Schnittpunkte berechnen Parabel und Gerade

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Was haben Geraden und Parabeln gemeinsam? Sie sind Funktionsgraphen von Funktionen ersten beziehungsweise zweiten Grades. Zudem können Parabeln und Geraden sich schneiden und haben somit Schnittpunkte gemeinsam!

Grundlagenwissen: Schnittpunkte von Parabel und Gerade

Parabeln sind in der Mathematik Funktionen zweiten Grades. Grafisch kannst Du Dir diese u-förmig bzw. n-förmig vorstellen. Diese Funktionen finden in der Mathematik häufig Anwendung bei Sachaufgaben, wenn beispielsweise die Länge eines Brückenbogens oder die Höhe einer Welle ausgerechnet werden muss.

Eine Funktion zweiten Grades ist von folgender Form:

$f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$

wobei $a, b, c \in ℝ$ .

Das Zeichen nach den drei Variablen bedeutet, dass a, b und c reelle Zahlen sind.

Vielleicht erinnerst Du Dich noch, dass a den Streckungsfaktor darstellt, b die Verschiebung in Richtung x und entlang der y-Achse und c die Verschiebung in Richtung der y-Achse.

Im Folgenden schauen wir uns den Verlauf einer Parabel an. In diesem Fall die Funktion:

$f (x) = 3 x^{2} - 3 x + 2$

Im Koordinatensystem sieht diese dann so aus:

Schnittpunkte berechnen Parabel und Gerade Funktion im Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 1: Parabel mit Scheitelpunkt

Hierfür ist die pq-Formel wichtig. Wir wollen diese hier noch einmal kurz wiederholen.

Falls Du damit aber noch Schwierigkeiten haben solltest, dann schaue Dir doch den Artikel "pq-Formel" im Kapitel "Nullstellen quadratischer Funktionen" an.

Die pq-Formel dient zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion. In der Berechnung der Schnittpunkte von einer Parabel mit einer Geraden werden wir diese Formel brauchen.

In Formelschreibweise sieht die pq-Formel so aus:

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Die quadratische Gleichung sieht so aus:

$x^{2} + p x + q = 0$

Nun wollen wir diese Formel an einem Beispiel anwenden:

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung, die gelöst werden soll.

$2 x^{2} + 8 x - 24 = 0$

Zuerst normieren wir diese Gleichung, das heißt, vor dem $x^{2}$ darf nichts mehr stehen. In unserem Fall teilen wir durch 2.

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Danach bestimmst Du p und q und setzt die beiden Werte auch schon in die Gleichung ein.

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - (- 12)} \\ x_{1, 2} & = & - 2 \pm \sqrt{2^{2} + 12} \\ x_{1, 2} & = & - 2 \pm \sqrt{4 + 12} \\ x_{1, 2} & = & - 2 \pm \sqrt{16} \\ x_{1, 2} & = & - 2 \pm 4 \\ x_{1} & = & 2 \\ x_{2} & = & - 6 \end{array}$

Es kann aber auch sein, dass Du in der Schule bisher nur die Mitternachtsformel zur Berechnung der Lösungen quadratischer Gleichungen behandelt hast. Daher gehen wir auch auf diese noch etwas genauer ein.

Mit der Mitternachtsformel $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form $0 = a x^{2} + b x + c$ bestimmt werden.

Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

Hier nehmen wir uns das gleiche Beispiel von oben und überprüfen nun, ob die errechneten Lösungen auch wirklich richtig sind.

$2 x^{2} + 8 x - 24 = 0 a = 2 b = 8 c = - 24$

Nachdem wir die Variablen bestimmt haben, setzen wir diese auch schon in die Mitternachtsformel ein:

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 2} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - (- 192)}}{4} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{4} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{4} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm \sqrt{256}}{4} \\ x_{1, 2} & = & \frac{- 8 \pm 16}{4} \\ x_{1} & = & 2 \\ x_{2} & = & - 6 \end{array}$

Rückblick: Geraden

Was sind überhaupt Geraden und wie können wir damit rechnen? Geraden sind in der Mathematik lineare Funktionen bzw. Funktionen ersten Grades. Im Koordinatensystem verläuft eine Gerade wie eine Linie, die Du mit dem Lineal zeichnen kannst.

Eine lineare Funktion ist von der Form:

$f (x) = m \cdot x + n$

wobei $m, n \in ℝ$ .

Man bezeichnet m auch als die Steigung der linearen Funktion. n ist der Funktionswert des Schnittpunkts der Funktion mit der y-Achse. Wenn m positiv ist, dann steigt die Funktion und umgekehrt, wenn m negativ ist, dann fällt die Funktion.

Auch hierzu siehst Du den Verlauf einer linearen Funktion im Koordinatensystem. Dazu betrachten wir die Funktion:

$f (x) = 2 x$

Im Koordinatensystem sieht diese dann so aus:

Schnittpunkte Parabel Gerade lineare Funktion Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 2: Eine lineare Funktion im Koordinatensystem

Mögliche Schnittpunkte von Parabeln und Geraden

Doch in welcher Beziehung können eine Parabel und eine Gerade zueinander stehen?

Es ist möglich, dass sich die beiden Funktionstypen gar nicht, einmal oder sogar zweimal schneiden.

Es gibt also mehrere Möglichkeiten, die wir nun übersichtlich nach der Anzahl der Schnittpunkte sortieren wollen:

Anzahl Schnittpunkte	Abbildung
kein Schnittpunkt	Abbildung 3: Eine Gerade und eine Parabel, die keinen gemeinsamen Punkt teilen
ein Schnittpunkt	Abbildung 4: Eine Gerade und eine Parabel mit einem gemeinsamen Punkt
zwei Schnittpunkte	Abbildung 5: Eine Gerade und eine Parabel mit zwei gemeinsamen Punkten

Schnittpunkte von Parabel und Gerade berechnen

Damit Du zur Bestimmung der Schnittpunkte die Parabel und Gerade nicht immer zeichnen musst, zeigen wir Dir ein Verfahren, dass Du zur Berechnung der Schnittpunkte anwenden kannst.

Im Schnittpunkt haben beide Funktionen den gleichen x- und y-Wert.

Da Funktionsgleichungen immer in Abhängigkeit von y geschrieben sind, können wir die Funktionsgleichungen der beiden gegebenen Funktionen gleichsetzen und die so entstandene Gleichung nach x auflösen.

Bekommst Du keine Lösung für x, so schneiden sich die Gerade und Parabel nicht.
Bekommst Du eine Lösung für x, so schneiden sich die Gerade und Parabel in nur in einem Punkt.
Bekommst Du zwei Lösungen für x, so schneiden sich die Gerade und Parabel in zwei Punkten.

Setzt man die ermittelten x-Werte dann in eine der beiden ursprünglichen Funktionsgleichungen ein, so erhält man die y-Werte der Schnittpunkte.

Dieses Vorgehen schauen wir uns jetzt konkret an. Im Folgenden haben wir uns auf die Berechnung der Schnittpunkte mit der pq-Formel begrenzt. Falls du die allgemeine Formel verwenden möchtest, kannst Du dies schon nach dem zweiten Schritt tun und der Anleitung ab dem 5. Schritt wieder folgen.

Aufgabe

Gegeben ist die lineare Funktion $f (x)$ und die quadratische Funktion $g (x)$ . Berechne ihre Schnittpunkte.

$f (x) = 3 x + 1 g (x) = x^{2} - 3 x - 6$

Lösung

1. Schritt: Setze die Funktionen gleich.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ 3 x + 1 & = & x^{2} - 3 x - 6 \end{array}$

2. Schritt: Bringe alles auf eine Seite.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

3. Schritt: Normiere die Gleichung. Bringe sie also in eine Form, dass vor dem $x^{2}$ nichts mehr steht.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

4. Schritt: Wende die pq-Formel an.

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{- 6}{2} \pm \sqrt{{(\frac{6}{2})}^{2} - (- 7)} \\ x_{1, 2} & = & 3 \pm \sqrt{9 + 7} \\ x_{1, 2} & = & 3 \pm \sqrt{16} \\ x_{1, 2} & = & 3 \pm 4 \\ x_{1} & = & - 1 \\ x_{2} & = & 7 \end{array}$

5. Schritt: Nun setzt Du die berechneten x-Werte in eine der vorgegebenen Funktionsgleichungen ein.

$f (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 1 = - 2 f (7) = 3 \cdot 7 + 1 = 22$

6. Schritt: Gib die x-Werte und ihre entsprechenden Funktionswerte als Schnittpunkte an.

$S_{1} (- 1 | - 2), S_{2} (7 | 22)$

Zeichnerisch können wir die Rechnung überprüfen:

Schnittpunkte berechnen Parabel und Gerade Funktionen mit Schnittpunkt Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 6: Die beiden Funktionen mit den Schnittpunkten im Koordinatensystem

Nun schauen wir uns noch ein Beispiel an, bei dem es nur eine Lösung, also einen Schnittpunkt zwischen den beiden Funktionen, gibt:

Aufgabe

Gegeben ist die lineare Funktion $f (x)$ und die quadratische Funktion $g (x)$ :

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x g (x) = - \frac{1}{3}$

Lösung

1. Schritt: Setze die Funktionen gleich.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ 3 x^{2} - 2 x & = & - \frac{1}{3} \end{array}$

2. Schritt: Bringe alles auf eine Seite.

$3 x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} = 0$

3. Schritt: Normiere die Gleichung. Bringe sie also in eine Form, dass vor dem $x^{2}$ nichts mehr steht.

$x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9} = 0$

4. Schritt: Wende die pq-Formel an.

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{\frac{- 2}{3}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{\frac{2}{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{9}} \\ x_{1, 2} & = & \frac{1}{3} \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}} \\ x_{1, 2} & = & \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{1}{9}} \\ x_{1, 2} & = & \frac{1}{3} \pm \sqrt{0} \\ x_{1, 2} & = & \frac{1}{3} \pm 0 \\ x_{1} & = & \frac{1}{3} \end{array}$

5. Schritt: Nun setzt du den berechneten x-Wert in eine der vorgegebenen Funktionsgleichungen ein.

$g (\frac{1}{3}) = - \frac{1}{3}$

Bei der linearen Funktion handelt es sich um eine konstante Funktion, also sind alle Funktionswerte die Gleichen.

6. Schritt: Gib den x-Wert und den entsprechenden Funktionswert als Schnittpunkt an.

S (\frac{1}{3} | - \frac{1}{3})

Schrittanleitung zur Berechnung von Schnittpunkten

Im Folgenden findest Du eine kompakte Schritt-für-Schritt-Anleitung, wie Du bei der Berechnung der Schnittpunkte einer Parabel mit einer Geraden vorgehen kannst.

Die Funktionen gleichsetzen also: $f (x) = g (x)$ .
Alles auf eine Seite bringen, sprich: $f (x) - g (x) = 0$ .
Den Term auf der linken Seite normieren, also so, dass vor $x^{2}$ nichts mehr steht.
pq-Formel anwenden.
Die gefundenen x-Werte in eine der Funktionen einsetzen und die entsprechenden Funktionswerte errechnen.
Die errechneten Paare als Schnittpunkt aufschreiben.

Wenn im vierten Schritt unter der Wurzel 0 rauskommt, dann schneiden sich die Funktionen nur in einem Punkt und falls die Wurzel negativ ist, haben die Funktionen keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Aufgabe

Um das rechnerisch zu zeigen, schauen wir uns die folgenden Funktionen an:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} \\ g (x) & = & x - 2 \end{array}$

Lösung

1. Schritt:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ x^{2} & = & x - 2 \end{array}$

2. Schritt:

$x^{2} - x + 2 = 0$

3. Schritt: Können wir überspringen, da vor dem $x^{2}$ nichts mehr steht.

4. Schritt:

$x_{1, 2} = - \frac{- 1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - 2} x_{1, 2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} - 2} x_{1, 2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{- \frac{7}{4}}$

Ab hier können wir abbrechen und sagen, dass diese beiden Funktionen sich nicht schneiden, da wir die Wurzel einer negativen Zahl nicht ziehen können. Somit könntest Du die Lösungsmenge als leere Menge angeben:

$L = \emptyset$

Anwendung – Weitere Übungsaufgaben

Zum Abschluss kannst Du Dich selbst noch einmal testen und die folgende Aufgabe zur Schnittpunktberechnung einer Parabel mit einer Geraden lösen.

Aufgabe 1

Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen!

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - x^{2} + 1 \\ g (x) & = & x \end{array}$

Lösung

1. Schritt:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ - x^{2} + 1 & = & x \end{array}$

2. Schritt:

$\begin{array}{rcl} - x^{2} + 1 & = & x \\ - x^{2} - x + 1 & = & 0 \end{array}$

3. Schritt:

$x^{2} + x - 1 = 0$

4. Schritt:

$\begin{array}{rcl} x_{1, 2} & = & - \frac{1}{2} \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (- 1)} \\ x_{1, 2} & = & - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 1} \\ x_{1, 2} & = & - \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \\ x_{1} & \approx & - 1, 618 \\ x_{2} & \approx & 0, 618 \end{array}$

5. Schritt:

$\begin{array}{rcl} g (- 1, 618) & = & - 1, 618 \\ g (0, 618) & = & 0, 618 \end{array}$

6. Schritt:

Die Schnittpunkte lauten also

$S_{1} (- 1, 618 | - 1, 618) und S_{2} (0, 618 | 0, 618)$

Schnittpunkte Parabel Gerade – Das Wichtigste

Eine Gerade ist eine Funktion ersten Grades.
Parabeln sind Funktionen zweiten Grades.
Eine Parabel und eine Gerade schneiden sich entweder in keinem, einem oder in zwei Punkten.
Der Schnittpunkt berechnet sich durch das Gleichsetzen beider Funktionen und anschließendes Lösen der quadratischen Gleichung.
Die quadratische Gleichung wird meistens durch die pq-Formel oder Mitternachtsformel gelöst.
Die Lösung entspricht der x-Stelle des Schnittpunkts.
Diese x-Stelle muss dann in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um den Funktionswert zu berechnen.
Beides zusammen ergibt dann den Schnittpunkt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Schnittpunkte berechnen Parabel und Gerade

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich und bringe alles auf eine Seite. Anschließend benutzt du die Mitternachtsformel oder die pq-Formel um die x-Werte des Schnittpunkts zu berechnen. Diese x-Werte setzt du dann in eine Funktionsgleichung ein und hast somit den zugehörigen y-Wert für den Schnittpunkt.

Eine Gerade kann eine Parabel entweder gar nicht schneiden, in einem Punkt schneiden oder sogar in zwei Punkten schneiden.

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