E Funktion integrieren

Q: Was ist die Stammfunktion von e?

Wenn f(x)=e x gegeben ist, ist F(x)=e x +C die Stammfunktion. Bei f(x)=b•e cx+d ist F(x)=b/c•e cx+d +C die Stammfunktion.

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Du hast dich schon öfter mit der natürlichen Exponentialfunktion oder auch e-Funktion beschäftigt und möchtest nun die natürliche Exponentialfunktion auch noch integrieren? Dann bist du hier im Artikel e-Funktion integrieren genau richtig!

Du brauchst die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion immer dann, wenn du ein Integral mit dieser lösen möchtest.

Die Artikel "Exponentialfunktion" und "E-Funktion" beinhalten noch einmal alle wichtigen Grundlagen und Eigenschaften zu diesem Funktionstyp, den wir nachfolgend integrieren wollen.

e-Funktion integrieren: Allgemeines

Zunächst noch einmal zur Wiederholung: Was war noch mal die natürliche Exponentialfunktion? Die natürliche Exponentialfunktion ist eine spezielle Exponentialfunktion mit der Basis $a = e$ , wobei $e$ die Eulersche Zahl ist. Schau dir dazu die folgende Definition an.

Die Funktion $f (x)$ mit

$f (x) = e^{x}$

wird als natürliche Exponentialfunktion oder kurz e-Funktion bezeichnet.

Das Auf- und Ableiten der e-Funktion ist im Vergleich zur allgemeinen Exponentialfunktion relativ einfach.

$\begin{matrix} F (x) = e^{x} + C & \overset{I n t e g r i e r e n}{\leftarrow} & f (x) = e^{x} & \overset{A b l e i t e n}{\to} & f' (x) = e^{x} \end{matrix}$

Zur Erinnerung: Im Artikel "Stammfunktion bilden" hast du gelernt, dass du bei der Stammfunktion immer eine Konstante $C$ dazu addieren musst, da diese beim Ableiten wegfällt.

Das können wir noch etwas mathematischer formulieren.

Die Stammfunktion $F (x)$ der e-Funktion $f (x) = e^{x}$ lautet:

$F (x) = e^{x} + C$

Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.

Wie du siehst, ist die Stammfunktion der reinen e-Funktion simpel. Da wäre es natürlich interessanter, wenn du die e-Funktion mit Parametern, also die erweiterte e-Funktion, betrachtest.

Integrieren der erweiterten e-Funktion

Nun kannst du die Integration der erweiterten natürlichen Exponentialfunktion betrachten.

Erweiterte natürliche Exponentialfunktion $f (x)$ :

$f (x) = b \cdot e^{c x + d}$

mit den Parametern $b$ , $c$ und $d$ als reelle Zahlen und $b \neq 0$ .

Dabei sind $b$ , $c$ und $d$ reelle Zahlen, wobei der Parameter $b$ nicht $0$ sein darf, da ansonsten keine natürliche Exponentialfunktion vorliegt.

Fangen wir aber erst einmal mit einem Parameter an.

Integrieren der e-Funktion mit einem Vorfaktor

Die e-Funktion mit dem Parameter $b$ lautet wie folgt.

$f (x) = b \cdot e^{x}$

Die Stammfunktion dieser Gleichung bildet sich genauso leicht wie bei der reinen Funktion aufgrund der Faktorregel.

Zur Erinnerung:

Faktorregel: $F (x) = \int_{}^{} a \cdot f (x) d x = a \cdot \int_{}^{} f (x) d x$

Der Parameter $a$ bzw. $b$ kann einfach vor das Integral gezogen werden. Damit ergibt sich folgender Ausdruck der Stammfunktion für die e-Funktion mit dem Parameter $b$ .

$\begin{array}{rcl} F (x) & = & \int_{}^{} b \cdot e^{x} d x \\ = & b \cdot \int_{}^{} e^{x} d x \end{array}$

Die Stammfunktion der e-Funktion ist wieder die e-Funktion. Damit ergibt sich folgende gesamte Stammfunktion für die e-Funktion mit einem Vorfaktor $b$ .

Die Stammfunktion $F (x)$ der e-Funktion $f (x) = b \cdot e^{x}$ mit einem Vorfaktor $b$ lautet:

$F (x) = b \cdot e^{x} + C$

Ein kleines Beispiel dazu kannst du dir direkt anschauen.

Die Funktion $f (x)$ lautet wie folgt.

$f (x) = 314 e^{x}$

Die dazugehörige Stammfunktion $F (x)$ sieht dann wie folgt aus.

$F (x) = 314 e^{x} + C$

Wie du vorhin gesehen hast, ändert sich an dem Ausdruck $314 e^{x}$ beim Integrieren nichts, es wird lediglich die Konstante $C$ dazu addiert.

Als Nächstes kannst du dir einen weiteren Parameter anschauen.

Integration der e-Funktion durch Substitution

Wir erweitern hierbei die natürliche Exponentialfunktion um einen Parameter $c$ .

$f (x) = e^{c x}$

Da es sich bei der e-Funktion mit dem Parameter $c$ um eine verkettete Funktion handelt, brauchst du bei der Ableitung die Kettenregel. Das Gegenstück beim Integrieren ist dazu die Integration durch Substitution. In der Schule wird trotzdem beim Integrieren oft von der Kettenregel gesprochen.

Die Artikel zu den "Integrationsregeln" und "Eigenschaften des Integrals" beinhalten noch einmal alles Wichtige zum Integrieren.

Zur Erinnerung:

Definition einer Stammfunktion: $F (x) = \int_{}^{} f (x) d x$ $\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x$

Um die Stammfunktion zu bilden, musst du die Ableitung rückwärts durchführen.

Schau dir dazu erst einmal die e-Funktion mit dem Parameter $c$ an.

$f (x) = e^{c x}$

Dabei ist die e-Funktion die äußere Funktion $g (h (x)) = e^{h (x)}$ und $h (x) = c x$ ist die innere Funktion.

Zur Erinnerung:

Die Ableitung der e-Funktion mit dem Parameter $c$ lautet: $f' (x) = c \cdot e^{c x}$

Du siehst, dass bei der Ableitung $f' (x) = c \cdot e^{c x}$ die innere Funktion $h (x) = c x$ gleich bleibt und sich nicht verändert. Lediglich wird das Ganze mit dem Parameter $c$ multipliziert.

Klingt erst einmal kompliziert? Dann schauen wir uns doch erst einmal ein kleines Beispiel an.

Du hast die Funktion $g (x)$ mit $g (x) = e^{4 x}$ und deren Ableitung $g' (x) = 4 \cdot e^{4 x}$ . Dabei ist $c = 4$ .

Ziel ist nun die Ableitung rückwärts durchzuführen und damit zu integrieren. Die Stammfunktion der Ableitung $g' (x)$ ist also die Funktion $g (x)$ . Es muss also Folgendes gelten:

$g (x) = F (x)$

Wendest du nun die Faktorregel an, erhältst du damit folgendes Integral der Ableitung $g' (x)$ .

$\int_{}^{} g' (x) d x = \int_{}^{} 4 \cdot e^{4 x} d x = 4 \cdot \int_{}^{} e^{4 x} d x$

Beim Ableiten wird die Zahl $4$ durch das Nachdifferenzieren vor die Funktion gezogen, deshalb musst du beim Integrieren mit $\frac{1}{4}$ multiplizieren, um die Zahl $4$ wegzukürzen.

$F (x) = 4 \cdot \int_{}^{} e^{4 x} d x = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{4 x} + C = e^{4 x} + C = g (x)$

Du siehst also, dass du lediglich durch den Parameter $c$ dividieren musst. Nicht zu vergessen ist wieder das Addieren des Parameters $C$ . In diesem Fall ist die Konstante $C = 0$ .

Jetzt hast du schon eine Stammfunktion der e-Funktion mit dem Parameter $c$ gebildet, ohne dass du überhaupt die Formel dazu kennst. Schauen wir uns das Ganze einmal mathematisch an.

Die Stammfunktion $F (x)$ der erweiterten e-Funktion $f (x) = e^{c x}$ mit dem Parameter $c$ lautet:

$F (x) = \frac{1}{c} \cdot e^{c x} + C$

Wenn du nun genauer wissen möchtest, wie die Stammfunktion zustande kommt, kannst du den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen.

Damit du die Stammfunktion der e-Funktion $f (x) = e^{c x}$ mit dem Parameter $c$ bilden kannst, musst du die Kettenregel anwenden, die innere und äußere Funktion definieren.

$g (h (x)) = e^{h (x)} und h (x) = c x$

Für die Stammfunktion brauchst du nun die Stammfunktion der äußeren Funktion $g (h (x))$ und die Ableitung der inneren Funktion $h (x)$ .

$G (h (x)) = e^{h (x)} und h' (x) = c$

Damit ergibt sich in der Summe folgende Stammfunktion.

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{l} \end{array} \int_{}^{} e^{c x} d x & = & \frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x)) + C \\ = & \frac{1}{c} \cdot e^{h (x)} + C \\ = & \frac{1}{c} \cdot e^{c x} + C = F (x) \end{array}$

Sollte dir aber mal eine Funktion $f (x)$ mit $f (x) = 4 \cdot e^{x^{2}}$ begegnen, kannst du dort nicht einfach so die Stammfunktion bilden. Dieses Verfahren der Integration durch Substitution bzw. Kettenregel geht nur, wenn eine lineare Substitution durchgeführt werden kann. Das bedeutet, dass die innere Ableitung $h' (x)$ (also die Ableitung des Exponenten) eine Konstante sein muss.

Super, jetzt kennst du die Stammfunktion $F (x)$ der e-Funktion mit dem Parameter $c$ . Schau dir doch nun noch ein Beispiel an, um die Regel zu verinnerlichen.

Aufgabe 1

Bestimme die Stammfunktion $F (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = e^{- πx}$ .

Lass dich durch das $π$ nicht verwirren. Das kann wie eine ganz normale Zahl bzw. Konstante behandelt werden.

Lösung

Zuerst musst du den Parameter $c$ identifizieren.

$c = - π$

Als Nächstes kannst du schon die fertige Stammfunktion bilden, indem du den Parameter in die Formel einsetzt.

$F (x) = - \frac{1}{π} \cdot e^{- π x} + C$

Gut, jetzt bist du bereit, dir auch den letzten Parameter anzuschauen.

Integrieren der e-Funktion mit dem Parameter d

Die e-Funktion mit dem Parameter $d$ lautet wie folgt.

$f (x) = e^{x + d}$

Auch die Stammfunktion dieser Gleichung bildet sich so leicht wie bei der reinen Funktion, aufgrund der Kettenregel. Du hast beim Parameter $c$ gesehen, dass die innere Funktion $h (x)$ entscheidend ist. Diese lautet hier folgendermaßen.

$h (x) = x + d$

Leitest du nun die innere Funktion $h (x)$ ab, erhältst du folgende Ableitung.

$h' (x) = 1 F (x) = \frac{1}{h' (x)} \cdot e^{x + d} + C$

Damit ergibt sich dann folgende Stammfunktion.

$\begin{array}{rcl} F (x) & = & \frac{1}{1} \cdot e^{x + d} + C \\ = & e^{x + d} + C \end{array}$

Schau dir dazu noch die Definition an.

Die Stammfunktion der e-Funktion $f (x) = e^{c x + d}$ mit dem Parameter $d$ lautet:

$\begin{array}{rcl} F (x) & = & e^{x + d} + C \end{array}$

Auch dazu, kannst du dir noch ein kleines Beispiel anschauen.

Die Funktion $f (x)$ lautet wie folgt.

$f (x) = e^{x + 15}$

Die dazugehörige Stammfunktion $F (x)$ sieht dann wie folgt aus.

$F (x) = e^{x + 15} + C$

Integration der erweiterten e-Funktion

Nun musst du die Stammfunktionen der einzelnen Parameter in eine gesamte Stammfunktion überführen.

Zur Erinnerung: Die Funktionsgleichung der erweiterten e-Funktion lautet: $f (x) = b \cdot e^{c x + d}$

Du hast gesehen, dass die Parameter $b$ und $d$ keinerlei Auswirkungen auf die Stammfunktion haben. Damit ergibt sich folgende Definition.

Die Stammfunktion $F (x)$ der erweiterten e-Funktion $f (x) = b \cdot e^{c x + d}$ lautet:

$F (x) = \frac{b}{c} \cdot e^{c x + d} + C$

Würdest du nun für $b = 1$ , $c = 1$ und $d = 0$ einsetzen, hättest du die reine e-Funktion $f (x) = e^{x}$ und würdest für die Stammfunktion $F (x) = e^{x} + C$ erhalten.

Super, jetzt kennst du die Stammfunktion $F (x)$ der erweiterten e-Funktion. Schau dir doch nun noch ein Beispiel an, um die Regel zu verinnerlichen.

Aufgabe 2

Bestimme die Stammfunktion $F (x)$ der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = π \cdot e^{- 2 x + 3}$ .

Lass dich durch das $π$ nicht verwirren. Das kann wie eine ganz normale Zahl bzw. Konstante behandelt werden.

Lösung

Zuerst musst du die Parameter $b$ und $c$ identifizieren.

$b = π; c = - 2$

Als Nächstes kannst du schon die fertige Stammfunktion bilden, indem du die Parameter in die Formel für die erweiterte e-Funktion einsetzt.

$F (x) = - \frac{π}{2} \cdot e^{- 2 x + 3} + C$

Als kleine Merkhilfe kannst du dir noch folgende Tabelle anschauen.

	Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
Reine Funktion	$f (x) = e^{x}$	$F (x) = e^{x} + C$
Funktion mit Parameter $b$	$f (x) = b \cdot e^{x}$	$F (x) = b \cdot e^{x} + C$
Funktion mit Parameter $c$	$f (x) = e^{c x}$	$F (x) = \frac{1}{c} \cdot e^{c x} + C$
Funktion mit Parameter $d$	$f (x) = e^{x + d}$	$F (x) = e^{x + d} + C$
Erweiterte Funktion	$f (x) = b \cdot e^{c x + d}$	$F (x) = \frac{b}{c} \cdot e^{c x + d} + C$

Vielleicht ist dir aufgefallen, dass die e-Funktion immer nur mit einer Konstante $b$ multipliziert wird. Doch was ist, wenn es mit einem Ausdruck wie $x$ oder $x^{2}$ multipliziert wird? Dann muss die partielle Integration angewandt werden. Dies würde an dieser Stelle aber zu weit gehen.

Integral der e-Funktion berechnen

Die Stammfunktion der e-Funktion brauchst du meist für das Lösen eines Integrals. Dabei kannst du die Stammfunktion beim Integral mit den Grenzen $u$ und $o$ wie folgt anwenden.

Das Integral $\int$ der erweiterten e-Funktion $f (x) = b \cdot e^{c x + d}$ lautet:

$\int_{u}^{o} b \cdot e^{c x + d} d x = {[\frac{b}{c} \cdot e^{c x + d}]}_{u}^{o}$

Dazu kannst du dir noch ein Beispiel anschauen.

Aufgabe 3

Berechne exakt das Integral $\int_{- 1}^{0} 2 \cdot e^{5 x + 1} d x$ .

Lösung

Zuerst ist es wieder hilfreich, die Parameter $b$ und $c$ zu identifizieren.

$b = 2; c = 5$

Damit erhältst du folgendes Integral.

$\begin{array}{rcl} \int_{- 1}^{0} 2 \cdot e^{5 x + 1} d x & = & {[\frac{2}{5} \cdot e^{5 x + 1}]}_{- 1}^{0} \\ = & \frac{2}{5} \cdot e^{5 \cdot 0 + 1} - \frac{2}{5} \cdot e^{5 \cdot (- 1) + 1} \\ = & \frac{2}{5} \cdot e - \frac{2}{5} \cdot e^{- 4} \\ = & \frac{2}{5} \cdot (e - e^{- 4}) \approx 1, 08 \end{array}$

Als kleine Zusammenfassung kannst du dir den nächsten Abschnitt noch anschauen.

E Funktion integrieren - Das Wichtigste

Die Stammfunktion $F (x)$ der natürlichen Exponentialfunktion $f (x) = e^{x}$ entspricht der Funktion $f (x)$ mit einer Konstante $C$ : $F (x) = e^{x} + C$

Die Stammfunktionen der e-Funktionen lauten wie folgt:

	Funktion $f (x)$	Stammfunktion $F (x)$
Reine Funktion	$f (x) = e^{x}$	$F (x) = e^{x} + C$
Funktion mit Parameter $b$	$f (x) = b \cdot e^{x}$	$F (x) = b \cdot e^{x} + C$
Funktion mit Parameter $c$	$f (x) = e^{c x}$	$F (x) = \frac{1}{c} \cdot e^{c x} + C$
Funktion mit Parameter $d$	$f (x) = e^{x + d}$	$F (x) = e^{x + d} + C$
Erweiterte Funktion	$f (x) = b \cdot e^{c x + d}$	$F (x) = \frac{b}{c} \cdot e^{c x + d} + C$

Das Integrieren der e-Funktion benötigst du, um Integrale zu lösen.
Für das Integral gilt folgende Gleichung: $\int_{u}^{o} b \cdot e^{c x + d} d x = {[\frac{b}{c} \cdot e^{c x + d}]}_{u}^{o}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema E Funktion integrieren

Ohne weitere Parameter in der E-Funktion wird beim Integrieren lediglich die Konstante C addiert. Wenn f(x)=e^x gegeben ist, ist F(x)=e^x+C die Stammfunktion. Die erweiterte E-Funktion kann durch Tabellen von Stammfunktionen ermittelt werden oder durch Substitution.

Bei f(x)=b•e^cx+d ist F(x)=b/c•e^cx+d+C die Stammfunktion.

Wenn f(x)=e^x gegeben ist, ist F(x)=e^x+C die Stammfunktion.

Bei f(x)=b•e^cx+d ist F(x)=b/c•e^cx+d+C die Stammfunktion.

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