Kurvendiskussion Polynomfunktion

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Der Graph, den Du hier siehst, ist ein Graph einer Polynomfunktion. Du wirst die Kurvendiskussion von Polynomfunktionen regelmäßig, neben den gebrochen-rationalen oder quadratischen Funktionen, in deiner Schullaufbahn sehen und berechnen. Dieser Artikel bietet Dir eine Anleitung, eine Art "Kochrezept", wie Du am besten und schnellsten eine Kurvendiskussion zu einer Polynomfunktion durchläufst und alles Nötige berechnest.

Kurvendiskussion Polynomfunktion Einleitungsgraph StudySmarter Abbildung 1: Graph einer Polynomfunktion

Kurvendiskussion Polynomfunktion Vorgehensweise – Beispiel

Du wirst in diesem Artikel Schritt für Schritt eine ganze Kurvendiskussion für das Polynom $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8$ erklärt bekommen. Der Graph dieses Polynoms sieht wie folgt aus:

Kurvendiskussion Polynomfunktion Graph der Beispielfunktion StudySmarter Abbildung 2: Graph des Beispielpolynoms

Die oben genannten Schritte, welche essentiell für eine gute Kurvendiskussion sind, sind folgende:

1. Definitionsmenge von f(x) herausfinden

2. Wertemenge bestimmen

3. Symmetrie von f(x) berechnen

4. Grenzwerte finden

5. Nullstellen berechnen

6. Monotonieverhalten herausfinden

7. Extrempunkte berechnen

8. Krümmung und Wendepunkte berechnen

1. Definitionsmenge von f(x)

Um die Definitionsmenge des Polynoms f(x) herauszufinden, schaust Du, ob die Funktion durchgängig definiert ist. Das heißt, Du überprüfst, ob Du für jeden eingesetzten x-Wert auch einen y-Wert zurückbekommst.

Im Fall des gegebenen Beispielpolynoms gibt es für jeden einsetzbaren x-Wert einen y-Wert zurück. Somit ist diese Polynomfunktion durchgängig definiert. Geschrieben wird das als $D_{f (x)} = ℝ$ ; gelesen wird es als "Die Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen".

Falls eine Definitionslücke auftritt, schreibst du diese beispielsweise als $D_{f (x)} = ℝ \ {1}$ . Gelesen wird es als "Die Definitionsmenge ist die Menge aller reellen Zahlen ohne 1".

Aufgabe 1

Gib die Definitionsmenge für f(x) an.

Lösung

Die Definitionsmenge von f(x) ist

$D_{f (x)} = ℝ$

Jede Polynomfunktion ist eine ganz-rationale Funktion. Jede ganz-rationale Funktion hat niemals Definitionslücken, weswegen auch keine Polynomfunktion jemals Definitionslücken haben wird.

2. Wertemenge von f(x)

Die Wertemenge von f(x) beschreibt alle y-Werte, die das Polynom annehmen kann. Hier gibst du keine Menge an, wie bei der Definitionsmenge, sondern einen fest definierten Intervall.

Aufgabe 2

Gib die Wertemenge für f(x) an.

Lösung

Für die Lösung des Wertebereichs schaust Du Dir immer an, welche y-Werte der Graph annehmen wird. Jeder Wert, den der Graph berührt, wie $y = - 9$ ist im Intervall enthalten. Der kleinste negative y-Wert des Graphen ist dabei immer die untere Grenze des Intervalls. Wenn der Graph, wie im Beispiel, ins Positive unendliche weiterläuft, schreibst Du $\infty$ als obere Grenze des Intervalls.

W_{f (x)} = [- 9; \infty)

Die eckige und runde Klammer des Wertemengenintervalls zeigen Dir, ob eine Zahl enthalten ist oder nicht. Die -9 ist eingeschlossen, d.h. der Graph berührt an seiner niedrigsten Stelle -9 auf der y-Achse. Das Unendlich-Zeichen ist ausgeschlossen, da unendlich niemals erreicht werden kann. Dies erkennst Du an der runden Klammer.

3. Symmetrie

Die Symmetrie ist bei Polynomfunktionen sehr wichtig, da sie Dir bei einer Achsensymmetrie die Hälfte der Arbeit abnehmen kann. Du untersuchst hier, ob Deine Funktion entweder achsensymmetrisch zur y-Achse, oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Bedingung für Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x), d.h.: Wenn Du -x anstatt x in Deine Funktion einsetzt, musst Du wieder die ursprüngliche Funktion f(x) erhalten Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = -f(x), d.h.: Wenn Du -x anstatt x in Deine Funktion einsetzt, musst Du eine negative ursprüngliche Funktion -f(x) erhalten

Aufgabe 3

Berechne die Symmetrie für die gegebene Polynomfunktion.

Lösung

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 2 {(- x)}^{2} - 8 = x^{4} - 2 x^{2} - 8 = f (x)$

Demnach ist bewiesen, dass die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Dadurch musst Du auch nicht mehr die Punktsymmetrie berechnen, da immer nur eine Symmetrie vorhanden sein kann.

4. Grenzwerte

Die Grenzwerte sind wichtig, um sehen zu können, wo der Graph für besonders große oder kleine x-Werte hinführt.

Grenzwerte werden mit dem Limes berechnet. Hierfür nimmst du immer $\lim_{x \to \infty}$ und $\lim_{x \to - \infty}$

Aufgabe 4

Berechne die Grenzwerte für die gegebene Funktion.

Lösung

Die Berechnung des Grenzwertes kannst Du auch schnell im Kopf rechnen. Setze eine sehr große Zahl für x ein, welche dasselbe Vorzeichen hat, wie der Grenzwert, den Du Dir anschaust, und schau Dir an, was theoretisch rauskommt. Kommt einer sehr große positive Zahl als Ergebnis, ist der Grenzwert bei $+ \infty$ . Kommt eine große negative Zahl als Ergebnis, ist der Grenzwert bei $- \infty$ . Bekommst Du hingegen eine Zahl, die nahe an der 0 ist, ist der Grenzwert 0.

Ein Beispiel für eine solche theoretische Berechnung wäre:

$f (1000) = 1000^{4} - 2 \cdot 1000^{2} - 8 = 999997999992$

In diesem Beispiel wurde in die Funktion f(x) für $x = 1000$ eingesetzt. Als Ergebnis wäre eine sehr große positive Zahl herausgekommen, also ist das Ergebnis $+ \infty$ .

$\lim_{x \to \infty} f (x) = 10.000 . 000^{4} - 2 \cdot 10.000 . 000^{2} - 8 = \infty$

Die Berechnung des Limeswertes für $x \to - \infty$ kannst Du Dir, aufgrund der bewiesenen Achsensymmetrie, sparen. Dies siehst Du auch gut im Graphen, da er von "links oben" ( $- \infty$ ) nach "rechts oben" ( $+ \infty$ ) verläuft.

5. Berechnung der Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion berechnest Du, in dem Du die gesamte Funktion gleich null setzt.

Jede Funktion hat im Idealfall immer so viele Nullstellen, wie ihr höchster Exponent groß ist.

Im speziellen Fall der gegebenen Polynomfunktion f(x) solltest Du vorher die Substitution anwenden, da Du mit $x^{4}$ nicht die Mitternachtsformel anwenden kannst.

Substitutionsbeispiel:

$x^{4} + 3 x^{2} + 5 = z^{2} + 3 z + 5$

In diesem Beispiel wurde $x^{2}$ zu z substituiert.

Zur Erinnerung: Du substituierst, indem Du z.B. für $x^{2} = z$ einsetzt.

Aufgabe 5

Berechne die Nullstellen von f(x).

Lösung

Als ersten Schritt solltest Du die Ursprungsfunktion f(x) substituieren, um sie in die Mitternachtsformel einsetzen zu können.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 8 = z^{2} - 2 z - 8$

Nun wendest Du die Mitternachtsformel an, um die zwei Nullstellen der substituierten Funktion herauszufinden.

$z_{1, 2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$

$z_{1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ $z_{2} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$

Um die Nullstellen Deiner Ursprungsfunktion f(x) herausfinden zu können, musst Du Deine substituierte Formel wieder resubstituieren. Dies funktioniert, indem Du $x = \pm \sqrt{z}$ anwendest. Für z setzt Du hier erst $z_{1}$ und anschließend $z_{2}$ ein.

$x_{1} = \sqrt{4} = 2$ , $x_{2} = - \sqrt{4} = - 2$

x_{3}

und

x_{4}

kannst du nicht berechnen, da du keine negativen Wurzeln ausrechnen kannst.

Kurvendiskussion Polynomfunktion Nullstellen der Funktion f(x) StudySmarter Abbildung 3: Nullstellen von f(x)

6. Monotonieverhalten des Graphen

Im sechsten Schritt rechnest Du das Monotonieverhalten des Graphen aus und findest heraus, wo er monoton steigend oder monoton fallend ist.

Für die Berechnung der Monotonie brauchst Du die erste Ableitung der Polynomfunktion f(x).

Aufgabe 6

Berechne das Monotonieverhalten von f(x).

Lösung

f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x = 0

Um die Monotonie leichter bestimmen zu können, berechnest Du die Nullstellen der ersten Ableitung.

Wenn Du in der ersten Ableitung ein Polynom dritten Grades hast, findest Du durch Ausklammern sofort die erste Nullstelle

$f^{'} (x) = 4 x (x^{2} - 1)$

Die erste Nullstelle hast Du durch Ausklammern als $x_{1} = 0$ gefunden.

Für die nächsten zwei Nullstellen schaust Du Dir anschließend nur den Term in den Klammern an und löst diesen nach x auf.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 1 & = & 0 \begin{matrix} | + 1 \end{matrix} \\ x^{2} & = & 1 \begin{matrix} | \sqrt{} \end{matrix} \\ x & = & \sqrt{1} = \pm 1 \end{array}$

Damit hast Du die drei Nullstellen der ersten Ableitung als $x_{1} = 0$ ; $x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 1$ herausgefunden.

Bestimme nun die Monotonie zwischen Deinen berechneten Nullstellen mit Hilfe einer Monotonie-Tabelle

Um herauszufinden, ob Deine Ableitung für den betrachteten Bereich kleiner oder größer als null ist, musst du für x eine Zahl aus diesem Bereich einsetzen und ausrechnen.

$x$	$x < - 1$	$- 1$	$- 1 < x < 0$	$0$	$0 < x < 1$	$1$	$x > 1$
$f^{'} (x)$	<0	0	>0	0	<0	0	>0

In der erstellten Tabelle kannst Du nun das Monotonieverhalten für die Bereiche zwischen Deinen errechneten Nullstellen ablesen. Wenn Deine erste Ableitung kleiner Null ist, ist der Graph in diesem Bereich streng monoton fallend, wenn sie größer Null ist, streng monoton steigend.

Aus der Tabelle kannst Du ablesen, dass der Graph in den Bereichen $x < - 1$ und zwischen 0 und 1 streng monoton fallend ist. In den Bereichen zwischen -1 und 0 und $x > 1$ ist er streng monoton steigend.

7. Extrempunkte

Für die Berechnung der Extrempunkte Deiner Funktion f(x) benötigst Du erneut die Nullstellen aus Schritt 6.

Aus der Monotonie-Tabelle geht hervor, dass die Steigung an den Nullstellen 0 ist. Dementsprechend muss dort ein Extremum vorhanden sein.

Diese Nullstellen stellen die x-Koordinaten der Extrempunkte dar. Die y-Koordinaten berechnest Du, indem Du die errechneten Nullstellen $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ für x in das Ursprungspolynom f(x) einsetzt.

Aufgabe 7

Berechne die Lage der drei Extrempunkte.

Lösung

$f (0) = 0^{4} - 2 \cdot 0^{2} - 8 = - 8$

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 8 = 1 - 2 - 8 = - 9$

Den Extrempunkt in $x = 1$ brauchst Du hier nicht berechnen, da Du in Schritt 3 die Achsensymmetrie bewiesen hast.

Somit erhältst Du ein relatives Minimum in den Punkten $A (- 1 | - 9)$ und in $C (1 | - 9)$ und ein relatives Maximum im Punkt $B (0 | - 8)$ .

Kurvendiskussion Polynomfunktion Extrempunkte der Funktion f(x) StudySmarter Abbildung 4: Extrempunkte von f(x)

8. Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Für die Berechnung des Krümmungsverhaltens benötigst Du die zweite Ableitung der Ursprungsfunktion f(x). Nachdem Du die zweite Ableitung gebildet hast, berechnest Du die Nullstellen dieser Ableitung und erstellst, wie in Punkt 6, wieder einer Tabelle, in welcher Du Dir die Bereiche vor und nach den Nullstellen betrachtest.

Um Dir die Rechts- oder Linkskrümmung besser merken zu können, kannst Du Dir vorstellen, den Graphen von links nach rechts mit einem Auto abzufahren. Wenn Du mit dem Lenkrad des Autos nach links lenkst, ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt. Wenn Du nach rechts lenkst, ist er rechtsgekrümmt.

Aufgabe 8

Berechne das Krümmungsverhalten von f(x) mit Hilfe einer Krümmungs-Tabelle.

Lösung

$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 4$

In dieser zweiten Ableitung fehlt Dir das b aus der Mitternachtsformel. Setze dafür in der Formel 0 ein.

$x_{1, 2} = \frac{0 \pm \sqrt{0^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 12} = \frac{\pm \sqrt{192}}{24} = \frac{\pm 8 \sqrt{3}}{24}$

$x_{1} = \frac{8 \sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $x_{2} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{24} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

x	$x < \frac{- \sqrt{3}}{3}$	$\frac{- \sqrt{3}}{3}$	$\frac{- \sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$x > \frac{\sqrt{3}}{3}$
$f^{''} (x)$	$> 0$	0	$< 0$	0	$> 0$

Wenn der Wert für die zweite Ableitung in der Tabelle kleiner Null ist, ist die Funktion in diesem Bereich rechtsgekrümmt; wenn er größer Null ist, ist sie linksgekrümmt.

Somit kannst Du aus der Tabelle ablesen, dass der Graph in den Bereichen $x < \frac{- \sqrt{3}}{3}$ und $x > \frac{\sqrt{3}}{3}$ linksgekrümmt und im Bereich zwischen $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ rechtsgekrümmt ist.

Für die Koordinaten der Wendepunkte musst Du die errechneten Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ in das Ursprungspolynom f(x) einsetzen. So erhältst Du die y-Koordinaten der zwei Wendepunkte.

$f (\frac{- \sqrt{3}}{3}) = {(\frac{- \sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{- \sqrt{3}}{3})}^{2} - 8 = - \frac{77}{9}$

Aufgrund der bewiesenen Achsensymmetrie brauchst Du auch hier nicht noch einmal mit $\frac{\sqrt{3}}{3}$ rechnen.

Somit erhältst Du die Wendepunkte WP1 $(\frac{- \sqrt{3}}{3} | - \frac{77}{9})$ und WP2 $(\frac{\sqrt{3}}{3} | \frac{- 77}{9})$ .

Kurvendiskussion Polynomfunktion Wendepunkte der Funktion f(x) StudySmarter Abbildung 5: Wendepunkte von f(x)

Kurvendiskussion Polynomfunktion – Das Wichtigste

Die Definitionsmenge beschreibt die Menge an x-Werten, die die Funktion annehmen kann.
Die Wertemenge beschreibt jeden y-Wert, den die Funktion annehmen wird.
Die Symmetrie ist entweder achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung. Achsensymmetrie kann Dir viel Arbeit ersparen.
Die Grenzwerte einer Funktion sind wichtig, um sie richtig einordnen zu können
Nullstellen berechnest Du mit f(x) = 0.
Mit der Monotonie-Tabelle bekommst Du auf einen Blick die Lage und Art der Extrempunkte heraus
Durch die Krümmungs-Tabelle erhältst Du schnell die Wendepunkte.
Hier hast Du die erarbeiteten Punkte nochmal im Graphen

Kurvendiskussion Polynomfunktion Vollständiger Graph der Funktion f(x) StudySmarter

Abbildung 6: Graph von f(x) mit den erarbeiteten Daten

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kurvendiskussion Polynomfunktion

Die Nullstellen einer Funktion berechnest Du, indem du die Ursprungsfunktion f(x) Null setzt.

Die Monotonie einer Funktion berechnest Du, indem du die erste Ableitung Null setzt.

Die Kurvendiskussion ist eine umfangreiche Diskussion einer Funktion. Sie enthält die Festlegung des Definitionsbereichs und des Wertebereichs. Außerdem berechnest du die Grenzwerte deiner Funktion, sowie die Nullstellen, die Extrempunkte, die Monotonie und das Krümmungsverhalten.

Die Definitionsmenge gibt dir die Menge aller x-Werte an, für die deine Funktion definiert ist. Definiert bedeutet, dass, wenn du einen x-Wert in deine Funktion einsetzt, du auch einen y-Wert berechnen kannst. Ist ein x-Wert nicht definiert, erhältst du eine Definitionslücke an dieser Stelle.

Um Dir die Rechts- oder Linkskrümmung besser merken zu können, kannst Du Dir vorstellen den Graphen von links nach rechts mit einem Auto abzufahren. Wenn Du mit dem Lenkrad des Autos nach links lenkst, ist der Graph an dieser Stelle linksgekrümmt. Wenn Du nach rechts lenkst, ist er rechtsgekrümmt.

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Erläutere die Berechnung von Nullstellen eines Polynoms.

Bei der Berechnung von Nullstellen wird die ganze Funktion f(x) gleich 0 gesetzt.

Erkläre den Begriff monoton steigend.

Monoton steigend bedeutet, dass die Steigung des Graphen an dieser Stelle dauerhaft positiv ist und der Graph steigt.

Was gibt die Definitionsmenge an?

Die Definitionsmenge gibt die Menge aller x-Werte an, für die die Funktion definiert ist.

Wie berechnest du in 3 Schritten die Nullstellen eines Polynoms 4. Grades?

1. Substituieren, dass ein Polynom zweiten Grades bleibt.

2. Dieses neue Polynom in die Mitternachtsformel einsetzen und ausrechnen.

3. Resubstituieren.

Was ist das Kriterium für Achsensymmetrie?

f(-x) = f(x)

Was ist das Kriterium für Punktsymmetrie?

f(-x) = -f(x)

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