Bei einer Geburtstagsfeier wird ein Kuchen in 12 Stücke geschnitten und jeder nimmt sich ein Stück. Am Ende des Geburtstags sind des Kuchens aufgegessen. des Kuchens ist noch übrig. Sind nun mehr Kuchenstücke übrig als gegessen wurden? Oder andersherum? Wie Brüche nach Größe geordnet und verglichen werden können, erfärhrst Du in diesem Artikel.
Brüche vergleichen und ordnen – Definition
Im Folgenden findest Du eine Wiederholung zu den Eigenschaften von Brüchen.
Brüche und ihre Eigenschaften
Brüche kannst Du, wie ganze Zahlen auch, nach Größe ordnen.
Brüche bestehen aus Zähler und Nenner. Der Zähler ist die Zahl, die über dem Bruchstrich steht und der Nenner die Zahl darunter.
An einem konkreten Bruch sieht das wie folgt aus:
Bei dem Bruch ist die 2 der Zähler und die 3 der Nenner. Ausgesprochen wird der Bruch als "zwei Drittel"
Brüche können auch gekürzt werden. Das Kürzen von Brüchen ist auch für die Anordnung und das Vergleichen der Brüche wichtig.
Bei dem Kuchenbeispiel können die Brüche und gekürzt werden. Der Kuchen wurde in 12 Stücke geteilt. des Kuchens wurden aufgegessen. Das kann gekürzt auch als geschrieben werden. des Kuchens sind übrig, das kann zu gekürzt werden.
Um das Thema zu wiederholen, schau Dir gerne den Artikel "Brüche kürzen" an!
Die mathematischen Symbole
Um Brüche miteinander zu vergleichen, gibt es eine Reihe mathematischer Symbole, die die Größenverhältnisse der Brüche zum Ausdruck bringen können. Die Anordnung von Brüchen kann mit den Zeichen beschrieben werden.
| Symbol | Erklärung | Beispiel mit ganzen Zahlen |
| < | "kleiner als" | |
| > | "größer als" | |
| = | "gleich" | |
Als Eselsbrücke kannst Du Dir die Symbole und als das Maul eines Krokodils vorstellen. Das Krokodil will immer das größte Fressen essen und wendet sich mit dem Maul immer der größeren Zahl zu. Das Symbol benutzt Du, wenn zwei oder mehrere Brüche bzw. Zahlen den gleichen Wert haben.
Brüche vergleichen und ordnen – Erklärung verschiedener Fälle
Beim Vergleichen von Brüchen gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder Du kannst die Brüche ohne Rechnen ordnen und untersuchst sie dafür auf gleiche Zähler oder gleiche Nenner. Oder Du kannst mit den Brüchen rechnen, also sie erweitern oder kürzen, um die Brüche anzuordnen.
Brüche mit gleichem Nenner ordnen
Wenn Du zwei oder mehrere gleichnamige Brüche hast, musst Du nicht rechnen, um die Brüche nach Größe zu ordnen. Unter gleichnamigen Brüchen versteht man Brüche mit dem gleichen Nenner. Die zwei Brüche von dem Kuchenbeispiel oben haben beide den gleichen Nenner. Die Brüche sind also gleichnamig.
Bei gleichnamigen Brüchen, ist immer der Bruch größer, der einen größeren Zähler hat.
Welcher der zwei Brüche ist also bei dem Kuchenbeispiel größer?
Der Bruch ist kleiner als der Bruch . Das liegt daran, dass die Brüche den gleichen Nenner haben und der Bruch eine größere Zahl als Zähler hat. In diesem Fall schreibst Du also:
In der folgenden Abbildung sind die Brüche veranschaulicht:
Abbildung 1: Vier übrige und acht gegessene Kuchenstücke
Der orange-markierte Part zeigt die Kuchenstücke an, die gegessen wurden. Der blau-markierte Part sind die übrigen Stücke. Das sind in diesem Fall vier von zwölf Stücken. Gegessen wurden acht von zwölf Stücken. Der Bruch ist demnach größer als der Bruch .
Brüche mit gleichem Zähler ordnen
Du kannst Brüche ohne Rechnen ordnen, wenn die Brüche gleichnamig sind. Aber auch wenn zwei oder mehrere Brüche einen gleichen Zähler haben, kannst Du die Brüche ohne Rechnen ordnen.
Haben Brüche einen gleichen Zähler, so ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.
Bei Brüchen mit gleichen Zählern schaust Du Dir hauptsächlich den Nenner an, um die Brüche nach Größe zu ordnen.
Als Beispiel kannst Du Dir die Brüche und anschauen. Die Brüche haben den gleichen Zähler 3.
Der Bruch ist größer, da er einen kleineren Nenner als der Bruch hat. Zur Veranschaulichung dazu findest Du die folgende Abbildung.
Abbildung 2: Drei von vier Stücken
Abbildung 3: Drei von neun StückenBei dem unteren Kreis sind die Anteile an markierten Stücken um einiges kleiner, als bei dem Oberen. Das heißt, der Bruch ist größer als der Bruch . Dies schreibst Du folgendermaßen:
Gleiche Brüche ordnen
Es gibt natürlich auch Brüche, die den gleichen Nenner und den gleichen Zähler haben. Diese Brüche sind dann gleich groß und werden mit dem Symbol angeordnet.
Die Brüche und haben den gleichen Nenner und den gleichen Zähler. Sie ordnest Du wie folgt an:
Bei einigen Brüchen ist die Gleichheit nicht auf Anhieb zu erkennen, weshalb Du sie kürzen kannst.
Die Brüche und haben auf den ersten Blick weder einen gleichen Nenner, noch einen gleichen Zähler. Den zweiten Bruch kannst Du jedoch kürzen:
In diesem Beispiel gilt , auch wenn die Brüche auf den ersten Blick weder einen gleichen Nenner, noch einen gleichen Zähler haben.
Brüche ohne gleichen Nenner oder Zähler ordnen
Hast Du zwei oder mehrere Brüche vorliegen, die weder einen gleichen Nenner noch einen gleichen Zähler haben, kannst Du die Brüche nicht auf einen Blick anordnen. Hier musst Du zuerst mit den Brüchen rechnen.
Die zwei Brüche und haben weder einen gleichen Nenner noch einen gleichen Zähler. Um die Brüche zu ordnen, werden sie zuerst auf einen gleichen Nenner gebracht. Das machst Du, indem Du die Brüche erweiterst.
Das Erweitern eines Bruches ist das Gegenteil von dem Kürzen eines Bruches. Du multiplizierst einen Bruch mit einer Zahl. Beim Erweitern werden dann sowohl Zähler als auch Nenner mit der Zahl multipliziert.
Beispiel: Du hast den Bruch vorliegen und sollst den Nenner auf 20 erweitern. Dazu musst Du den Bruch mit vier erweitern (da: ). Das sieht dann so aus:
Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir gerne den Artikel zu "Brüche erweitern" durch!
Jetzt hast Du zwei Brüche vorliegen und sollst sie nach ihrer Größe ordnen. Der erste Schritt ist, die Brüche beide auf einen Nenner zu bringen. Dazu suchst Du den kleinsten gemeinsamen Nenner, der für die beiden Brüche möglich ist. Das ist die Zahl 14 (weil: ).
Erweitern:
und
Jetzt haben die beiden Brüche den gleichen Nenner und Du kannst die zwei Brüche auf die Größe des Zählers untersuchen. Der Bruch mit dem größeren Zähler hat den größeren Wert. Das ist in diesem Fall der Bruch .
Abbildung 4: Sechs von 14 Stücken
Abbildung 5: Sieben von 14 Stücken
Der Bruch ist also kleiner als der Bruch .
Das notierst Du wie folgt:
Vergleichen und ordnen von Dezimalbrüchen
Dezimalbrüche werden auch Zehnerbruch genannt und sind Brüche, die eine Zehnerpotenz im Nenner haben. Zehnerpotzenzen definieren Zahlen, die aus einer Potenz von 10 gebildet werden können. Dazu gehören die Zahlen Sie kannst Du in Dezimalzahlen ausschreiben.
Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir gerne den Artikel zu "Dezimalzahlen rechnen" durch!
Dezimalbrüche kannst Du, wie normale Brüche auch ordnen. Dabei vergleichst Du die Vorkommastellen und Nachkommastellen der Dezimalbrüche, um sie nach der Größe zu ordnen.
Gegeben sind zwei Zahlen. Du sollst die Zahl und die Zahl nach ihrer Größe ordnen.
Um die beiden Zahlen zu ordnen, schaust Du Dir jeweils die Vorkommastellen und Nachkommastellen an. Die Vorkommastellen sind alle die Zahlen, die vor dem Komma stehen. Das sind hier bei beiden Zahlen die Zahl 0. Anhand dieser Zahlen kannst Du die Brüche also noch nicht ordnen. Dann schaust Du Dir die Nachkommastellen an. Die erste Nachkommastelle ist die Zahl 6 bei und die Zahl 3 bei . Folglich ist die Zahl größer, da ihre erste Nachkommastelle größer ist, als die der Zahl .
Das heißt:
Brüche vergleichen und ordnen – Übungen
Bei den folgenden Aufgaben kannst Du nun Dein Wissen anwenden.
Aufgabe 1
Gegeben sind die Brüche . Ordne sie aufsteigend nach ihrer Größe (vom kleinsten Bruch hin zum größten Bruch).
Lösung
Die Brüche sind Dezimalbrüche. Du kannst diese Brüche auch direkt in Dezimalzahlen umwandeln, denn sie haben alle eine Zehnerpotenz im Nenner. Das sieht dann so aus:
Mit den Dezimalzahlen kannst Du die Nachkommastellen miteinander vergleichen und siehst, welcher Bruch der Größte ist.
Aufgabe 2
Gegeben sind die Brüche . Ordne sie absteigend nach ihrer Größe (vom größten Bruch hin zum kleinsten Bruch).
Lösung
Die Brüche haben alle den gleichen Zähler, Du kannst sie also anhand der Nenner ordnen. Der Bruch mit dem größten Nenner ist der kleinste Bruch. Der Bruch mit dem kleinsten Nenner ist der größte Bruch.
Aufgabe 3
Gegeben sind die Brüche . Ordne sie nach ihrer Größe, beginnend mit dem kleinsten Bruch.
Lösung
Um diese Brüche zu ordnen, musst Du sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erweitern. Der kleinste gemeinsame Nenner ist hier die 16. Den Bruch musst Du nicht mehr erweitern, denn er hat schon die 16 als Nenner. Bei den restlichen Brüchen schaust Du, mit welcher Zahl Du sie erweitern musst, sodass der Nenner einen Wert von 16 hat.
Den Bruch erweiterst Du mit 2.
Den Bruch erweiterst Du mit vier.
Den Bruch erweiterst Du mit acht.
Jetzt sind alle Brüche gleichnamig und können geordnet werden:
Du kannst die Brüche jetzt auch auf ihre ursprüngliche Form kürzen und sie ordnen:
Brüche vergleichen und ordnen – Das Wichtigste
- Zum Vergleichen und Anordnen von Brüchen benötigst Du die Rechenoperationen Erweitern und Kürzen von Brüchen
- Um Brüche nach ihrer Größe zu ordnen, werden die mathematischen Symbole verwendet.
- Haben Brüche einen gemeinsamen Nenner, so ist immer der Bruch mit dem größeren Zähler der größere Bruch.
- Haben Brüche einen gleichen Zähler, so ist immer der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere Bruch.
- Wenn Brüche keinen gemeinsamen Nenner oder gleichen Zähler haben, suchst Du den kleinsten gemeinsamen Nenner und erweiterst die Brüche auf diesen Nenner. Danach ordnest Du sie anhand des Zählers.
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