Betragsfunktionen

Q: Wie berechne ich den Betrag einer Funktion?

Du kannst den Betrag eines Funktionswertes berechnen, indem Du den Abstand dieses Wertes zur 0 angibst. Dieser Abstand ist dann genau der Betrag des Funktionswertes. Wenn Du für eine gesamte Funktion den Betrag angeben möchtest, machst Du zuerst eine Fallunterscheidung und prüfst, für welche x-Werte die Funktionswerte kleiner als 0 sind. Für diese x-Werte drehst Du dann das Vorzeichen der Funktionswerte um.

Q: Wie zeichne ich Betragsfunktionen?

Betragsfunktionen kannst Du zeichnen, indem Du zuerst eine Wertetabelle anlegst. Achte dabei darauf, dass die Wertetabelle die Nullstelle der Funktion enthält. Dann trägst Du die Punkte in eine Wertetabelle ein und zeichnest durch sie einen Graphen.

Q: Wie rechne ich mit Betragsstrichen?

Terme mit Betragsstrichen und Terme ohne Betragsstriche kannst Du nicht einfach zusammenrechnen. Um mit einem Term mit Betragsstrichen zu rechnen, löst Du die Betragsstriche zuerst auf. Dazu machst Du eine Fallunterscheidung und prüfst, wann der Teil in den Betragsstrichen kleiner als 0 ist. In diesem Fall drehst Du dann das Vorzeichen um. Für beide Fallunterscheidungen rechnest Du dann getrennt weiter.

Q: Was ist der Betrag einer Funktion?

Der Betrag einer Funktion gibt den Abstand eines Funktionswertes zur 0 an. Um den Betrag einer Funktion zu bestimmen, rechnest Du zuerst den Funktionswert aus und gibst dann seinen Abstand zur 0 an.

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Stell Dir vor, Du fährst Fahrstuhl. Du kannst zum Beispiel vom Erdgeschoss (Stockwerk 0) in den zweiten Stock fahren. Dann ist der Fahrstuhl zwei Stockwerke gefahren. Du kannst aber auch mit dem Fahrstuhl in den Keller fahren, zum Beispiel ins Stockwerk –2. Auch dann ist der Fahrstuhl zwei Stockwerke gefahren. Er fährt also sowohl von der 0 zur 2 als auch von der 0 zur –2 genau zwei Stockwerke. Ist das nicht merkwürdig? Müsste der Fahrstuhl nicht –2 Stockwerke fahren, wenn er in den Keller fährt?

Nein, es geht darum, wie weit sich der Fahrstuhl von seiner Startposition wegbewegt. Die Richtung dabei ist egal.

Der mathematische Hintergrund hierfür ist die Betragsfunktion.

Grundlagen für die Betragsfunktion: Betrag einer Zahl

Der Betrag einer Zahl gibt Dir an, wie weit die Zahl vom der 0 entfernt ist.

Für eine Zahl a ist der Betrag der Zahl

$|a| = \{\begin{array}{rc} a & für a \geq 0 \\ - a & für a < 0 \end{array}$

Wenn eine Zahl positiv ist, ist der Betrag der Zahl die Zahl selbst. Ist die Zahl hingegen negativ, drehst Du für den Betrag der Zahl das Vorzeichen um.

Für positive Zahlen gilt zum Beispiel:

$\begin{array}{rcl} |3| & = & 3 \\ |15| & = & 15 \\ |207| & = & 207 \end{array}$

Ist die Zahl selbst negativ, so ist der Betrag der Zahl trotzdem positiv.

$\begin{array}{rcl} |- 7| & = & 7 \\ |- 12| & = & 12 \\ |- 401| & = & 401 \end{array}$

Die Zahl zum Beispiel ist 401 Schritte auf dem Zahlenstrahl von der 0 entfernt. Deswegen ist ihr Betrag 401. In welche Richtung die Schritte gegangen werden, ist für den Betrag nicht wichtig.

Den Betrag einer Zahl kannst Du auch als Funktion definieren.

Betragsfunktionen – Definition & Erklärung

Durch eine Funktion wird einem x-Wert sein Funktionswert zugeordnet. Bei der Betragsfunktion wird jedem x-Wert sein Betrag zugeordnet.

Die Funktion $f : x \mapsto |x|$ heißt Betragsfunktion. Es ist:

$f (x) = |x| = \{\begin{array}{rc} x & für x \geq 0 \\ - x & für x < 0 \end{array}$

Die Definitionsmenge der Betragsfunktion ist $D = ℝ$ . Die Wertemenge der Betragsfunktion ist $W = ℝ^{+}$ .

Definitionsmenge $D = ℝ$ bedeutet, dass die Betragsfunktion für alle reellen Zahlen definiert ist. Du kannst also jede Zahl, die Du kennst, in die Betragsfunktion einsetzen.

Die Wertemenge einer Funktion beschreibt den Zahlenbereich, in dem alle Funktionswerte liegen. Die Funktionswerte der Betragsfunktion sind immer positiv, da der Betrag einer Zahl immer positiv ist. Deswegen ist die Wertemenge der Betragsfunktion nur alle positiven reellen Zahlen.

Wenn Du einen x-Wert in die Betragsfunktion einsetzt, kannst Du den Betrag des x-Wertes berechnen. Der Funktionswert ist der Betrag.

$\begin{array}{rcl} f (3) & = & |3| = 3 \\ f (- 4) & = & |- 4| = 4 \\ f (27) & = & |27| = 27 \\ f (- 61) & = & |- 61| = 61 \end{array}$

Die Betragsfunktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion. Das bedeutet, dass sie sich aus mehreren Funktionen zusammensetzt, die alle nur für bestimmte x-Werte definiert sind.

Graph der Betragsfunktion

Der Graph der Betragsfunktion $f (x) = |x|$ besteht aus zwei Halbgeraden. In Abbildung 1 kannst Du erkennen, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Betragsfunktion Graph StudySmarter Abbildung 1: Graph der Betragsfunktion f(x)=|x|

Er entsteht aus dem Graphen der Funktion $g (x) = x$ , indem der Teil des Graphes, der im negativen x-Wert-Bereich verläuft, an der x-Achse gespiegelt wird. In Abbildung 2 siehst Du sowohl den Graphen der Funktion $g (x) = x$ als auch den Graphen der Betragsfunktion $f (x) = |x|$ . Dort kannst Du die Spiegelung erkennen.

Betragsfunktion Graph lineare Funktion Spiegelung StudySmarter Abbildung 2: Graphen der Betragsfunktion f(x)=|x| und der linearen Funktion g(x)=x

Der Graph einer Betragsfunktion verläuft nie unterhalb der x-Achse, da alle Funktionswerte positiv sind.

Betragsfunktion Rechenregeln

Für das Rechnen mit Beträgen gibt es einige Rechenregeln. Diese lassen sich auch auf die Betragsfunktion übertragen.

Für die Betragsfunktion $f (x) = |x|$ gilt:

$f (x) = f (- x), da |x| = |- x|$

$f (x_{1} \cdot x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2}), da |x_{1} \cdot x_{2}| = |x_{1}| \cdot |x_{2}|$

$f (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = \frac{f (x_{1})}{f (x_{2})}, da |\frac{x_{1}}{x_{2}}| = \frac{|x_{1}|}{|x_{2}|}$

Der Bruchstrich in der dritten Rechenregel steht für eine Division. Die Rechenregel gilt also auch, wenn kein Bruchstrich vorhanden ist, sondern ein Divisionszeichen.

$f (x) = f (- x)$ bedeutet, dass ein x-Wert denselben Funktionswert hat wie der negative x-Wert.

Die beiden anderen Rechenregeln besagen, dass das Ergebnis dasselbe ist, egal ob Du entweder zuerst multiplizierst oder dividierst und dann den Betrag nimmst oder zuerst die Beträge der Zahlen nimmst und diese dann multiplizierst oder dividierst.

Ein Beispiel für die erste Rechenregel ist:

$\begin{array}{rcl} f (3) & = & |3| = 3 \\ f (- 3) & = & |- 3| = 3 \end{array}$

Für die zweite Rechenregel kannst Du folgendes Beispiel verwenden.

$\begin{array}{rcl} f (- 4 \cdot 5) & = & f (- 20) = |- 20| = 20 \\ f (- 4) \cdot f (5) & = & |- 4| \cdot |5| = 4 \cdot 5 = 20 \end{array}$

Und in diesem Beispiel findest Du die dritte Rechenregel:

$\begin{array}{rcl} f (\frac{- 8}{2}) & = & f (- 4) = |- 4| = 4 \\ \frac{f (- 8)}{f (2)} & = & \frac{|- 8|}{|2|} = \frac{8}{2} = 4 \end{array}$

Aber Achtung. Diese Rechenregeln gelten nur für die Betragsfunktion $f (x) = |x|$ . Du kannst die Betragsfunktion auch verändern, indem Du sie zum Beispiel verschiebst. Dann gelten diese Rechenregeln aber nicht mehr.

Betragsfunktionen verschieben

Wie bei anderen Funktionen kannst Du den Graphen einer Betragsfunktion durch Parameter verändern.

Betragsfunktion in x-Richtung verschieben

Du kannst die Betragsfunktion in x-Richtung nach links oder rechts verschieben.

Die Funktionsgleichung einer Betragsfunktion f, die nach links oder rechts verschoben ist, lautet:

$f (x) = |x - a|$

Hier denkst Du gewissermaßen andersherum. Wenn Du den Graphen um a Einheiten nach rechts verschiebst, also in positive x-Richtung, ist die Funktionsgleichung $f (x) = |x - a|$ . Verschiebst Du den Graphen aber um a Einheiten nach links, also in negative x-Richtung ist, ist die Funktionsgleichung $f (x) = |x + a|$ .

Der Graph der Betragsfunktion soll um drei Einheiten nach rechts verschoben werden. Es ist also $a = 3$ .

Die Funktionsgleichung lautet $f (x) = |x - 3|$ , da Du in die ursprüngliche Funktionsgleichung $f (x) = |x - a|$ den Wert $a = 3$ eingesetzt hast.

Den Graphen der Funktion $f (x) = |x - 3|$ findest Du in Abbildung 3. Dort kannst Du erkennen, dass der gesamte Graph drei Einheiten nach rechts verschoben ist.

Betragsfunktion Graph verschieben StudySmarter Abbildung 3: Graph der Funktion f(x)=|x–3|

Merke Dir also: Wenn Du den Graphen in positive x-Richtung verschiebst, steht in der Funktionsgleichung ein Minuszeichen.

Du kannst aber auch ins Negative verschieben.

Wenn Du den Graphen der Betragsfunktion zum Beispiel um drei Einheiten nach links verschiebst, ist $a = - 3$ . Dies kannst Du in die Funktionsgleichung einsetzen und erhältst:

$f (x) = |x + 3|$

Dadurch, dass Du $x - (- 3) = x + 3$ gerechnet hast, entsteht ein Pluszeichen.

In Abbildung 4 kannst Du erkennen, dass der Graph der Funktion $f (x) = |x + 3|$ tatsächlich drei Einheiten nach links verschoben ist.

Betragsfunktion Graph verschieben StudySmarter Abbildung 4: Graph der Funktion f(x)=|x+3|

Zusammengefasst bedeutet dies: Steht ein Plus- oder Minuszeichen in den Betragsstrichen einer Betragsfunktion, so ist der Graph der Funktion nach links oder rechts verschoben.

Betragsfunktion in y-Richtung verschieben

Der Graph einer Betragsfunktion kann aber auch in y-Richtung nach oben oder unten verschoben werden.

Dann steht die Addition oder Subtraktion außerhalb der Betragsstriche.

Die Funktionsgleichung einer Betragsfunktion f, die nach oben oder unten in y-Richtung verschoben ist, lautet:

$f (x) = |x| + b$

Da in der allgemeinen Funktionsgleichung kein Minuszeichen steht, bedeutet ein Pluszeichen vor dem b, dass ins Positive (nach oben) verschoben wurde und ein Minus, dass ins Negative (nach unten) verschoben wurde. Hier brauchst Du daher nicht umzudenken.

Die Betragsfunktion wird um 3 Einheiten nach oben verschoben. Die Funktionsgleichung lautet:

$f (x) = |x| + 3$

Der Graph dieser Funktion ist in Abbildung 5 dargestellt.

Betragsfunktion Graph Verschieben StudySmarter Abbildung 5: Graph der Funktion f(x)=|x|+3

Du kannst die Betragsfunktion aber beispielsweise auch um drei Einheiten nach unten verschieben. Dann lautet die Funktionsgleichung:

$g (x) = |x| - 3$

Den Graphen dieser Funktion findest Du in Abbildung 6.

Betragsfunktion Graph Verschieben StudySmarter Abbildung 6: Graph der Funktion g(x)=|x|-3

Du kannst in der Abbildung 6 erkennen, dass der Graph der Funktion $g (x) = |x| - 3$ zum Teil im negativen x-Bereich verläuft, obwohl g eine Betragsfunktion ist. Dies liegt daran, dass der Graph nach unten verschoben wurde.

Du kannst die Funktion auch sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung verschieben. Dann lautet die Funktionsgleichung für eine Funktion f:

$f (x) = |x - a| + b$

a ist der Parameter für die Verschiebung in x-Richtung, b für die Verschiebung in y-Richtung.

Betragsfunktion auflösen – Fallunterscheidung

Häufig ist es hilfreich, eine Betragsfunktion ohne Betragsstriche zu schreiben. Für $f (x) = |x|$ ist die betragsstrichfreie Darstellung:

$f (x) = \{\begin{array}{rc} x & für x \geq 0 \\ - x & für x < 0 \end{array}$

Wenn Du eine Betragsfunktion auflösen möchtest, benötigst Du in den allermeisten Fällen eine Fallunterscheidung.

Du unterscheidest zwischen den x-Werten, für die die Funktionswerte ohne Betragsstriche positiv sind, und den x-Werten, für die die Funktionswerte ohne Betragsstriche negativ sind.

Wenn unter dem Größerzeichen oder unter dem Kleinerzeichen ein Strich steht, bedeutet dies, dass auch Gleichheit gelten kann.

$\geq$ ist daher das Zeichen für größer oder gleich. Du kannst es als größergleich aussprechen.

Für die Funktion $f (x) = |x|$ ist die Fallunterscheidung bereits $x \geq 0$ und $x < 0$ . Stell Dir vor, Du lässt die Betragsstriche weg. Dann hättest Du die Funktion $g (x) = x$ . Die Funktionswerte von g sind positiv, wenn x größer oder gleich 0 ist. Wenn x kleiner als 0 ist, sind die Funktionswerte $g (x)$ negativ.

Um eine Fallunterscheidung durchzuführen, suchst Du also die Stellen, an denen die Funktionswerte für die Funktion ohne Betragsstriche vom Positiven ins Negative wechseln oder umgekehrt.

Den Funktionswert der Betragsfunktion kannst Du dann so berechnen:

Nimm die Funktion ohne Betragsstriche, wenn der Funktionswert für das eingesetzte x positiv ist und dreh das Vorzeichen um, wenn die Funktionswerte ohne Betragsstriche für das eingesetzte x negativ wären.

Die Funktion $f (x) = |x - 3|$ soll aufgelöst werden. Du gibst jetzt also an, was passieren soll, wenn die Funktionswerte ohne Betragsstriche größer oder gleich bzw. kleiner als 0 sind.

$f (x) = \{\begin{array}{rc} x - 3 & für x - 3 \geq 0 \\ - (x - 3) & für x - 3 < 0 \end{array}$

Du hast aber noch nicht ganz genau angegeben, für welche x-Werte die Funktionswerte nun positiv oder negativ wären. Deswegen löst Du nun die Ungleichungen auf:

$\begin{matrix} x - 3 \geq 0 & | + 3 \\ x \geq 3 \end{matrix}$

Die Funktionswerte sind also positiv, wenn $x \geq 3$ ist.

$\begin{matrix} x - 3 < 0 & | + 3 \\ x < 3 \end{matrix}$

Für $x < 3$ wären die Funktionswerte negativ. Deswegen wird hier das Vorzeichen des Funktionswertes umgedreht.

Schließlich erhältst Du so folgende Definition der Funktion:

$f (x) = \{\begin{array}{rc} x - 3 & für x \geq 3 \\ - x + 3 & für x < 3 \end{array}$

$x - 3 \geq 0$ ist eine Ungleichung. Es ist keine Gleichung, da der Ausdruck kein Gleichheitszeichen enthält.

Wenn die gesamte Betragsfunktion in Betragsstrichen steht, kannst Du Dir merken, dass Du die Betragsstriche weglässt und eine Fallunterscheidung machst, um festzustellen, wann die Funktionswerte größer oder kleiner als 0 sind.

Aber wie ist das, wenn die Funktion auch in y-Richtung verschoben ist und nur ein Teil der Funktion Betragsstriche hat?

Wenn nur ein Teil der Funktion in Betragsstrichen steht, betrachtest Du auch nur diesen Teil für die Fallunterscheidung. Du verwendest zwar den gesamten Funktionsterm, um den Funktionswert zu berechnen. Für die Fallunterscheidung ist aber nur interessant, wann der Teil in den Betragsstrichen negativ wird.

Die Betragsfunktion $f (x) = |x + 4| - 2$ soll betragsstrichfrei geschrieben werden.

$f (x) = \{\begin{cases} x + 4 - 2 & für x + 4 \geq 0 \\ - (x + 4) - 2 & für x + 4 < 0 \end{cases}$

Du untersuchst jetzt, wann der Teil in den Betragsstrichen negativ werden würde. Denn nur diesen Teil verändern die Betragsstriche.

$\begin{matrix} x + 4 \geq 0 & | - 4 \\ x \geq - 4 \end{matrix}$

$\begin{array}{rc} x + 4 < 0 & | - 4 \\ x < 0 \end{array}$

Der Term ist positiv für $x \geq - 4$ und negativ für $x < - 4$ . In zweiten Fall drehst Du daher die Vorzeichen um. Aber Achtung, Du drehst nur von dem Teil die Vorzeichen um, der ursprünglich in den Betragsstrichen stand.

Für $x < - 4$ ist der Funktionswert $- (x + 4) - 2$ . Das kannst Du zusammenfassen:

$- (x + 4) - 2 = - x - 4 - 2 = - x - 6$

Auch für $x \geq - 4$ kannst Du den Funktionswert noch etwas vereinfachen:

$x + 4 - 2 = x + 2$

Die Funktionsgleichung lautet schließlich:

$f (x) = \{\begin{array}{rc} x + 2 & für x \geq - 4 \\ - x - 6 & für x < - 4 \end{array}$

Betragsfunktion zeichnen

Um eine Betragsfunktion zu zeichnen, kannst Du auch die betragsfreie Darstellung nutzen. Dort kannst Du die Werte gut berechnen.

Du kannst eine Betragsfunktion zeichnen, indem Du zuerst eine Wertetabelle erstellst und dann die Werte in ein Koordinatensystem einträgst. Achte dabei darauf, dass Du insbesondere den x-Wert verwendest, der an der Grenze zwischen den Fällen der Fallunterscheidung liegt.

Gezeichnet werden soll die Funktion $f (x) = |x + 4| - 2$ . Du kannst die betragsfreie Schreibweise verwenden:

$f (x) = \{\begin{array}{rc} x + 2 & für x \geq - 4 \\ - x - 6 & für x < - 4 \end{array}$

Nun legst Du eine Wertetabelle an:

x	-10	-8	-6	-4	-2	0	2
y=f(x)	4	2	0	-2	0	2	4

Diese Punkte zeichnest Du in ein Koordinatensystem. Dann zeichnest Du je einen Strahl durch den linken Teil der Punkte und einen Strahl durch den rechten Teil der Punkte, da sich die Funktion aus zwei Halbgeraden zusammensetzt.

Betragsfunktion Graph zeichnen StudySmarter Abbildung 7: Graph der Funktion f(x)=|x+4|-2 zeichnen

Mithilfe einer Wertetabelle kannst Du jede Betragsfunktion zeichnen.

Wenn Du bereits weißt, wo die Grenze der abschnittsweisen Definition liegt, langt es auch, wenn Du diesen Punkt und noch je einen Punkt aus den beiden Abschnitten einzeichnest. Dann kannst Du bereits Halbgeraden zeichnen.

Weitere Betragsfunktionen – Beispiele

Du kannst nicht nur Beträge von linearen Funktionen als Betragsfunktionen verwenden, sondern zum Beispiel auch quadratische Funktionen.

$f (x) = |x^{2} - 4 x + 3|$ ist zum Beispiel auch eine Betragsfunktion.

Wenn Du eine quadratische Betragsfunktion betragsfrei darstellen willst, ist die Fallunterscheidung etwas umfangreicher. Du bestimmst die Nullstellen der quadratischen Funktion und überprüfst dann, welcher Bereich positiv ist und welcher negativ.

Für $f (x) = |x^{2} - 4 x + 3|$ kannst Du mit dieser betragsfreien Schreibweise beginnen:

$f (x) = \{\begin{array}{rc} x^{2} - 4 x + 3 & für x^{2} - 4 x + 3 \geq 0 \\ - (x^{2} - 4 x + 3) & für x^{2} - 4 x + 3 < 0 \end{array}$

Aber wann ist denn $x^{2} - 4 x + 3$ größer oder kleiner als 0? Das kannst Du so nicht ablesen. Du kannst aber eine Gleichung statt einer Ungleichung aufstellen und die Gleichung auflösen. Das entspricht dem Bestimmen der Nullstellen der Funktion $g (x) = x^{2} - 4 x + 3$ . Dann weißt Du, wann $x^{2} - 4 x + 3$ genau 0 ist. Zum Lösen kannst Du etwa die pq-Formel verwenden:

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

$\begin{array}{rcl} x_{1 / 2} & = & - \frac{- 4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 4}{2})}^{2} - 3} \\ = & 2 \pm 1 \\ x_{1} & = & 2 - 1 = 1 \\ x_{2} & = & 2 + 1 = 3 \end{array}$

Bei $x_{1} = 1 und x_{2} = 3$ hat die Funktion g Nullstellen. Jetzt prüfst Du noch, ob die Funktion g in dem Intervall vor der Nullstelle, zwischen den Nullstellen und hinter der Nullstelle positiv oder negativ ist. Dazu setzt Du eine Zahl aus diesem Intervall in die Funktionsgleichung ein. Die Intervalle sind $(- \infty; 1], (1; 3], (3; \infty)$ .

$\begin{array}{rcl} Erstes Intervall: \\ f (0) & = & 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3 \\ Zweites Intervall: \\ f (2) & = & 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1 \\ Drittes Intervall: \\ f (4) & = & 4^{2} - 4 \cdot 4 + 3 = 3 \end{array}$

Die Funktion f hat im gesamten Intervall von $- \infty$ bis 1 positive Funktionswerte. Von 1 bis 3 sind die Funktionswerte negativ und von 3 bis $\infty$ wieder positiv.

Es genügt, einen Wert in dem Intervall auszurechnen, da Du bereits weißt, dass in den Intervallen keine Nullstellen liegen.

Zusammengefasst bedeutet dies, dass $x^{2} - 4 x + 3$ positiv ist für $x \leq 1 und x \geq 3$ . Für $1 < x < 3$ ist $x^{2} - 4 x + 3$ negativ.

Die betragsfreie Definition von f ist daher:

$f (x) = \{\begin{aligned} x^{2} - 4 x + 3 & für x \leq 1 und x \geq 3 \\ - x^{2} + 4 x - 3 & für 1 < x < 3 \end{aligned}$

Auch bei quadratischen Betragsfunktionen bestimmst Du also die Bereiche, in denen die Funktionswerte ohne Betragsstriche negativ wären und drehst dort die Vorzeichen um.

Betragsfunktionen – Aufgaben

Die folgenden Aufgaben kannst Du nutzen, um selbst aktiv zu werden. Du kannst aber auch die Lösungen als Beispiele verwenden.

Aufgabe 1

Gib die Funktionsgleichungen $g (x)$ der neuen Funktionen an.

a) Der Graph der Betragsfunktion $f (x) = |x|$ wird um 5 Einheiten in positive x-Richtung (nach rechts) verschoben.

b) Der Graph der Betragsfunktion $f (x) = |x|$ wird um 4 Einheiten in negative y-Richtung (nach unten) verschoben.

Lösung

a) Die allgemeine Formel für eine in x-Richtung verschobene Betragsfunktion lautet:

$g (x) = |x - a|$

Es wird um 5 Einheiten nach rechts verschoben. Deswegen ist $a = 5$ . Die Funktionsgleichung lautet:

$g (x) = |x - 5|$

b) Die allgemeine Formel für eine in y-Richtung verschobene Betragsfunktion lautet:

$g (x) = |x| + b$

Es wird um 4 Einheiten nach unten verschoben. Daher ist $b = - 4$ . Die Funktionsgleichung lautet:

$g (x) = |x| - 4$

Aufgabe 2

Bestimme die betragsfreie Darstellung der Funktion $f (x) = |x - 1| + 2$ .

Lösung

Zuerst kannst Du eine betragsfreie Darstellung aufschreiben, bei der die Ungleichung noch nicht aufgelöst ist.

$f (x) = \{\begin{array}{rc} x - 1 + 2 & für x - 1 \geq 0 \\ - (x - 1) + 2 & für x - 1 < 0 \end{array}$

Beachte, dass Du in der Fallunterscheidung für x nur den Teil der Funktionsgleichung verwendest, der in den Betragsstrichen stand. Jetzt löst Du die Ungleichungen nach x auf.

$\begin{matrix} x - 1 \geq 0 & | + 1 \\ x \geq 1 \end{matrix}$

$\begin{matrix} x - 1 < 0 & | + 1 \\ x < 1 \end{matrix}$

Dann vereinfachst Du noch die betragsfreien Funktionsgleichungen:

$\begin{array}{rcl} x - 1 + 2 & = & x + 1 \\ - (x - 1) + 2 & = & - x + 1 + 2 = - x + 3 \end{array}$

Die betragsfreie Definition von f lautet:

$f (x) = \{\begin{array}{rc} x + 1 & für x \geq 1 \\ - x + 3 & für - x + 3 \end{array}$

Aufgabe 3

Berechne für $f (x) = |x + 2| - 1$ die folgenden Funktionswerte.

a) $f (- 4)$

b) $f (- 2)$

c) $f (4)$

Lösung

$f (- 4) = |- 4 + 2| - 1 = |- 2| - 1 = 2 - 1 = 1$

$f (- 2) = |- 2 + 2| - 1 = |0| - 1 = 0 - 1 = - 1$

$f (4) = |4 + 2| - 1 = |6| - 1 = 6 - 1 = 5$

Betragsfunktionen – Das Wichtigste auf einen Blick

Der Betrag einer Zahl gibt den Abstand der Zahl auf der Zahlengeraden zur 0 an.
Die allgemeine Betragsfunktion ist $f (x) = |x|$ .
Du kannst die Betragsfunktion verschieben.
- Verschieben in x-Richtung: $f (x) = |x - a|$
- Verschieben in y-Richtung: $f (x) = |x| + b$
Wenn Du die Funktionsgleichung einer Betragsfunktion betragsfrei schreiben willst, machst Du eine Fallunterscheidung: $f (x) = |x| = \{\begin{array}{rc} x & für x \geq 0 \\ - x & für x < 0 \end{array}$

Nachweise

Papula (2009). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1: Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Mit zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik. Mit 307 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen. Vieweg + Teubner.
Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Betragsfunktionen

Du kannst den Betrag eines Funktionswertes berechnen, indem Du den Abstand dieses Wertes zur 0 angibst. Dieser Abstand ist dann genau der Betrag des Funktionswertes.

Wenn Du für eine gesamte Funktion den Betrag angeben möchtest, machst Du zuerst eine Fallunterscheidung und prüfst, für welche x-Werte die Funktionswerte kleiner als 0 sind. Für diese x-Werte drehst Du dann das Vorzeichen der Funktionswerte um.

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Grundlagen für die Betragsfunktion: Betrag einer Zahl

Betragsfunktionen – Definition & Erklärung

Graph der Betragsfunktion

Betragsfunktion Rechenregeln

Betragsfunktionen verschieben

Betragsfunktion in x-Richtung verschieben

Betragsfunktion in y-Richtung verschieben

Betragsfunktion auflösen – Fallunterscheidung

Betragsfunktion zeichnen

Weitere Betragsfunktionen – Beispiele

Betragsfunktionen – Aufgaben

Betragsfunktionen – Das Wichtigste auf einen Blick

Nachweise

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