Integral

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Neben der Differentialrechnung ist die Integralrechnung das wichtigste Thema in der Analysis in der Mathematik. Sie entstand aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung.


Das Integral ist ein Oberbegriff für das bestimmte Integral und das unbestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen wird Integration genannt.


In den folgenden Abschnitten gehen wir nochmal die Grundlagen der Integralrechnung durch und erklären dir dabei die wichtigsten Themen zum Integral.



Integralfunktion 


Die Integralfunktion folgt einem bestimmten Aufbau:

Dabei ist a die untere Grenze, x ist die obere Grenze und g(t) ist eine weitere Funktion.


Die Integralfunktion bestimmt eine Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse zwischen den beiden Grenzen x und a. Außerdem ist die Integralfunktion auch gleichzeitig die Stammfunktion von g an der Stelle, wo x = a.




Uneigentliche Integrale 


Das uneigentliche Integral, auch unbestimmtes Integral genannt, beschreibt die Fläche zwischen einer Kurve, die ins Unendliche geht und der x-Achse:

 Quelle: Abiturma.de


Zur Berechnung musst du die rechte Grenze bestimmen und dann einen Term für den Flächeninhalt dieser Fläche aufstellen. Mehr dazu in unserem Artikel.



Bestimmtes Integral 


Im Gegensatz zu unbestimmten Integralen, welche die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x) + C einer Funktion f(x) darstellt, sind beim bestimmten Integral die Integrationsgrenzen angegeben. Mithilfe des bestimmten Integrals kannst du die Flächen zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse berechnen.


So ist die allgemeine Schreibweise für bestimmte Integrale:


a = obere Grenze

b = untere Grenze


Um das bestimmte Integral zu berechnen musst du zuerst die Stammfunktion bestimmen. Dann kannst du das Integral berechnen. In unserem Artikel über bestimmte Integrale findest du Beispiele und Rechenschritte zur Berechnung des bestimmten Integrals.




Stammfunktion bilden 


Wie du bereits wissen solltest leitest du ab, um die Ableitung von f(x), als f’(x) zu erhalten. Um die Stammfunktion von f(x) zu erhalten musst du genau das Gegenteil machen: "aufleiten". So erhältst du dann die Stammfunktion F(x).


In der Fachsprache heißt aufleiten auch integrieren.

Die allgemeine Stammfunktion sieht so aus: F(x) = F(x) +C


Im Artikel über Stammfunktionen gibt es eine Tabelle von den wichtigsten Stammfunktionen, die dir das Berechnen erleichtern werden.



Partielle Integration 


Die partielle Integration ist ein schwierigeres Thema der Integration. Bei der Integration gibt es zu jeder Funktion eine bestimmte Regel zur Ableitung. In diesem Fall ist bei der partiellen Integration die Produktregel anzuwenden. 


Dabei wird die partielle Integration verwendet, um Funktionen zu integrieren, die aus zwei oder mehreren Faktoren besteht. Ein anderer Name für die partielle Integration ist die Produktintegration. Die Definition für die partielle Integration sei:



Es ist wichtig vorher zu entscheiden, welcher Faktor f(x) und welcher g(x) sein soll. Wie du die richtige Wahl triffst und wie du es anhand von Beispielen berechnen kannst, erfährst du in unserem Artikel zur partiellen Integration.



Integration durch Substitution 


Die Substitution in der Integralrechnung tust du mit dieser Substitutionsregel:



Ähnlich wie bei der Ableitung von verketteten Funktionen, wo die Kettenregel angewendet wird, wenden wir bei der Integration die Substitutionsregel an. In unserem Artikel Integration durch Substitution erklären wir dir anhand von Beispielen Schritt für Schritt, wie die Substitution abläuft.



Integral - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Die Integralfunktion sieht aus wie folgt:
  • Das unbestimmtes Integral beschreibt die Fläche zwischen einer Kurve, die ins Unendliche geht und der x-Achse, sie stellen also die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x) + C einer Funktion f(x) dar
  • Ein bestimmtes Integral wird so dargestellt:
  • Die Definition der partiellen Integration ist:
  • Die Definition der Integration durch Substitution ist:


Gut gemacht! Nachdem du alles durchgelesen hast, solltest du nun alles über Integrale wissen:) Weiter so!


Finales Integral Quiz

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=x^(3)+x*sin(x) mit U(x)=∫(u(x))dx=a*x^4-x*cos(x)+sin(x)+a
Es sei 0<a<0,5

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Antwort

a=0,25=(1/4)

Frage anzeigen

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=(1/4)*x*(x+e^(x))
U(x)=∫(u(x))dx=(1/3)*q*x^(3)+q*x*e^(x)-q*e^(x)+C
mit 0<q<0,5

Antwort anzeigen

Antwort

q=0,25=(1/4)

Frage anzeigen

Frage

∫(x*(1+x)^(3))dx

Hinweis: Nicht jede Multiplikation aus Integrationsgliedern bedarf partieller Integration, auch wenn es naheliegend scheint und möglich ist, ist es nicht automatisch der sinnvollste Weg!

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Antwort

(1/20)*(x+1)^(4)*(4*x-1)+C

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche, die zwischen den Graphen der Funktion f und g eingeschlossen wird!


  1. f(x) = 3x²
  2. g(x) = x + 2
Antwort anzeigen

Antwort

2,31 FE

Frage anzeigen

Frage

Berechnen Sie die Fläche zwischen der Funktion f(x) und g(x)! 


f(x)=5x²+2x+1 

g(x)=x+2

Antwort anzeigen

Antwort

0,64 Flächeneinheiten

Frage anzeigen

Frage

Berechnen Sie die Fläche zwischen der Funktion f(x) und g(x)! 


f(x)=4x²

g(x)=x²-10

Antwort anzeigen

Antwort

0 Flächeneinheiten

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Flächeninhalt zwischen einem Graph und der x-Achse berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Zur Berechnung des Inhalts der vom Graphen der Funktion f und der

x-Achse im Intervall [a; b] eingeschlossenen Fläche muss in diesem

Bereich über f(x) integriert werden.

Dabei müssen die Teilflächen ober- und unterhalb der x-Achse getrennt betrachtet werden.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnet?

Antwort anzeigen

Antwort

Zur Berechnung des Inhalts der von den Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall [a; b] eingeschlossenen Fläche muss über die Differenz von f(x) und g(x) integriert werden. Dabei ist es egal, ob die eingeschlossene Fläche ober- bzw. unterhalb der x-Achse liegt, allerdings

müssen hier die Teilflächen zwischen den Schnittstellen der beiden Graphen getrennt betrachtet werden.

Frage anzeigen

Frage

Die Gerade x=a schneidet f(x) in F und die Funktion g(x)=(x-1)² in G. Bestimmen Sie a so, dass die Streckenlänge FG ein Maximum annimmt. f(x) ist ein Polynom 3. Grades und hat einen Hochpunkt bei H(0;3) und einen Tiefpunkt bei T(3;0).

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Antwort

k=10,53

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Stammfunktion von 1?

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Antwort

x

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Stammfunktion von 1/x?

Antwort anzeigen

Antwort

ln x

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Stammfunktion von sin x?

Antwort anzeigen

Antwort

-cos x

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Stammfunktion von cos x?

Antwort anzeigen

Antwort

sin x

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Stammfunktion von e^x?

Antwort anzeigen

Antwort

e^x

Frage anzeigen

Frage

Wie geht man bei der Berechnung einer Fläche zwischen Graph und x-Achse vor, wenn der Graph sowohl über als auch unter der x-Achse verläuft?

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Antwort

1. Schritt: Bestimmung der Nullstellen im Intervall [a; b]
2. Schritt: Untersuchung, welches Vorzeichen f (x) in den einzelnen Teilintervallen hat
3. Schritt: Bestimmung der Inhalte der Teilflächen und Addition dieser Werte

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 4x^3 + x - 5

g(x) = 2x^2 + 2x + 2

h(x) = -3x^3 + x


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^3 + 2x^2 + 3x - 3

b. -3x^3 + 2x^2 + 3x + 2

c. x^3 + 2x - 5

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = x^3 + 5x - 10

g(x) = -x^2 + 3x + 5

h(x) = 3x^3 + 3x


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. x^3 - x^2 + 8x - 5

b. 3x^3 - x^2 + 6x + 5

c. 4x^3 + 8x - 10

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^3  - 12

g(x) = -2x^2 + x + 12

h(x) = x^3 + 3x + 5


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^3 - 2x^2 + x 

b. x^3 - 2x^2 + 4x + 17

c. 3x^3 + 3x - 7

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 12x^3  - 12

g(x) = -5x^2 + 5x + 2

h(x) = 2x^3 - 3x + 5


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 12x^3 - 5x^2 + 5x - 10

b. 2x^3 - 5x^2 + 2x + 7

c. 14x^3 - 3x - 7

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 11x^3  - 2x + 3

g(x) = 3x^2 + 5x + 4

h(x) = x^3 - 5x + 7


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 11x^3 + 3x^2 + 3x + 7

b. x^3 + 3x^2 + 11

c. 12x^3 - 7x + 10

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -4x^3  - 2x + 7

g(x) = 2x^2 + x + 14

h(x) = 2x^3 - 3x + 8


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -4x^3 + 2x^2 - x + 21

b. 2x^3 + 2x^2 - 2x + 22

c. -2x^3 - 5x + 15

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -7x^3  - 5x + 11

g(x) = 5x^2 + 3x + 4

h(x) = 6x^3 - 5x + 6


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -7x^3 + 5x^2 - 2x + 15

b. 6x^3 + 5x^2 - 2x + 10

c. -x^3 - 10x + 17

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -3x^3  - 6x + 8

g(x) = 6x^2 + 13x + 17

h(x) = 16x^3 - 3x + 16


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^3 + 6x^2 + 7x + 25

b. 16x^3 + 6x^2 + 10x + 33

c. 13x^3 - 9x + 24

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -x^3  + 5x + 18

g(x) = 8x^2 + 6x + 7

h(x) = 8x^3 - 10x + 6


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -x^3 + 8x^2 + 11x + 25

b. 8x^3 + 8x^2 - 4x + 13

c. 7x^3 - 5x + 24

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = -6x^3 + 5x - 15

g(x) = -x^2 + x + 12

h(x) = 4x^3 + 5x + 8


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -6x^3 - x^2 + 6x - 3

b. 4x^3 - x^2 + 6x + 20

c. -2x^3 + 10x - 7

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Summe der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^3 + x - 13

g(x) = -3x^2 + 5x + 16

h(x) = -3x^3 + 3x + 9


a. f(x) + g(x)

b. g(x) + h(x)

c. h(x) + f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^3 - 3x^2 + 6x + 3

b. -3x^3 - 3x^2 + 8x + 25

c. -x^3 + 4x - 4

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 - x) * (3x + x^2)

b. (x^3 - 2x^2) * (1 + 3x)

c. (2 - 2x) * (x^2 - 3x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^4 + 5x^3 - 3x^2

b. 3x^4 - 5x^3 - 2x^2

c. -2x^3 + 8x^2 - 6x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (x^2 + 2x) * (2x + x^2)

b. (3x^3 - x^2) * (3 + 3x)

c. (2 - x) * (3x^2 - 2x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. x^4 + 4x^3 + 4x^2 

b. 9x^4 + 6x^3 - 3x^2

c. -3x^2 + 8x^2 - 4x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 + 4x) * (x + 3x^2)

b. (4x^3 - x^2) * (3 + 4x)

c. (5 - x) * (5x^2 - 2x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 6x^4 + 14x^3 + 4x^2

b. 16x^4 + 8x^3 - 3x^2

c. -5x^3 + 27x^2 - 10x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 + x) * (x + x^2)

b. (x^3 - x^2) * (2 + 4x)

c. (2 - x) * (x^2 - 3x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^4 + 3x^3 + x^2

b. 4x^4 - 2x^3 - 2x^2

c. -x^3 + 5x^2 - 6x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 + 2x) * (2x + x^2)

b. (2x^3 - 2x^2) * (2 + 2x)

c. (2 - x) * (2x^2 - 3x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^4 + 6x^3 + 4x^2

b. 4x^4 - 4x^2

c. -2x^3 + 7x^2 - 6x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (3x^2 + 2x) * (3x + x^2)

b. (3x^3 - 3x^2) * (3 + 3x)

c. (3 - x) * (2x^2 - 3x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 3x^4 + 11x^3 + 6x^2

b. 9x^4 - 9x^2

c. -2x^3 + 9x^2 - 9x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 + 2x) * (x + x^2)

b. (3x^3 - 2x^2) * (2 + 3x)

c. (3 - x) * (x^2 - 3x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 2x^4 + 4x^3 + 2x^2

b. 9x^4 - 4x^2

c. -x^3 + 6x^2 - 9x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 + 4x) * (x + 4x^2)

b. (3x^3 - 4x^2) * (4 + 3x)

c. (2 - x) * (4x^2 - 3x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 8x^4 + 18x^3 + 4x^2

b. 9x^4 - 16x^2

c. -4x^3 + 11x^2 - 6x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (x^2 + 4x) * (5x + 4x^2)

b. (5x^3 - 4x^2) * (4 + 5x)

c. (5 - x) * (4x^2 - x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^4 + 21x^3 + 20x^2

b. 25x^4 - 16x^2

c. -4x^3 + 21x^2 - 5x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (x^2 + 2x) * (x + 4x^2)

b. (7x^3 - 4x^2) * (4 + 7x)

c. (5 - 2x) * (-2x^2 - x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^4 + 9x^3 + 2x^2

b. 49x^4 - 16x^2

c. 4x^3 - 8x^2 - 5x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 + 2x) * (-x + 4x^2)

b. (7x^3 - 3x^2) * (3 + 7x)

c. (4 - 2x) * (-x^2 - 2x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 8x^4 + 6x^3 - 2x^2

b. 49x^4 - 9x^2

c. 2x^3 - 8x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die folgenden Aufgaben


a. (2x^2 + 3x) * (-x + 3x^2)

b. (7x^3 - x^2) * (1 + 7x)

c. (1 - 2x) * (-3x^2 - x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 6x^4 + 4x^3 - 3x^2

b. 49x^4 - x^2

c. 6x^3 - x^2 - x

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 2x^2 + 2x -1

g(x) = 2x^2 + x + 1

h(x) = x^2 + 3x + 2


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. x - 2

b. x^2 - 2x - 1

c. -x^2 + x + 3

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = -2x^2 + 4x -1

g(x) = 4x^2 + x + 4

h(x) = 2x^2 + 4x + 2


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -6x^2 + 3x - 5

b. 2x^2 - 3x + 2

c. 4x^2 + 3

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = -x^2 + 4x - 4

g(x) = 4x^2 + 2x + 3

h(x) = 3x^2 + 4x + 1


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -5x^2 + 2x - 7

b. x^2 - 2x + 2

c. 4x^2 + 5

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = -2x^2 + x - 2

g(x) = 4x^2 + x + 2

h(x) = x^2 + 2x + 1


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -6x^2 - 4

b. 3x^2 - x + 1

c. 3x^2 + x + 3

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 3x^2 + 2x - 2

g(x) = 4x^2 + 3x + 2

h(x) = 2x^2 + 2x + 3


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -x^2 - x - 4

b. 2x^2 + x - 1

c. -x^2 + 5

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = x^2 + 2x - 2

g(x) = 2x^2 + x + 2

h(x) = 2x^2 + 2x + 1


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -x^2 + x - 4

b. -x + 1

c. x^2 + 3

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 3x^2 - x - 3

g(x) = 4x^2 + x - 1

h(x) = -x^2 + 3x + 3


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -x^2 - 2x - 2

b. 5x^2 - 2x - 4

c. - 4x^2 + 4x + 6

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = x^2 - x - 5

g(x) = 4x^2 + x - 1

h(x) = -5x^2 + 2x + 3


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^2 - 2x - 4

b. 9x^2 - x - 4

c. - 6x^2 + 3x + 8

Frage anzeigen

Frage

Nerechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = x^2 - 4x - 5

g(x) = 4x^2 + 5x - 1

h(x) = -5x^2 + 2x + 4


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. -3x^2 - 9x - 4

b. 9x^2 + 3x - 5

c. -6x^2 + 6x + 9

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 4x^2 - 3x - 2

g(x) = 3x^2 + 2x - 4

h(x) = -2x^2 + 4x + 3


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. x^2 - 5x + 2

b. 5x^2 - 2x - 7

c. -6x^2 + 7x + 5

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 5x^2 - x - 2

g(x) = x^2 + 2x - 5

h(x) = -2x^2 + 5x + 1


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^2 - 3x + 3

b. 3x^2 - 3x - 6

c. - 7x^2 + 6x + 3

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Differenz der folgenden Funktionen.


f(x) = 6x^2 - 2x - 2

g(x) = 2x^2 + 2x - 6

h(x) = -2x^2 + 6x + 2


a. f(x) - g(x)

b. g(x) - h(x)

c. h(x) - f(x)

Antwort anzeigen

Antwort

a. 4x^2 - 4x + 4

b. 4x^2 - 4x - 8

c. -8x^2 + 8x + 4

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