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Differentialrechnung
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Die Differentialrechnung ist eine Teildisziplin der Analysis und beschreibt das Änderungsverhalten einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Im Zentrum dieses Themas stehen die sogenannten Ableitungen, welche zur Berechnung der lokalen Änderung benötigt werden.
In diesem Artikel bekommst du einen Überblick, was alles zur Differentialrechnung gehört.
Die Grundlagen der Differentialrechnung
Die Änderung einer Funktion wird durch die lokale Steigung an dieser Stelle durch Anlegen einer Tangente bestimmt. Diese Tagentensteigung wird durch den Differentialquotient bestimmt und ist die Grundlage für die Ableitungen einer Funktion. Der Differentialquotient ist nicht zu verwechseln mit dem Differenzenquotient, welcher die mittlere Änderungsrate einer Funktion beschreibt. Nicht jede Funktion ist differenzierbar! Wann eine Funktion differenzierbar ist, kannst du im Artikel Differenzierbarkeit nachlesen.
Ableitungsregeln
Wenn die auszuwertende Funktion differenzierbar ist, du also die Ableitung bestimmen möchtest, dann musst du dich an bestimmte Regeln halten. Dazu zählen zum Beispiel die Summenregel, die Produktregel, die Quotientenregel und noch viele mehr. Diese sollen dir helfen, die Funktion abzuleiten, wenn du mehr darüber wissen möchtest, dann empfehle ich dir den Artikel zu Ableitungsregeln.
Wichtige Ableitungen
Nicht alle Funktionen musst du selber über die Ableitungsregeln bestimmen. Die Ableitung dieser Funktionen wurde bewiesen und da du diese oft brauchst oder weil eine Berechnung teilweise sehr aufwendig und nur mit Tricks erfolgen kann, musst du dies nicht immer selber tun. Dazu zählen zum Beispiel die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen, die e-Funktion, die Ableitungen der Umkehrfunktionen und noch viele mehr. Falls du mehr darüber wissen möchtest, dann liest du dir am Besten den Artikel zu den wichtigen Ableitungen durch!
Anwendung der Differentialrechnung
Wahrscheinlich hast du dich schon gefragt, wofür du die Differentialrechnung überhaupt brauchst. Du benötigst diese, um sogenannte Extremwertaufgaben lösen zu können. Damit kannst du Funktionen hinsichtlich vorbestimmter Kriterien anpassen, maximale oder minimale Lösungen einer Gleichung berechnen oder zum Bestimmen des Krümmungsverhaltens. Wenn du mehr darüber wissen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel zur Anwendung der Differentialrechnung durch!
Fortgeschrittene Differentialrechnung
Mit diesem Thema wirst du dich eher im Studium befassen, da hier sehr abstrahiert wird. Aber keine Sorge! Wir zeigen dir trotzdem worum es geht. Funktionen gibt es nicht nur im zweidimensionalem Raum, sondern auch im mehrdimensionalem Raum. Damit beschäftigt sich die totale Differentialrechnung. Außerdem kannst du die Richtung der lokalen Änderungsrate errechnen. Wenn du mehr darüber wissen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel zur fortgeschrittenen Differentialrechnung an!
Das Wichtigste der Differentialrechnung auf einen Blick!
- Die Differentialrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit der lokalen Änderung einer Funktion in einem bestimmten Punkt beschäftigt.
- Zur Berechnung des Differentials gibt es Ableitungsregeln, die dir helfen schneller die Ableitung einer Funktion bestimmen zu können.
- Es gibt wichtige Ableitungen, so dass du nicht jede Ableitung selber bestimmen musst, sondern auf diese immer zugreifen darfst.
- Die Differentialrechnung findet Anwendung bei Extremwertaufgaben, der Berechnung einer maximalen oder minimalen Lösungen und zur Bestimmung des Krümmungsverhaltens.
- Darüber hinaus befasst sich die Differentialrechnung mit Ableitungen im mehrdimensionalem Raum und den Richtungen der lokalen Änderungsrate.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Differentialrechnung
Mithilfe der Differentialrechnung kannst du die Änderung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ausrechnen. Im Prinzip errechnest du wie stark die Funktion in einem Punkt steigt oder fällt.
Ableitungen sind Funktionen mit denen du die Steigung einer Funktion in einer Stelle sehr schnell und effizient ausrechnen kannst. Ableitungen helfen dir eine Funktion auf ihre Änderungsrate zu vereinfachen.
Ja! Differenzieren ist das gleiche wie Ableiten. Der Begriff Differenzieren kommt von dem Oberbegriff der Differentialrechnung.
Wenn die zweite Ableitung 0 ist, dann weißt du, dass die Funktion dort weder eine positive noch negative Steigung hat. Falls die erste Ableitung an dieser Stelle auch 0 ist, dann liegt wahrscheinlich ein Sattelpunkt vor. Die zweite Ableitung gibt dir Auskunft über das Krümmungsverhalten der Funktion, dass sich gerade bei 0 ändert.
