Die Kettenregel ist eine der fundamentalen Ableitungsregeln in der Differentialrechnung. Mit ihr kannst Du verschachtelte Funktionen ableiten. In dieser Erklärung erfährst Du, ausführlich und anhand von Beispielen, wie Du die Kettenregel benutzt.
Kettenregel Ableitung bilden
Die Kettenregel ist ein Konzept der Differentialrechnung, das Dir ermöglicht, Ableitungen von komplexen verketteten Funktionen zu berechnen. Dabei wird die Ableitung einer äußeren Funktion mit der Ableitung einer inneren Funktion kombiniert.
Kettenregel Formel
Eine Funktion \(h(x)\), die aus einer äußeren Funktion \(f(x)\) und einer inneren \(g(x)\) besteht, heißt verkettet.\[h(x)=f(g(x))\]
Die Ableitung \(h'(x)\) berechnet sich als die Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion.
\[h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]
Das Multiplizieren mit \(g'(x)\) wird häufig auch als „nachdifferenzieren“ bezeichnet.
Kettenregel anwenden
Um die Kettenregel anzuwenden, musst Du zuerst die innere Funktion identifizieren und ihre Ableitung berechnen. Dann multiplizierst Du die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion, wobei Du die innere Funktion als Argument der äußeren Funktion verwendest.
- Äußere Funktion \(f(x)\) bestimmen
- Innere Funktion bestimmen \(g(x)\)
- Ableiten der inneren und äußeren Funktion
- Zusammensetzen nach \(h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
Betrachte folgendes Beispiel:
Angenommen, Du hast die Funktion \(h(x) = \sin(2x+3)\). Die äußere Funktion ist \(\sin(x)\), während die innere Funktion \(2x+3\) ist.
Die Ableitung der inneren Funktion ist 2.
Die Ableitung der äußeren Funktion ist \(\cos(x)\).
Dann lautet die Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel:
\begin{align}h(x)&=f(g(x))\\\\f(x)&=\sin(x)\Rightarrow f'(x)=\cos(x)\\g(x)&=2x+3\Rightarrow g'(x) = 2\\\\h'(x)& =f'(g(x))\cdot g'(x)\\h'(x)&=\cos(2x+3)\cdot 2\end{align}
Kettenregel Beispiele
Die Kettenregel hilft Dir dabei, verschachtelte Funktionen abzuleiten. Diese Verschachtelung zu erkennen, ist eine reine Frage der Übung. Im Folgenden findest Du einige Beispiele.
| h(x) | f(x) & f'(x) | g(x) & g'(x) | h'(x) |
| \[h(x) = 8(x-3)^3\] | \begin{align}f(x)&=8x^3\\f'(x)&=24x^2\end{align} | \begin{align}g(x)&=x-3\\g'(x)&=1\end{align} | \[h'(x)=24(x-3)^2\cdot 1\] |
| \[h(x) = 5(x^3-2)^4\] | \begin{align}f(x)&=5x^4\\f'(x)&=20x^3\end{align} | \begin{align}g(x)&=x^3-2\\g'(x)&=3x^2\end{align} | \[h'(x)=20(x^3-2)^3\cdot 3x^2\] |
| \[h(x) = 3e^{3x-2}\] | \begin{align}f(x)&=3e^x\\f'(x)&=3e^x\end{align} | \begin{align}g(x)&=3x-2\\g'(x)&=3\end{align} | \[h'(x)=3e^{3x-2}\cdot 3\] |
Kettenregel – Herleitung
Die Kettenregel kann direkt mithilfe der Definition des Differenzialquotienten und der h-Methode hergeleitet werden.
Der Differentialquotient ist eine Näherung für die Steigung einer Tangente in einem Punkt einer Funktion. Er ist gegeben als \[f'(x) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
Die h-Methode entspricht einer Substitution des Terms mit \(h=x-x_0\). Dadurch sieht der Funktionsterm wie folgt aus:\[f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]
Jetzt kann diese Gleichung auf beliebige Funktionen angewandt werden, um die Ableitung zu bestimmen. Der Differentialquotient einer verketteten Funktion \(h(x)=f(g(x))\) ist gegeben durch;
\[h'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\]
Der Bruch kann jetzt erweitert werden.
\[h'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}\]
Ein Umformen des Ausdrucks ergibt:
\begin{align}h'(x) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot g'(x)\\&=f'(g(x))\cdot g'(x)\end{align}
Kettenregel – Aufgaben
Kettenregel Ableitung – Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(h(x)=(3x-4)^3\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).
Lösung:
Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=(3x-4)^3\).
Äußere Funktion \(f(x)=x^3\)
Innere Funktion \(g(x) = 3x-4\)
Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= 3x^2 \\ g'(x) &= 3 \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=3(3x-4)^2\cdot 3 = 9(3x-4)^2\]
Kettenregel Ableitung – Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion \(h(x)=\sqrt{2x^2-3}\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).
Lösung:
Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=\sqrt{2x^2-3}\).
Äußere Funktion \(f(x)=\sqrt{x}\)
Innere Funktion \(g(x) = 2x^2-3\)
Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \\ g'(x) &= 4x \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2x^2-3}}\cdot 4x = \frac{2x}{\sqrt{2x^2-3}}\]
Kettenregel Ableitung – Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion \(h(x)=e^{3x^2}\). Bestimme die erste Ableitung \(h'(x)\).
Lösung:
Identifiziere die innere und äußere Funktion der verketteten Funktion \(h(x)=e^{3x^2}\).
Äußere Funktion \(f(x)=e^x\)
Innere Funktion \(g(x) = 3x^2\)
Bestimme die jeweiligen Ableitungen: \begin{align} f'(x) &= e^x \\ g'(x) &= 6x \end{align} Füge die Funktionen mit der Kettenregel zusammen \(h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\): \[h'(x)=e^{3x^2}\cdot 6x = 6x \cdot e^{3x^2}\]
Kettenregel – Das Wichtigste auf einen Blick
- Kettenregel-Ableitung: Die Ableitung einer Verkettung von zwei Funktionen \(h(x)=f(g(x))\) lautet \[h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]
- Schritte beim Ableiten mit der Kettenregel:
- Identifizieren der äußeren und inneren Funktion
- Berechnen der Ableitungen der äußeren und inneren Funktion
- Einsetzen der Ableitungen in die Kettenregel
- Die Kettenregel kann direkt mithilfe des Differentialquotients hergeleitet werden.
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