Lineare Substitution

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Substitution bedeutet, dass ein Ausdruck durch einen anderen Ausdruck ersetzt wird. Eine lineare Funktion ist eine Gerade mit dem Typ $f (x) = m x + b$ .

Doch was hat jetzt linear und Substitution miteinander zu tun? Das erfährst Du in dieser Erklärung.

Lineare Substitution – Erklärung

Integrieren durch Substitution ist das Gegenteil vom Ableiten mit der Kettenregel, da in beiden Fällen verkettete Funktionen vorhanden sind.

$\int f (x) d x \leftarrow_{S u b s t i t u t i o n}^{I n t e g r i e r e n d u r c h} f (x) = g (h (x)) \to_{d e r K e t t e n r e g e l}^{A b l e i t e n m i t} f' (x)$

In der Schule wird statt „Integrieren durch Substitution“ manchmal von der „Kettenregel beim Integrieren“ gesprochen.

Das bedeutet, dass die Integration durch Substitution bei verketteten Funktionen angewandt wird. Doch warum heißt es nun lineare Substitution?

Die Integration durch lineare Substitution einer Funktion $f (x) = g (h (x))$ kann nur dann erfolgen, wenn die innere Funktion $h (x)$ eine lineare Funktion mit folgender Funktionsgleichung ist:

$h (x) = m x + b$

Die Integration durch Substitution, wenn die innere Funktion $h (x)$ NICHT linear ist, ist nicht mit einer allgemeinen Formel durchführbar.

Wie können solche verketteten Funktionen mit einer linearen inneren Funktion aussehen?

Der folgenden Tabelle kannst Du verschiedene verkettete Funktionen und deren innere und äußere Funktion entnehmen.

	Funktion $f (x)$	Äußere Funktion $g (h (x))$	Innere Funktion $h (x)$
Ganzrationale Funktion	$f (x) = {(3 x + 1)}^{5}$	$g (h (x)) = h {(x)}^{5}$	$h (x) = 3 x + 1$
e-Funktion	$f (x) = e^{3 x + 5}$	$g (h (x)) = e^{h (x)}$	$h (x) = 3 x + 5$
Sinusfunktion	$f (x) = \sin (9 x + 2)$	$g (h (x)) = \sin (h (x))$	$h (x) = 9 x + 2$
Wurzelfunktion	$f (x) = \sqrt{7 x + 11}$	$g (h (x)) = \sqrt{h (x)}$	$h (x) = 7 x + 11$

Doch wie funktioniert eigentlich die Integration durch lineare Substitution? Schau Dir dazu erst noch einmal die Kettenregel beim Ableiten an.

Zur Erinnerung:

Kettenregel: $f (x) = g (h (x)) \overset{A b l e i t e n}{\to} f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x)$

Um eine Funktion zu integrieren, wird die Ableitung rückwärts durchgeführt.

Du siehst anhand der Kettenregel, dass bei der Ableitung $f' (x)$ die innere Funktion $h (x)$ gleich bleibt und sich nicht verändert. Zusätzlich wird von der äußeren Funktion die Ableitung gebildet und das Ganze noch mit dem Ausdruck $h' (x)$ multipliziert.

Zum besseren Verständnis schau Dir zunächst ein Beispiel an.

Du hast die Funktion $n (x)$ mit $n (x) = \sin (3 x + 14)$ und deren Ableitung $n' (x) = 3 \cdot \cos (3 x + 14)$ .

Dabei sind die innere und die äußere Funktion wie folgt definiert:

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \sin (h (x)) \\ h (x) & = & 3 x + 14 \end{array}$

Ziel ist, die Ableitung $n' (x)$ rückwärts durchzuführen und damit zu integrieren. Es gilt also Folgendes:

$n (x) + C = \int n' (x) d x$

Nun wird die Ableitungsfunktion $n' (x)$ integriert. Dazu musst Du wissen, dass beim Ableiten die Zahl $3 = h' (x)$ vor die Funktion gezogen wird. Um diese Zahl bei der Integration wieder wegzukürzen, muss deshalb beim Integrieren mit $\frac{1}{3} = \frac{1}{h' (x)}$ multipliziert werden.

Zusätzlich integrierst Du noch die reine Kosinusfunktion. Damit erhältst Du folgenden Ausdruck:

$\int n' (x) d x = 3 \cdot \sin (3 x + 14) \cdot \frac{1}{3} + C = \sin (3 x + 14) + C = n (x) + C$

Somit wird lediglich durch die Zahl $3 = h' (x)$ dividiert und die reine Kosinusfunktion integriert. In diesem Fall ist die Konstante $C = 0$ . Damit ist die Funktion $n (x)$ nur eine mögliche Stammfunktion der Funktion $n' (x)$ .

Jetzt hast Du bereits einmal die Integration durch lineare Substitution angewandt, ohne die spezielle Formel dafür zu kennen.

Lineare Substitutionsregel – Formel

Schau Dir jetzt das Ganze einmal anhand einer Formel an.

Das unbestimmte Integral einer verketteten Funktion $f (x) = g (h (x))$ mit einer linearen inneren Funktion $h (x) = m x + b$ lautet:

$\int f (x) d x = \frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x)) + C = \frac{1}{m} \cdot G (m x + b) + C$

Wobei $m \neq 0$ ist.

Wie in der Erklärung „Unbestimmtes Integral“ definiert, liefert das unbestimmte Integral einer verketteten Funktion die Menge aller Stammfunktionen durch lineare Substitution.

Zeit, um die lineare Substitutionsregel einmal anzuwenden.

Aufgabe 1

Integriere die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = {(31 x + 4)}^{15}$ mithilfe der linearen Substitutionsregel.

Lösung

Identifiziere zuerst die innere und die äußere Funktion.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & h {(x)}^{15} \\ h (x) & = & 31 x + 4 \end{array}$

Als Nächstes wird noch die äußere Funktion $g (x)$ integriert und die innere Funktion $h (x)$ abgeleitet.

Zur Erinnerung:

Potenzregel beim Integrieren für $n \neq - 1$ : $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & \frac{1}{16} \cdot h {(x)}^{16} \\ h' (x) & = & 31 \end{array}$

Setzt Du die eben errechneten Ausdrücke in die Formel der linearen Substitutionsregel ein, erhältst Du folgendes unbestimmtes Integral der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = {(31 x + 4)}^{15}$ .

$\begin{array}{rcl} \int {(31 x + 4)}^{15} d x & = & \frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x)) + C \\ = & \frac{1}{31} \cdot \frac{1}{16} \cdot h {(x)}^{16} + C \\ = & \frac{1}{496} \cdot {(31 x + 4)}^{16} + C \end{array}$

Bisher hast Du nur unbestimmte Integrale durch lineare Substitution gelöst. Schau Dir jetzt einmal die bestimmten Integrale an.

Integration durch lineare Substitution – Anwendung

Wie wirkt sich die Integration durch lineare Substitution auf ein bestimmtes Integral aus?

Das bestimmte Integral einer verketteten Funktion $f (x) = g (h (x))$ mit einer linearen inneren Funktion $h (x) = m x + b$ mit den Grenzen a und b lautet:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = {[\frac{1}{m} \cdot G (m x + b)]}_{a}^{b}$

Die lineare Substitution kann auch erfolgen, indem die innere Funktion $h (x) = u$ gesetzt wird. Dabei müssen dann auch die Integrationsgrenzen substituiert werden. Diese Vorgehensweise kann verwendet werden, wenn die innere Funktion eine NICHT lineare Funktion ist. Daher kommt der Begriff „Substitution“.

Löse doch gleich einmal ein bestimmtes Integral mit Hilfe der linearen Substitution auf!

Aufgabe 2

Löse das Integral $\int_{0}^{4} {(4 x + 9)}^{3} d x$ exakt.

Lösung

Identifiziere zuerst die innere und die äußere Funktion.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & h {(x)}^{3} \\ h (x) & = & 4 x + 9 \end{array}$

Im nächsten Schritt wird die äußere Funktion $g (x)$ integriert und die innere Funktion $h (x)$ abgeleitet.

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & \frac{1}{4} \cdot h {(x)}^{4} \\ h' (x) & = & 4 \end{array}$

Setzt Du nun alles in die eben definierte Formel für bestimmte Integrale ein, erhältst Du folgende Lösung.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{4} {(4 x + 9)}^{3} d x & = & {[\frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x))]}_{0}^{4} \\ = & {[\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot h {(x)}^{4}]}_{0}^{4} \\ = & {[\frac{1}{16} \cdot {(4 x + 9)}^{4}]}_{0}^{4} \\ = & \frac{1}{16} \cdot {(4 \cdot 4 + 9)}^{4} - \frac{1}{16} \cdot {(4 \cdot 0 + 9)}^{4} \\ = & \frac{1}{16} \cdot {(25)}^{4} - \frac{1}{16} \cdot {(9)}^{4} \\ = & \frac{1}{16} \cdot 390 625 - \frac{1}{16} \cdot 6 561 \\ = & \frac{1}{16} \cdot (390 625 - 6 561) \\ = & \frac{1}{16} \cdot (384 064) \\ = & 24 004 F E \end{array}$

In der nächsten Abbildung kannst Du Dir das bestimmte Integral und dessen Lösung noch einmal verdeutlichen.

Lineare Substitution Schaubild zur Aufgabe 2 StudySmarter Abbildung 1: Schaubild zur Aufgabe 2

Jetzt ist es an der Zeit, das Thema noch etwas zu verinnerlichen.

Lineare Substitution – Beispiele und Aufgaben

Die lineare Substitution kann bei verschiedenen Funktionstypen Anwendung finden.

Lineare Substitution der e-Funktion

Die Integration durch die lineare Substitution der e-Funktion ist sehr dankbar, da sich die reine e-Funktion beim Integrieren nicht verändert.

Aufgabe 3

Integriere die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = e^{πx + 314}$ .

Lass Dich durch das π nicht verwirren, das kannst Du wie eine normale Konstante betrachten.

Lösung

Zuerst definierst Du wieder die innere und die äußere Funktion.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & e^{h (x)} \\ h (x) & = & π x + 314 \end{array}$

Als Nächstes integrierst Du die äußere Funktion $g (x)$ und leitest die innere Funktion $h (x)$ ab.

Zur Erinnerung:

Integral der e-Funktion: $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & e^{h (x)} \\ h' (x) & = & π \end{array}$

Im letzten Schritt fügst Du alle Ausdrücke wieder zusammen, um sie in die Formel der linearen Substitutionsregel einzufügen.

$\begin{array}{rcl} \int e^{πx + 314} d x & = & \frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x)) + C \\ = & \frac{1}{π} \cdot e^{h (x)} + C \\ = & \frac{1}{π} \cdot e^{πx + 314} + C \end{array}$

Lineare Substitution der trigonometrischen Funktionen

Das Ableiten und das Integrieren bei den trigonometrischen Funktionen läuft in einem Kreislauf ab.

Zur Erinnerung:

Ableitung $f (x) = \sin (x)$ : $f' (x) = \cos (x)$
Ableitung $f (x) = \cos (x)$ : $f' (x) = - \sin (x)$

Nachlesen kannst Du mehr dazu in der Erklärung „Trigonometrische Funktionen integrieren“.

Aufgabe 4

Berechne das Integral der Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \sin (2 x + 3)$ über die Grenzen $a = 0$ bis $b = 3 π$ exakt.

Lösung

Identifiziere zuerst wieder die innere und die äußere Funktion.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \sin (h (x)) \\ h (x) & = & 2 x + 3 \end{array}$

Im nächsten Schritt wird die innere Funktion $\begin{array}{rcl} h (x) \end{array}$ abgeleitet und die äußere Funktion $g (x)$ integriert.

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & - \cos (h (x)) \\ h' (x) & = & 2 \end{array}$

Jetzt kannst Du die Formel für bestimmte Integrale mit Hilfe der linearen Substitution anwenden.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{3 π} \sin (2 x + 3) d x & = & {[\frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x))]}_{0}^{3 π} \\ = & {[\frac{1}{2} \cdot - \cos (h (x))]}_{0}^{3 π} \\ = & {[- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x + 3)]}_{0}^{3 π} \\ = & - \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 3 π + 3) - (- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + 3)) \\ = & - \frac{1}{2} \cdot c o s (6 π + 3) + \frac{1}{2} \cdot c o s (3) \\ = & \frac{1}{2} \cdot (c o s (3) - \cos (6 π + 3)) \end{array}$

An dieser Stelle kannst Du den Ausdruck direkt in den Taschenrechner eingeben und erhältst folgende Lösung.

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{3 π} \sin (2 x + 3) d x & = & \frac{1}{2} \cdot (c o s (3) - \cos (6 π + 3)) \\ = & \frac{1}{2} \cdot (0) \\ = & 0 F E \end{array}$

Alternativ kannst Du das Additionstheorem für den Kosinus anwenden.

Zur Erinnerung: $\cos (a + b) = \cos (a) \cdot \cos (b) - \sin (a) \cdot \sin (b)$

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{3 π} \sin (2 x + 3) d x & = & \frac{1}{2} \cdot (c o s (3) - \cos (6 π + 3)) \\ = & \frac{1}{2} \cdot (c o s (3) - (\cos (6 π) \cdot \cos (3) - \sin (6 π) \cdot \sin (3))) \\ = & \frac{1}{2} \cdot (c o s (3) - (1 \cdot \cos (3) - 0 \cdot \sin (3))) \\ = & \frac{1}{2} \cdot (c o s (3) - \cos (3)) \\ = & \frac{1}{2} \cdot (0) \\ = & 0 F E \end{array}$

In der nachfolgenden Abbildung kannst Du Dir noch einmal verdeutlichen, weshalb die Lösung des Integrals $0 F E$ ergibt.

Lineare Substitution Schaubild zur Aufgabe 4 StudySmarter Abbildung 2: Schaubild zur Aufgabe 4

Lineare Substitution einer Wurzelfunktion

Auch bei einer Wurzelfunktion muss, solange die innere Funktion nicht nur $h (x) = x$ beträgt, die lineare Substitution angewandt werden.

Aufgabe 5

Integriere die Funktion $f (x)$ mit $f (x) = \sqrt{πx + e}$ .

Lass Dich durch das π und e nicht verwirren! Beide können wie ganz normale Zahlen behandelt werden.

Lösung

Zuerst kannst Du wieder die innere und die äußere Funktion identifizieren.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \sqrt{h (x)} \\ h (x) & = & π x + e \end{array}$

Im nächsten Schritt wird die Ableitung der inneren Funktion $\begin{array}{rcl} h (x) \end{array}$ und eine Stammfunktion der äußeren Funktion $g (x)$ gebildet.

Zur Erinnerung:

Integral der Wurzelfunktion: $\int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + C$

$\begin{array}{rcl} G (x) & = & \frac{2}{3} (h {(x))}^{\frac{3}{2}} \\ h' (x) & = & π \end{array}$

Im letzten Schritt kann wieder die Formel der linearen Substitutionsregel angewandt werden.

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{πx + e} d x & = & \frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x)) + C \\ = & \frac{1}{π} \cdot \frac{2}{3} (h {(x))}^{\frac{3}{2}} + C \\ = & \frac{2}{3 π} {(πx + e)}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

Super! Nun hast Du das Thema der linearen Substitution geschafft.

Lineare Substitution – Das Wichtigste

Die Integration durch lineare Substitution einer Funktion $f (x) = g (h (x))$ kann nur dann erfolgen, wenn die innere Funktion $h (x)$ eine lineare Funktion mit folgender Funktionsgleichung ist: $h (x) = m x + b$
Das unbestimmte Integral $\int$ einer verketteten Funktion $f (x) = g (h (x))$ mit einer linearen inneren Funktion $h (x) = m x + b$ lautet: $\int f (x) d x = \frac{1}{h' (x)} \cdot G (h (x)) + C = \frac{1}{m} \cdot G (m x + b) + C$
Das bestimmte Integral $\int_{a}^{b}$ einer verketteten Funktion $f (x) = g (h (x))$ mit einer linearen inneren Funktion $h (x) = m x + b$ mit den Grenzen a und b: $\int_{a}^{b} f (x) d x = {[\frac{1}{m} \cdot G (m x + b)]}_{a}^{b}$
Die lineare Substitution kann bei verschiedenen Funktionstypen Anwendung finden, solange es eine innere, lineare Funktion gibt. Beispiele für solche Funktionstypen sind die e-Funktion, die trigonometrischen Funktionen und die Wurzelfunktion.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Substitution

Die lineare Substitution wird beim Integrieren verwendet. Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel beim Ableiten.
Die lineare Substitution kann nur angewandt werden, wenn eine Funktion mit einer linearen Funktion verkettet ist.

Die Substitution ist das Gegenstück zur Kettenregel beim Ableiten. Die Integration durch Substitution wird immer dann angewandt, wenn eine Funktion mit einer anderen verkettet ist.
Die lineare Substitution kann widerum nur dann angewandt werden, wenn eine Funktion mit einer linearen Funktion verkettet ist.

Wenn eine Funktion f(x)=g(h(x)) mit h(x)=mx+b gegeben ist, lautet deren Stammfunktion F(x)=1/m•G(h(x))+C.

Die Substitution ist das Gegenstück zur Kettenregel beim Ableiten. Die Integration durch lineare Substitution wird immer dann angewandt, wenn eine Funktion mit einer linearen Funktion verkettet ist.

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