Du bist mit Deinen Freunden auf dem Basketballplatz, Ihr werft ein paar Körbe und macht dabei coole Fotos. Du bist an der Reihe und ... nicht getroffen. Manchmal triffst Du eben und manchmal nicht. Gibt es denn eine bestimmte Wurfbahn, mit der Du besser treffen würdest? Du schaust Dir die Fotos an und stellst fest, dass der Ball auf jedem Bild eine andere Position hat. Mit auf dem Bild ist der Basketballkorb, der ca. 3 Meter hoch hängt. Du könntest also die ungefähre Position des Balls auf jedem Bild abschätzen und herausfinden, wie Du den Ball werfen musst, um besser zu treffen, oder?
Graphen zeichnen – Erklärung
Ja, das kannst Du. Und zwar mit einem Graph.
Der Funktionsgraph - oder auch kurz: Graph - einer Funktion f ist die graphische Darstellung dieser Funktion in einem Koordinatensystem. Durch das Zeichnen des Funktionsgraphen wird die zugrundeliegende Funktion f(x) bildlich dargestellt.
In diesem Artikel werden die Funktionen mit f(x) bezeichnet. In vielen Schulbüchern wird hingegen ein y verwendet. Beide Bezeichnungen sind aber gleichwertig. Du kannst sowohl f(x), als auch y verwenden.
Um einen Funktionsgraphen zeichnen zu können, benötigst Du entweder eine Wertetabelle des zugrundeliegenden Datensatzes oder eine Funktionsgleichung f(x) als Grundlage.
Der Datensatz für den Weg des Balls wären die einzelnen Positionen, die der Ball auf den einzelnen Bildern hat.
Graph anhand einer Wertetabelle zeichnen
Eine Möglichkeit, einen Funktionsgraphen zu zeichnen, ist es, eine vorliegende Wertetabelle als Grundlage zu nehmen.
In der Wertetabelle sind verschiedene Ausprägungen der Variablen x und die dazugehörigen Funktionswerte einer Funktion f(x) eingetragen.
Eine Wertetabelle kann zum Beispiel so aussehen:
Das heißt, wenn Du x1 (also 1) in die Funktion f(x) einsetzt, erhältst Du den Wert 2, für x2 den Wert 4 und so weiter.
- Das kleine i bei xi ist ein Platzhalter für die Nummerierung von x.
- Der jeweilige Wert von f(x) ist das gesuchte y.
Gleichzeitig kannst Du aus den Werten aus der Tabelle Punkte ablesen, durch die der Graph der Funktion f(x) läuft.
Ein Punkt P bezeichnet eine eindeutige Position im Koordinatensystem. Er besteht aus einem x- und einem y-Wert, die durch einen vertikalen Strich voneinander getrennt werden.
Das heißt, Du kannst aus der Wertetabelle Punkte ablesen, durch die der Graph verläuft.
Die Punkte, die Du aus der oben dargestellten Wertetabelle ablesen kannst, sind:
Du kannst als Bezeichnung für einen Punkt jeden beliebigen Buchstaben nehmen.
Um aus der vorliegenden Wertetabelle einen Graphen zu zeichnen, kannst Du in diesen Schritten vorgehen:
- Schau Dir die Werte für die Variablen x und y an. Was ist der größte und kleinste Wert von x und y? Es ist sinnvoll, die Extremwerte der Variablen bei der Skalierung des Koordinatensystems zu berücksichtigen.
- Zeichne Dir ein leeres Koordinatensystem.
- Zeichne alle Punkte aus der Wertetabelle in Dein Koordinatensystem.
- Nun kannst Du die Punkte mit einer Linie verbinden und hast Deinen Graphen gefunden.
Angenommen, der Ball, den Du geworfen hast, hat auf den Schnappschüssen folgende Positionen:
Welchen Weg hat der Ball dann zurückgelegt?
1. Schritt
- Der kleinste x-Wert ist 0, der größte ist 2. Deine x-Achse sollte also die Werte 0 bis 2 enthalten.
- Der kleinste y-Wert ist 0 und der größte ist 4. Diesen Bereich sollte also Deine y-Achse abdecken.
2. Schritt
Nun kannst Du Dir ein Koordinatensystem zeichnen. Ein geeignetes Koordinatensystem für diesen Fall könnte so aussehen:
Zur Erinnerung: Ein Koordinatensystem besteht aus einer x- und einer y-Achse.
Abbildung 1: Koordinatensystem
3. Schritt
Nun kannst Du alle Punkte aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem übertragen. Die Punkte sind:
Um Punkte einzuzeichnen, startest Du immer vom Ursprung. Der Punkt A ist bereits der Ursprung, Du kannst ihn also direkt markieren. Für den Punkt B gehst Du auf der x-Achse einen Schritt nach rechts, da Dein x eine 1 ist. Von dort aus gehst Du dann 2 Schritte nach oben, denn Dein y hat den Wert 2. An dieser Stelle liegt der Punkt B. Genau dasselbe gilt für C, nur mit anderen Werten.
Abbildung 2: Punkte im Koordinatensystem
Der Ursprung eines Koordinatensystems ist der Punkt, in dem sich die x- und die y-Achse treffen, also (0|0).
4. Schritt
Nun kannst Du die gefundenen Punkte mit einer Linie verbinden. In diesem Fall liegen die Punkte alle auf einer Linie, Du kannst also mit einem Lineal A und C verbinden und hast automatisch den Punkt B auch dabei. Diese Linie nennt man in der Mathematik eine Gerade.
Abbildung 3: Gerade im Koordinatensystem
Du hast den Ball also kräftig schräg nach oben geworfen, bis er aus dem Sichtfeld verschwunden ist. Den Korb triffst Du damit aber nicht. Höchsten von unten...
Wenn Du die Punkte nicht alle mit einem geraden Strich verbinden kannst, kannst Du das Lineal nicht verwenden. Was Du in diesem Fall tun kannst, erfährst Du weiter unten.
Graph anhand einer Funktionsgleichung zeichnen
Wenn Du allerdings keine Punkte gegeben hast, sondern nur eine Funktionsgleichung, dann musst Du die Punkte, durch die der Graph gehen soll, selbst berechnen. Die Schritt-für-Schritt-Anleitung erweitert sich also um einen Punkt.
Die Flugbahn des Balls wird beschrieben durch die Funktion .
Um Punkte zu berechnen, anhand derer Du den Graphen zeichnen kannst, kannst Du beliebige x-Werte in die Funktion f(x) einsetzen. Beispielhaft werden hier die y-Werte zu den x-Werten -1, 1 und 2 berechnet.
| xi | -1 | 1 | 2 |
| f(x) | | | |
Es resultieren die Punkte
Um die Punkte zu bilden, suchst Du Dir zuerst einen Namen für den Punkt aus. Am ehesten bieten sich dafür Großbuchstaben an. In die Klammer schreibst Du dann zuerst einen der gegebenen x-Werte und auf die rechte Seite des Striches den jeweils zugehörigen y-Wert, den Du mit diesem x-Wert ausgerechnet hast.
Damit kannst Du nun den Rest der Schritt-für-Schritt-Anleitung wie gewohnt anwenden.
Die x-Achse sollte mindestens von -1 bis 2 gehen und die y-Achse von -2 bis 4. Damit Du etwas Spielraum hast und die Punkte nicht ganz am Rand stehen, kannst Du aber gerne auf jeder Seite noch ein bis zwei Schritte hinzufügen.
Abbildung 4: Graph f(x)
Arten von Graphen und Beispiele
Weiter oben wurde bereits angesprochen, dass nicht jeder Graph eine gerade Linie darstellt. Es gibt Graphen, die in ihrem Verlauf die Richtung wechseln. Das heißt, sie sind gekrümmt. Vorerst aber noch eine zeitsparende Vorgehensweise, um lineare Funktionen graphisch darzustellen.
Graphen mit konstanter Steigung
Die konstante Steigung kommt bei linearen und konstanten Funktionen vor. Wenn Du ohne eine vorgegebene Wertetabelle eine lineare Funktion f(x) in ein Koordinatensystem einzeichnen möchtest, benötigst Du ihre Funktionsgleichung.
Eine lineare Funktion zeichnet sich aus durch ihre konstante Steigung. Der Graph ist also eine Gerade. Ihre Funktionsgleichung hat immer diese Form:
Dabei gibt m die Steigung der Funktion an und t repräsentiert den y-Achsenabschnitt, also den Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse berührt.
Die Schreibweisen für diese Formel können abweichen. Oft wird anstelle des t auch ein b oder ein anderer Buchstabe verwendet. Lass Dich davon aber nicht beirren, denn das Prinzip bleibt das Gleiche.
Wenn Du eine Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen möchtest, empfiehlt es sich, in diesen grundlegenden Schritten vorzugehen:
- Bestimme den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x). Das ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet. Bei diesem Punkt ist das x immer 0 und das y ist Dein t (oder b) aus der Funktionsgleichung. Der Punkt hat also die Form bzw. oder ein anderer Buchstabe .
- Zeichne - ausgehend von y-Achsenabschnitt - die Steigung m ein. Wie das genau geht, siehst Du im nächsten Beispiel.
- Verbinde die beiden Punkte mithilfe einer Geraden. Und schon ist der Graph fertig gezeichnet.
Das heißt, Du hättest den Graphen der vorhin genannten Funktion auch anhand der Steigung einzeichnen können.
1. Schritt
Um den y-Achsenabschnitt der Funktion f(x) zu bestimmen, vergleichst Du sie mit der allgemeinen Form einer linearen Funktion.
- Da an der Stelle von t nichts steht, kannst Du diese Stelle mit einer 0 auffüllen. Der Graph schneidet die y-Achse also bei . Das ist Dein Punkt .
- Die Steigung ist 2.
2. Schritt
Nun kannst Du die Steigung und den resultierenden Punkt B einzeichnen.
Für die Steigung startest Du an dem Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet, also . Für die Steigung kannst Du Dir die 2 einfach als Bruch vorstellen, also .
Der Nenner sagt Dir, wie weit Du vom Punkt A aus nach rechts, also in positive x-Richtung gehen musst und der Zähler, wie weit Du anschließend nach oben oder (bei negativer Steigung) nach unten gehst.
In diesem Fall gehst Du einen Schritt nach rechts und von dort aus 2 Schritte nach oben, da die Steigung positiv ist. Dein B ist also im Punkt .
Abbildung 5: Steigung
Es ist egal, ob Du zuerst nach rechts und dann noch oben, oder erst nach oben und dann nach rechts gehst. Der Weg ist zwar anders, Du erhältst aber dennoch denselben Punkt B.
3. Schritt
Weil es sich um eine lineare Funktion handelt, deren Steigung immer gleich bleibt, kannst Du die Punkte einfach mit einem Lineal verbinden.
Abbildung 6: Graph f(x)
Zusatz:
Wäre der Funktionsterm nicht , sondern , würde die Steigung anders aussehen. In diesem Fall wäre der Bruch negativ und Du musst nicht 2 nach oben, sondern 2 nach unten gehen.
Abbildung 7: negative Steigung
Eine konstante Funktion hingegen besteht nur aus einer Zahl, der Konstante c. Der Graph einer konstanten Funktion ist demnach eine durchgehende horizontale Linie, denn egal welchen x-Wert Du einsetzt, der y-Wert bleibt immer derselbe.
Zeichne den Graphen von in ein Koordinatensystem.
Abbildung 8: Konstante Funktion g(x)
Graphen mit variabler Steigung
Nun kommen die Arten von Funktionen, bei denen Du kein Lineal verwenden kannst. Beispielhaft werden hier die quadratische Funktion und die e-Funktion vorgestellt, es gibt aber noch mehr Funktionen, auf die die variable Steigung zutrifft.
Quadratische Funktionen
Die quadratische Funktion bildet einen charakteristischen Graphen aus, den Du (oft in leicht veränderter Form) anwenden kannst.
Der Graph einer quadratischen Funktion hat immer die Form einer Parabel. Die Funktionsgleichung von quadratischen Funktionen folgt diesem Schema:
Ist a positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a allerdings negativ, dann ist die Parabel nach unten hin offen.
Um den Graphen einer quadratischen Funktion zu zeichnen, bietet sich wieder eine Wertetabelle an. Für die Normalparabel sähe das so aus:
Eingetragen in ein Koordinatensystem kannst Du erkennen, dass sich die Punkte nicht einfach mit einem Lineal verbinden lassen.
Abbildung 9: Punkte aus Wertetabelle
Auch die einzelnen Punkte kannst Du nicht mit einer geraden Linie verbinden, denn für beispielsweise den y-Wert 0,5 erhältst Du den x-Wert 0,25. Würdest Du D und E mit einer geraden Linie verbinden, würde die Linie den Punkt nicht einschließen. Stattdessen verbindest Du die Punkte mit einer gleichmäßigen Kurve (in diesem Fall einer Parabel), sodass keine Ecken im Verlauf des Graphen entstehen.
Abbildung 10: Parabel
Nun hast Du den Graphen der Normalparabel. Diese kann allerdings in verschiedenen Formen vorkommen. Du kannst sie auf den Achsen verschieben, sie weiter oder enger machen oder an der x-Achse spiegeln.
Zeichne den Graphen der Funktion .
Berechne die Funktionswerte von -2 bis 6.
Zuerst bietet es sich wieder an, einige Funktionswerte zu berechnen.
| xi | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| f(x) | 2 | 5,5 | 8 | 9,5 | 10 | 9,5 | 8 | 5,5 | 2 |
Wenn Du magst, kannst Du alle berechneten Punkte eintragen, der Einfachheit halber genügen aber auch nur ganzzahlige Punkte, denn den charakteristischen Verlauf einer Parabel kennst Du ja bereits.
Abbildung 11: veränderte Parabel
Punkte eintragen, mit Schwung verbinden und fertig ist der Graph.
Wie Du siehst, handelt es sich hier nicht mehr um eine Normalparabel. Die Parabel wurde an der x-Achse gespiegelt, die Abstände der Schenkel sind weiter und sie wurde nach oben verschoben.
e-Funktion
Ziemlich ähnlich verhält es sich mit der e-Funktion.
Die e-Funktion ist die natürliche Exponentialfunktion mit der Form:
Sie wird auch als Wachstumskurve bezeichnet, da sie das natürliche Wachstum darstellt.
Um die natürliche Exponentialfunktion zu zeichnen, gehst Du genauso so vor, wie bisher auch.
Da e0 den x-Wert 1 ergibt, bietet sich ein Intervall mit der Mitte 0 an.
| xi | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | 0,05 | 0,14 | 0,37 | 1 | 2,72 | 7,39 | 20,09 |
Auch diese Punkte kannst Du nicht mit einer geraden Linie verbinden, sondern mit einer Krümmung. Beachte dabei, dass sich die Exponentialfunktion der x-Achse unendlich nah annähert, aber nie erreicht.
Abbildung 12: natürliche Logarithmusfunktion
Versuche es einmal, indem Du einen sehr großen x-Wert einsetzt. Kommt nun ein negativer y-Wert dabei raus?
Du siehst, der Graph nähert sich der x-Achse unendlich nah an, schneidet sie aber niemals.
Neben der quadratischen Funktion und der e-Funktion gibt es noch andere Funktionen mit variabler Steigung, wie zum Beispiel Funktionen dritten und vierten Grades.
Mit dem Grad einer Funktion ist die Hochzahl, also der Exponent gemeint.
So ist beispielsweise eine Funktion 3. Grades
Auch diese Funktionen kannst Du nicht mit einer Gerade darstellen.
Dargestellt werden sollen die Graphen der Funktionen:
| xi | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| f(x) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
| g(x) | 16 | 1 | 0 | 1 | 16 |
Übertragen in ein Koordinatensystem erhältst Du folgende Graphen:
Abbildung 13: Graph von f(x) und g(x)
Achtung! Manche Funktionen haben eine Definitionslücke. Das heißt, für bestimmte x-Werte gibt es keinen zugehörigen y-Wert. Beispielsweise 1/x hat bei x=0 kein Ergebnis, da Du nicht durch 0 teilen darfst. Du musst an dieser Stelle also den Stift absetzen und beim nächsten y-Wert weiterzeichnen. Mehr zu dieser Art von Funktion findest Du im Artikel Asymptote oder bei den gebrochen-rationalen Funktionen.
Graphen mit periodischer Steigung
Neben der konstanten und variablen Steigung gibt es noch den Fall, dass die Steigung zwischen zwei Werten hin und her pendelt. Dabei handelt es sich um trigonometrische Funktionen.
Trigonometrische Funktionen beinhalten den Sinus, Kosinus und Tangens.
Sie werden auch Winkelfunktionen genannt, weil sie oft in der Winkelberechnung genutzt werden.
Charakteristisch für diese Funktionen sind ihre periodischen Verläufe. Sie schwingen regelmäßig zwischen zwei bestimmten Werten hin und her.
Im Normalfall wird die x-Achse für die trigonometrischen Funktionen mit π skaliert, statt mit normalen Zahlen, weil sich so Nullstellen und Periode (eine vollständige Schwingung) besser angeben lassen, denn π ist eine endlose Zahl mit dem Anfang 3,14. Du müsstest also dauerhaft eine gerundete Dezimalzahl nutzen, was ungenau ist und auch mehr Schreibarbeit bedeutet, als einfach π zu verwenden.
Abbildung 14: Sinus, Kosinus und Tangens
Anhand der Grafik erkennst Du vielleicht, dass hier eine Wertetabelle nicht viel Sinn macht. Wenn Du Dir merkst, dass
- Sinus und Kosinus mit der Amplitude 1 (also im Bereich zwischen und ) hin und her schwingen,
- eine Schwingung die Länge hat und
- der Kosinus eine um nach links verschobene Sinusfunktion ist,
dann kannst Du den Sinus und Kosinus auch ohne Wertetabelle zeichnen. Der Graph des Tangens wird in der Schule für gewöhnlich nicht gefordert, Du kannst ihn also vernachlässigen.
Mehr zu den trigonometrischen Funktionen findest Du im entsprechenden Artikel.
Nun hast Du viele Graphen gesehen und kannst testen, ob Du alles verstanden hast.
Graphen in Koordinatensystem zeichnen – Übungsaufgaben
Kannst Du diese Aufgaben lösen?
Aufgabe 1
Zeichne die Graphen zu folgenden Werten:
| xi | -4 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 4 |
| f(x) | -10 | -1 | 0.5 | 2 | 3,5 | 5 | 10 |
| g(x) | 4 | -3,5 | -3,875 | -4 | -3,875 | -3,5 | 4 |
| h(x) | -0,25 | -1 | -2 | - | 2 | 1 | 0,25 |
Lösung
Um die Graphen zu zeichnen, trägst Du die Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein und verbindest sie.
- f(x) scheint eine lineare Funktion zu sein, die Du mit einer Geraden darstellen kannst.
- g(x) ist eine Parabel, Du musst sie also freihändig zeichnen.
- h(x) ist eine Funktion mit Definitionslücke bei x=0. Hier musst Du also den Stift absetzen und auf der anderen Seite der y-Achse weiterzeichnen.
Abbildung 15: Graph f(x), g(x) und h(x)
Aufgabe 2
Zeichne den Graphen der linearen Funktion anhand der Steigung in ein Koordinatensystem ein.
Lösung
Um eine Funktion anhand ihrer Steigung zu zeichnen, benötigst Du zuerst die Stelle, an der die Funktion die y-Achse schneidet. Bei einer Funktion in der Form ist das t die Stelle, an der der Graph die y-Achse schneidet. In diesem Fall ist es der Punkt . Von diesem Punkt aus kannst Du die Steigung eintragen. Sie entspricht dem m, also . Der Zähler sagt Dir, dass Du von A aus einen Schritt nach unten gehen musst (wegen des negativen Vorzeichens) und 3 Schritte in positive x-Richtung. Dort ist dann Dein Punkt . Nun kannst Du durch diese beiden Punkte eine Gerade ziehen und hast den Graphen von f(x) gefunden!
Abbildung 16: Graph f(x)
Du kannst auch erst 3 Schritte nach rechts und dann einen nach unten gehen. Die Reihenfolge ist egal, nur die Richtung muss dieselbe bleiben.
Aufgabe 3
Welche der hier vorgestellten Graphen würden am ehesten zu einem Treffer beim Basketballspielen führen?
Lösung
- Lineare & konstante Funktionen würden dazu führen, dass der Ball am Brett abprallt und nicht im Korb landet.
- Eine Sinus- oder Kosinusfunktion beschreibt eher, wie der Ball auf dem Boden springt (wenn man vernachlässigt, dass jeder Sprung kleiner ist, als der vorherige)
- Am ehesten führt eine quadratische Funktion, also eine Parabel zum Treffer. Diese musst Du nur umdrehen, also ein negatives Vorzeichen verwenden und den y-Achsenabschnitt passend wählen.
Abbildung 17: Wurfbahn beim Körbe werfen
Wenn Du noch nicht weißt, wie Du den Funktionsterm einer Parabel aufstellst, dann schau doch mal beim gleichnamigen Artikel vorbei!
Es empfiehlt sich in diesem Fall auch, den Ball etwas höher als 3 Meter zu werfen, damit er nicht am Ring abprallt. In der Praxis gibt es natürlich bestimmte Tricks, wie Du den Ball halten und drehen musst, damit Du noch sicherer einen Treffer landest.
Graphen zeichnen – Das Wichtigste auf einen Blick
- Du kannst einen Funktionsgraphen entweder auf Basis einer Wertetabelle oder mithilfe seiner Funktionsgleichung zeichnen.
- Die Vorgehensweise beim Zeichnen des Funktionsgraphen hängt davon ab, ob Du eine Funktion mit konstanter, variabler oder periodischer Steigung graphieren möchtest.
- Bei linearen und konstanten Funktionen ist der Graph der Funktion eine Gerade, bei quadratischen Funktionen hat der Graph der Funktion die Form einer Parabel und bei der e-Funktion nähert sich der Graph einem bestimmten Grenzwert an.
Nachweise
- Maitzen, Christoph (2020), Mathematik für Fachfremde und Berufseinsteiger 5-6, 1. Aufl., AUER
- Hofmann, Reimund (2012), Mittelstufenmathematik - leicht erklärt, 5. Aufl.
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