Jakob und Amina befragen ihre Mitschüler*innen, wie sie zur Schule kommen. In der Klasse sind 24 Schüler*innen. Jakob sagt: "6 Schüler*innen kommen mit dem Bus zur Schule". Amina drückt das anders aus und meint: "\(\frac{1}{4}\) unserer Klasse fährt mit dem Bus zur Schule." Jakob und Amina diskutieren, wer recht hat. Welche Aussage ist richtig?
Jakob und Amina haben beide recht. Sie beschreiben die Situation nur unterschiedlich. Jakob nennt den Bruchteil der Schüler*innen, der Bus fährt. Amina nennt den Anteil.
Wenn Verhältnisse beschrieben werden, werden dabei häufig Anteile, Bruchteile und das Ganze genutzt. Doch was bedeuten diese Begriffe überhaupt?
Bruchteil, Anteil, Ganzes – Begriffe
Im Einstiegsbeispiel sind die 24 Schüler*innen "das Ganze". Das kannst Du auch daran erkennen, dass die 24 alle Schüler*innen beinhaltet.
Grundsätzlich erkennst Du das Ganze immer daran, dass es Deine Gesamtmenge ist. Sie beinhaltet alle/s.
Stell Dir vor, Du backst einen Blechkuchen. Diesen teilst Du in 16 gleich große Stücke wie in Abbildung 1. Dann sind diese 16 Stücke das Ganze.
Abbildung 1: Blechkuchen mit 16 Stücken
Im Bezug auf das Ganze kannst Du nun sowohl einen Bruchteil als auch einen Anteil angeben.
Unterschied Bruchteil und Anteil
Vom Ganzen kannst Du Teile betrachten. Wenn Du eine bestimmte Menge des Ganzen wählst und diese angibst, ist das der Bruchteil.
Von den 16 Kuchenstücken nimmst Du 12 Stück mit in die Schule, um sie zu verteilen. Diese 12 von 16 sind dementsprechend Dein Bruchteil.
Abbildung 2: 12 Kuchenstücke als Bruchteil
Der Bruchteil beschreibt eine Menge. Deswegen kannst Du für ihn auch immer eine Einheit angeben. Im Beispiel ist die Einheit dann die Stücke.
Der Anteil hingegen beschreibt das Verhältnis vom Bruchteil zum Ganzen. Er ist keine Menge, sondern eine Verhältnisangabe. Häufig wird der Anteil als Bruch geschrieben.
Du hast 11 von 16 Kuchenstücken mit zur Schule genommen. Das sind \(\frac{11}{16}\). Der Anteil der Kuchenstücke, die Du mitgenommen hast, beträgt also \(\frac{11}{16}\).
Zusammengefasst sind in diesem Beispiel 16 das Ganze, 11 der Bruchteil und \(\frac{11}{16}\) der Anteil.
Anteile haben keine Einheit, da sie keine Menge, sondern ein Verhältnis beschreiben.
Bruchteil und Anteil erkennen
In der Alltagssprache werden die Begriffe Bruchteil und Anteil manchmal vermischt. In der Mathematik kannst Du sie aber gut daran unterscheiden, dass der Bruchteil eine Menge ist und der Anteil ein Verhältnis. Bruchteile haben Einheiten, Anteile nicht.
Auch wenn es von den Wörtern her verwirrend klingt, ist der Anteil meist ein Bruch. Der Bruchteil hingegen ist meist kein Bruch, sondern eine ganze Zahl oder eine Dezimalzahl.
Aufgabe 1
Die Gesamtstrecke beim Staffellauf in der Schule sind 400 Meter. Eine Läuferin läuft 100 Meter. Das ist der Gesamtstrecke.
Gib das Ganze, den Bruchteil und den Anteil an.
Lösung
Das Ganze sind die 400 Meter. Der Bruchteil ist 100 Meter. Der Anteil ist \(\frac{1}{4}\).
Visuell kannst Du Dir das zum Beispiel wie in Abbildung 3 vorstellen.
Abbildung 3: Laufstrecke als Ganzes, Bruchteil und Anteil
In Abbildung 3 kannst Du gut erkennen, dass der Anteil nicht bildlich oder als Menge dargestellt werden kann. Er ist immer ein Verhältnis und wird meist als Bruch angegeben.
Bruchteil und Anteil berechnen
Im vorherigen Abschnitt waren das Ganze, der Bruchteil und der Anteil bereits gegeben. Häufig ist es aber so, dass eine der drei Größen fehlt und Du sie berechnest. Auch dabei ist es als Erstes wichtig, dass Du den gegebenen Anteil oder Bruchteil erkennst und zuordnen kannst. Erst dann beginnst Du mit dem Rechnen.
Anteil vom Ganzen berechnen
Der Anteil beschreibt immer das Verhältnis vom Bruchteil zum Ganzen. Deswegen kannst Du den Anteil bestimmen, indem Du den Bruchteil durch das Ganze teilst.
Sind in einer Situation das Ganze und der Bruchteil gegeben, so berechnest Du den Anteil wie folgt:\[\text{Anteil}=\frac{\text{Bruchteil}}{\text{Ganzes}}\]
Den Bruch kürzt Du dann vollständig.
In der Erklärung zum Thema "Brüche kürzen" kannst Du nachlesen, wie Brüche gekürzt werden.
An dieser Formel kannst Du auch erkennen, dass der Anteil keine Einheit hat. Wenn Du Werte einsetzt, steht im Zähler und im Nenner je eine Zahl mit einer Einheit. Diese Einheit wird dann weggekürzt, da Du Einheit durch Einheit teilst. Für den Anteil erhältst Du dann ein Ergebnis als Zahl ohne Einheit.
Du kannst hier aber auch noch einmal gut sehen, dass der Anteil ein Bruch ist, da Du zwei Zahlen durcheinander teilst.
Merke Dir: Den Anteil kannst Du immer als Bruch ausdrücken. Oberhalb des Bruchstrichs im Zähler steht immer der Bruchteil. Im Nenner steht das Ganze. Zum Schluss kürzt Du den Bruch so weit wie möglich.
Auf einer Bonbontüte steht: 100 g Bonbons enthalten 70 g Zucker.
100 g sind das Ganze, 70 g sind der Bruchteil. Jetzt kannst Du den Anteil berechnen, indem Du den Bruchteil durch das Ganze teilst und erhältst einen Bruch:
\(\text{Anteil}=\frac{70g}{100g}=\frac{7}{10}\)
Jetzt weißt Du, dass der Zuckeranteil \(\frac{7}{10}\) beträgt.
Den Anteil kannst Du gut verwenden, um ein Verhältnis unabhängig von der Gesamtmenge anzugeben. Wenn Du zum Beispiel nur 15 g derselben Bonbons hättest, wäre der Zuckeranteil trotzdem noch \(\frac{7}{10}\).
Bruchteil vom Ganzen berechnen
Der Bruchteil gibt eine Menge an. Du kannst den Bruchteil berechnen, indem Du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.
Sind in einer Situation das Ganze und der Anteil gegeben, so berechnest Du den Bruchteil wie folgt:
\(\text{Bruchteil}=\text{Anteil}\cdot \text{Ganzes}\)
Erinnerst Du Dich in der Bruchrechnung an Aufgaben wie "\(\frac{3}{4} \text{ von } 2\,kg\)"? Das sind genau solche Aufgaben, in denen Du den Bruchteil berechnest.
In einem Sack sind 2 kg Kartoffeln. Dein Vater sagt Dir, dass Du \(\frac{3}{4}\) davon schälen sollst. Du fragst Dich, wie viel Kilogramm das sind.
Du möchtest also bestimmen, wie viel \(\frac{3}{4}\text{ von }2\,kg\) sind. Dazu rechnest Du:
\(\frac{3}{4}\cdot 2 \,kg= (3\cdot2\, kg ):4 = 1{,}5\,kg\)
Du sollst also 1,5 kg Kartoffeln schälen. 1,5 kg ist der Bruchteil.
Schaue Dir die Erklärung zum Thema "Brüche multiplizieren" an, wenn Du genauer wissen möchtest, wie Brüche multipliziert werden.
Auch hier hat der Bruchteil im Gegenteil zum Anteil eine Einheit, da Du das Ganze (eine Zahl mit Einheit) mit einem Bruch ohne Einheit multiplizierst.
Anteil gegeben - Das Ganze bestimmen
Manchmal gibt es auch Aufgaben oder Situationen, in denen sowohl der Anteil als auch der Bruchteil gegeben ist, aber nicht das Ganze. Zum Beispiel enthält die Aussage "\(\frac{1}{4}\) entsprechen 8 Schüler*innen" sowohl den Anteil als auch den Bruchteil. Das Ganze ist nicht gegeben, Du kannst es aber berechnen.
Sind in einer Situation der Anteil und der Bruchteil gegeben, so berechnest Du das Ganze wie folgt:\[\text{Ganzes} = \frac{\text{Bruchteil}}{\text{Anteil}}\]
Angewendet sieht die Rechnung dann so aus:
Die Lehrerin sagt: "\(\frac{1}{4}\) der Klasse, also 8 Schüler*innen, haben eine 2 geschrieben." Jetzt kannst Du berechnen, wie viele Schüler*innen insgesamt in der Klasse sind.\[\text{Ganzes}=\frac{8}{\frac{1}{4}}= 8\cdot \frac{4}{1} = \frac{32}{1} = 32\]
In der Klasse sind also 32 Schüler*innen.
Die Rechnung sieht etwas merkwürdig aus, da der Nenner des Bruches wieder ein Bruch ist. Das wird häufig vorkommen, wenn Du durch Anteile teilst. Du kannst Dich dann erinnern, dass Du durch einen Bruch teilst, indem Du mit dem Kehrwert multiplizierst. Bilde also den Kehrwert vom Nenner und multipliziere ihn mit dem Zähler.
Du kannst das Ganze auch ohne die Formel mithilfe eines Dreisatzes berechnen.
Vielleicht hast Du bereits Aussagen wie "8 Schülerinnen entsprechen \(\frac{1}{4}\)" gehört. Hier wird einem Bruchteil sein Anteil zugeordnet. Das ist eine gute Grundlage, um das Ganze mithilfe eines Dreisatzes zu berechnen.
8 Schülerinnen entsprechen \(\frac{1}{4}\) der Klasse. Die ganze Klasse entspricht dann also 1. Du überlegst Dir, wie Du von der \(\frac{1}{4}\) zur 1 kommst.
Abbildung 4: Das Ganze bestimmen mit dem Dreisatz
Du kannst \(\frac{1}{4}\cdot 4\) rechnen, um auf die 1 zu kommen. Deswegen rechnest Du auch \(8\cdot 4\), um das Ganze zu bestimmen.
In diesem Beispiel ist kein Zwischenschritt notwendig, um das Ganze mithilfe des Dreisatzes zu berechnen. Es könnte aber zum Beispiel auch sein, dass der Bruchteil 9 genau dem Anteil
\(\frac{2}{5}\) entspricht. Dann könntest Du zuerst ausrechnen, dass
\(\frac{1}{5}\) genau 4,5 sind, indem Du durch 2 teilst. In einem zweiten Schritt würdest Du dann
\(\frac{1}{5}\cdot 5\) und
\(4{,}5\cdot 5\) rechnen, um das Ganze zu bestimmen.
Bruchteil, Anteil und Prozentrechnung
Rechnen mit Bruchteilen und Anteilen ist eng verbunden mit dem Rechnen mit Prozenten. Wenn Du Prozentrechnung bereits in der Schule hattest, kannst Du die Gemeinsamkeiten erkennen.
In der Prozentrechnung hast Du einen Grundwert. Er ist die Ausgangsgröße und entspricht 100 %. Das ist wie das Ganze, wenn Du Anteile und Bruchteile berechnest.
Nun kannst Du einen anderen Prozentsatz, zum Beispiel 70 % betrachten. Der zugehörige Wert ist der Prozentwert. Den Prozentsatz könntest Du auch als Anteil auffassen. Dann ist der zugehörige Prozentwert genau der Bruchteil.\begin{align}\text{Prozentwert}&=\text{Prozentsatz}\cdot\text{Grundwert}\\\text{Bruchteil} &=\text{Anteil}\cdot\text{Ganzes}\end{align}
Du kannst sagen: "In meiner Klasse sind 25 Schüler*innen, das sind 100 % der Klasse." Dann sind die 25 Schüler*innen der Grundwert. Angenommen, \(20\%\) der Schüler*innen kommen mit dem Bus zur Schule. Dann sind diese \(20\%\) der Prozentsatz. Du kannst den Prozentwert ausrechnen, indem du den Prozentsatz in eine Dezimalzahl umrechnest und mit dem Grundwert multiplizierst. \begin{align}20\% &= 0{,}2\\0{,2}\cdot 25&=5\end{align}
5 Schüler*innen kommen mit dem Bus zur Schule. Das ist der Prozentwert zu den \(20\%\).
Du kannst aber auch Anteile und Bruchteile angeben. Weiterhin sind in der Klasse 25 Schüler*innen. \(\frac{1}{5}\) davon kommen mit dem Bus, das sind genau \(20\%\). Der Anteil ist also \(\frac{1}{5}\). Auch hier rechnest Du \(\frac{1}{5}\cdot 25 =5\), um die Anzahl an Schüler*innen auszurechnen. Die 5 Schüler*innen sind dann der Bruchteil.
Du kannst im Beispiel nicht nur erkennen, dass Du den Sachverhalt sowohl in Prozent als auch mit Anteil und Bruchteil ausdrücken kannst, sondern auch, dass die Rechnung identisch ist. Nur einmal wurde mit \(\frac{1}{5}\) multipliziert und einmal mit 0,2. Aber der Bruch \(\frac{1}{5}\) entspricht genau 0,2.
Bruchteil, Anteil, Ganzes – Übungen
Die folgenden Übungen kannst Du nutzen, um Bruchteile, Anteile und Ganzes zu erkennen und zu berechnen.
Aufgabe 2
Bei einem Jahrmarktstand sind von 700 Losen genau 140 Nieten. Berechne den Anteil der Nieten.
Lösung
Du kannst den Anteil bestimmen, indem Du den Bruchteil durch das Ganze teilst. Das Ganze sind 700 Lose, der Bruchteil sind die 140 Nieten. Du rechnest:\[\frac{140}{700}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\]
Der Anteil an Nieten beträgt \(\frac{1}{5}\).
Aufgabe 3
Auf einer Bonbonpackung steht: \(\frac{2}{5}\) Kirschgeschmack. In der Packung sind 60 Bonbons. Berechne, wie viele Bonbons nach Kirsche schmecken.
Lösung
Gesucht ist der Bruchteil der Bonbons, die nach Kirsche schmecken. Du berechnest den Bruchteil, indem du den Anteil mit dem Ganzen multiplizierst.
\[\frac{2}{5}\cdot 60 = 24\]
24 Bonbons in der Packung schmecken nach Kirsche. Das ist der gesuchte Bruchteil.
Aufgabe 4
Anton geht joggen. Nach 1,5 km hat Anton \(\frac{3}{8}\) der Strecke geschafft. Berechne, wie lang die Strecke ist.
Lösung
Gesucht ist das Ganze. Der Anteil und der Bruchteil sind gegeben. Du kannst das Ganze berechnen, indem Du den Bruchteil durch den Anteil teilst.\[\frac{1{,}5\,km}{\frac{3}{8}}=1{,}5\,km\cdot \frac{8}{3}=\frac{12}{3}\,km=4\,km\]
Die gesamte Strecke ist 4 km lang.
Bruchteil Anteil – Das Wichtigste
- Der Bruchteil gibt eine Teilmenge des Ganzen an.
- Der Anteil beschreibt das Verhältnis vom Bruchteil zum Ganzen.
- Bruchteile können eine Einheit haben, Anteile nicht.
- Mit den folgenden Formeln kannst Du den Anteil, den Bruchteil oder das Ganze berechnen:
- \(\text{Anteil} = \frac{\text{Bruchteil}}{\text{Ganzes}}\)
- \(\text{bruchteil} = {\text{Bruchteil}}\cdot{\text{Ganzes}}\)
- \(\text{Ganzes} = \frac{\text{Bruchteil}}{\text{Anteil}}\)
Nachweise
- Kielmann; Mallon et al. (2007). mathe live 6, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
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