Kurvendiskussion

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Die Kurvendiskussion beobachtet geometrische Eigenschaften von Funktionen, indem deren Graphen untersucht werden. Die Herleitung der Lösung kann dabei grafisch oder rechnerisch erfolgen. 


So können wir mit Hilfe der Kurvendiskussion beispielsweise Scheitelpunkte, sowie Wendepunkte berechnen oder Hoch-/ und Tiefpunkte via der abc-Formel ermitteln und vieles mehr. Die Kurvendiskussion ist eng mit der Differentialrechnung verbunden, d.h. wir bringen dir auch bei wie das Ableiten von Funktionen funktioniert (siehe Steigung berechnen oder Ableitungsregeln).


Wenn du mehr über die einzelnen Themenbereiche erfahren möchtest, klicke einfach auf den entsprechenden Link und du gelangst direkt zu unserer ausführlichen Zusammenfassung. 

Wir erklären dir neben den Hauptelementen wie der Mitternachtsformel und der Nullstellenberechnung, auch die Basics: von Werte- und Definitionsbereich, bis hin zur Grenzwertberechnung und der quadratischen Ergänzung.


Wenn du zusätzlich mit vielen Übungsaufgaben und original STARK Lerninhalten lernen möchtest, schau mal in der StudySmarter Lernapp vorbei!




Ziel der Kurvendiskussion


Die wichtigsten Ziele der Kurvendiskussion sind:


  • exakte Punktbestimmung
  • Symmetrieverhalten betrachten
  • Grenzwerte untersuchen
  • Minima (Tiefpunkte) und Maxima (Hochpunkte) bestimmen


Asymptote


Eine Asymptote ist eine Kurve, an welche sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie jedoch nie berührt. In der Abbildung siehst du, was man grafisch unter einer Asymptote versteht.


 

Definitionsbereiche bestimmen


Bevor man mit der Kurvendiskussion starten kann, wird zunächst der Definitionsbereich (=Definitionsmenge) bestimmt. Man untersucht, welche Werte für x eingesetzt werden können.



Extremstellen


Extremstellen befinden sich potenziell dort, wo die Steigung der Funktion Null entspricht. Durch genaueres Untersuchen, mithilfe der ersten und zweiten Ableitung, stellt man fest, ob es sich hierbei um einen Hoch- oder einen Tiefpunkt handelt.


Wenn du wissen möchtest, wie genau man Extremstellen berechnet, sieh dir hier die ausführliche Zusammenfassung an.



 

Grenzwerte


Unter einem Grenzwert, dem sogenannten Limes, versteht man jenen Wert, dem sich die Funktion der betrachteten Stelle annähert. Hierbei kann man sich dem Wert von links oder von rechts annähern.



 

Mitternachtsformel/ abc-Formel


Die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, wird zum Lösen Quadratischer Gleichungen verwendet. Zunächst wird hierbei die Gleichung in die allgemeine Form gebracht, damit die Formel auch angewendet werden kann. Anschließend setzt man die entsprechenden Variablen in die Formel ein und erhält die gesuchte Lösungsmenge.

Hier erfährst du mehr über die genaue Berechnung mithilfe der Mitternachtsformel!

 



Monotonieverhalten


Du willst herausfinden, ob eine Funktion (streng) monoton steigend oder (streng) monoton fallend verläuft? Dann musst du zunächst die Nullstellen der ersten und zweiten Ableitung der Funktion berechnen und anschließend die Intervalle benennen, um das Ergebnis ermitteln zu können.

Hier kannst du mehr über die Untersuchung des Monotonieverhaltens erfahren.

 


Nullstellen berechnen


Nullstellen sind x-Werte, für die der Funktionswert gleich Null ist. Einfacher formuliert sind es also alle Werte, die die x-Achse schneiden.



Mehr zur genauen Berechnung von Nullstellen findest du hier.

 



Polynomdivision


Bei der Polynomdivision handelt es sich um ein mathematisches Verfahren zur Division polynomieller Funktionen – heißt: ein Polynom wird durch ein anderes geteilt. Sie wird dann angewendet, wenn die Potenz einer Polynomfunktion > 2 ist.


Wie man die Polynomdivision genau durchführt, erfährst du hier!

 



Quadratische Ergänzung


Ziel der Quadratischen Ergänzung ist es, einen Term so umzuformen, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann, um am Ende ein quadriertes Binom zu erhalten.
Wozu das Ganze? Um eine quadratische Funktion in Scheitelform zu bringen oder sie zu lösen.


Mehr zur Quadratischen Ergänzung und ihrer Vorgehensweise, erklären wir dir hier.

 

 

Scheitelpunkt berechnen


Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel, also dem Graph einer quadratischen Funktion. Man spricht hierbei auch vom Maximum bzw. Minimum einer Funktion.



Um den Scheitelpunkt zu ermitteln, kann man ihn entweder aus dem Graph ablesen oder mittels der quadratischen Ergänzung oder durch Ableiten berechnen. Wie genau das funktioniert, erklären wir dir hier!

 


Steigung berechnen/ Ableiten


Die Steigung einer Funktion entspricht ihrer ersten Ableitung. Somit wäre auch geklärt, wie du sie berechnen kannst. Meist kann man die Steigung auch aus dem Graph der Funktion ablesen.



Eine ausführliche Erklärung zum Ermitteln der Steigung gibt es hier!

 


Symmetrie


Eine Funktion ist symmetrisch, wenn ihre Variablen beliebig untereinander vertauscht werden können, ohne dass sich ihr Funktionswert verändert.


Näheres zum Symmetrieverhalten einer Funktion, erfährst du hier.

 


Wendepunkt berechnen



Im sogenannten Wendepunkt verändert der Graph einer Funktion sein Krümmungsverhalten, d.h. er wechselt an dieser Stelle von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Die mathematische Voraussetzung lautet:



Für eine schrittweise Erläuterung der Berechnung von Wendepunkten, schau dir unsere Zusammenfassung an!

 



Wertebereich


Wie der Begriff „Wertebereich“ schon verrät, gibt dieser Bereich an, welche y-Werte eine Funktion annimmt. Diese kann man ganz einfach ermitteln, indem man die x-Werte des Definitionsbereichs in die Funktion einsetzt.


Eine ausführliche Erklärung zum Thema Wertebereich gibt es hier!

 


y-Achsenabschnitt


Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, in dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. Es handelt sich also um jenen Punkt, an dem y=0 ist.



Du willst mehr zum Thema y-Achsenabschnitt erfahren? Dann schau dir hier unsere Zusammenfassung an.

 


Hinweis:


Noch mehr Zusammenfassungen und Übungsaufgaben zum Thema Kurvendiskussion, findest du hier in der StudySmarter Lernapp für Schüler!


Finales Kurvendiskussion Quiz

Frage

Wie leitet man die natürliche Exponentialfunktion ab?

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Frage

Wie leitet man die natürliche Exponentialfunktion ab?

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Frage

Wie lautet die Quotientenregel?

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Quotientenregel



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Wie lautet die Quotientenregel?

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Quotientenregel



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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen?

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Frage

Welche zwei Arten unterscheidet man bei Grenzwerten?

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Welche zwei Arten unterscheidet man bei Grenzwerten?

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Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

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Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

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Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Potenzregel?

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Antwort


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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Potenzregel?

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Frage

Bei welcher Art von Funktionen gilt die Potenzregel?

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Antwort

Bei Grundfunktionen:

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Bei welcher Art von Funktionen gilt die Potenzregel?

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Bei Grundfunktionen:

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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Faktorregel?

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Wie lautet die allgemeine Formel für die Faktorregel?

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Wie lautet die allgemeine Formel für die Summenregel?

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Wie lautet die allgemeine Formel für die Summenregel?

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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Kettenregel?

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Wie lautet die allgemeine Formel für die Kettenregel?

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Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:



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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:



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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Produktregel?

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Wie lautet die allgemeine Formel für die Produktregel?

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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Frage

Wie lautet die allgemeine Formel für die Quotientenregel?

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Wie lautet die allgemeine Formel für die Quotientenregel?

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Frage

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:


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Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

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Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

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Was sind Trigonometrische Funktionen?

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Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

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Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

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Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

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Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Frage

Welche drei trigonometrischen Funktionen gibt es?

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Antwort

Sinusfunktion  

Kosinusfunktion

Tangensfunktion

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Welche drei trigonometrischen Funktionen gibt es?

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Sinusfunktion  

Kosinusfunktion

Tangensfunktion

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Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

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Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

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Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

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f(x) = sin x

f '(x) = cos x

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Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

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f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

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Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

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f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

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Wie lautet die Ableitungsregel für die Tangensfunktion?

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Wie lautet die Ableitungsregel für die Tangensfunktion?

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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Frage

Überblick der Ableitungen: cos/sin/tan

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Überblick der Ableitungen: 


wird abgeleitet zu                 (dann geht es wieder von vorne los)


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Überblick der Ableitungen: cos/sin/tan

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Überblick der Ableitungen: 


wird abgeleitet zu                 (dann geht es wieder von vorne los)


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Frage

Wann spricht man von der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Wann spricht man von der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen?

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Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Logarithmusfunktionen?

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Wie lautet die Ableitungsregel der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

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Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

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Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

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Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

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Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Frage

Die folgenden drei Situationen für den Bau einer Mauer sind gegeben. Es stehen Ziegel für eine Mauer der Länge 14 m zur Verfügung.



a. Gib für jede der drei Situationen einen Term für den Umfang der eingegrenzten Fläche ein.


b. Gib für jede der drei Situationen einen Term für die Fläche der eingegrenzten Fläche an.

c. Bestimme für jede der drei Situationen das Maximum der eingegrenzten Fläche.

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a. + b.

c.

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Frage

Wie nennt man Funktionen bei denen die Funktionsvariable im Exponenten steht?

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Antwort

Funktionen mit Gleichungen der Form , bei denen die Funktionsvariable
im Exponenten steht, nennt man Exponentialfunktionen zur Basis a, wobei ist.

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Wie nennt man Funktionen bei denen die Funktionsvariable im Exponenten steht?

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Funktionen mit Gleichungen der Form , bei denen die Funktionsvariable
im Exponenten steht, nennt man Exponentialfunktionen zur Basis a, wobei ist.

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Frage

Gib die natürliche Exponentialfunktion an. 

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Mit der Euler’sche Zahl e (≈ 2,718)

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Gib die natürliche Exponentialfunktion an. 

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Mit der Euler’sche Zahl e (≈ 2,718)

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Wie lautet die allgemeine Ableitungsregel für Exponentialfunktionen?

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Leite ab: 

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Leite ab:

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Leite ab:

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Leite ab:


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Ableitung mithilfe der Faktorregel


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Leite ab:


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Ableitung mithilfe der Faktorregel


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Leite ab:

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Ableitung mithilfe der Faktor- und
Summenregel

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Leite ab:

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Ableitung mithilfe der Faktor- und
Summenregel

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Leite ab:


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Leite ab:


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Leite ab:


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Leite ab:


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Leite ab:

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Frage

Gegeben ist die Funktion f(x)

a. Bestimme die Tangente im Wendepunkt

b. Bestimme die Nullstellen von f(x)

c. Untersuche das Verhalten von f(x) x gegen plus-minus unendlich.


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Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

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Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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f(x)= ln x

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Frage

Was ist die Definitionsmenge der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Was ist die Definitionsmenge der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Frage

Was ist die Wertemenge der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Was ist die Wertemenge der natürlichen Logarithmusfunktion?

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Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

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Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

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Frage

Nenne die Grenzwerte der natürlichen Logarithmusfunktion.

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Nenne die Grenzwerte der natürlichen Logarithmusfunktion.

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Frage

Zeichne den Graph der natürlichen Logarithmusfunktion.

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Zeichne den Graph der natürlichen Logarithmusfunktion.

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Frage

Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

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Antwort

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

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Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

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Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

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Frage

Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

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Antwort

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

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Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

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Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

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Frage

Wie lautet die zugehörige Funktion?


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Antwort

|g(x)| = | 2/3 x |

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Wie lautet die zugehörige Funktion?


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|g(x)| = | 2/3 x |

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Frage

Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

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Antwort

Eine gebrochenrationale Funktion f ist der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen u(x) und v(x):

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Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

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Eine gebrochenrationale Funktion f ist der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen u(x) und v(x):

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Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

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Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

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Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

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Antwort

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.
Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

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  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.
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Frage

Gebe den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f sowie die Art der Definitionslücken an.

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Antwort


Die Funktion f besitzt

  • bei x = 1 eine einfache Nullstelle,
  • bei x = −2 eine einfache Polstelle
  • bei x = 3 eine doppelte Polstelle.
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Frage

Gebe den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f sowie die Art der Definitionslücken an.

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Die Funktion f besitzt

  • bei x = 1 eine einfache Nullstelle,
  • bei x = −2 eine einfache Polstelle
  • bei x = 3 eine doppelte Polstelle.
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Gebe den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f sowie die Art der Definitionslücken an.

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Die Funktion f besitzt

  • bei x = 0 eine einfache Nullstelle
  • bei x = 3 eine (be)hebbare Definitionslücke.
    Für x ≠ 3 kann man im Funktionsterm kürzen:

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Frage

Gebe den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion f sowie die Art der Definitionslücken an.

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Die Funktion f besitzt

  • bei x = 0 eine einfache Nullstelle
  • bei x = 3 eine (be)hebbare Definitionslücke.
    Für x ≠ 3 kann man im Funktionsterm kürzen:

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Frage

Was versteht man unter einer ganzrationalen Funktion?

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Antwort

Unter einer ganzrationalen Funktion (oder Polynomfunktion) vom Grad n versteht man eine reelle Funktion der Form:

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Was versteht man unter einer ganzrationalen Funktion?

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Unter einer ganzrationalen Funktion (oder Polynomfunktion) vom Grad n versteht man eine reelle Funktion der Form:

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Frage

Wie werden diese Werte einer ganzrationalen Funktion bezeichnet?

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Koeffizienten

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Wie werden diese Werte einer ganzrationalen Funktion bezeichnet?

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Koeffizienten

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Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

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Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

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Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

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Z.B durch Linearfaktorzerlegung

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Frage

Bestimme die Nullstellen mit der Linearfaktorzerlegung.


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⇒ Nullstellen bei x = 2, x = –1 und x = 1

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Bestimme die Nullstellen mit der Linearfaktorzerlegung.


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⇒ Nullstellen bei x = 2, x = –1 und x = 1

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Frage

Nenne zwei Spezialfälle ganzrationaler Funktionen.

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Nenne zwei Spezialfälle ganzrationaler Funktionen.

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Gegeben ist die Funktion f(x)

a. Bestimme die Tangente im Wendepunkt

b. Bestimme die Nullstellen von f(x)

c. Untersuche das Verhalten von f(x) x gegen plus-minus unendlich.

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Gegeben ist die Funktion f(t). Die Funktion beschreibt den Temperaturverlauf innerhalb eines schönen Sommertages. Dabei gibt t die Stunden von 0 bis 24 und f(t) die Temperatur in °C an



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a. 34°C

b. 

c. 28°C

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Frage

Der Wasserverbrauch w in m³/h einer Wohnsiedlung ändert sich im Laufe des Vormittags kontinuierlich. Er kann zwischen t=6h und t=12h durch w(t) beschrieben werden.


  1. Berechne den maximalen Wasserverbrauch an diesem Vormittag
  2. Fertige eine Skizze des Funktionsgraphen von w(t) an
  3. Berechnen Sie den mittleren Wasserverbrauch an diesem Vormittag
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a. x=50/7

b. 

c. mittlerer Verbrauch ist 15m³/h

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Frage

Die Funktion f(t) beschreibt den Bestand von Bergziegen in einer Alpenregion, wobei t die Zeit in Jahren seit Beobachtungsbeginn und f(t) den Ziegenbestand in Tausend angibt


  1. Geben Sie an, wie groß der Anfangsbestand der Ziegen ist.
  2. Berechnen Sie den Extremalpunkt und Wendepunkt von f(t). Erläutern Sie die Bedeutung dieser Werte für den Tierbestand.
  3. Skizzieren Sie den Graphen im Intervall t=0 bis t=10


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a. 5

b. Tiefpunkt T(1,07;2,25) Wendestelle(1,997;2,62)

c. 


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Frage

Der Zustrom von Zuschauern zu einem Musikfestival soll modelliert werden. Die Anzahl der Zuschauer, die pro Minute auf das Festivalgelände kommen, kann mithilfe der Änderungsrate f(t) beschrieben werden. (t in Minuten seit der Öffnung)

  1. Beschreiben Sie wie sich der Zustrom von Zuschauern für t>>0 verhält. Geben Sie den Term von f(t) an, der die Form der Kurve hier dominiert.
  2. Geben Sie die Punkte an, an denen sich der Zuschauerstrom am stärksten verändert und wann er sich nicht ändert. Skizzieren Sie den Graphen von f(t).
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a. Der Zuschauerstrom strebt gegen Null. Der exponentielle Term ist abnehmend und somit dominant.

b. Der Graph hat im Punkt M(20;147,15) ein Maximum, die Änderungsrate hat für t=40 einen Wendepunkt. Die Änderung des Zuschauerstroms ist bis t=20 am stärksten (f'(t)>0) dann nimmt sie bis t=40 weiter ab und geht dann für t gegen unendlich gegen Null

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Frage

Ein Erlebnisbad plant den Bau einer Steilrutsche. Der Verlauf der Rutsche kann annähernd durch die Funktion f(x) im Intervall 0< x< 3 beschrieben werden. Hierbei ist x die Entfernung in Meter und f die Höhe der Rutsche über der Wasseroberfläche in Meter.


  1. Berechne die Extrempunkte der Funktion.
  2.  Zeichne das Schaubild der Wasserrutsche.
  3. Berechne die steilste Stelle der Rutsche mit positiver Steigung.
  4. Macht es Sinn die Rutsche in dieser Weise zu bauen?
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Frage

Berechne Null-, Extrem- und Wendestellen der Funktion f(x), gebe ihren Definitionsbereich und Wertebereich an sowie ihr Verhalten am Rande des Definitionsbereiches. 

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  • Definitionsbereich: [0,∞ )
  • Wertebereich: [-1/2,∞ )
  • Minimum bei (1/2,-1/2)
  • keine Wendepunkte
  • Grenzwertverhalten siehe Lösungsweg
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.


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Was ist ein Wendepunkt?

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Graphisch, ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten verändert. Der Graph wechselt entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum.

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Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Wendepunkt vorliegt?

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Antwort

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt: 

  • f’’(x) = 0 und
  • f’’’(x) ≠ 0
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Zeichne grob auf, wie ein Wendepunkt aussieht.

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Wie berechnet man einen Wendepunkt (Schritte)?

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  1.  Zweite Ableitung berechnen. 
  2.  Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen. f’’(x) = 0 
  3. Dritte Ableitung berechnen. 
  4.  Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen. → Wenn f’’’(x) ≠ 0, dann ist es ein Wendepunkt 
  5. Die berechneten x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen. 
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Die Funktion f(x) = x³ soll auf Wendepunkte untersucht werden.

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1. Ableitungen berechnen 

f’(x) = 3x²; f’’(x) = 6x 

2. Nullstellen von f’’(x) berechnen. Ansatz: f’’(x) = 0  → x = 0 

3. f’’’(x) berechnen. f’’’(x) = 6 

4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen. f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 6 ≠ 0 An der Stelle x= 0 liegt ein Wendepunkt vor 

5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu erhalten y = f(0) = 0 

Die Funktion f(x) hat bei (0|0) einen WP.

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Beschreibe den Wendepunkt (0/0) von f(x) = x³.

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Für x < 0 ist die Funktion rechtsgekrümmt. 

Für x > 0 ist die Funktion linksgekrümmt.

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Untersuche die Funktion auf Wendepunkte.

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1. Ableitungen: f’(x) = 2x2 +6x + 4; f’’(x) = 4x + 6 

2. Nullstellen von f’’(x) berechnen. Ansatz: f’’(x) = 0 f’’(x)= -1,5 

3. f’’’(x) berechnen. f’’’(x) = 4 

4. x-Werte aus Schritt 2 in f’’’(x) einsetzen. f’’’(x) ist immer ungleich Null: f’’’(x) = 4 ≠ 0 An der Stelle x= -1,5 liegt ein Wendepunkt vor. 

5. x-Wert in f(x) einsetzen, um y-Koordinate des WP zu berechnen y = f(-1,5) = -1,5 

f(x) hat an der Stelle (-1,5|-1,5) einen WP.

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Für x < -1,5 ist die Funktion rechtsgekrümmt. 

Für x > -1,5 ist die Funktion linksgekrümmt.

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Wo ist der Wendepunkt der Funktion f(x)= x³-3x²?

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1. Ableitungen: f'(x) = 3x²+6x, f''(x)= 6x +6, f'''(x) = 6 

2. Zweite Ableitung gleich Null stellen: f''(x) = 0 --> x1= 1

3. x1 in dritte Ableitung einsetzen: Ungleich 0 --> Es liegt bei x1 ein WP vor. 

4.y-Koordinate herausfinden, indem x1 in f(x) eingesetzt wird: f(1)=-2. 

Der WP liegt bei (1/-2).

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Wo liegt der WP von f(x)= 1/3x³-2x²+3x?

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Alle Rechenschritte befolgen. Dann erhält man als

WP(2,2/3).

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Wo liegt die Wendestelle von f(x) =f(x)=-3x³+12x+3?

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1. f'(x)=-9x²+12, f''(x)=-18x, f'''(x)=-18 

2. 0=-18x Gleichung auflösen: xE=0 

3. f'''(xW)=f'''(0)=-18, -18 ist kleiner als 0, also ist es ein LR-Wendepunkt 

4. f(xW)=f(0)=-3⋅0³+12⋅0+3=3 

Es liegt LR-WP (0|3) vor.

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Berechne den WP von f(x) = x3 – 6x2 + 5x.

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1. Ableiten: f ‚(x) = 3x2 – 12x + 5 f “(x) = 6x – 12 f “'(x) = 6 

2. Notwendige Bedingung prüfen: f “(x) = 0        x = 2        → potenzieller Wendepunkt liegt vor 

3. Hinreichende Bedingung prüfen f “'(2) = 6 ≠ 0 → Wendepunkt liegt vor 

4. y-Wert bestimmen y = f(2) y = -6 

→ Für die Funktion liegt ein WP bei ( 2 | -6 ) vor.

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Zeichne grob auf, wie ein L-R WP bzw. R-L WP aussieht.

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Welche Ableitungen müssen aufgestellt werden, um WP zu bestimmen?

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Es werden immer die erste, zweite und dritte Ableitung benötigt.

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Bei welcher Funktionsart liegt immer ein WP vor?

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Funktionen 3. Ordnung, also kubische Funktionen haben immer einen Wendepunkt.

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Was ist der Wertebereich?

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Der WB bestimmt, welche y-Werte eine Funktion annimmt.

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Was ist die Menge eines Wertebereiches?

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Menge an y-Werten für eine Funktion

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Welchen Wertebereich hat die Funktion f(x) = x² mit dem Definitionsbereich D={1,2,3,4,5}?

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Wie lautet der Wertebereich für lineare Funktionen?

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Gegeben sei der Graph der Funktion f(x)= x+2. Der Definitionsbereich der Funktion ist wie folgt: D= {0;2}. Wie lautet der Wertebereich?

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Wie bestimme ich den Wertebereich linearer Funktionen?

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1. Definitionsbereich Werte in f(x) einsetzen. 

2. Funktion auflösen. 

3.Ergebnisse in aufschreiben.

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An welcher Achse lässt sich der Wertebereich auch ablesen?

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An der y-Achse

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Was gilt für den Wertebereich quadratischer Funktionen mit nur positiven Vorzeichen von x²?

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Was gilt für den Wertebereich quadratischer Funktionen mit nur negativen Vorzeichen von x²?

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Wie bestimme ich die Wertebereichsmenge von quadratischen Funktionen?

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1. Vorzeichen von x² ablesen 

2. Scheitelpunkt berechnen 

3. Wertebereich bestimmen

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Es sei der Graph der Funktion f(x) = x2-6x+10 gegeben. Der Definitionsbereich der Funktion ist D= R. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (3 |1). Wie lautet die Wertebereichsmenge?

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Frage

Gegeben sei der Graph der Funktion f(x) = -x2 +8x -14. Der Definitionsbereich der Funktion ist D= R. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S (4 |2). Wie lautet die Wertebereichsmenge?

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Wovon hängen die Grenzen für den Wertebereich ab?

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  • y- Koordinate des Scheitelpunktes 
  • Vorzeichen von x²
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Wie bestimme ich den Wertebereich besonderer Funktionen?

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Extrempunkte berechnen und Grenzwertbetrachtung durchführen

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Was ist der y-Achsenabschnitt?

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Der Punkt, an dem der Graph einer Funktion die y-Achse schneidet.

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Wie berechne ich eine Geradengleichung?

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Antwort

1. Y- Achsenabschnitt (n) ablesen. 

2. Steigungsdreieck einzeichnen um Steigung (m) zu bestimmen. 

3. Nachdem n und m ermittelt wurden, Variablen in die allgemeine Form einsetzen.

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Frage

Wie lautet die allgemeine Form für lineare Funktionen?

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Antwort

f(x) = m * x + n

m = Steigung 

n = Y- Achsenabschnitt

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Wie lese ich den y-Achsenabschnitt ab?

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Schaue, wo der Schnittpunkt des Graphen mit der y- Achse ist

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Lies den y-Achsenabschnitt ab:


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Der y- Achsenabschnitt beträgt 1,5. Der dazugehörige x-Wert ist immer = 0.

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Wie ist der x-Wert, an dem Punkt, wo der Graph die y-Achse schneidet?

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Er ist immer Null. x= 0

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Wo liegt der y-Achsenabschnitt?


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Antwort

y- Achsenabschnitt liegt bei 4.

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Wie bestimmte ich den Y Achsenabschnitt mit der Steigung?

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1. Berechne zuerst die Steigung: Setze die Koordinaten eines Punktes in die Steigungsformel ein. 

2. Stelle die allgemeine Form nach y um und löse nach y auf. 

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Wie lautet die Steigungsformel für lineare Funktionen?

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Wie lautet die Steigung?

 

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m= 1,5

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Wie lautet der y-Achsenabschnitt, wenn m=1,5 und P(2/1) gegeben sind?

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y=-2

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Wie kann ich die Steigung einer linearen Funktion bestimmen?

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Antwort

1) mit einem Steigungsdreieck oder

2) mit der Steigungsformel

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Wie lautet der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 3x+2?

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Null in f(x) einsetzen und auflösen: 

f(0) = 3*0 +2 = 2

y = 2

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Wie lautet der y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) = 4x-5?

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Antwort

Null in f(x) einsetzen und auflösen: 

f(0) = 4*0 -5 = -5.

y = -5

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Bei welchen Funktionen wende ich die MNF an?

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Antwort

Bei quadratischen Funktionen der Form f(x)=ax²+bx+c

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Wann benutzt man die Mitternachtsformel?

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Antwort

Zum Lösen quadratischer Gleichungen der allgemeinen Form.

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Wie wird die Mitternachtsformel noch genannt?

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Abc-Formel

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Was erhält man nach auflösen der MNF?

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Eine Lösungsmenge der Form (). Diese sind die Nullstellen der Funktion.

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Wie lautet die MNF?

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Welche zwei Fälle gibt es bei der MNF?

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Wo kann die Anzahl der Lösungen abgelesen werden?

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Antwort

An der Diskriminante

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Was ist die Diskriminante?

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Das was unter der Wurzel steht. (b²-4ac)

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Welche Arten von Diskriminanten gibt?

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Antwort

1. b²-4ac > 0: zwei Lösungen 

2. b²-4ac = 0 :eine Lösung 

3. b²-4ac < 0: keine Lösung

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Wie wendet man die MNF an?  (Vorgehensweise)

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Antwort

1. Die quadratische Gleichung in die allgemein Form bringen 

2.  a, b und c aus der Formel heraus ablesen

3. a, b und c in die Mitternachtsformel einsetzen

 4. Lösungsmenge aufschreiben

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Was ist der Unterschied zwischen MNF und der pq-Formel?

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Antwort

Die pq-Formel wird in der Normalform angewendet.

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Was machst du, wenn a = 0 entspricht?

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Antwort

Es muss gelten, sonst können wir die Mitternachtsformel nicht anwenden. Es muss ein quadratisches Glied vorhanden sein.

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Löse die Gleichung 3x²-9x+5=-1 mit der MNF. 

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Was musst gleich 0 sein, um die MNF anzuwenden?

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Die Gleichung die berechnet wird, muss gleich Null gesetzt werden, bevor die MNF angewendet werden kann.

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Was beschreibt eine Asymptote?

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Sie beschreibt die Näherung des Funktionsgraphen für eine Definitionslücke an einen bestimmten Wert.

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Was ist eine Definitionslücke?

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Antwort

An solchen Stellen kann für eine Funktion kein bestimmter Wert berechnet werden.

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Was wird an einer Definitionslücke immer kleiner?

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Antwort

Der Abstand an einer Definitionslücke zwischen dem Funktionsgraph und der Asymptote wird immer kleiner und kleiner für x→±∞ .

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Was ist eine Asymptote für ein Graph?

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Eine Gerade, an die sich eine Kurve annähert, ohne sie im Endlichen zu schneiden.

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Welche allgemeine Form gilt, wenn die Funktion durch f(x) und die Asymptote vereinfacht durch g(x) beschrieben wird?

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Antwort

Der Grenzwert des Abstandes ist gleich null wenn x gegen unendlich läuft [(f (x) − g (x)) = 0 ].

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Welche Arten an Asymptoten gibt es?

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Antwort

  1. senkrechte Asymptote (parallel zur y-Achse)
  2. waagerechte Asymptote (parallel zur X-Achse)
  3.  eine schiefe Asymptote.
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Wann kann eine schiefe Asymptote am Funktionsterm abgelesen werden?

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Antwort

Wenn für das Restglied gilt: Grad des Zählers < Grad des Nenners.

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Wie wird der Graph von gebrochen rationalen Funktionen bestimmt?

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Antwort

Durch senkrechte und waagerechte Asymptoten.

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Welche Arten von Definitionslücken gibt es?

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Antwort

  1. Durch Null dividieren ist nicht erlaubt! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.
  2. Die Zahl unter einer Wurzel darf niemals negativ sein! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.
  3. Das Argument einer Logarithmusfunktion darf niemals negativ sein! An dieser Stelle besitzt die Funktion eine Definitionslücke.
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Frage

An welcher Stelle ist die Funktion nicht definiert?

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Antwort

An der Stelle x = 1, da man nicht durch Null dividieren darf.

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An welchen Stellen ist die Funktion nicht definiert?

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Antwort

An den Stellen x > 1 ist sie nicht definiert, da der Wert unter Der Wurzel negativ wäre und dies nicht definiert ist.

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An welchen Stellen ist die Funktion nicht definiert?

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Antwort

An den Stellen x ≤ − 1 ist sie nicht definiert, da das Argument der Logarithmusfunktion negativ wäre und dies nicht definiert ist.

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Wann liegt eine senkrechte Asymptote vor?

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Antwort

Wenn gilt: f (x) = ±∞ . Dabei ist die Asymptote eine Gerade und definiert als x = k .

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Wann liegt eine waagerechte Asymptote vor?

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Antwort

Eine waagerechte Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form y = k . Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f (x) gilt: f (x) − k) = 0 . Das bedeutet, der Graph der Funktion f (x) nähert sich für x→±∞ immer mehr der Geraden y = k .

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Welche Ausnahmen gelten für waagereche Asymptoten von gebrochen rationalen Funktionen?

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Antwort

  • Ist der Zählergrad > Nennergrad der Funktion, so existiert keine waagerechte Asymptote 
  • Ist der Zählergrad = Nennergrad der Funktion, so existiert eine waagerechte Asymptote y = k für x→±∞ 
  • Ist der Zählergrad < Nennergrad der Funktion, so existiert eine waagerechte Asymptote y = 0 (x-Achse) für x→±∞
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Frage

Wann treten schiefe Asymptoten auf?

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Antwort

Eine schiefe Asymptote ist definiert als eine Gerade der Form y = m·x + c . Sie tritt auf, wenn für eine zugrundeliegende Funktion f (x) gilt: (f (x) − (m·x + c)) = 0 . Das bedeutet, der Graph der Funktion f (x) nähert sich für x→±∞ immer mehr der Geraden y = m·x + c .

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Wie nennt man den Definitionsbereich noch?

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Definitionsmenge

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Was grenzt der Definitionsbereich ein?

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Antwort

Der Definitionsbereich grenzt ein, welche x-Werte in eine Funktion f(x) eingesetzt werden können. Diesen Definitionsbereich bezeichnet man mit .

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Was ist der Definitionsbereich beim Wurzel ziehen?

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Antwort

Eine Wurzel kann man nur für positive Zahlen ziehen: f(x) =√x → Df = R unten 0 hoch+

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Was ist der Definitionsbereich bei der Flächenberechnung für die Seitenlängen?

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Antwort

Ein Flächeninhalt kann nur mit positiven Seitenlängen berechnet werden: 2x² +x = 55m² → Df = R hoch +

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Wie lautet der Definitionsbereich für f(x)=4x²-x+3 ?

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Antwort

= R

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Wie lautet der Definitionsbereich für f(x) = x³ -6x²+8x?

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Antwort

= R

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Wie lautet der Definitionsbereich für f(x) = 3x² - 5?

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Antwort


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Woran kann man den Definitionsbereich für gebrochen rationale Funktionen entnehmen?

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Da man nicht durch 0 teilen kann, musst man den Nenner einer gebrochen rationalen Funktion immer genauer anschauen. “ Wann wird der Nenner gleich Null?”. Demnach kannst du die entsprechenden Werte aus dem Definitionsbereich entnehmen.

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Was ist der Definitionsbereich für ?

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Antwort

Weil man nicht durch 0 teilen darf, stellt man die Frage: Wann wird der Nenner gleich Null? 

x+1 = 0 → x = -1 

Die Funktion ist nur für x = -1 nicht definiert. 

Das ist somit eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge der Funktion lautet also:

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Was ist der Definitionsbereich für ?

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Antwort

Da man nicht durch 0 teilen darf, die Frage: Wann wird der Nenner gleich Null? 

3x (x-2) = 0 → = 0 und = 2 Die Funktion ist für  = 0 und = 2 nicht definiert. Es gibt also zwei Definitionslücken. Die Definitionsmenge der Funktion lautet dann:

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Was ist der Definitionsbereich für

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Was ist der Definitionsbereich für

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Was ist der Definitionsbereich für ?

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Wie bestimmt man den Definitionsbereich für Logarithmusfunktionen?

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Um die Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion zu bestimmen, musst folgende Ungleichung gelöst werden: ln g(x) → g(x) > 0 Die Logarithmusfunktion ist nur definiert, wenn die innere Funktion g(x) größer als Null ist.

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Frage

Was ist der Definitionsbereich für f(x) = ln (x-1)?

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Wann ist die innere Funktion größer Null? 

x-1> 0 → x >1 

Die innere Funktion ist größer Null, solange x größer als 1 ist. Die Definitionsmenge lautet: =(1; ∞)

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Was ist der Definitionsbereich für f(x) = ln(x2-1)?

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Antwort

Schaue, wann die innere Funktion größer Null ist. 

x2-1 > 0 → x2 > 1 

Löse die Gleichung auf, indem du die Wurzel ziehst 土√x2 > √1 

Intervall 1: x > 1 

Intervall 2: -x >1 → x < -1 

Die innere Funktion ist größer als Null, solange x größer als 1 bzw. kleiner als -1 ist. Im Intervall zwischen -1 und 1 gibt es eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge lautet: = R \ (-1; +1)

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