Quadratische Funktionen

Q: Was ist c in einer quadratischen Funktion?

Eine quadratische Gleichung hat folgende allgemeine Form: f(x) = ax 2 + bx + c Der Parameter a hat Auswirkungen auf die Form des Graphen. c ist das absolute Glied und gibt den y-Achsenabschnittspunkt an. Und b gibt an, wie steil der Graph am Punkt c ist.

Q: Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben?

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, welche entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen hat.

Q: Wie sehen quadratische Funktionen aus?

Quadratische Funktionen haben die Form einer Parabel. Diese kann entweder nach oben oder nach unten geöffnet sein. Objekte, die die Form einer Parabel haben, sind zum Beispiel: Regenbogen Brücke Tunnel Hügel

Q: Wann benutzt man quadratische Funktionen?

Quadratische Funktionen werden verwendet, um die Nullstellen einer Parabel herauszufinden, eine Parabel zu zeichnen, den Scheitelpunkt einer Parabel zu bestimmen und vieles mehr. Quadratische Funktionen sind in Mathe ein Thema, das Dich bis zum Abitur begleiten wird.

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Was haben eine Brücke, ein Tunnel, ein Regenbogen und ein Hügel gemeinsam?

Die Antwort lautet: Alle vier haben die Form einer Parabel. Eine Parabel entsteht durch eine quadratische Funktion. Doch was versteht man unter einer quadratischen Funktion?

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion ist ein Sonderfall einer Potenzfunktion. Quadratische Funktionen haben immer ein Polynom zweiten Grades, enthalten also immer ein $x^{2}$ in der Funktion. Sie haben jedoch keine höheren Potenzen, wie sie zum Beispiel $x^{3}, x^{4}, x^{5}, . . .$ , enthalten.

Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a, b und c ist eine Funktion der Form:

$f (x) = a x^{2} + b x + c m i t x \in ℝ, a \neq 0$

Der Koeffizient a ist eine reelle Zahl. Dabei ist es wichtig, dass diese Zahl nicht 0 ist. Im Gegensatz dazu können die Koeffizienten b und c alle reellen Zahlen annehmen – auch die 0.

$a x^{2}$ wird als quadratisches Glied bezeichnet, $b x$ als lineares Glied und $c$ als absolutes Glied.

Mehr zu diesem Thema findest Du im Artikel "Quadratische Gleichungen".

Darstellungsformen der quadratischen Funktion

Es gibt verschiedenen Darstellungsformen einer quadratischen Gleichung. Eine hast Du eben schon kennengelernt: die allgemeine Form. Es gibt aber auch noch die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form.

Name	Form	Beispiel
Allgemeine FormBei der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion $f (x)$ hat der Parameter a Auswirkungen auf die Form des Graphen. Der Parameter c gibt den y-Achsenabschnittspunkt an und der Parameter b gibt an, wie steil der Graph an diesem Punkt steigt.	$f (x) = a x^{2} + b x + c$	$f (x) = 5 x^{2} + 3 x + 7$
ScheitelpunktformBei einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt $S (d \| e)$ auf den ersten Blick abgelesen werden. a ist hier der Streckfaktor.	$f (x) = a \cdot {(x - d)}^{2} + e$	$f (x) = 4 \cdot (x - 3) + 2 \Rightarrow S (3 / 2)$
Faktorisierte FormBei der faktorisierten Form können auf den ersten Blick die Nullstellen $x_{1} u n d x_{2}$ abgelesen werden.	$f (x) = (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$	$\begin{array}{rcl} f (x) & = & (x - 5) \cdot (x + 2) \end{array}$ $\begin{array}{rcl} \Rightarrow & x_{1} = 5 \\ \Rightarrow & x_{2} = - 2 \end{array}$

Gerade ging es jetzt schon um die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Aber was ist das eigentlich?

Der höchste Punkt einer nach unten offenen, beziehungsweise der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet. Er hat folgende Form:

$S (d | e)$

Die verschiedenen Darstellungsweisen einer quadratischen Funktion können durch verschiedenen mathematische Verfahren ineinander umgerechnet werden.

Ursprüngliche Form	umgewandelte Form	Verfahren
Allgemeine Form	Scheitelpunktform	quadratische Ergänzung
Scheitelpunktform	Allgemeine Form	binomische Formel
Allgemeine Form	Faktorisierte Form	Nullstellen mit Mitternachtsformel berechnen und in faktorisierter Form einsetzten.
Faktorisierte Form	Allgemeine Form	Ausmultiplizieren

Die Scheitelpunktform und die faktorisierte Form lassen sich jeweils in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln. Um die Scheitelpunktform in die faktorisierte Form und umgekehrt umzuwandeln, kannst Du den Zwischenschritt über die allgemeine Form einbauen oder über die Achsensymmetrie der Nullstellen den Scheitelpunkt bestimmen und so die Scheitelpunktform erhalten.

Quadratische Funktionen Umrechnungen Allgemeine Form und Scheitelform StudySmarter Abbildung 1: Umrechnungen Allgemeine Form und Scheitelform

Quadratische Funktionen Umrechnungen Allgemeine Form und Faktorisierte Form StudySmarter Abbildung 2: Umrechnungen Allgemeine Form und Faktorisierte Form

Mehr zur Umwandlung von Scheitelpunktform zur allgemeinen Form und umgekehrt findest Du im Artikel "Scheitelpunkt berechnen".

Funktionen verändern – Beispiel

Im folgenden Beispiel lernst Du, wie Du die faktorisierte Form in die allgemeine Form und umgekehrt umwandeln kannst.

Aufgabe 1

Wandle die Funktion $f (x) = (x - 5) \cdot (x + 2)$ in die allgemeine Funktion um und dann wieder zurück in die faktorisierte Form.

Lösung

faktorisierte Form → allgemeine Form

Hier kannst Du direkt sehen, dass die Klammern noch ausmultipliziert werden können. Du musst also jede Zahl der einen Klammer mit jeder Zahl der anderen Klammer multiplizieren.

$f (x) = (x - 5) \cdot (x + 2) f (x) = x^{2} + 2 x - 5 x - 5 \cdot 2 f (x) = x^{2} - 3 x - 10$

allgemeine Form → faktorisierte Form

Hier musst Du als Erstes die Nullstellen der allgemeinen Form mit der Mitternachtsformel berechnen.

Zur Erinnerung: Mitternachtsformel $x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$\begin{array}{rcl} 0 & = & x^{2} - 3 x - 10 \\ x_{1 / 2} & = & \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2} \\ x_{1 / 2} & = & \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} \\ x_{1 / 2} & = & \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \\ \Rightarrow & x_{1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \\ \Rightarrow & x_{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 \end{array}$

Die Nullstellen betragen also $x_{1} = 5 u n d x_{2} = - 2$ . Diese kannst Du jetzt in die faktorisierte Form einsetzen.

$f (x) = (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) f (x) = (x - 5) \cdot (x + 2)$

Hier musst Du aufpassen, weil Du für $x_{2}$ die Zahl -2 einsetzt. Da aber schon ein Minus in der faktorisierten Form enthalten ist, musst Du beachten, dass Minus und Minus Plus ergibt.

Berechnen der Nullstellen einer quadratischen Funktion

Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, gibt es vier verschiedenen Möglichkeiten. Eine davon hast Du eben verwendet. Insgesamt kann eine quadratische Funktion entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen besitzen.

Name und Anwendung	Formel
Mitternachtsformel Mit der Mitternachtsformel kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen.	$x_{1 / 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
pq–Formel Mit der pq–Formel kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen. Wichtig dabei ist, dass $a = 1$ gilt.	$x_{1 / 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
Satz von VietaMit dem Satz von Vieta kannst Du die Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen. Wichtig dabei ist, dass $a = 1$ gilt. Mit diesem Satz überlegst Du Dir, welche Lösungen möglich sind und prüfst diese dann mit den Formeln.	$\begin{array}{rcl} - p & = & x_{1} + x_{2} \\ q & = & x_{1} \cdot x_{2} \end{array}$
quadratische ErgänzungBei der quadratischen Ergänzung wird die Funktionsgleichung so umgewandelt, dass sie die nebenstehende Form enthält. Anschließend kann dann eine binomische Formel angewendet werden.	$f (x) = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Wie die Berechnungsverfahren genau funktionieren, erfährst Du in den jeweiligen Artikeln.

Der Graph einer quadratischen Funktion

Bis jetzt hast Du viel über die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion gelernt, aber wie sieht es mit dem Graphen einer quadratischen Funktion aus?

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese Parabel kann entweder nach unten oder nach oben geöffnet sein. Der höchste Punkt einer nach unten offenen bzw. der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird Scheitel oder auch Scheitelpunkt genannt.

Eine Parabel kann zum Beispiel so aussehen:

Quadratische Funktionen Parabel StudySmarter Abbildung 3: Parabel

Parabeln dienen jedoch nicht nur zur Visualisierung von quadratischen Funktionen. Du kannst verschiedene charakteristische Parameter, wie den Scheitelpunkt oder den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Geraden auch berechnen. Außerdem kannst Du beispielsweise auch eine Tangente an einer Parabel konstruieren. Darüber hinaus gibt es noch weiere verschiedene Möglichkeiten, mit Parabeln zu rechnen.

Wie Du die eben genannten Punkte berechnen kannst, findest Du in den zugehörigen Artikeln.

Die Normalparabel

Um zu wissen, wie der Graph einer quadratischen Funktion verläuft, ist es wichtig den Verlauf der sogenannten Normalparabel zu kennen. Von ihr ausgehend, kannst Du andere Parabeln dann beschreiben.

Der zur Funktion Quadratische Funktionen Funktion einer Normalparabel StudySmarter gehörende Graph heißt Normalparabel.

Eine Normalparabel sieht folgendermaßen aus:

Quadratische Funktionen Normalparabel StudySmarter Abbildung 4: Normalparabel

Eine Normalparabel hat folgende Eigenschaften:

Sie ist nach oben geöffnet
Der Scheitelpunkt liegt bei $S (0 | 0)$
Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse
Sie geht durch die Punkte $P_{0} (1 | 1), P_{1} (- 1 | 1), P_{2} (2 | 4) u n d P_{3} (- 2 | 4)$ .

Veränderung der Parabel

Die Parameter a, b und c haben einen Einfluss auf die Form und Lage einer Normalparabel. Die Veränderungen der Parabel werden immer anhand der Normalparabel verglichen und ausgedrückt.

Skalierung (Strecken, Stauchen)
Spiegeln an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung
Verschieben entlang der x-Achse oder y-Achse

Richtung der Öffnung, Strecken und Stauchen von Parabeln

Der Parameter a einer quadratischen Funktion gibt an, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Des Weiteren ist er für die Streckung oder Stauchung zuständig.

Zur Erinnerung!

Die Formel für die allgemeine quadratische Funktion lautet: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Voraussetzung	Effekt	Abbildung
$a > 0$	Parabel ist nach oben geöffnet.	Abbildung 5: Parabel nach oben geöffnet
$a < 0$	Parabel ist nach unten geöffnet.	Abbildung 6: Parabel nach unten geöffnet
$\|a\| > 1$	Parabel ist in Richtung der x-Achse gestaucht, also ist sie schmaler als die Normalparabel.	Abbildung 7: Parabel stauchen
$\|a\| < 1$	Parabel ist in Richtung der x-Achse gestreckt, also ist sie breiter als die Normalparabel.	Abbildung 8: Parabel strecken

Spiegelung von Parabeln

Die Normalparabel, mit der Funktionsgleichung $f (x) = x^{2}$ , ist hier die Ausgangsgleichung.

Voraussetzung	Effekt	Abbildung
$g (x) = - f (x)$	Spiegelung der Parabel an der x-Achse.	Abbildung 9: Spiegelung an der x-Achse
$h (x) = f (- x)$	Spiegelung der Parabel an der y-Achse.	Abbildung 10: Spiegelung an der y-Achse
$k (x) = - f (- x)$	Spiegelung der Parabel am Ursprung.	Abbildung 11: Spiegelung am Ursprung

Verschiebung von Parabeln

Um eine Funktion an der x-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:

$g (x) = (x - d)^{2}$

Um eine Funktion entlang der y-Achse zu verschieben, gilt Folgendes:

$g (x) = x^{2} + e$

Voraussetzung	Effekt	Abbildung
$d > 0$	Die Parabel wird an der x-Achse nach rechts verschoben.	Abbildung 12: Parabel nach rechts verschoben
$d < 0$	Die Parabel wird an der y-Achse nach links verschoben.	Abbildung 13: Parabel nach links verschoben
$e > 0$	Die Parabel wird an der y-Achse nach oben verschoben.	Abbildung 15: Parabel nach oben verschoben
$e < 0$	Die Parabel wird an der y-Achse nach unten verschoben.	Abbildung 16: Parabel nach unten verschoben

Genauere Erklärungen sowie Beispiele, findest Du im Artikel "Quadratische Funktion verändern".

Zeichnen einer Parabel

Um eine Parabel zu zeichnen, reicht es nicht, wie bei linearen Funktionen, die Werte aus der Funktionsgleichung abzulesen. Die Funktionen können Dir bei ein paar Punkten helfen, Du kannst jedoch keine gesamte Parabel damit zeichnen.

Im Folgenden wird das Vorgehen beim Zeichnen einer Parabel anhand eines Beispiels erklärt.

Aufgabe 2

Zeichne die Parabel f zu folgender Funktionsgleichung $f (x) = (x - 3) \cdot (x + 6)$ .

Lösung

1. Schritt

Als Erstes kannst Du, wie gerade erwähnt, alle Werte aufschreiben, die Du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. In diesem Fall sind das die Nullstellen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = - 6$ .

2. Schritt

Als Nächstes musst Du, wenn Du ihn nicht schon ablesen konntest, den Scheitelpunkt berechnen.

Wie das funktioniert, lernst Du im Artikel "Scheitelpunkt berechnen".

Da das hier zu weit führen würde, ist hier der Scheitelpunkt S der gefragten Funktionsgleichung gegeben.

$S (- 1, 5 | - 20, 25)$

3. Schritt

Danach kannst Du eine Wertetabelle anlegen.

Wenn Du schon einen Taschenrechner hast, dann kannst Du sehr viele Werte ausrechnen. Dein Taschenrechner kann eine Wertetabelle erstellen, die von einem von Dir definierten Wert a bis zu einem ebenfalls von Dir definierten Wert b geht. Auch die Größe der Schritte, also die Abstände, in denen x-Werte eingesetzt und berechnet werden, kannst Du Dir so berechnen lassen.

Rechnest Du per Hand, dauert das deutlich länger und Du musst Dir besser überlegen, welche Werte Du berechnest. Es reicht jedoch immer, wenn Du nur Werte auf einer Seite des Scheitelpunkts berechnest, da eine Parabel ja immer achsensymmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt S ist.

Für dieses Beispiel kann eine Wertetabelle beispielsweise so aussehen:

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2
y	-8	-14	-18	-20	-20	-18	-14	-8

4. Schritt

Zum Schluss kannst Du dann noch die Punkte, die Du mit der Wertetabelle berechnet hast, in Dein Koordinatensystem eintragen und diese verbinden.

Quadratische Funktionen Parabel zeichnen StudySmarter Abbildung 16: Parabel zeichnen

Quadratische Funktionen – Das Wichtigste

Eine quadratische Funktion mit den reellen Koeffizienten a, b und c ist eine Funktion der Form: $f (x) = a x^{2} + b x + c m i t x \in ℝ, a ≢ 0$ .
Quadratische Funktionen können in 3 verschiedenen Varianten dargestellt werden
- allgemeine Form: $f (x) = a x^{2} + b x + c$
- Scheitelpunktform: $f (x) = a \cdot {(x - d)}^{2} + e$
- Faktorisierte Form: $f (x) = (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})$ .
Der höchste Punkt einer nach unten offenen beziehungsweise der tiefste Punkt einer nach oben offenen Parabel wird als Scheitel oder Scheitelpunkt bezeichnet: $S (d | e)$ .
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können mit 4 verschiedenen Mitteln berechnet werden:
- Mitternachtsform
- pq–Formel
- Satz von Vieta
- quadratische Ergänzung.
Der Graph einer quadratischen Funktion wird Parabel genannt.
Der zur Funktion gehörende Graph heißt Normalparabel.
Es gibt folgende Möglichkeiten, eine Parabel zu verändern:
- Skalierung (Strecken, Stauchen)
- Spiegeln an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung
- Verschieben entlang der x-Achse oder y-Achse.
Folgende Schritte müssen befolgt werden, um eine Parabel zu zeichnen
- Werte aus der Funktionsgleichung ablesen
- eventuell Scheitelpunkt berechnen
- Wertetabelle anfertigen
- Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und verbinden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Funktionen

Eine quadratische Gleichung hat folgende allgemeine Form:

f(x) = ax²+ bx + c

Der Parameter a hat Auswirkungen auf die Form des Graphen. c ist das absolute Glied und gibt den y-Achsenabschnittspunkt an. Und b gibt an, wie steil der Graph am Punkt c ist.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, welche entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen hat.

Quadratische Funktionen haben die Form einer Parabel. Diese kann entweder nach oben oder nach unten geöffnet sein.

Objekte, die die Form einer Parabel haben, sind zum Beispiel:

Regenbogen
Brücke
Tunnel
Hügel

Quadratische Funktionen werden verwendet, um die Nullstellen einer Parabel herauszufinden, eine Parabel zu zeichnen, den Scheitelpunkt einer Parabel zu bestimmen und vieles mehr. Quadratische Funktionen sind in Mathe ein Thema, das Dich bis zum Abitur begleiten wird.

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Nenne die Schritte, um mit dem Satz von Vieta die zweite Nullstelle einer quadratischen Funktion zu berechnen, wenn die erste Nullstelle gegeben ist.

Umstellen der Bedingung $x_1+x_2=−p$ nach $x_2$
Umstellen der Bedingung $x_1⋅x_2=q$ nach $x_2$
Einsetzen von $x_1$, $p$ und $q$ in die beiden Ansätze und Vergleich beider Ergebnisse für $x_2$

Erkläre, was $p$ und $q$ in einer quadratischen Gleichung und wieso sie beim Satz von Vieta eine Rolle spielen.

$p$ und $q$ sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung in der Normalform $x^2+px+q$ und werden beim Satz von Vieta in Zusammenhang mit den Lösungsvariablen $x_1$ und $x_2$ definiert.

Gebe an, für welche Art von quadratischen Gleichungen der Satz von Vieta angewendet werden kann.

Für quadratische Gleichungen in der Normalform: $x^2+px+q=0$

Entscheide, was die beiden Zusammenhänge des Satzes von Vieta zwischen den Lösungsvariablen $x_1$ und $x_2$ und den Koeffizienten $p$ und $q$ sind.

$x_1+x_2=-p$

Entscheide, ob der Satz von Vieta auch für die Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen angewendet werden kann.

Ja, mit dem Satz von Vieta können die Nullstellen quadratischer Funktionen gefunden werden.

Beschreibe die Schritte bei der Anwendung des Satzes von Vieta zur Nullstellenberechnung einer quadratischen Funktion $f(x)$.

Schritt: Funktion $f(x)$ gleich $0$ setzen: $f(x)=0$.
Schritt: Setze die Werte für $q$ und $p$ aus Deiner Gleichung ein.
Schritt: Teiler vom Koeffizienten $q$ bestimmen und kontrollieren, ob $x_1 \cdot x_2=q$.
Schritt: Überprüfe dann, ob für diese Zahlen auch für die Summe $x_1+x_2=-p$ gelten.

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