Funktionsgraphen

Der Graph der Funktion $f\left(x\right)=\hspace{0.17em}{x}^2+4x-2$ sieht wie folgt aus:

Abbildung 2: Funktionsgraph einer quadratischen Funktion

Gegeben ist der Graph der linearen Funktion $g\left(x\right)=x+1$.

Abbildung 3: Steigungsdreieck an einer linearen Funktion

Möchtest Du nun die Steigung ablesen, suchst Du Dir zwei Punkte auf dem Graphen, die Du eindeutig bestimmen kannst, hier $P\left(1\right|2)$ und $Q\left(3\right|4)$. Um von Punkt P zu Q zu gelangen, gehst Du nun zwei Kästchen in x-Richtung nach rechts ($∆x$) und zwei Kästchen in y-Richtung nach oben ($∆y$). Gemäß der Formel ergibt sich somit folgende Steigung:

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{∆y}{∆x}\\ m& =& \frac{2}{2}=\hspace{0.17em}1\end{array}$

Die Abbildung zeigt Dir die Steigung am Punkt $\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}$ der quadratischen Funktion $f\left(x\right)=\hspace{0.17em}{x}^2+4x-2$. Die Steigung am Punkt P entspricht dabei nämlich der Steigung der Tangente p.

Abbildung 4: Steigung einer Parabel der Funktion f(x) im Punkt P

Die Steigung m der Tangente p kannst Du jetzt wieder mit dem Steigungsdreieck auf grafische Weise bestimmen.

Abbildung 5: Steigungsdreieck an der Tangente p

Um von Punkt Q nach P zu gelangen, musst Du 1 Kästchen in x-Richtung nach rechts ($∆x$ ) und zwei Kästchen in y-Richtung nach oben ($∆y$) gehen. Daraus ergibt sich dann folgende Rechnung.

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{∆y}{∆x}\\ m& =& \frac{2}{1}=\hspace{0.17em}2\end{array}$

Die Steigung der Tangente entspricht also 2. Somit beträgt die Steigung am Punkt P der Parabel ebenfalls 2.

Die folgende Abbildung zeigt Dir den Extrempunkt $\mathit{T}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{)}$ der quadratischen Funktion f.

Abbildung 6: Tiefpunkt T an der Parabel der Funktion f(x)

Wie Du sehen kannst, handelt es sich beim Punkt T um den niedrigsten Punkt auf dem Funktionsgraphen, also um einen Tiefpunkt.

Dass die notwendige Bedingung zutrifft, erkennst Du daran, dass die Tangente t an diesem Punkt keine Steigung hat und somit parallel zur x-Achse liegt.

Bei der hinreichenden Bedingung musst Du darauf achten, dass der Funktionsgraph unmittelbar nach dem Extrempunkt T die Tangente in diesem Punkt nicht erneut schneidet, sondern sich die Richtung der Steigung ändert. Ansonsten handelt es sich um einen sogenannten Sattelpunkt.

Aufgabe 1

Kennzeichne die lokalen Extrempunkte, also Hochpunkt H und Tiefpunkt T sowie den Sattelpunkt S am folgenden Funktionsgraphen f.

Abbildung 7: Funktionsgraph fünften Grades

Lösung

Wie im Beispiel zuvor suchst Du den Funktionsgraphen nach Punkten ab, die eine Steigung von null haben. An diesen Punkten zeichnest Du dann die Tangenten an und überprüfst die hinreichende Bedingung.

Abbildung 8: Hochpunkt H, Tiefpunkt T und Sattelpunkt S am Funktionsgraphen fünften Grades

Wie Du erkennen kannst, schneidet die Tangente s unmittelbar nach dem Punkt S den Funktionsgraphen. Somit handelt es sich dabei um den Sattelpunkt S.

Bei den Punkten H und T ist dies nicht der Fall, da sich dort die Richtung der Steigung ändert. Punkt T ist also ein lokaler Tiefpunkt, während Punkt H ein lokaler Hochpunkt ist.

In der Abbildung 3 kannst Du die Nullstellen $x_1=-4,45$ und $x_2=-4,45$ einer quadratischen Funktion f(x) sowie die Nullstelle $x=-1$ einer linearen Funktion g(x) sehen.

Abbildung 9: Nullstellen einer linearen Funktion g und einer quadratischen Funktion f

Betrachtet werden erneut die beiden Funktionen aus dem vorigen Beispiel. In der Abbildung kannst Du sehen, dass der y-Achsenabschnitt von der quadratischen Funktion f(x) $y_f=-2$ und von der linearen Funktion g(x) $y_g=1$ ist.

Abbildung 10: y-Achsenabschnitte von der linearen Funktion g und quadratischen Funktion f

Aufgabe 2

Zeichne die Funktion $f\left(x\right)=x+1$.

Lösung

Schritt 1

Zunächst setzt Du in die Funktion verschiedene x-Werte ein, um den passenden y-Wert zu erhalten.

Dabei ist es egal, welche x-Werte Du einsetzt, solange sie Teil der Definitionsmenge sind. Du solltest aber darauf achten, sie kleinschrittig zu wählen.

Setzt Du beispielsweise den x-Wert 2 in die Funktion f(x) ein, ergibt sich die folgende Gleichung.

$\begin{array}{rcl}f\left(2\right)& =& 2+1\\ f\left(2\right)& =& 3\end{array}$

Damit hast Du Dein erstes Wertepaar berechnet. Das Gleiche machst Du jetzt auch mit anderen x-Werten, woraus sich dann die folgende Wertetabelle ergibt.

Schritt 2

Nun kannst Du die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen und eine Gerade ziehen.

Abbildung 16: lineare Funktion durch die Punkte der Wertetabelle

Aufgabe 6

Zeichne die Parabel zu der folgenden quadratischen Funktion mit dem Scheitelpunkt$\mathit{S}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right|}\mathbf{1}\mathbf{)}$ :

$f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-x^2+4x-3$

Lösung

Schritt 1: Bestimmen der Nullstellen

Um die Nullstellen zu bestimmen, setzt Du die Funktion f(x) gleich null und löst sie nach x auf. Dabei kannst Du z.B. die pq-Formel oder Mitternachtsformel zur Hilfe ziehen.

$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)& =& 0& & \\ & & & & \\ -x^2+4x-3& =& 0& \overline{)}& ·(-1)\\ x^2-4x+3& =& 0& \overline{)}& pq-Formel\\ & & & & \\ x_{1,2}& =& 2\pm \sqrt{2^2-3}& & \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}& =& \mathbf{1}\to \mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right|}\mathbf{0}\mathbf{)}& & \\ {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}& =& \mathbf{3}\to \mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right|}\mathbf{0}\mathbf{)}& & \end{array}$

Diese beiden Nullstellen kannst Du Dir jetzt schon einmal in einem Koordinatensystem markieren.

Abbildung 17: Nullstellen von f(x)

Schritt 2: Bestimmen des y-Achsenabschnitts

Den y-Achsenabschnitt y₀ kannst Du bei einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form direkt ablesen.

$\begin{array}{rcl}{y}_0& =& f\left(0\right)\\ & =& -0^2+4·0-3\\ {\mathit{y}}_{\mathbf{0}}& =& \mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{}\to \mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right|}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\end{array}$

Auch diesen Punkt trägst Du jetzt mit in das Koordinatensystem ein.

Abbildung 18: y-Achsenabschnitt und Nullstellen von f(x)

Schritt 3: Bestimmen vom Scheitelpunkt

In dieser Aufgabe ist der Scheitelpunkt S bereits angegeben. Andernfalls müsstest Du die Funktion f von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umwandeln, um dann den Scheitelpunkt direkt ablesen zu können.

Gemäß der Aufgabenstellung liegt der Scheitelpunkt bei $\mathit{S}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right|}\mathbf{1}\mathbf{)}$. Mit diesem Punkt kannst Du jetzt Dein Koordinatensystem ergänzen.

Abbildung 19: Scheitelpunkt, y-Achsenabschnitt und Nullstellen von f(x)

Jetzt hast Du bereits einen groben Überblick darüber, wie die Parabel im Koordinatensystem verläuft.

Schritt 4: Bestimmen von weiteren Punkten

Um die Parabel möglichst genau in das Koordinatensystem einzuzeichnen, kannst Du jetzt noch weitere Punkte ermitteln, indem Du wie bei der Aufgabe 5 Werte in die Funktion f(x) einsetzt. Dabei kannst Du einen Trick anwenden, der Dir etwas Zeit erspart.

Dadurch, dass Parabeln am Scheitelpunkt S eine senkrechte Spiegelachse haben, werden jedem y-Wert genau zwei x-Werte auf der Parabel zugeordnet, die jeweils den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben.

Bei der Wahl der x-Werte, die Du in die Funktion f(x) für weitere Punkte einsetzt, hast Du freie Wahl. Hier wird als Beispiel der x-Wert -1 gewählt.

$\begin{array}{rcl}f(-1)& =& -{(-1)}^2+4·(-1)-3\\ & =& -8\to \mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{|}\mathbf{8}\mathbf{)}\end{array}$

Nun trägst Du auch diesen Punkt in das Koordinatensystem ein. Damit Du diesen Punkt P jetzt richtig spiegelst, zeichnest Du Dir am besten die Spiegelachse in einer gestrichelten Linie mit in das Koordinatensystem ein. Anhand dieser Achse kannst Du jetzt die übrigen Punkte spiegeln.

Abbildung 21: gespiegelte Punkte entlang der Spiegelachse von f(x)

Wie Du sehen kannst, ist der Punkt P links von der Spiegelachse und drei Kästchen von der Spiegelachse entfernt. Der Punkt P_gespiegelt liegt mit demselben Abstand von drei Kästchen rechts von der Spiegelachse.

Schritt 5: Punkte im Koordinatensystem verbinden

Als letzten Schritt verbindest Du nun die Punkte. Hab dabei immer die Eigenschaften, die für alle Parabeln im Allgemeinen gelten, im Hinterkopf.

Abbildung 20: eingezeichnete Parabel durch die Punkte von f(x)