Differentialrechnung: Definition & Beispiele | StudySmarter

Differentialrechnung

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Mathe

Die Differentialrechnung ist eine Teildisziplin der Analysis und beschreibt das Änderungsverhalten einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Im Zentrum dieses Themas stehen die sogenannten Ableitungen, welche zur Berechnung der lokalen Änderung benötigt werden.

In diesem Artikel bekommst du einen Überblick, was alles zur Differentialrechnung gehört.



Die Grundlagen der Differentialrechnung

Die Änderung einer Funktion wird durch die lokale Steigung an dieser Stelle durch Anlegen einer Tangente bestimmt. Diese Tagentensteigung wird durch den Differentialquotient bestimmt und ist die Grundlage für die Ableitungen einer Funktion. Der Differentialquotient ist nicht zu verwechseln mit dem Differenzenquotient, welcher die mittlere Änderungsrate einer Funktion beschreibt. Nicht jede Funktion ist differenzierbar! Wann eine Funktion differenzierbar ist, kannst du im Artikel Differenzierbarkeit nachlesen. 


Ableitungsregeln

Wenn die auszuwertende Funktion differenzierbar ist, du also die Ableitung bestimmen möchtest, dann musst du dich an bestimmte Regeln halten. Dazu zählen zum Beispiel die Summenregel, die Produktregel, die Quotientenregel und noch viele mehr. Diese sollen dir helfen, die Funktion abzuleiten, wenn du mehr darüber wissen möchtest, dann empfehle ich dir den Artikel zu Ableitungsregeln.


Wichtige Ableitungen

Nicht alle Funktionen musst du selber über die Ableitungsregeln bestimmen. Die Ableitung dieser Funktionen wurde bewiesen und da du diese oft brauchst oder weil eine Berechnung teilweise sehr aufwendig und nur mit Tricks erfolgen kann, musst du dies nicht immer selber tun. Dazu zählen zum Beispiel die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen, die e-Funktion, die Ableitungen der Umkehrfunktionen und noch viele mehr. Falls du mehr darüber wissen möchtest, dann liest du dir am Besten den Artikel zu den wichtigen Ableitungen durch!


Anwendung der Differentialrechnung

Wahrscheinlich hast du dich schon gefragt, wofür du die Differentialrechnung überhaupt brauchst. Du benötigst diese, um sogenannte Extremwertaufgaben lösen zu können. Damit kannst du Funktionen hinsichtlich vorbestimmter Kriterien anpassen, maximale oder minimale Lösungen einer Gleichung berechnen oder zum Bestimmen des Krümmungsverhaltens. Wenn du mehr darüber wissen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel zur Anwendung der Differentialrechnung durch!


Fortgeschrittene Differentialrechnung

Mit diesem Thema wirst du dich eher im Studium befassen, da hier sehr abstrahiert wird. Aber keine Sorge! Wir zeigen dir trotzdem worum es geht. Funktionen gibt es nicht nur im zweidimensionalem Raum, sondern auch im mehrdimensionalem Raum. Damit beschäftigt sich die totale Differentialrechnung. Außerdem kannst du die Richtung der lokalen Änderungsrate errechnen. Wenn du mehr darüber wissen möchtest, dann liest du dir am Besten die Artikel zur fortgeschrittenen Differentialrechnung an!


Das Wichtigste der Differentialrechnung auf einen Blick!

  • Die Differentialrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit der lokalen Änderung einer Funktion in einem bestimmten Punkt beschäftigt.
  • Zur Berechnung des Differentials gibt es Ableitungsregeln, die dir helfen schneller die Ableitung einer Funktion bestimmen zu können.
  • Es gibt wichtige Ableitungen, so dass du nicht jede Ableitung selber bestimmen musst, sondern auf diese immer zugreifen darfst.
  • Die Differentialrechnung findet Anwendung bei Extremwertaufgaben, der Berechnung einer maximalen oder minimalen Lösungen und zur Bestimmung des Krümmungsverhaltens.
  • Darüber hinaus befasst sich die Differentialrechnung mit Ableitungen im mehrdimensionalem Raum und den Richtungen der lokalen Änderungsrate.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Differentialrechnung

Mithilfe der Differentialrechnung kannst du die Änderung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ausrechnen. Im Prinzip errechnest du wie stark die Funktion in einem Punkt steigt oder fällt.

Ableitungen sind Funktionen mit denen du die Steigung einer Funktion in einer Stelle sehr schnell und effizient ausrechnen kannst. Ableitungen helfen dir eine Funktion auf ihre Änderungsrate zu vereinfachen.

Ja! Differenzieren ist das gleiche wie Ableiten. Der Begriff Differenzieren kommt von dem Oberbegriff der Differentialrechnung.

Wenn die zweite Ableitung 0 ist, dann weißt du, dass die Funktion dort weder eine positive noch negative Steigung hat. Falls die erste Ableitung an dieser Stelle auch 0 ist, dann liegt wahrscheinlich ein Sattelpunkt vor. Die zweite Ableitung gibt dir Auskunft über das Krümmungsverhalten der Funktion, dass sich gerade bei 0 ändert.

Finales Differentialrechnung Quiz

Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=x^(3)+x*sin(x) mit U(x)=∫(u(x))dx=a*x^4-x*cos(x)+sin(x)+a
Es sei 0<a<0,5

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Antwort

a=0,25=(1/4)

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Frage

Bestimmen Sie den Parameter q so, dass ein Integral von u(x) entsteht :
u(x)=(1/4)*x*(x+e^(x))
U(x)=∫(u(x))dx=(1/3)*q*x^(3)+q*x*e^(x)-q*e^(x)+C
mit 0<q<0,5

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Antwort

q=0,25=(1/4)

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Frage

∫(x*(1+x)^(3))dx

Hinweis: Nicht jede Multiplikation aus Integrationsgliedern bedarf partieller Integration, auch wenn es naheliegend scheint und möglich ist, ist es nicht automatisch der sinnvollste Weg!

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Antwort

(1/20)*(x+1)^(4)*(4*x-1)+C

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(x³)

b) f(x) = (4x² + 7)³

c) f(x) = 2⋅cos(3x²)

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Antwort

a) f'(x) = 3x²⋅cos(x³)

b) f'(x) = 24x⋅(4x² + 7)²

c) f'(x) = -12x⋅sin (3x²)

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = 2⋅cos(3x²)

b) f(x) = (2x² + 3x)²

c) f(x) = 3⋅cos(2x³)


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Antwort

a) f'(x) = -12x⋅sin(3x²)

b) f'(x) = 16x³+36x² +18x 

c) f'(x) = -18x²⋅sin(2x³) 

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Frage


Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = sin(4x³)

b) f(x) = (x + x²)³

c) f(x) = -3⋅cos(x²)

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Antwort

a) f'(x) = 12x²⋅cos(4x³)

b) f'(x) = (3 + 6x)⋅(x + x²)²

c) f'(x) = 6x⋅sin (x²)

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Frage

Leite die folgenden Terme nach x ab.


a) f(x) = -2⋅sin(x²)

b) f(x) = (x² + 2)²

c) f(x) = -2⋅cos(5x²+3)

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Antwort

a) f'(x) = -4x⋅cos(x²)

b) f'(x) = 4x³ + 8x 

c) f'(x) = 20x⋅sin(5x² + 3)

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Frage

Was beschreibt die Ableitung im Allgemeinen?

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Antwort

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung
der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt.

Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenz- wert der Sekantensteigung bestimmt.

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Frage

Beschreiben Sie was man unter dem Term verkettete Funktion versteht!

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Antwort

Zwei Funktionen g(x) und h(x) können zu einer neuen Funktion f(x) zusammengesetzt werden, indem man sie verkettet. Der Term der einen Funktion wird dabei in die Variable der anderen Funktion eingesetzt. Aufgrund der Verknüpfungsreihenfolge spricht man von einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion. Bei der mathematischen Schreibweise f = g ° h (lies: f ist die Verkettung von g mit h) ist die Reihenfolge wichtig, da die an zweiter Stelle stehende Funktion immer die einzusetzende (innere) Funktion ist.

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Frage

Wie lautet die Merkregel zur Kettenregel?

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Antwort

Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion (oder kurz: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“).

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Frage

Was lässt sich mit der Sinusfunktion beschreiben?

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Antwort

Mithilfe der allgemeinen Sinusfunktion lassen sich harmonische Schwingungen, stehende und laufende harmonische Wellen, aber auch die Bewegungen von Körpern auf Kreisbahnen mathematisch beschreiben. Ferner besteht ein enger Zusammenhang zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion einerseits und der e-Funktion andererseits.

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Frage

Wie wird der Flächeninhalt zwischen einem Graph und der x-Achse berechnet?

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Antwort

Zur Berechnung des Inhalts der vom Graphen der Funktion f und der

x-Achse im Intervall [a; b] eingeschlossenen Fläche muss in diesem

Bereich über f(x) integriert werden.

Dabei müssen die Teilflächen ober- und unterhalb der x-Achse getrennt betrachtet werden.

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Frage

Was sind Trigonometrische Funktionen?

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Antwort

Trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen (bzw. Kreisfunktionen), die jedem Winkel α einen entsprechenden Funktionswert zuordnen.

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Frage

Wie muss der Taschenrechner bei Berechnung von trigonometrischen Funktionen für Gradmaß und für Bogenmaß eingestellt werden?

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Antwort

Bei Berechnung von konkreten Funktionswerten, muss der Taschenrechner auf den entsprechenden Modus eingestellt werden, d. h. DEG für das Gradmaß und RAD für das Bogenmaß.

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Sinusfunktion?

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Antwort

f(x) = sin x

f '(x) = cos x

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Frage

Wie lautet die Ableitungsregel für die Kosinusfunktion?

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Antwort

f(x) = cos x

f '(x) = – sin x

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel von cos/sin/tan mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Wenn die Variable x nicht alleine/ nicht mit Faktor 1 steht.

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Frage

Wann muss die Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden?

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Antwort

Die Variable x darf in diesem Fall nur alleine stehen bzw. mit Faktor 1. Andernfalls muss diese Ableitungsregel mit der Kettenregel kombiniert werden.

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Frage

Was gilt bei Verknüpfungen von Funktionen?

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Antwort

Bei Verknüpfungen von Funktionen gelten zusätzlich alle weiteren bekannten

Differenziationsregeln.

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Frage

Inwiefern sind Logarithmusfunktionen differenzierbar?

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Antwort

Die Logarithmusfunktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich R+ differenzierbar.

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Frage

Die Gerade x=a schneidet f(x) in F und die Funktion g(x)=(x-1)² in G. Bestimmen Sie a so, dass die Streckenlänge FG ein Maximum annimmt. f(x) ist ein Polynom 3. Grades und hat einen Hochpunkt bei H(0;3) und einen Tiefpunkt bei T(3;0).

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Antwort

k=10,53

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Frage

Eine Fabrik hat am ersten Tag 150 Fahrräder auf Lager. Durch die Produktion können täglich 30 weitere hergestellt werden.



a. Bestimme die Funktion für den Lagerbestand abhängig von x=Tage


b. wie verändert sich diese Funkktion wenn die tägliche Produktion auf 60 Fahrräder verdoppelt werden kann


c. Zeichne die beiden Funktionen in ein Diagramm

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Antwort

a. f(x) = 150 + 30*x

b. f(x) = 150 + 60*x

c. (siehe Lösungsweg)

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Frage

Fabrik 1 kann pro Tag 25 Sonnenschirme produzieren. Zu Beginn ist das Lager jedoch bereits mit 500 Schirmen befüllt. Fabrik 2 kann durch bessere Maschinen 75 Sonnenschirme pro Tag herstellen, hat jedoch zu Beginn ein leeres Lager.


a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Fabrik 1 abhängig von den Tagen auf.


b. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Fabrik 2 abhängig von den Tagen auf.


c. Nach wie vielen Tagen sind die beiden Lager mit gleich vielen Sonnenschirmen gefüllt und wie viele sind das?

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Antwort

a. f(x) = 500 + 25*x

b. f(x) = 75*x

c. x=10 (10 Tage)

    750 Sonnenschirme

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Frage

Die Firma 1 kann täglich 10 Fahrzeuge produzieren. Zu Beginn ist das Lager bereits mit 100 Fahrzeugen befüllt. Firma 2 kann durch neuere Maschinen 14 Fahrzeuge täglich produzieren hat zum beginn jedoch auch nur halb so viele Fahrzeuge auf Lager.



a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Firma 1 auf


b. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand von Firma 1 auf


c. hat Firma 2 nach 10 Tagen Produktion bereits einen höheren Lagerbestand als Firma 1 erreicht?


d. nach wie vielen Tagen sind die Lagerbestände der beiden Firmen gleich groß?

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Antwort

a. f1(x) = 100 + 10*x

b. f2(x) = 50 + 14*x

c. NEIN - f1(10) > f2(10)

d. x = 12,5 (12,5 Tage)

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Frage

Die Bevölkerung in Stadt 1 beträgt zu Anfang 2 Millionen. Jährlich ziehen 75000 Personen aus der Stadt weg . Die Bevölkerung von Stadt 2 wächst jährlich um 75000 Personen. Zu Beginn ist die Bevölkerung jedoch nur 1/4 so groß wie in Stadt 1.



a. Stelle eine Funktion für die Bevölkerungszahl von Stadt 1 auf


b. Stelle eine Funktion für die Bevölkerungszahl von Stadt 2 auf


c. Nach wie vielen Jahren sind die Städte gleich groß? 

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Antwort

a. f1(x) = 2.000.000 - 75.000*x

b. f2(x) = 500.000 + 75.000*x

c. x = 10 (nach 10 Jahren)

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Frage

Ein Fahrradhändler hat 150 Fahrräder in seinem Lager. Täglich verkauft er 7 davon. Nur einmal im Monat (nach 30 Tagen) werden neue 150 Fahrräder geliefert.


a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand an Fahrrädern auf


b. Reicht der Lagerbestand bis zur nächsten Lieferung nach 30 Tagen?


c. Nach wie vielen Tagen hat der Verkäufer keine Fahrräder mehr im Lager?

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Antwort

a. f(x) = 150 - 7*x

b. NEIN ->  f(30) = -60 (zu geringer Lagerbestand)

c. x = 21,4 -> am 22. Tag wird das letzte Fahrrad verkauft

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Frage

Anna und Peter wollen Geld anlegen. Anna hat bereits am Anfang 500€ und kann jeden Monat weitere 50€ ansparen. Peter hingegen hat zu beginn nur 300€ kann jedoch monatlich ganze 70€ ansparen.



a. Stelle eine Funktion für den Betrag auf Annas Konto auf


b. Stelle eine Funktion für den Betrag auf Peters Konto auf


c. nach wie vielen Monaten haben Anna und Peter gleich viel Geld auf ihren Konten und wie viel ist das dann?

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Antwort

a. f1(x) = 500 + 50*x

b. f2(x) = 300 + 70*x

c. x = 10 (nach 10 Monaten)

    f(10) = 1000€

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Frage

Ein Elektrofachgeschäft hat zu Beginn des Monats 300 Fernsehgeräte auf Lager. Täglich werden 25 Geräte an Kunden verkauft.



a. Stelle eine Funktion für den Bestand an Fernsehgeräten auf


b. Nach wie vielen Tagen ist der komplette Bestand verkauft?


c. Nach wie vielen Tagen muss spätestens eine neue Lieferung ankommen, wenn der Lagerbestand nie unter 50 Fernsehgeräte fallen soll?

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Antwort

a. f(x) = 300 - 25*x

b. x = 12 (nach 12 Tagen)

c. x = 10 (spätestens nach 10 Tagen müssen neue Geräte geliefert werden)

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Frage

Durch die Neueröffnung einer großen Industriegebiets erleben zwei Städte ein starkes Bevölkerungswachstum. In die zu Beginn größere Stadt 1 mit anfänglich 100.000 Einwohnern ziehen jeden Monat weitere 1500 Personen.

In Stadt 2 ziehen monatlich sogar ganze 1750 Personen. Zu Beginn wohnen dort jedoch nur 75000 Personen.



a. Stelle eine Funktion für die Einwohnerzahl von Stadt 1 auf


b. Stelle eine Funktion für die Einwohnerzahl von Stadt 2 auf


c. Wird Stadt 2 innerhalb der ersten 5 Jahre bereits größer als Stadt 1?


d. Nach welcher Zeit sind die beiden Städte genau gleich groß?

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Antwort

a. f1(x) = 100000 + 1500*x

b. f2(x) = 75000 + 1750*x

c. NEIN -> f1(60) = 190.000

                  f2(60) = 180.000

d. x = 100 (8 Jahre und 4 Monate)

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Frage

Eine Firma überlegt zur Produktion von Fußbällen eine neue Maschine für 20.000€ zu kaufen. Dadurch könnten die Stückkosten von aktuell 0,75€ auf nur noch 50 cent gesenkt werden. Die aktuelle Maschine ist bereits abgeschrieben.


a. Stelle eine Kostenfunktion für die neue Maschine auf in der du Stückkosten und Anschaffungskosten berücksichtigst


b. Stelle eine Kostenfunktion für die "alte" Maschine auf


c. Wie groß muss die Produktionsmenge mindestens sein, damit sich die Anschaffung der neuen Maschine lohnt

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Antwort

a. f1(x) = 20.000 + 0,5*x

b. f2(x) = 0,75*x

c. x= 80.000 (mindestens 80.000 Fußbälle)

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Frage

Ein Automobilhersteller verkauft pro Monat 12.000 Fahrzeuge. Da aktuell keine Produktion möglich ist, kommen alle Fahrzeuge aus dem Lager. Zu Beginn befinden sich im Lager 100.000 Fahrzeuge.



a. Stelle eine Funktion für den Lagerbestand auf


b. Wie viele Fahrzeuge befinden sich nach 6 Monaten noch im Lager?


c. Nach wie vielen Monaten muss die Produktion spätestens wieder starten, damit nie weniger als 15.000 Fahrzeuge im Lager sind.

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Antwort

a. f(x) = 100.00 - 12.000*x

b. f(6) = 28.000

c. f(x) = 15.000

       x = 7,08 (spätestens nach knapp über 7 Monaten)

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Frage

Eine Stadt verfügt über 15.000 Wohnungen. Im Zuge eines Projektes sollen jährlich weitere 1.000 Wohnungen gebaut werden. Es wird davon ausgegangen, dass in jeder Wohnung 4 Personen leben können.


a. Stelle eine Funktion für den Wohnungsbestand in der Stadt auf


b. Nach wie vielen Jahren verfügt die Stadt über ausreichend Wohnungen für 100.000 Menschen?


c. Wie viele Menschen können nach 22 Jahren in der Stadt wohnen?

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Antwort

a. f(x) = 15.000 + 1.000*x

b. 100.000 / 4 = 25.000 Wohnungen

     f(x) = 25.000

       x = 10 (nach 10 Jahren)

c. f(22) = 37.000 Wohnungen

    37.000 * 4 = 148.000 Menschen

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Frage

Wie kann das Krümmungsverhalten einer Funktion mithilfe einer Krümmungstabelle bestimmt werden?

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Antwort

Vorgehensweise
Schritt 1: 1. und 2. Ableitung von f bestimmen
Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, d. h. Lösen der Gleichung f ''(x) = 0
Schritt 3: Für jede Nullstelle x0 der 2. Ableitung überprüfen, ob f ''(x) beim Fortschreiten von links nach rechts über die Nullstelle hinweg das Vorzeichen wechselt
bei VZW: Wendepunkt
kein VZW: kein Wendepunkt

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Frage

Wann liegt ein Tiefpunkt vor?

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Antwort

VZW von − nach + : relatives Minimum bei x0

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Frage

Wie berechnet man eine Nullstelle?

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Antwort

Man erhält sie, indem man den Funktionsterm gleich null setzt, also f(x) = 0, und diese Gleichung nach x auflöst.

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Frage

Was ist die Stammfunktion von 1?

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Antwort

x

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Frage

Was ist die Stammfunktion von 1/x?

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Antwort

ln x

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Frage

Was ist die Stammfunktion von sin x?

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Antwort

-cos x

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Frage

Was ist die Stammfunktion von cos x?

Antwort anzeigen

Antwort

sin x

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Frage

Was ist die Stammfunktion von e^x?

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Antwort

e^x

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Frage

Wie geht man bei der Berechnung einer Fläche zwischen Graph und x-Achse vor, wenn der Graph sowohl über als auch unter der x-Achse verläuft?

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Antwort

1. Schritt: Bestimmung der Nullstellen im Intervall [a; b]
2. Schritt: Untersuchung, welches Vorzeichen f (x) in den einzelnen Teilintervallen hat
3. Schritt: Bestimmung der Inhalte der Teilflächen und Addition dieser Werte

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Frage

Wie lautet die natürliche Logarithmusfunktion?

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Antwort

f(x)= ln x

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Frage

Welche Nullstelle besitzt die natürlich Logarithmusfunktion?

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Antwort

Die ln-Funktion hat eine Nullstelle bei x = 1.

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Frage

Was versteht mann unter der Betragsfunktion von f(x)?

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Antwort

Unter der Betragsfunktion von f(x) versteht man die Funktion | f(x) | .

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Frage

Wie entsteht der Graph der Betragsfunktion | f(x) |?

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Antwort

Der Graph der Betragsfunktion |f(x)| entsteht aus dem Graphen der Funktion f(x), indem alle unterhalb der x-Achse liegenden Teile des Graphen an der x-Achse nach oben gespiegelt werden.

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Frage

Was gibt eine Nullstellen des Nenners v(x) einer gebrochenrationalen Funktion noch an?

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Antwort

Nullstellen des Nenners v(x) sind Definitionslücken und mögliche
Polstellen der Funktion f.

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Frage

Wann ist eine Nullstellen des Zählers u(x) eine Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion?

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Antwort

Eine Nullstelle des Zählers ist nur dann Nullstelle der Funktion f, wenn sie nicht zugleich Nullstelle des Nenners ist.

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Frage

Wann ist eine Nullstelle des Nenners eine Polstelle?

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Antwort

  • Falls x0 keine Nullstelle des Zählers ist oder
  • x0 zugleich Nullstelle des Zählers und die Vielfachheit der Nullstelle
    im Nenner größer als die Vielfachheit der Nullstelle im Zähler ist.
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Frage

Wie können Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermittelt werden?

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Antwort

Z.B durch Linearfaktorzerlegung

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Frage

Wie können Quadratwurzelgleichungen gelöst werden?

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Antwort

Indem man einen Wurzelterm auf einer Seite der Gleichung isoliert und anschließend beide Seiten der Gleichung quadriert.

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