Schnittpunkt zweier Funktionen

Aufgabe 1

Hier siehst Du die Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$. Bei einem Schnittpunkt zweier Geraden musst Du als Erstes die linearen Funktionen $f\left(x\right)$und $g\left(x\right)$gleichsetzen, um den x-Wert zu berechnen.

$f\left(x\right)=3x;g\left(x\right)=2x-9$

Abbildung 2: Schnittpunkt P der Funktionen f(x) und g(x)

Lösung

Zuerst werden die Funktionen $f\left(x\right)$und $g\left(x\right)$gleichgestellt. Danach musst Du die Gleichung nach x umstellen.

Durch das Gleichstellen beider Funktionen erhältst Du den x-Wert, bei dem sich beide Geraden$f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$schneiden. Um den genauen Schnittpunkt zu ermitteln, musst Du aber noch den y-Wert ausrechnen.

Jetzt berechnest Du den y-Wert des Schnittpunktes, um den genauen Punkt P zu ermitteln. Dafür setzt Du den x-Wert -9 in die Ausgangsfunktion $f\left(x\right)$ ein und multiplizierst sie aus.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 3x\\ f(-9)& =& 3·\left(-9\right)\\ & =& -27\end{array}$

$P(-9|-27)$

Der Schnittpunkt der Geraden $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$ ist der Punkt $P(-9|-27)$.

Um das Ergebnis zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die andere Funktion ein. In diesem Fall $g\left(x\right)$.Das wird auch Punktprobe genannt.

$\begin{array}{ccl}g\left(x\right)& =& 2x-9\\ g(-9)& =& 2·-9-9\\ & =& -27\end{array}$

$P(-9|-27)$

Auch hier ist der ermittelte Schnittpunkt der Geraden $P(-9|-27)$. Somit ist sicher, dass dieser Punkt P der Schnittpunkt P der Geraden $g\left(x\right)$ und $f\left(x\right)$ ist.

Aufgabe 2

Berechne die Schnittpunkte P der Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=x^2-11;g\left(x\right)=-x^2-4x-5$

Abbildung 5: Schnittpunkt P der beiden Funktionen f(x) und g(x)

Lösung

Zuerst werden die Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$ gleichgestellt.

Wenn Du die beiden Funktionen gleichgestellt hast, kannst Du anfangen, die Gleichung nach x aufzulösen.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-11& =& -x^2-4x-5\begin{array}{ccc}& & |+11\end{array}\\ x^2& =& -x^2-4x-5+11\begin{array}{ccc}|-x^2& & \end{array}\\ 0& =& -2x^2-4x+6\begin{array}{ccc}& |:(-2)& \end{array}\\ 0& =& x^2+2x-3\begin{array}{ccc}& & |pq-Formel\end{array}\end{array}$

Als Nächstes kannst Du das $\pm$ in der Gleichung lösen, in dem Du sie in zwei Teile, einen mit plus und einen mit minus, aufteilst.

$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& -1+2\\ & =& 1\\ & & \\ x_2& =& -1-2\\ & =& -3\end{array}$

Nun hast Du die x-Werte $x_1=1und{x}_2=-3$, die Du beide in die Ausgangsfunktionen einsetzen musst, um den y-Wert der Schnittpunkte zu erhalten.

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& 1^2-11\\ & =& -10\\ & & \\ f(-3)& =& -3^2-11\\ & =& 9-11\\ & =& 2\end{array}$

Diese y-Werte müssen allerdings auch überprüft werden. Also werden die x-Werte beide auch in $g\left(x\right)$ noch einmal eingesetzt.

$\begin{array}{rcl}g\left(1\right)& =& -{\left(1\right)}^2-4·1-5\\ & =& -1-4-5\\ & =& -10\\ & & \\ g(-3)& =& -{(-3)}^2-4·-3-5\\ & =& -9+12-5\\ & =& -2\end{array}$

$P_1(-3|-2);P_2(1|-10)$

Durch das Einsetzen des x-Wertes hat sich erhältst Du die beiden Punkte, $P_1(-3|-2)$und $P_2\left(1\right|-10)$, welche die Schnittstellen der beiden Parabeln $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$ darstellen. Das Ganze wurde auch durch die Punktprobe überprüft, da die x-Werte in beide Funktionen $f\left(x\right)$und $g\left(x\right)$eingesetzt wurden.

Aufgabe 3

Berechne den Schnittpunkt der Funktionen$f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=-x^3+2x-4;g\left(x\right)=x^3-4x$

Abbildung 7: Schnittpunkt P1 und P2 der Funktionen f(x) und g(x) dritten Grades

Lösung

Nun musst Du die Funktionen$f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$ gleichsetzen und nach x auflösen.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& g\left(x\right)\\ -x^3+2x-4& =& x^3-4x\\ & & \end{array}$

Danach muss die Gleichung nach x aufgelöst werden.

$\begin{array}{rcl}-x^3+2x-4& =& x^3-4x|-x^3|+4x\\ -x^3-x^3+2x+4x-4& =& 0\\ -2x^3+6x-4& =& 0|÷(-2)\\ x^3-3x+2& =& 0|-2\\ x^3-3x& =& -2\end{array}$

An dieser Stelle kommst Du ohne das Ausklammern nicht weiter.

$\begin{array}{rcl}{x}^3-3x& =& -2|ausklammern\\ x·(x^2-3)& =& -2\\ x_1& =& -2v{x}^2-3=-2|+3\\ x^2& =& 1|\\ x_{2/3}& =& \sqrt{1}=\pm 1\end{array}$

Durch das Gleichsetzen der Funktionen$f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$ erhältst Du die x-Werte $x_1=-2und{x}_2=1$. Der Wert $x_3=-1$ entfällt, da sich die Funktionen$f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$ im Koordinatensystem bei $x_3=-1$ nicht schneiden. Nun muss noch der y-Wert ermittelt werden und die Aufgabe ist ebenfalls gelöst.

Der y-Wert wird ermittelt, in dem der x-Wert in die Ausgangsfunktion$f\left(x\right)$ eingesetzt werden.

$\begin{array}{rcl}f(-2)& =& -{(-2)}^3+2·\left(-2\right)-4\\ & =& \begin{array}{cl}-(-8)-8& \end{array}\\ & =& 0\\ & & \\ f\left(1\right)& =& -{\left(1\right)}^3+2·1-4\\ & =& \begin{array}{cl}-1+2-4& \end{array}\\ & =& -3\end{array}$

Um die y-Werte zu überprüfen, wird die Punktprobe durchgeführt. Das bedeutet, dass Du beide x-Werte auch in die Funktion$g\left(x\right)$ einsetzt.

$\begin{array}{rcl}g(-2)& =& -2^3-4·\left(-2\right)\\ & =& \begin{array}{cl}-8+8& \end{array}\\ & =& 0\\ g\left(1\right)& =& 1^3-4·1\\ & =& 1-4\\ & =& -3\end{array}$

Das Einsetzen der x-Werte in die Ausgangsfunktionen liefert Dir jetzt die y-Werte $y_1=0und{y}_2=-3$. Das liefert die Punkte $P_1(-2|0)und{P}_2(1|-3)$, was durch die Punktprobe überprüft wurde.

Aufgabe 4

Berechne den Schnittpunkt P der beiden Funktionen$f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=e^x+1;g\left(x\right)=e^x+3$

Abbildung 9: Schnittpunkt P zweier e-Funktionen f(x) und g(x).

Lösung

Die Funktionen $f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$ werden an dieser Stelle gleichgesetzt.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& g\left(x\right)\\ e^x+1& =& -e^x+3\end{array}$

Nach dem Gleichsetzen wird die Gleichung nach x aufgelöst.

$\begin{array}{rcl}{e}^x+1& =& -e^x+3|+e^x|-1\\ 2e^x& =& 3-1\\ 2e^x& =& 2|÷2\\ e^x& =& 1|\ln \left(1\right)\\ x& =& \ln \left(1\right)\end{array}$

Auch hier wurde der x-Wert durch Gleichsetzen ermittelt. Bei einer e-Funktion muss allerdings den Logarithmus angewandt und $\ln \left(1\right)$ gezogen werden, um das x aus dem Exponenten zu holen. Durch diesen Vorgang wird der x-Wert $x=0$ermittelt.

Diesen Wert setzt Du jetzt in die Ausgangsfunktionen $f\left(x\right)$ ein, um den y-Wert zu berechnen.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)& =& e^0+1\\ & =& 1+1\\ & =& 2\end{array}$

Beim Einsetzen in die Ausgangsfunktion $f\left(x\right)$ erhältst Du den y-Wert $y=2$. Um den y-Wert zu überprüfen, setzt Du den x-Wert auch noch in die Funktion $g\left(x\right)$ ein.

$\begin{array}{rcl}g\left(0\right)& =& -e^0+3\\ & =& -1+3\\ & =& 2\end{array}$

Der y-Wert ist $y=2$, was Dich zu dem Schnittpunkt $P\left(0\right|2)$ führt. Diesen Wert hast Du schon durch die Punktprobe überprüft, weil Du den x-Wert in beide Funktionen $f\left(x\right)$ und $g\left(x\right)$ eingesetzt hast.

Aufgabe 6

Berechne den Schnittpunkt P der Funktionen$f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=4x^2;g\left(x\right)=2x$

Lösung

$f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$ müssen gleichgestellt und nach x aufgelöst werden.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& g\left(x\right)\\ 4x^2& =& 2x|-2x\\ 4x^2-2x& =& 0|ausklammern\\ x·(4x-2)& =& 0\\ x_1& =& 0v4x-2=0|+2\\ 4x& =& 2|÷4\\ x_2& =& 0,5\end{array}$

Durch das Gleichstellen erhältst Du die x-Werte der Schnittpunkte P₁ und P₂. Die x-Werte sind $x_1=0und{x}_2=0,5$. Diese werden nun in die Ausgangsfunktionen eingesetzt.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)& =& 4·0^2\\ & =& 0\\ & & \\ f(0,5)& =& 4·0,5^2\\ & =& 1\\ & & \\ g\left(0\right)& =& 2·0\\ & =& 0\\ & & \\ g(0,5)& =& 2·0,5\\ & =& 1\end{array}$

$P_1\left(0\right|0);P_2(0,5\left|1\right)$

Durch das Einsetzen der x-Werte in die Ausgangsfunktionen erhältst Du die Punkte $P_1\left(0\right|0);P_2(0,5\left|1\right)$.Das hast Du durch die Punktprobe schon überprüft.

Aufgabe 7

Berechne den Schnittpunkt P der Funktionen$f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$.

$f\left(x\right)=e^{-x}+2;g\left(x\right)=-e^{-x}+4$

Lösung

Auch hier werden die Funktionen$f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$ gleichgestellt und nach x aufgelöst.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& g\left(x\right)\\ e^{-x}+2& =& -e^{-x}+4|+e^{-x}|-4\\ 2e^{-x}-2& =& 0|:2\\ e^{-x}-1& =& 0|+1\\ e^{-x}& =& 1|\ln \left(1\right)\\ -x& =& 0|:(-1)\\ x& =& 0\end{array}$

Durch das Gleichstellen erhältst Du den x-Wert $x=0$. Dieser Wert wird jetzt in die Ausgangsfunktionen eingesetzt. Setze den x-Wert in beide Ausgangsfunktionen$f\left(x\right)$ und$g\left(x\right)$ ein, um die Punktprobe abzuhandeln.

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)& =& e^{-0}+2\\ & =& 3\\ & & \\ g\left(0\right)& =& -e^{-0}+4\\ & =& 3\end{array}$

$P\left(0\right|3)$

Das Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunktion erzeugt den y-Wert $y=3$. Somit erhältst Du den Punkt$P\left(0\right|3)$.