einer Abbildung darstellen:

Natürliche Zahlen Anordnung

Es gibt natürliche Zahlen, deren Wert kleiner ist, und natürliche Zahlen, deren Wert größer ist.

Um diese Unterschiede darzustellen, ordnet man die natürlichen Zahlen auf einer Linie an, die man auch Zahlenstrahl nennt. Sie sieht aus wie ein Lineal.

Abbildung 3: Zahlenstrahl

Ganz links beginnt der Zahlenstrahl mit der Zahl 0. Nach rechts kannst du ihn beliebig lang zeichnen. Da man ihn aber nicht unendlich lang zeichnen kann, markiert man das Ende mit einem Pfeil.

Es gilt nun die folgende Regel:

Natürliche Zahlen berechnen

Natürliche Zahlen kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Diese vier Grundrechenarten hast du sicherlich bereits in der Grundschule gelernt. Wenn du nochmal vertieft nachlesen möchtest, wie man diese Grundrechenarten ausführt, dann schau dir doch mal die Artikel Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division an!

Addition

Zwei (oder mehrere) natürliche Zahlen kann man ohne Einschränkung addieren. Dabei kannst du entweder im Kopf rechnen, wenn du ganz fit bist, oder du rechnest schriftlich. Vor allem, wenn du viele Zahlen addieren musst, oder die Zahlen etwas größer sind, ist das eine sichere Methode.

Subtraktion

Anders als bei der Addition kannst du bei der Subtraktion nicht ganz beliebig Zahlen voneinander abziehen. Du wirst mir sicherlich Recht geben, dass du beispielsweise keine 5 Kekse verschenken kannst, wenn du nur 3 Kekse hast.

Es muss also bei der Subtraktion der Minuend – die Zahl, die abgezogen wird – kleiner sein als der Subtrahend – die Zahl, von der abgezogen wird.

Auch bei der Subtraktion kannst du schriftlich oder im Kopf rechnen.

Multiplikation

Bei der Multiplikation ist es wieder wie bei der Addition: Du kannst beliebige und beliebig viele natürliche Zahlen miteinander multiplizieren. Das kleine Einmaleins solltest du aus der Grundschule bereits kennen und es spart dir für einige Rechnungen Zeit, wenn du es im Kopf hast. Vielleicht hast du sogar das große Einmaleins im Kopf! Auch hier gibt es aber die Möglichkeit, schriftlich zu rechnen. Diese Option solltest du auch wählen, wenn die Zahlen sehr groß werden oder du dir im Kopf nicht mehr sicher bist.

Division

Bei der Division ist es dagegen wieder ähnlich wie bei der Subtraktion. Es kann nicht uneingeschränkt dividiert werden. Der Dividend, also die Zahl, die geteilt wird, muss mindestens so groß sein wie der Divisor, also die Zahl, durch die geteilt wird. Zudem müssen die Fälle unterschieden werden, ob mit Rest gerechnet wird, oder ob die Division aufgehen muss.

Wie bei den drei anderen Grundrechenarten kannst du entweder im Kopf oder schriftlich rechnen.

Natürliche Zahlen Teilmengen

Es gibt ein paar Mengen, die in den natürlichen Zahlen liegen, und die du kennen solltest:

• Die Menge der geraden Zahlen: {2, 4, 6, 8, 10, ...}
• Die Menge der ungeraden Zahlen: {1, 3, 5, 7, 9, ...}
• Die Primzahlen

Außerdem gibt es noch die Mengen der Vielfachen einer natürlichen Zahl. Diese sind ebenfalls alle Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Wenn du mehr über die Vielfachenmenge wissen möchtest, dann solltest du dir den Artikel Vielfaches im Kapitel Zahlenlehre anschauen!

Natürliche Zahlen Übungen

Um dein Verständnis zu den natürlichen Zahlen zu vertiefen, haben wir hier noch eine Übung für dich.