Sekante

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Der Begriff Sekante hat sich aus dem lateinischen Verb secare entwickelt, was "schneiden" bedeutet.

Sekante schneiden StudySmarter

Was eine Sekante genau ist, was sie schneidet und wie man sie berechnen kann, lernst du in diesem Artikel.

Sekante – Definition

Eine Sekante ist eine besondere Gerade, deren Name sich mit gutem Grund aus diesem lateinischen Wort herleiten lässt:

Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine geometrische Figur in zwei Punkten schneidet.

Sekanten gibt es im Koordinatensystem (in der Analysis), aber auch in der Geometrie. In der Geometrie konstruiert man sie an verschiedenen Figuren, zum Beispiel an Kreisen oder Ellipsen. Wenn es um Sekanten im Koordinatensystem geht, ist man nicht nur daran interessiert, Sekanten zu zeichnen, sondern auch sie zu berechnen.

Sekante, Tangente und Passante

Neben der Sekante gibt es noch zwei andere besondere Geraden, die in diesem Zusammenhang gemeinsam genannt werden. Diese sind die Tangente und die Passante.

Die Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine Figur an einem Punkt berührt.
Die Passante ist eine Gerade, die eine Kurve oder eine Figur weder berührt, noch schneidet, also daran vorbeiläuft.

In dieser Abbildung siehst du diese drei besonderen Geraden an einer Kurve:

Sekante Tangente, Sekante und Passante an einer Kurve StudySmarter Abbildung 1: Tangente, Sekante und Passante an einer Kurve

In diesem Artikel geht es um die Sekante als funktionale Gerade, also im Koordinatensystem.

Möchtest du die Tangente im Bereich der Geometrie genauer anschauen, speziell im Zusammenhang mit Kreisen, dann schaue dir den Artikel "Geraden am Kreis" an.

Die Sekante als funktionale Gerade

Für die ebene Geometrie – also die Geometrie im zweidimensionalen – reicht die Definition aus dem letzten Abschnitt aus. Doch in der Analysis – also beim Betrachten von Sekanten an Kurven oder Funktionsgrafen – nutzt man meistens eine andere Definition der Sekante:

Eine Sekante ist eine Funktion $s (x)$ , die eine Funktion $f (x)$ in mindestens zwei Punkten $P (x_{0} | f (x_{0})) u n d Q (x_{1} | f (x_{1}))$ schneidet. Ihre Steigung wird als Sekantensteigung $m_{S}$ bezeichnet. Eine Sekante hat die gleiche Form wie eine lineare Gleichung:

$s (x) = m_{S} \cdot x + t$

Die folgende Abbildung stellt ein Beispiel für eine Sekante $s (x) = 0, 5 x + 0, 5$ an der Kurve $f (x) = 5 x^{2} - 1$ dar.

Sekante Beispiel Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 2: Sekante

Sekante berechnen

Wie oben bereits erwähnt, geht es in der Analysis hauptsächlich darum, Sekanten zu berechnen. Dafür muss die Sekantensteigung berechnet und anschließend die Sekantengleichung aufgestellt werden.

Sekantensteigung berechnen

Da eine Sekante die Standardform einer Gerade hat, ist die Berechnung der Steigung über die Punkt-Steigungs-Form möglich.

Du erinnerst dich bestimmt daran, dass wenn zwei Punkte $P_{0} (x_{0} | f (x_{0}))$ und $P_{1} (x_{1} | f (x_{1}))$ vorgegeben sind, die Steigung der durch diese zwei Punkte verlaufenden Gerade sehr einfach zu berechnen ist, indem die gegebenen Werte in die Formel $m = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}}$ eingesetzt werden.

Dieses Prinzip kannst du auch auf die Sekante übertragen:

Die Steigung einer Sekante $g (x)$ , die durch die Punkte $P (x_{0} | f (x_{1})) u n d Q (x_{1} | f (x_{1}))$ geht, wird mit folgender Formel berechnet:

$m_{S} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}$

Diese Steigung brauchst du, um die Sekantengleichung aufstellen zu können. Im folgenden Abschnitt wirst du genau das lernen. Davor findest du aber noch eine Vertiefung, die dir erklärt, wie die Steigung einer Sekante mit dem Integral zusammenhängt.

Sekantensteigung gleich Integral

Die eben gelernte Formel ist gleichzeitig auch der Differenzquotient der Funktion $f$ im Intervall $[x_{0}, x_{1}]$ . Wenn der zweite Punkt $x_{1}$ gegen den ersten Punkt $x_{0}$ geht, konvergiert die Steigung der Sekante gegen die Steigung der Tangente. Was so viel bedeutet wie, wenn $x_{1}$ immer näher an $x_{0}$ geht, die Steigung der Sekante $m_{s}$ immer näher an die Steigung der Tangente $m_{t} = f' (x_{0})$ kommt.

Sekantengleichung bestimmen

Bei der Sekante hast du bereits gelernt, dass die lineare Funktion mindestens zwei Schnittpunkte mit dem Funktionsgraphen hat. Um hier die richtige Funktionsgleichung möglichst schnell aufzustellen, kannst du die folgenden zwei Schritte befolgen:

Sekantensteigung bestimmen
Schnittstelle mit der y-Achse berechnen

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f (x) = 3 x^{2} + 1$ . Du sollst eine Sekante durch die Punkte $P (- 1 | 4)$ und $Q (2 | 13)$ ziehen.

Lösung

1. Sekantensteigung berechnen

Als Erstes schreibst du die oben gelernte Formel für die Sekantensteigung auf.

$m_{S} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}$

Als Nächstes notierst du, welchen Werten diese Variablen in unserem Beispiel entsprechen.

$\begin{array}{rcl} f (x_{0}) & = & y_{0} = 4 \\ f (x_{1}) & = & y_{1} = 13 \\ x_{0} & = & - 1 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Diese Werte kannst du jetzt in die Formel einsetzen und das Ergebnis ausrechnen.

$m_{S} = \frac{13 - 4}{2 - (- 1)} m_{S} = \frac{9}{2 + 1} m_{S} = \frac{9}{3} = 3$

Die Steigung $m_{S}$ der Sekante ist also 3.

2. Schnittstelle mit der y-Achse berechnen

Um die Schnittstelle mit der y-Achse zu erhalten, nimmst du einen der beiden gegebenen Punkte, setzt die vorhandenen Werte ein und löst diese Gleichung auf.

Welchen der beiden Schnittpunkte du verwendest, ist egal. Das Ergebnis ist in beiden Fällen das Gleiche.

Wenn du den Punkt $Q (2 | 13)$ verwendest, dann sieht die Rechnung so aus:

Als Erstes schreibst du dir die allgemeine Formel für die Sekante auf.

$s (x) = m_{S} \cdot x + t$

Dann setzt du die bisher bekannten Werte in die Gleichung ein und löst nach t auf.

Denk daran, die Steigung $m_{S}$ war 3.

$\begin{array}{rcl} 13 & = & 3 \cdot 2 + t \\ 13 & = & 6 + t - 6 \\ t & = & 13 - 6 \\ t & = & 7 \end{array}$

Entscheidest du dich mit dem Punkt $P (- 1 | 4)$ zu arbeiten, dann sieht die Rechnung so aus:

$\begin{array}{rcl} s (x) & = & m_{S} \cdot x + t \\ 4 & = & 3 \cdot (- 1) + t \\ 4 & = & - 3 + t + 3 \\ t & = & 4 + 3 \\ t & = & 7 \end{array}$

Wie du siehst, liegt der y-Achsenabschnittspunkt in beiden Fällen bei 7.

Wenn du jetzt die Sekantensteigung und den y-Achsenabschnittspunkt in die Sekantengleichung einsetzt, so lautet diese:

$s (x) = 3 x + 7$

Trägst du diese zusammen mit der geschnittenen quadratischen Funktion $f (x) = 3 x^{2} + 1$ in ein Koordinatensystem ein, so erhältst du folgende Darstellung:

Sekante Aufgabe Graph StudySmarter Abbildung 3: Sekante und Graph

Sekante einzeichnen

Wenn du eine Sekante in ein Koordinatensystem einzeichnen sollst, gibt es zwei mögliche Angaben:

1. Zeichne eine Sekante zu einem gegebenen Graphen

In diesem Fall kannst du einfach eine beliebige Gerade in das Koordinatensystem einzeichnen, die den Graphen f(x) an zwei Stellen schneidet. An mehr bist du in einer solchen Aufgabe nicht gebunden.

Gegeben ist der Graph $f (x) = 2 x^{2} + 1$ . Zeichne eine beliebige Sekante dazu.

Die Lösung zu dieser Aufgabe kann zum Beispiel so aussehen:

Sekante beliebige Sekante einzeichnen StudySmarter Abbildung 4: beliebige Sekante einzeichnen

2. Eine bestimmte Sekante einzeichnen

In diesem Fall gehst du genauso vor, wie du bei jeder anderen linearen Gleichung auch vorgehen würdest. Du zeichnest dir den y-Achsenabschnittspunkt t ein. Dann zeichnest du die Steigung von diesem Punkt an ein. Dann musst du nur noch den Endpunkt der Steigung mit dem y-Achsenabschnittspunkt verbinden.

Aufgabe 2

Zeichne die Sekante $s (x) = 0, 5 x + 3$ in das Koordinatensystem ein.

Sekante Graph f(x) StudySmarter Abbildung 5: Graph f(x)

Lösung:

Zeichne den y-Achsenabschnittspunkt $t = 3$ ein.
Zeichne die Steigung $m_{S} = \frac{1}{2}$ von t aus ein.
Verbinde den Endpunkt der Steigung mit dem y-Achsenabschnittspunkt.

Wenn du nicht mehr weißt, wie du die Steigung einer linearen Funktion einzeichnen sollst, dann lies dir den Artikel zum Thema lineare Funktion durch.

Sekante Sekante einzeichnen StudySmarter Abbildung 6: Sekante einzeichnen

Sekante – Übungsaufgaben

Um nun die nötige Intuition zur Berechnung einer Sekante zu entwickeln, kannst du hier noch ein paar Übungsaufgaben berechnen.

Aufgabe 3

Gegeben ist eine quadratische Funktion $f (x) = 3 x^{2} + 1$ und eine Gerade $g (x) = - 3 x + 2$ .

Ist die Gerade $g (x)$ eine Sekante zu $f (x)$ ?

Lösung

Wenn du dich daran erinnerst, wie eine Sekante definiert ist, dann weißt du, dass die Gerade g(x) mindestens zwei Schnittpunkte mit der Funktion $f (x)$ haben müsste, um eine zugehörige Sekante zu sein.

Um mögliche Schnittpunkte zweier Geraden zu berechnen, müssen diese gleichgesetzt werden.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & g (x) \\ 3 x^{2} + 1 & = & - 3 x + 2 \end{array}$

Anschließend musst du die Gleichung so umstellen, dass 0 auf einer Seite steht.

$\begin{array}{rcl} 3 x^{2} + 1 & = & - 3 x + 2 - 2 \\ 3 x^{2} + 1 - 2 & = & - 3 x + 3 x \\ 3 x^{2} + 3 x - 1 & = & 0 \end{array}$

Diese Gleichung kannst du jetzt entweder kürzen und mit der pq-Formel lösen oder so stehen lassen und die Mitternachtsformel verwenden.

In diesem Fall wird die Mitternachtsformel verwendet.

$\begin{array}{rcl} x_{1 / 2} & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ x_{1 / 2} & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3} \\ x_{1 / 2} & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} \\ x_{1 / 2} & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{21}}{6} \end{array}$

An dieser Stelle kannst du bereits sehen, dass es sich hierbei um eine Sekante handelt, da die Determinante (der Ausdruck unter der Wurzel) positiv ist und daher zwei reelle Nullstellen zu finden sind. Folglich hast du zwei Schnittpunkte und damit eine Sekante.

Aufgabe 4

Gegeben ist die quadratische Funktion $f (x) = 0, 3 x^{2} + 2$ , der Punkt $Q (- 4 | 6, 8)$ und die Sekantensteigung $m_{S} = 0, 6$ .

Ermittle einen zweiten Schnittpunkt $P (x_{0} | f (x_{0}))$ und stelle eine Sekantengleichung auf.

Lösung

Da du einen Punkt $Q (- 4 | 6.8)$ und die Sekantensteigung $m_{S} = 0, 6$ gegeben hast, kannst du als Erstes den y-Achsenabschnittspunkt berechnen, um dann anschließend die Sekantengleichung aufzustellen.

$\begin{array}{rcl} s (x) & = & m_{S} \cdot x + t \\ 6, 8 & = & 0, 6 \cdot (- 4) + t \\ 6, 8 & = & - 2, 4 + t + 2, 4 \\ t & = & 9, 2 \end{array}$

Die Sekantengleichung sieht dann so aus:

$s (x) = 0, 6 x + 9, 2$

Als Nächstes kannst du jetzt die beiden Funktionen gleich setzen und so den zweiten Schnittpunkt berechnen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & s (x) \\ 0, 3 x^{2} + 2 & = & 0, 6 x + 9, 2 - (0, 6 x + 9, 2) \\ 0, 3 x^{2} + 2 - 0, 6 x - 9, 2 & = & 0 \\ 0, 3 x^{2} - 0, 6 x - 7, 2 & = & 0 \end{array}$

Auch hier hast du wieder die Wahl zwischen der Mitternachtsformel und der pq-Formel. Dieses Mal wurde die pq-Formel verwendet. Dafür muss aber erst der Koeffizient des x² gleich 1 sein.

$\begin{array}{rcl} 0, 3 x^{2} - 0, 6 x - 7, 2 & = & 0 \cdot \frac{10}{3} \\ x^{2} - 2 x - 24 & = & 0 \end{array}$

Jetzt kannst du die Koeffizienten in die pq-Formel einsetzen.

$\begin{array}{rcl} x_{1 / 2} & = & - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q} \\ x_{1 / 2} & = & - \frac{2}{2} \pm \sqrt{{(\frac{2}{2})}^{2} - (- 24)} \\ x_{1 / 2} & = & - 1 \pm \sqrt{1 + 24} \\ x_{1 / 2} & = & - 1 \pm \sqrt{25} \\ x_{1 / 2} & = & - 1 \pm 5 \end{array}$

Jetzt musst du die Formel einmal mit Minus und einmal mit Plus ausrechnen.

$x_{1} = - 1 + 5 x_{1} = - 4$ $x_{2} = - 1 - 5 x_{2} = - 6$

Die Schnittpunkte der beiden Graphen liegen also bei $x_{1} = 6$ und $x_{2} = - 4$ . Den Punkt $Q (- 4 | 6, 8)$ kennst du schon. Deshalb musst du nur den y-Wert zu $x_{2} = - 6$ berechnen.

Den y-Wert kannst du berechnen, indem du $x_{2} = - 6$ in eine der beiden Gleichung einsetzt und nach y auflöst. Welche der beiden Gleichungen ist dabei egal, denn beide haben ja den Schnittpunkt an dieser Stelle.

$f (x) = 0, 3 x^{2} + 2 f (x) = 0, 3 \cdot {(- 6)}^{2} + 2 f (x) = 0, 3 \cdot 36 + 2 f (x) = 10, 8 + 2 f (x) = 12, 8$

Ein weiterer Schnittpunkt der Gerade $f (x)$ und der Sekante $s (x)$ ist also $P (- 6 | 12, 8)$ .

Sekante – Das Wichtigste

Eine Sekante s(x) ist eine Gerade, welche einen Graphen f(x) an mindestens zwei Punkten P und Q schneidet.
Eine Sekante hat die Form: $s (x) = m_{S} \cdot x + t$
Die Sekantensteigung kann durch folgende Formel berechnet werden: $m_{S} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}$
Um eine Sekantengleichung aufzustellen, musst du folgende Schritte befolgen:
- Sekantensteigung bestimmen
- Schnittstelle mit der y-Achse berechnen
Eine bestimmte Sekante zeichnest du wie eine lineare Funktion.
Eine beliebige Sekante zeichnest du so, dass sie mindestens zwei Schnittpunkte mit dem dazugehörigen Graphen hat.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sekante

Die Sekante bezeichnet in der Analysis eine Gerade, welche einen anderen Graphen in mindestens zwei Punkten schneidet.

Die Sekante in der Analysis ist eine Gerade, welche einen Graphen in mindestens zwei Punkten schneidet.

Die Sekantensteigung ist die Steigung einer Sekante. Sie eiegntlich gaunso, wie die Steigung einer linearen Funktion berechnet. Es gilt die Formel:

m_S = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀)

Je nachdem, welche Angabe du hast, kannst du eine beliebige Gerade zeichnen, die den Graphen in mindestens zwei Punkten schneidet oder eine spezifische Gerade zeichnen. Die spezifische Sekante zeichnest du wie eine lineare Funktion.

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An wie vielen Punkten kann eine Sekante eine Kurve schneiden?

An 2 Punkten

Was ist m_s?

m_s ist die Sekantensteigung.

Wie gehst du vor, wenn du eine Sekantengleichung aufstellen sollst?

1. Sekantensteigung bestimmen

2. Schnittstelle mit der y-Achse berechnen

Wie berechnest du die Schnittstelle mit der y-Achse?

Um die Schnittstelle mit der y-Achse zu erhalten, nimmt man einen der beiden gegebenen Punkte, setzt die vorhandenen Werte in die Gleichung des gegebenen Graphen ein und löst diese Gleichung dann auf.

Wie zeichnest du eine Sekante s(x) zu einem gegebenen Graphen f(x) ein?

Man kann irgendeine beliebige Gerade in das Koordinatensystem einzeichnen, die den Graphen f(x) in zwei Stellen schneidet.

Wie zeichnest du eine gegebene Sekante in ein Koordinatensystem ein?

In diesem Fall gehst du genauso vor, wie du bei jeder anderen linearen Gleichung auch vorgehen würdest.

1. y-Achsenabschnittspunkt einzeichnen

2. Steigung von diesem Punkt ab einzeichnen

3. Endpunkt der Steigung mit y-Achsenabschnittspunkt verbinden

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