Ganze Zahlen addieren

Algebra

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Das sind die ganzen Zahlen innerhalb der Milchstraße. Die kälteste Stelle im Universum hat eine Temperatur von $- 272 ° C$ , ein Beispiel für eine ganze Zahl.

ganze Zahlen Addieren Ganze Zahlen und Milchstraße StudySmarter Abbildung 1: Ganze Zahlen in der Milchstraße

Hier sind die ganzen Zahlen zu Besuch bei einem Fußball-Spiel in der Allianz-Arena. Ein Standard-Fußballfeld ist 105 Meter lang und 68 Meter breit; beides sind ganze Zahlen.

ganze Zahlen Addieren Ganze Zahlen und Allianz-Arena StudySmarter Abbildung 2: Ganze Zahlen bei der Allianz-Arena

Und hier flüchten die ganzen Zahlen vor einer mächtigen Milbe. Eine bestimmte Milbenart kann das 1.200-fache ihres eigenen Körpergewichts tragen, was sie zu einem der stärksten Tiere der Welt macht; erneut hast Du eine ganze Zahl.

ganze Zahlen Addieren Ganze Zahlen und eine Milbe StudySmarter Abbildung 3: Ganze Zahlen und eine Milbe

Von winzig bis zu enorm groß: überall triffst Du auf die ganzen Zahlen. Mit ihnen umgehen zu können, ist daher sehr wichtig.

In dieser Erklärung lernst Du, ganze Zahlen jeder Größe zu addieren.

Ganze Zahlen addieren – Einführung & Beispiele

Bevor es richtig losgeht, sollte Dir bewusst sein, was ganze Zahlen überhaupt sind.

Ganze Zahlen = Natürliche Zahlen + Negative Zahlen

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

Natürliche Zahlen

Mit den natürlichen Zahlen $ℕ = {0, 1, 2, 3, . . .}$ kannst Du zählen.

Gegenstände zählen

Schaue Dir die folgende Abbildung an. Wie viele Teller sind das?

ganze Zahlen Addieren Vier identische Gegenstände StudySmarter Abbildung 4: Vier identische Gegenstände

Dafür beginnst Du nacheinander, jedem Teller eine natürliche Zahl zuzuordnen.

Davon ausgenommen ist die Null. Die verwendest Du für die Zuordnung nicht.

Wenn Du das machst, wird die letzte natürliche Zahl die Zahl 4 sein. Also hast Du insgesamt 4 Teller im Bild.

Die natürlichen Zahlen habe eine große Einschränkung: Sie alle besitzen dasselbe Vorzeichen - sie sind größer oder gleich der Null.

Negative Zahlen

Das reicht für den Alltag nicht aus. Deshalb gibt es noch die negativen Zahlen.

Wenn es warm ist, dann hast Du positive Temperaturen wie $20 ° C$ oder $26 ° C$ . Je tiefer die Temperatur, umso kälter ist es.

Erreicht die Temperatur einen negativen Wert, zum Beispiel $- 2 ° C$ , weißt Du sofort, dass es draußen kalt ist.

Ob Du nun Schulden bei einem Freund hast oder die Temperaturen sehr tief sind, hierfür benötigst Du negative Zahlen.

Gemeinsam ergeben die natürlichen Zahlen und die negativen Zahlen die ganzen Zahlen:

Die Menge der ganzen Zahlen $ℤ$ setzt sich zusammen aus den natürlichen Zahlen $ℕ$ und den negativen Zahlen.

ℤ = {. . . - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Die negativen Zahlen sind kleiner 0 und enthalten ein Minus (-) ; Zahlen rechts der Null werden auch als positive Zahlen bezeichnet.

Die ganzen Zahlen kannst Du Dir mit der Zahlengeraden veranschaulichen (siehe Abbildung 5).

ganze Zahlen addieren Die Zahlengerade StudySmarter Abbildung 5: Die Zahlengerade

Ganze Zahlen addieren – Zahlengerade

Mit der Zahlengeraden kannst Du Dir das Addieren ganzer Zahlen veranschaulichen: Es ist wie eine Wanderung entlang der Zahlengeraden.

Konkrete Addition zweier ganzer Zahlen

Du wirst mit dieser Aufgabe konfrontiert:

$2 + 3$

Du startest an der Stelle der vorderen der beiden Zahlen, also an der Stelle der Zahl 2.

Das Pluszeichen gemeinsam mit der Zahl 3 teilen Dir jetzt Folgendes mit: Von der 2 aus gehe 3 Schritte nach rechts.

Nach der Wanderung erreichst Du eine weitere Stelle der Zahlengeraden. Dort angekommen, blickst Du nach unten, um die Beschriftung dieser Stelle zu erkennen: Es ist die Zahl 5 (siehe Abbildung 6).

ganze Zahlen Addieren Addition als Wanderung entlang Zahlengerade StudySmarter Abbildung 6: Die Addition zweier Zahlen als "Wanderung"

Damit hast Du also die Rechnung gelöst:

$2 + 3 = 5$

Was passiert, wenn Du stattdessen bei der Stelle der Zahl 3 beginnst und dann 2 Schritte nach rechts gehst? Du erreichst erneut dieselbe Stelle. Die Reihenfolge spielt also keine Rolle. In der Mathematik heißt es dann: Die Addition kommutativ ist.

Etwas allgemeiner formuliert: Bei der Addition und Subtraktion von zwei oder mehr Zahlen, darfst Du die Zahlen beliebig vertauschen und ihre Reihenfolge verändern, es kommt trotzdem das gleiche Ergebnis raus.

Das bedeutet: Für die Operation gilt das Kommutativgesetz. Mehr zum Kommutativgesetz findest Du in der eigenen Erklärung dazu.

Diese Wanderung funktioniert nicht nur für positive Zahlen, sondern auch für negative Zahlen. Du hast nur einen einzigen Unterschied: Bei negativen Zahlen gehst Du nach links und nicht nach rechts.

Addition mit negativer Zahl

Du hast die folgende Addition gegeben:

$2 + (- 3)$

Das ist dieselbe Addition wie im vorherigen Beispiel, nur hast Du dieses Mal nicht die positive Zahl 3, sondern die negative Zahl -3.

Wie vorhin startest Du bei der Stelle der Zahl 2. Das Minuszeichen teilt Dir nun mit, dass Du die 3 Schritte nicht nach rechts, sondern nach links machst.

Also wanderst Du drei Schritte nach links. Du wirst wieder an einer Stelle der Zahlengeraden gelangen. Erneut blickst Du nach unten und siehst: Das ist die Stelle der Zahl -1 (siehe Abbildung 7).

ganze Zahlen Addieren Addition als Wanderung entlang Zahlengerade StudySmarter Abbildung 7: Bei negativen Zahlen geht die Wanderung nach links

Das Ergebnis der Addition ist daher:

$2 + (- 3) = - 1$

Da die Addition kommutativ ist, hättest Du auch bei der Stelle der Zahl -3 beginnen können. Weil Du aber die positive Zahl 2 addierst, gehst Du von dort aus 2 Schritte nach rechts.

Du kannst auch die Klammer um die $- 3$ entfernen, indem Du Dich an folgende Rechenregel hältst:

$+ (-) = - oder + \cdot - = -$

Damit wird in diesem Fall aus der Addition $2 + (- 3)$ die Subtraktion $2 - 3$ .

Negative Zahlen addieren

Was denkst Du, wie die Situation für zwei negativen Zahlen ist? Du beginnst links von der Null und gehst weiter nach links.

Addition zweier negativer Zahlen

Verpasse auch der Zahl 2 ein Minuszeichen. Du hast jetzt also diese Addition:

$(- 2) + (- 3)$

Wie Du gelernt hast, kannst Du frei entscheiden, wo Du beginnst; etwa bei der Stelle der Zahl -2.

Wegen des Minuszeichens vor der Zahl 3 wirst Du aufgefordert, von Deiner aktuellen Stelle 3 Schritte nach links zu gehen (siehe Abbildung 8).

Ganze Zahlen addieren Addition zweier negativer Zahlen StudySmarter Abbildung 8: Additon (-2) + (-3) an der Zahlengeraden

An der neuen Stelle angekommen, blickst Du auf die Beschriftung: Es ist die Zahl -5.

Damit lautet das Ergebnis der Addition:

$(- 2) + (- 3) = - 5$

Wenn Du zwei ganze Zahlen addieren möchtest, egal, ob negativ oder positiv, denke an Wanderung: Positive Zahlen bedeuten eine Wanderung nach rechts; negative Zahlen eine Wanderung nach links.

Ganze Zahlen addieren – Beispiele zur schriftlichen Addition

Die bisherigen Beispiele beinhalteten nur die beiden Zahlen 2 und 3, mal mit und mal ohne Minuszeichen.

Bei größeren Zahlen kannst Du nach wie vor an eine Wanderung entlang der Zahlengeraden denken. Das konkrete Rechnen ist aber etwas anspruchsvoller.

Große ganze Zahlen

Zahlen ab der Zahl 10 und aufwärts sind selbst Ergebnisse der Addition.

Große Zahl als Addition

Hinter der Schreibweise 5423 steckt die Vereinbarung

$5423 = 5 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 1 .$

Die erste Stelle (von links) gibt Dir die Anzahl an Tausender, die zweite Stelle die Anzahl an Hunderter, die dritte Stelle die Anzahl an Zehnern und schließlich die vierte Stelle die Anzahl an Einer an.

Wenn Du jetzt ganze Zahlen addierst, kann es vorkommen, dass Du eine "höhere" Stelle erzeugst. Aus Einer werden plötzlich Zehner, oder aus Hunderter werden Tausender.

Aus Einer werden Zehner

Bei der Addition

$2 + 9$

beginnst Du bei der Stelle der Zahl 9. Du wirst von der 2 und dem Pluszeichen aufgefordert, von dort aus 2 Schritte nach rechts zu gehen.

Nach dem ersten Schritt bist Du bei 10, danach bist Du bei 11. Das Ergebnis ist also:

$2 + 9 = 11$

Auf der linken Seite hast Du nur Einer; auf der rechten Seite hingegen hast Du nun auch einen Zehner.

An diesen "Wechsel in eine höhere Stelle" musst Du Dich gewöhnen und darfst ihn auf keinen Fall vergessen. Besonders wichtig wird er beim schriftlichen Addieren.

Große ganze Zahlen schriftlich addieren

Bei der schriftlichen Addition ist der erste Schritt immer der folgende: Du nimmst die beiden Zahlen und schreibst sie übereinander.

Erster Schritt bei einer schriftlichen Addition

Du hast die beiden Zahlen $235$ und $147$ , die Du addieren möchtest. Zunächst schreibst Du die beiden Zahlen folgendermaßen übereinander:

ganze Zahlen addieren schriftliche Addition StudySmarter Abbildung 9: Erster Schritt bei der schriftlichen Addition

Von rechts nach links haben die Stellen ihren eigenen Namen: Ganz rechts hast Du die Einerstelle, dann kommt die Zehnerstelle in der Mitte und schließlich die Hunderterstelle.

Nachdem Du diesen ersten Schritt gemacht hast, geht das eigentliche Rechnen los.

Zwei große Zahlen schriftlich addieren

Du hast die Addition

$235 + 147 .$

Für die schriftliche Addition schreibst Du die beiden Zahlen übereinander, sodass sich die entsprechenden Stellen direkt gegenüber befinden (Einer über Einer, Zehner über Zehner, usw.):

$\begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ + & 1 & 4 & 7 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8 & 2 \end{matrix}$

Du beginnst ganz rechts und addierst zunächst die Einerstellen. Direkt darunter notierst Du Dir aber nur die Einerstelle (also die hinterste Zahl) des Ergebnisses dieser Addition. Das heißt, Du hast:

$\begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ + & 1 & 4 & 7 \end{matrix} \begin{matrix} 5 + 7 = 12 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8 & 2 \end{matrix}$

Um nicht zu vergessen, dass die beiden Einerstellen eine Zehnerstelle erzeugt haben, schreibst Du eine kleine 1 direkt neben der 4:

$\begin{matrix} 2 & 3_{1} & 5 \\ + & 1 & 4_{1} & 7 \end{matrix} \begin{matrix} 5 + 7 = 12 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8_{1} & 2 \end{matrix}$

Wenn Du jetzt die Zehnerstellen addierst, wirkt diese kleine 1 wie eine extra Zehnerstelle. Die Summe von 3 und 4 ist 7, wegen der kleinen 1 wird das aber zu einer 8:

$\begin{matrix} 2 & 3_{1} & 5 \\ + & 1 & 4_{1} & 7 \end{matrix} \begin{matrix} 3 + 4 + 1 = 8 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8_{1} & 2 \end{matrix}$

Auch die 8 schreibst Du an und machst direkt mit der Hunderterstelle weiter:

$\begin{matrix} 2 & 3_{1} & 5 \\ + & 1 & 4_{1} & 7 \end{matrix} \begin{matrix} 2 + 1 = 3 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8_{1} & 2 \end{matrix}$

Wenn Du das per Hand machst, hast Du am Ende nur den Teil

$\begin{matrix} 2 & 3_{1} & 5 \\ + & 1 & 4_{1} & 7 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8_{1} & 2 \end{matrix}$

Das ist eine sehr kompakte Art, größere Zahlen zu addieren.

Ganze Zahlen mit Bruch addieren

Die ganzen Zahlen kannst Du auch zu anderen Zahlen addieren. So etwa kannst Du eine ganze Zahl mit einem Bruch addieren.

Zur Addition von Brüchen gibt es eine ausführliche Erklärung mit vielen Beispielen. Schaue also auf jeden Fall auch dort vorbei.

Dafür musst Du die ganze Zahl zunächst als Bruch schreiben.

Ganze Zahl als Bruch

Du hast die ganze Zahl 7 gegeben. Um sie als Bruch zu schreiben, nimmst Du die 7 und packst sie in den Zähler eines Bruches:

$\frac{7}{}$

Der Nenner dieses Bruches ist die Zahl 1:

$\frac{7}{1}$

Es gilt also die Gleichheit:

$7 = \frac{7}{1}$

Wenn Du das gemacht hast, kannst Du nun die Addition durchführen, indem Du die Brüche auf einen Hauptnenner bringst.

Damit ist der erste Schritt getan. Der zweite Schritt ist das Subtrahieren ganzer Zahlen. Eine Erklärung mit vielen Beispielen wartet bereits auf Dich.

Ganze Zahlen addieren – Aufgaben

Alles, was Du zum Lösen der Aufgaben brauchst, findest Du in der Erklärung. Wenn Du also nicht weiterkommst, werfe noch einmal einen Blick auf den entsprechenden Teil innerhalb der Erklärung.

Ganze Zahlen addieren – Aufgabe 1

Betrachte die folgende Addition

$4 + 5 .$

a) Was bedeutet die Aussage: Die Addition ist kommutativ?

b) Wie kannst Du Dir die Addition mit der Zahlengeraden veranschaulichen?

c) Wie lautet das Ergebnis der Addition?

Lösung

Zu a)

Da die Addition kommutativ ist, spielt die Reihenfolge keine Rolle. Das heißt, es gilt die Gleichheit

$4 + 5 = 5 + 4 .$

Zu b)

Bei der Addition wirst Du bildlich zu einer Wanderung aufgefordert: Du beginnst bei der Stelle der Zahl 4 und gehst 5 Schritte nach rechts (siehe Abbildung 10).

ganze Zahlen Addieren Addition als Wanderung entlang Zahlengerade StudySmarter Abbildung 10: Addition 4 + 5 an der Zahlengeraden

Weil die Addition kommutativ ist, kannst Du stattdessen auch bei der Stelle der Zahl 5 anfangen und 4 Schritte nach rechts gehen.

Zu c)

Beginnst Du bei der Stelle der Zahl 4 und gehst Du 5 Schritte nach rechts, so erreichst Du die Stelle der Zahl 9. Das Ergebnis der Addition lautet daher:

$4 + 5 = 9$

Ganze Zahlen addieren – Aufgabe 2

Bausteine aller Materie (etwa die Sterne der Milchstraße, der Ball bei einem Fußball-Spiel oder eine Milbe) sind insbesondere Elektronen und Protonen. Elektronen haben eine elektrische Ladung von -1 und Protonen eine elektrische Ladung von +1.

Keine Sorge, wenn Du nicht weißt, was elektrische Ladung ist. Hier ist nur wichtig: Sowohl beim Elektron als auch beim Proton handelt es sich um eine ganze Zahl.

Du hast nun einen Behälter mit 3 Elektronen und 2 Protonen. Welche elektrische Ladung besitzt dieser Behälter?

Lösung

Jedes Elektron hat eine negative Ladung von -1. Damit haben 3 Elektronen eine elektrische Ladung von

$(- 1) + (- 1) + (- 1) = - 3 .$

Bei 2 Protonen hast Du hingegen eine elektrische Ladung von

$1 + 1 = 2 .$

Jetzt brauchst Du nur noch diese beiden Zahlen zu addieren. Das Ergebnis ist also

$2 + (- 3) = - 1 .$

Kommt Dir diese Rechnung bekannt vor? Hinweis: Schaue Dir den Abschnitt "Ganze Zahlen addieren - Zahlengerade" an.

Ganze Zahlen addieren – Das Wichtigste

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.
Die Addition ganzer Zahlen kannst Du Dir wie eine Wanderung entlang der Zahlengeraden vorstellen:
- Bei positiven Zahlen gehst Du nach rechts;
- Bei negativen Zahlen gehst Du nach links.
Du kannst große Zahlen mit Hilfe der schriftlichen Addition miteinander addieren.
Du kannst eine ganze Zahl mit einem Bruch addieren, indem Du die ganze Zahl in einen Bruch umwandelst.
Um eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibst Du die ganze Zahl als Zähler eines Bruches mit dem Nenner 1.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ganze Zahlen addieren

Die Addition ganzer Zahlen kannst Du Dir wie eine Wanderung entlang der Zahlengeraden vorstellen. Für größere Zahlen gibt es die schriftliche Addition.

Die Addition zweier ganzer Zahlen ist wie eine Aufforderung zur Wanderung entlang der Zahlengeraden: Du beginnst bei einer der beiden Zahlen und wanderst dann nach rechts (wenn die zweite Zahl positiv ist) oder nach links (wenn die zweite Zahl negativ ist).

Zunächst wandelst Du die ganze Zahl in einen Bruch um. Anschließend bringst Du die beiden Brüche auf einen Hauptnenner und addierst die Zähler.

Negative Zahlen werden wie positive Zahlen addiert. Im Bild der Zahlengeraden geht es aber ausschließlich nach links. Wenn Du Dich an die Regel "+ (-) = -" erinnerst, kannst Du aus der Addition auch eine Subtraktion machen.

Karteikarten in Ganze Zahlen addieren7 Lerne jetzt

In eigenen Worten: Was sind die ganzen Zahlen?

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.

Welche der folgenden Zahlen sind natürliche Zahlen?

Was kannst Du mit den natürlichen Zahlen machen?

Die natürlichen Zahlen werden hauptsächlich zum Zählen verwendet.

Nenne Alltags-Beispiele, bei denen die natürlichen Zahlen nicht mehr ausreichen.

Zu den Alltags-Beispielen gehören Geld (wenn Du etwa Schulden hast) oder Temperaturen (wenn es etwa sehr kalt ist). In beiden Fällen brauchst Du die ganze Zahlen.

Wie kannst Du Dir die Addition mit Hilfe der Zahlengeraden veranschaulichen?

Die Addition zweier Zahlen ist wie eine Wanderung entlang der Zahlengeraden: Du beginnst bei einer der beiden Zahlen und gehst von dort aus nach rechts (wenn die zweite Zahl positiv ist) oder nach links (wenn die zweite Zahl negativ ist).

Was bedeutet die Aussagen: Für die Addition gilt das Kommutativgesetz?

Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge Du die Zahlen addierst.

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