Wie stark sich der Luftdruck ändert, wie schnell chemische Stoffe reagieren, wie viel Extra-Gewinn eine Firma machen kann: Die erste Ableitung \(\displaystyle f'(x)\) hat viele anschauliche Bedeutungen. Um eine Funktion \(\displaystyle f(x)\) nun ableiten zu können, benötigst Du Ableitungsregeln.
Ableitungsregeln – Grundlagenwissen
Die Ableitung \(f'(x)\) einer Funktion \(\displaystyle f(x)\) ist der Grundbaustein der Differenzialrechnung.
Die Ableitung \( f'(x_{0}) \) einer Funktion \(\textstyle f(x)\) an einer Stelle \(\displaystyle x_{0}\) gibt die Steigung der Tangente im Punkt \(P(x_0 \; f(x_0))\)an den Graphen der Funktion \(\displaystyle f(x)\) an.
Schau Dir einmal ein Schaubild der Ableitung einer konkreten Funktion an.
Das Schaubild der Funktion \(f(x)\) mit \(\displaystyle f(x)=x^2\) ist in der nachfolgenden Abbildung 1 dargestellt.
Nun soll bei einem beliebigen Punkt \( P(-1 \mid \, 1) \), mit einem Wert von \(\displaystyle x_{0}=-1\), die Tangente \(t(x)\) bzw. ihre Steigung an dieser Stelle \({x_{0}}\) bestimmt werden. Dazu wird die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 2x\) gebildet.
Wie Du die Funktion \(\displaystyle f(x)\) ableiten kannst und welche Ableitungsregeln Du benötigst, lernst Du in den nächsten Kapiteln! Dieses Beispiel zeigt Dir lediglich eine Anwendung der Ableitungsfunktion.
Abbildung 1: Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x
Um die Tangentensteigung an der Stelle \( x_{0} = -1 \) zu berechnen, musst Du diese Stelle \(\displaystyle{x_{0}}\) lediglich in die Ableitungsfunktion \(\displaystyle f'(x_{0})\) einsetzen:
\(\displaystyle m = f'(x_0) = f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2\)
Die Steigung der Tangente ist hier \(\displaystyle m = -2\).
Mithilfe der ersten Ableitungsfunktion \(f'(x)\) kann die Steigung des Graphen einer Funktion \(\displaystyle f(x)\) für alle Stellen \({x_{0}}\) berechnet werden, wenn die Stellen zum Definitionsbereich gehören und die Funktion \( f(x) \) an der Stelle \(\displaystyle x_{0}\)differenzierbar ist.
Was eine Ableitung ist, weißt Du nun. Aber wie lässt sich eine Funktion \(\displaystyle f(x)\) überhaupt ableiten? Dazu benötigst Du verschiedene Hilfsmittel: die sogenannten Ableitungsregeln.
Ableitungsregeln – Formeln und Beispiele
Es gibt verschiedene Regeln, um Funktionen abzuleiten. Damit lassen sich sowohl einzelne Komponenten einer Funktion \(\displaystyle f(x)\) ableiten, als auch verknüpfte Funktionen. Wie genau das aussieht, siehst Du in den einzelnen Abschnitten.
Ableitung einer Konstanten
Eine konstante Funktion ist eine Funktion \(f(x)\) mit der Funktionsgleichung \(f(x) = \textcolor{#1478C8}{c}\), also einer reellen Konstante c. Der Verlauf des Funktionsgraphen ist dabei parallel zur horizontalen Achse eines Koordinatensystems. Wird so eine Funktion \(\displaystyle f(x)\) abgeleitet, dann ergibt diese einen Wert von null, denn der Funktionsgraph besitzt nirgends eine Steigung.
Eine konstante Funktion \(\textcolor{#1478C8}{c} = f(x)\) mit \(c \in \mathbb{R}\)besitzt die Ableitung \( f'(x) \):
\(f'(x)=0\)
Konstanten, also reelle Parameter, fallen beim Ableiten weg.
Eine Funktion \(f(x)\) kann sowohl konstant sein, also nur einen reellen Wert besitzen, wie \(\displaystyle f(x) = 3\). Funktionen können aber auch zusätzlich Konstanten beinhalten, wie beispielsweise \(\displaystyle f(x) = 2 x + 1\). Wie Du mit so einer Funktion bei der Ableitung umgehen sollst, lernst Du im Kapitel Summenregel.
Um Dir die Ableitung einer Konstanten besser vorstellen zu können, schau Dir ein Beispiel einer solchen Ableitung an.
Aufgabe 1
Bilde die Ableitung \(f'(x)\) der Funktion\(f(x) = 5\).
Lösung 1
Wie Du in der Abbildung 2 sehen kannst, ist der Funktionsgraph lediglich eine waagrechte Gerade am y-Wert 5.
Leitest Du jetzt die Funktion \(\displaystyle f(x)\) ab, dann ergibt sich für die Ableitungsfunktion \(\text{f}'(x)\):
\(f'(x)=0\)
Abbildung 2: Konstante Funktion
Ohne Steigung kann die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) auch keinen anderen Wert als Null annehmen.
Auf diese Weise kannst Du alle konstanten Funktionen ableiten. Wie sieht jetzt die Ableitung einer Funktion aus, welche beispielsweise eine Potenz beinhaltet?
Ableitungsregel – Potenzregel
Eine Potenzfunktion\(f(x)\) ist eine Funktion mit einem Funktionsterm der Form\(f(x) = x^n\). Die Variable x steht also in der Basis einer Potenz. Zum Ableiten einer Potenzfunktion wird die Potenzregel angewandt.
Die Ableitung einer Potenzfunktion \(\displaystyle f(x) = x^n\) ergibt nach der Potenzregel:
\(\textstyle f'(x)= n \cdot x^{n-1}\), \(n \in \mathbb{R}\)
Die Potenzregel wird auch „Hut-ab-Regel“ genannt.
Du hast die Variable n als Exponenten, die bei x hochgestellt ist. Beim Ableiten nach der Potenzregel musst Du nun den Exponenten (mit seinem Vorzeichen) als Faktor vor das x ziehen. Der Exponent vermindert sich um 1, daher steht im Exponenten jetzt \(\color{#1478C8}{n} - 1\).
Merksatz: „Exponent runter, Exponent minus 1, Multiplikation mit dem alten Exponenten“
Die Regel gilt für alle Exponenten (negative, gebrochene und rationale)! Darunter fallen beispielsweise auch Wurzeln. Sieh Dir dazu gleich ein Beispiel an.
Aufgabe 2
Bestimme jeweils die Ableitungen \(\textstyle f'(x)\) und \(\textstyle g'(x)\) der Funktionen \(\displaystyle f(x)\) und \(\textstyle g(x)\).
\(\displaystyle 1\cdot f(x)=x^4 2\cdot g(x)=\sqrt{x}\)
Lösung 2
1. Ziehe den Exponenten der Funktion \(\displaystyle f(x)\) vor die Potenz \(x^4\) und verringere den Exponenten um eins.
\( f'(x)=4\cdot x^{4-1}=4\cdot x^3 \)
In der Ableitungsfunktion \(\textnormal{f}'(x)\) steht der ursprüngliche Exponent 4 als Faktor vor der Potenz und in der Potenz wurde von dem Exponenten die Zahl 1 abgezogen. Daraus ergibt sich der neue Exponent 3 der Ableitungsfunktion \(\textstyle f'(x)\).
2. Um die Potenzregel anwenden zu können, forme zunächst die Funktion \(\displaystyle{g(x)}\) um und leite anschließend ab. Schreibe also die Wurzel in die Potenzschreibweise um.
\(\begin{equation} g(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{equation}\)
Jetzt kannst Du entsprechend der Potenzregel wieder den Exponenten als Faktor vor die Potenz setzen und vom Exponenten 1 abziehen.
\( g'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} \)
Umgeschrieben in die Wurzelschreibweise lautet die Ableitungsfunktion \( g'(x) \) :
\(\textstyle g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Möchtest Du noch mehr über die Potenzregel erfahren und weitere Beispiele sehen? Dann sieh Dir gerne den Artikel „Potenzregel“ an.
Wenn bereits ein Faktor vor der Potenz steht, musst Du zusätzlich zur Potenzregel die Faktorregel anwenden, um eine Funktion \(\displaystyle f(x)\) ableiten zu können.
Ableitungsregel – Faktorregel
Die Faktorregel wendest Du an, wenn ein konstanter Faktor c mit einer Funktion \(\boldsymbol{g(\boldsymbol{x})}\) multipliziert wird. Dieser mit dem restlichen Term verknüpfte konstante Faktor c bleibt bei der Ableitung einer Funktion \(\textcolor{#191919}{f}\left(\textcolor{#191919}{x}\right)\) erhalten.
Die Ableitung einer Funktion \(\textstyle f(x) = c \cdot g(x)\) mit dem konstanten Faktor \( c \in \mathbb{R} \) ergibt anhand der Faktorregel:
\(\textcolor{black}{f'(x)}=\textcolor{blue}{c} \cdot \textcolor{turquoise}{g'}\textcolor{turquoise}{(x)}\)
Wie sieht das bei einem konkreten Beispiel aus?
Aufgabe 3
Bestimme die Ableitung der Funktion \(\displaystyle f(x)\) :
\(\displaystyle f(x) = 8x^2\)
Lösung 3
In der vorliegenden Funktion steht ein Faktor vor einer Potenz (Stichwort Potenzregel). Das bedeutet, ein konstanter Faktor \(\textcolor{#1478C8}{c} \textcolor{#1478C8}{=} \textcolor{#1478C8}{8}\) wird mit einer Funktion \(\displaystyle g(x) = x^2\)multipliziert.
\( f(x) = \textcolor{#1478C8}{c} \cdot \textcolor{#00DCB4}{g}(\textcolor{#00DCB4}{x}) = \textcolor{#1478C8}{8} \cdot \textcolor{#00DCB4}{x^2} \)
Also musst Du die Faktor- und Potenzregel anwenden. Die Ableitung von \(\textcolor{#00DCB4}{g}\textcolor{#00DCB4}{(x)}\)nach der Potenzregel lautet:
\(\textcolor{#191919}{g}'\left(\textcolor{blue}{x}\right)=\textcolor{#00DCB4}{2}\cdot\textcolor{#00DCB4}{x^{\textcolor{#00DCB4}{2}-1}}=\textcolor{#00DCB4}{2}\cdot\textcolor{#00DCB4}{x}\)
Laut Definition der Faktorregel bleibt der Vorfaktor 8 einfach bestehen. Der konstante Faktor wird mit der abgeleiteten Funktion \(\textcolor{#00DCB4}{g'(x)}\) multipliziert. Die Lösung lautet:
\(\displaystyle f'(x) = 8 \cdot 2x = 16x\)
Merke: Konstante Faktoren, die mit einem Term multipliziert werden, der mindestens ein „x“ enthält, bleiben beim Ableiten erhalten.
Bei der Anwendung der Faktorregel ist die Verbindung mit anderen Ableitungsregeln zu beachten. Alles rund um diese Ableitungsregel findest Du in der Erklärung „Faktorregel“.
Ableitungsregel – Summenregel/Differenzregel
Mit der Summenregel und Differenzregel kannst Du die Ableitung einer Funktion \(\displaystyle f(x)\) finden, die aus der Summe oder Differenz von zwei Funktionen \(\textcolor{#1478C8}{u}\textcolor{#1478C8}{(x)}\) und \(\textcolor{#00DCB4}{v(x)}\) besteht. Die Teilfunktionen werden anschließend einzeln abgeleitet.
Eine Funktion \(\displaystyle f(x)\) der Form \(\mathrm{f}(x)=\mathrm{u}(x)\pm\mathrm{v}(x)\)mit den Teilfunktionen \(\textit{u}(x)\) und \( v(x) \) wird durch die Summenregel/Differenzregel wie folgt abgeleitet:
\(\displaystyle f'(x) = \color{#1478C8}{u'}(\color{#1478C8}{x}) \pm \color{#00DCB4}{v'}(\color{#00DCB4}{x})\)
Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder Summand für sich abgeleitet und die Ableitung addiert wird. Gleiches gilt auch für die Differenz, bei dem die abgeleiteten Teilfunktionen subtrahiert werden.
Ist ein Funktionsterm eine Summe, kannst Du jeden Summanden einzeln ableiten.
Zeit für ein Beispiel.
Aufgabe 4
Leite die Funktion \(f(x)\) mit der Summenregel ab.
\(\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{x^{4}} + \textcolor{cyan}{5} \cdot \textcolor{cyan}{x^{3}}\)
Lösung
Die Summenregel besagt, dass Du die Summanden einzeln ableiten kannst. Du betrachtest also
\(\textcolor{#1478C8}{u(x) = 3 \cdot x^4}\)
\(\textcolor{#00DCB4}{v(x)} = \textcolor{#00DCB4}{5 \cdot x^3}\)
als einzelne Summanden und leitest sie separat nacheinander ab. In diesem Schritt kommt die Summenregel aber nicht allein zum Einsatz. Zusätzlich musst Du die Faktorregel und die Potenzregel anwenden.
Bei beiden Teilfunktionen besagt die Faktorregel, dass ein konstanter Faktor beim Ableiten erhalten bleibt. Hier sind die konstanten Faktoren jeweils \(c=3\) und \(
c = 5
\). Diese Konstanten kannst Du also einfach stehen lassen.
Da in beiden Teilfunktionen eine Potenz vorkommt, wendest Du hier auch noch die Potenzregel an. Verringere dazu in \(\displaystyle u(x)\) und \(\textstyle{v(x)}\) den Exponenten um 1 und ziehe den ursprünglichen Exponenten vor die Potenz.
Für \(\textit{u}(\textit{x})\)lautet die Ableitung mit der Potenzregel:
\begin{align*} u'(x) &= 3 \cdot 4 \cdot x^{4-1} \\ &= 3 \cdot 4 \cdot x^3 \\ &= 12 \cdot x^3 \end{align*}
Für \(\displaystyle v(x)\) lautet die Ableitung mit der Potenzregel:
\begin{align*}
v'(x) &= 5 \cdot 3 \cdot x^{3-1} \\
&= 5 \cdot 3 \cdot x^{2} \\
&= 15 \cdot x^{2}
\end{align*}
Vergiss nicht, die konstante Zahl mit dem ursprünglichen Exponenten zu multiplizieren.
Also lautet die Ableitungsfunktion \(\textnormal{f}'(x)\) der Funktion \(\)f(x) = 3 \cdot x^{4} + 5 \cdot x^{3}\(\):
\begin{align*}
f'(x) &= 12 \cdot x^3 + 15 \cdot x^2
\end{align*}
Im Artikel zur Summenregel findest Du weitere Beispiele und Übungsaufgaben!
Gibt es noch weitere Ableitungsregeln, die Du zum Ermitteln der Ableitungsfunktion benötigst? Ja, denn eine Funktion kann auch zwei durch Multiplikation, Division oder Verkettung miteinander verbundene Teilfunktionen enthalten. In diesen Fällen greifen die bisherigen Regeln nicht mehr und Du benötigst weitere Regeln.
Ableitungsregel – Produktregel
Die Produktregel dient dazu, Funktionen abzuleiten, welche in der Form \(f(x)=\color{#1478C8}u(x) \cdot \color{#00DCB4}v(x)\) vorliegen. Dazu musst Du \(\displaystyle\textcolor{#1478C8}{u(x)}\)und\(\textcolor{#00DCB4}{v(x)}\) erkennen und ableiten.
Steht das x auf zwei Seiten eines Malzeichens, ist das ein eindeutiges Indiz dafür, dass Du die Produktregel verwenden kannst, denn dann hast Du ein Produkt aus zwei Teilfunktionen.
Die Produktregel wird verwendet, um eine Funktion \( f(x) = \color{#1478C8} u(x) \cdot \color{#00DCB4} v(x) \) mit den Teilfunktionen \(\displaystyle u(x)\) und \(\displaystyle v(x)\) abzuleiten.
\(\displaystyle f'(x) = \color{#FA3273}{u'}\color{#FA3273}{(x)} \cdot \color{#00CDB4}{v}\color{#00CDB4}{(x)} + \color{#1478C8}{u}\color{#1478C8}{(x)} \cdot \color{#8363E2}{v'}\color{#8363E2}{(x)}\)
Um die Produktregel anzuwenden, kannst Du Dich an folgender Vorgehensweise orientieren:
- Die beiden Teilfunktionen \(\textcolor{#1478C8}{u}\textcolor{#1478C8}{(x)}\) und \(\textcolor{#00DCB4}{v(x)}\) identifizieren.
- Die Funktionen getrennt ableiten.
- Die Funktionen und die Ableitungen in die Formel einsetzen.
Aufgabe 6
Leite die Funktion \( f(x) \) mit der Produktregel ab.
\(\textstyle f(x) = \frac{1}{3} x \cdot (3x^{2} + 4x)\)
Lösung
Identifiziere die beiden Teilfunktionen und leite jede Funktion einzeln nacheinander ab.
\(\textcolor{#1478C8}{u}\textcolor{#1478C8}{(x)}\textcolor{#1478C8}{=}\textcolor{#1478C8}{\frac{1}{3}}\textcolor{#1478C8}{x}\)
\(\textcolor{#00DCB4}{v(x) = (3x^2 + 4x)}\)
Die einzelnen Ableitungen der Teilfunktionen \begin{align*} f(x) &= \underbrace{\frac{1}{3}x}_{u(x)} \cdot \underbrace{(3x^2+4x)}_{v(x)} \end{align*} werden nun gebildet.
Bei der Ableitung von \(\displaystyle u(x)\) kommen die Faktorregel und die Potenzregel zum Einsatz.
\begin{array}{r c l} \textcolor{#FA3273}{u'(x)} &=& \frac{1}{3}x^{1-1} \\ &=& \frac{1}{3}x^0 \\ \textcolor{#FA3273}{=} & & \frac{1}{3} \end{array}
Da der Faktor \(\frac{1}{3}\) vor dem „x“ ein konstanter Faktor ist, bleibt er beim Ableiten erhalten. Das x, wird anhand der Potenzregel abgeleitet, da gilt: \(\displaystyle x = x^1\).
Zur Erinnerung: Für den Ausdruck \({x^0}\) gilt: \( x^{0} = 1 \).
Bei der zweiten Teilfunktion \(\textstyle{v(x)}\) müssen sogar drei Ableitungsregeln beachtet werden: die Faktorregel, die Potenzregel und die Summenregel.
Werden die Summanden getrennt voneinander abgeleitet und die jeweiligen Ableitungsregeln berücksichtigt, so erhältst Du:
\(\displaystyle v(x)=3\cdot x^2\:\:\:+\:\:4\cdot x \quad v'(x)=3\cdot 2\cdot x^{2-1}\:\:+\:\:4\cdot 1\cdot x^{1-1}v'(x)=6\cdot x^1\:\:\:+\:\:4\cdot x^0v'(x)=6x+4\)
Da nun beide Teilfunktionen \(\textstyle u(x)\) und \(v(x)\) abgleitet wurden, kannst Du alles in die Formel der Produktregel einsetzen:
Zur Erinnerung: Produktregeln beim Differenzieren: \(\displaystyle f'(x) = \textcolor{#FA3273}{u'}(\textcolor{#FA3273}{x}) \cdot \textcolor{#00CDB4}{v}(\textcolor{#00CDB4}{x}) + \textcolor{#1478C8}{u}(\textcolor{#1478C8}{x}) \cdot \textcolor{#8363E2}{v'}(\textcolor{#8363E2}{x})\)
\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{3} \cdot \Bigl(3x^2 + 4x\Bigr) + \frac{1}{3}x \cdot \bigl(6x + 4\bigr) \end{aligned}
mit:
\begin{aligned} u(x) &= \frac{1}{3}x, & v(x) &= 3x^2 + 4x, \\ u'(x) &= \frac{1}{3}, & v'(x) &= 6x + 4. \end{aligned}
Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich demnach:
\begin{equation} f'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2 + \frac{1}{3}\cdot 4x + \frac{1}{3}x\cdot 6x + \frac{1}{3}x\cdot 4 \end{equation} \begin{equation} = x^2 \;\;\;\;\;\; + \frac{4}{3}x \;\;\;\;\;\; + 2x^2 \;\;\;\;\;\; + \frac{4}{3}x \end{equation} \begin{equation} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 3x^2 + \frac{8}{3}x \end{equation}
Zum tieferen Verständnis sieh Dir die Erklärung zur „Produktregel“ an.
Teilfunktionen können nicht nur durch Multiplikation miteinander verbunden sein, sondern auch durch eine Division.
Ableitungsregel – Quotientenregel
Die Quotientenregel ist sozusagen das Gegenstück zur Produktregel. Sie wird angewandt, wenn Du eine Funktion in Form eines Bruchs ableiten sollst, in welchem sowohl im Nenner, als auch im Zähler ein x steht.
Die Quotientenregel wird also beispielsweise beim Differenzieren von gebrochen-rationalen Funktionen der Form \( f(x) = \frac{\color{#1478C8}{u(x)}}{\color{#00DCB4}{v(x)}} \)verwendet.
Eine Funktion der Form \(f(x) = \frac{\textcolor{#1478C8}{u(x)}}{\textcolor{#00DCB4}{v(x)}}\) mit den Teilfunktionen \(\displaystyle u(x)\) und \(v(x)\) wird mit der folgenden Formel der Quotientenregel abgeleitet:
\(\displaystyle f'(x) = \frac{\color{#FA3273}u'(x) \cdot \color{#00DCB4}v(x) - \color{#1478C8}u(x) \cdot \color{#8363E2}v'(x)}{\color{#00DCB4}v(x)^2}\)
Es werden zunächst wieder die zwei Funktionen identifiziert und getrennt abgeleitet. Danach werden die Teilfunktionen und deren Ableitungen in die Formel eingesetzt. Schau Dir das am besten am folgenden Beispiel an:
Aufgabe 7
Bilde die Ableitung der Funktion \(f(x)\) mithilfe der Quotientenregel.
\(\displaystyle f(x) = \frac{3x^5}{10x - 1}\)
Lösung
Bestimme die einzelnen Teilfunktionen \(u(x)\) und \(\mathrm{v}(x)\). Leite diese dann jeweils mit der Konstantenregel, der Faktorregel und der Potenzregel ab.
Zur Erinnerung: Reelle Konstanten fallen beim Ableiten weg.
Setze nun die einzelnen Terme in die Formel ein:
Zur Erinnerung: Formel der Quotientenregel: \(\textcolor{black}{f'(x) = \frac{\textcolor{#FA3273}{u'(x)}\cdot\textcolor{#00DCB4}{v(x)}-\textcolor{#1478C8}{u(x)}\cdot\textcolor{#8363E2}{v'(x)}}{(\textcolor{#00DCB4}{v(x)})^2}}\)
Nach Einsetzen der einzelnen Teilfunktionen erhältst Du:
\(\displaystyle f'(x) = \frac{15x^{4} \cdot (10x - 1) - 3x^{5} \cdot 10}{(10x - 1)^{2}}\)
Falls gewünscht, kann die Funktion \(\displaystyle f'(x)\) noch weiter ausmultipliziert werden:
\(\textcolor{#191919}{f}'\textcolor{#191919}{(}\textcolor{#191919}{x}\textcolor{#191919}{)}\textcolor{#191919}{=}\frac{\textcolor{#191919}{15}\textcolor{#191919}{x}^{\textcolor{#191919}{4}}\textcolor{#191919}{\cdot}\textcolor{#191919}{(}\textcolor{#191919}{10}\textcolor{#191919}{x}\textcolor{#191919}{-}\textcolor{#191919}{1}\textcolor{#191919}{)}\textcolor{#191919}{-}\textcolor{#191919}{3}\textcolor{#191919}{x}^{\textcolor{#191919}{5}}\textcolor{#191919}{\cdot}\textcolor{#191919}{10}}{(\textcolor{#191919}{10}\textcolor{#191919}{x}\textcolor{#191919}{-}\textcolor{#191919}{1}\textcolor{#191919}{)}^{\textcolor{#191919}{2}}}\ \textcolor{#191919}{f}'\textcolor{#191919}{(}\textcolor{#191919}{x}\textcolor{#191919}{)}\textcolor{#191919}{=}\frac{\textcolor{#191919}{150}\textcolor{#191919}{x}^{\textcolor{#191919}{5}}\textcolor{#191919}{-}\textcolor{#191919}{15}\textcolor{#191919}{x}^{\textcolor{#191919}{4}}\textcolor{#191919}{-}\textcolor{#191919}{30}\textcolor{#191919}{x}^{\textcolor{#191919}{5}}}{\textcolor{#191919}{100}\textcolor{#191919}{x}^{2}\textcolor{#191919}{-}\textcolor{#191919}{20}\textcolor{#191919}{x}\textcolor{#191919}{+}\textcolor{#191919}{1}}\ \textcolor{#191919}{f}'\textcolor{#191919}{(}\textcolor{#191919}{x}\textcolor{#191919}{)}\textcolor{#191919}{=}\frac{\textcolor{#191919}{120}\textcolor{#191919}{x}^{\textcolor{#191919}{5}}\textcolor{#191919}{-}\textcolor{#191919}{15}\textcolor{#191919}{x}^{\textcolor{#191919}{4}}}{\textcolor{#191919}{100}\textcolor{#191919}{x}^{2}\textcolor{#191919}{-}\textcolor{#191919}{20}\textcolor{#191919}{x}\textcolor{#191919}{+}\textcolor{#191919}{1}}\)
Im Artikel „Quotientenregel“ findest Du noch einmal alles rund um das Thema dieser Ableitungsregel.
Die bisherigen Ableitungsregeln beschränken sich auf Funktionen, die lediglich eine Variable x enthalten. Was aber, wenn Du Funktionen mit zwei Variablen ableiten musst? Dann kommt die partielle Ableitung ins Spiel. Interessiert an der Anwendung dieser Regel? Dann sieh Dir gerne die nachfolgende Vertiefung an.
Ableitungsregel – Partielle Ableitung
Die partielle Ableitung wird auch teilweise Ableitung genannt. Sie wird benutzt, wenn Du eine Funktion mit zwei Veränderlichen ableiten musst.
Die partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion \(f(x, y) \)mit mehreren Argumenten/Variablen x und y nach einem dieser Argumente. Es wird also nur ein Teil der Funktion abgeleitet.
Die Grundlagen, die Du dafür benötigst, sind die zuvor eingeführten Ableitungsregeln und das Ableiten mit Parametern.
Die Funktion \(\displaystyle f(x,y) = 5x^{2} + y\) hat zwei Argumente: x und y.
Nun kannst Du nach x oder y partiell ableiten.
Nach welcher Variablen nun abgeleitet wird, bekommt nun eine sehr große Bedeutung. Die andere Variable ist zu behandeln wie eine Zahl bzw. eine Konstante. Du leitest partiell ab, einmal nach x und danach nach y, jeweils ist dann die andere Variable als Konstante zu sehen.
Zur Erinnerung: Die Ableitung einer Konstanten ist Null.
Beispiel gefällig? Dann los!
Aufgabe 8
Leite die Funktion \(f(x, y)\) mit \begin{equation} f(x,y) = x^4 + y^4 \end{equation} partiell ab.
Lösung
Zunächst wird nach dem Argument x abgeleitet. Für diese Ableitung ist indessen y als Konstante bzw. Zahl zu sehen.
Deshalb ist \(\displaystyle y^4\) zu behandeln wie eine Konstante.
Tipp: Setze für das Argument, nach dem nicht abgeleitet wird, einen konkreten Wert ein, um es für Dich anschaulicher zu machen.
Also leite die Funktion nach dem Argument x ab, mit Anwendung der Potenzregel.
\begin{align*}
f^{'}_{x}(x;y) &= 4\cdot x^{4-1} + 0 \\
&= 4x^3
\end{align*}
Wie Du siehst, fällt \(\displaystyle y^4\) einfach weg, da es sich um eine Konstante handelt. Nun hast Du nach dem Argument x abgeleitet. Jetzt wird das für das Argument y gemacht.
Betrachte nun y als Argument und x als Konstante. Das bedeutet wieder: Konstanten, die allein stehen und mit einem Plus verbunden sind, fallen weg. Leite nach dem Argument y ab.
\begin{align*} f_y'(x;y) &= 0 + 4 \cdot y^{4-1} \\ &= 4y^3 \end{align*}
Wenn Du einen tieferen Einblick benötigst, kannst Du Dir die Erklärung „Partielle Ableitung“ anschauen.
Ableitungsregel – Kettenregel
Die Kettenregel wird für manche Wurzeln, e-Funktionen, Logarithmusfunktionen und andere verkettete Funktionen verwendet.
Verkettete Funktionen treten allgemein in dieser Form auf: \( f(x) = u \left( v(x) \right) \). Wenn Du die Verkettung von Funktionen weiter vertiefen möchtest, schau in der Erklärung „Verketten von Funktionen“ vorbei.
Die Kettenregel wird verwendet, wenn eine verkettete Funktion \(\textcolor{black}{f(x) = }\textcolor{#1478C8}{u}\textcolor{#1478C8}{(}\textcolor{#00DCB4}{v}\textcolor{#00DCB4}{(x)}\textcolor{#1478C8}{)}\) aus einer äußeren Funktion \(\textcolor{#1478C8}{u}\textcolor{#1478C8}{(x)}\) und einer inneren Funktion \(\color{#00DCB4}v\color{#00DCB4}(x)\) besteht:
\(\displaystyle f'(x)=\textcolor{#FA3273}{u'}(\textcolor{#00DCB4}{v(x)})\cdot\textcolor{#8363E2}{v'(x)}\)
Merke: „Äußere mal innere Ableitung.“
Verkettung von Funktionen bedeutet, eine Funktion ist mit einer anderen Funktion zusammengesetzt. Grundlage dieser Regel ist es, die vorliegende verkettete Funktion so umzuformen (durch Substitution), dass andere Ableitungsregeln wieder greifen. Wie gehst Du nun bei der Ableitung so einer Funktion vor?
Vorgehensweise:
- Die äußere Funktion \(u(x)\) und innere Funktion \(v(x)\) identifizieren.
- Die Ableitungen \(\textit{u}'(x)\) und \(v'(x)\) der beiden Funktionen bilden.
- Die Funktionen und ihre Ableitungen in die Formel einsetzen.
Zeit für ein Beispiel!
Aufgabe 9
Leite die Funktion \(\displaystyle f(x)\) mit der Kettenregel ab:
\(\displaystyle f(x) = \left( 3x + 2 \right)^6\)
Lösung
Identifiziere zunächst die Teilfunktionen \(\textcolor{#1478C8}{u}( \textcolor{#1478C8}{x} )\) und \(\textcolor{#00DCB4}{v}(\textcolor{#00DCB4}{x})\). Leite die jeweils die Teilfunktionen einzeln ab.
- innere Funktion: \(\mathrm{\color{#00DCB4}v}(\mathrm{\color{#00DCB4}x})=\mathrm{\color{#00DCB4}3}\mathrm{\color{#00DCB4}x}+\mathrm{\color{#00DCB4}2} \Longrightarrow \mathrm{\color{#8363E2}v'}(\mathrm{\color{#8363E2}x})=\mathrm{3}\cdot\mathrm{x^{1-1}}+\mathrm{0}=\mathrm{\color{#8363E2}3}\)
- äußere Funktion: \(\color{#1E8CC8}u(x) \color{#191919}= \color{#00DCB4}v \color{#00DCB4}(x)^{\color{#1E8CC8}6} \color{#191919}\rightarrow \color{#FA3273}u'(x) \color{#191919}= 6 \cdot \color{#191919}v(x)^{6-1} \color{#191919}= 6 \cdot \color{#00DCB4}v(x)^{\color{#FA3273}5}\)
Daraus ergibt sich folgende Ableitungsfunktion \(\textnormal{f}'(x)\):
Zur Erinnerung: Kettenregel: \(\textcolor{black}{f'(x) = }\textcolor{red}{u'}\textcolor{green}{(v(x))}\textcolor{blue}{\cdot }\textcolor{blue}{v'(x)}\)
\begin{align*} f'(x) &= 6\cdot(3x+2)^5\cdot3 \\ &= 18\cdot(3x+2)^5 \end{align*}
Übrigens: Das Multiplizieren mit \(\color{#00DCB4} v'(x)\) wird auch als Nachdifferenzieren bezeichnet.
Wenn Du auch hier noch mehr über das Thema erfahren willst und weitere Beispiele betrachten möchtest, schau Dir die Erklärung „Kettenregel“ an.
Im nachfolgenden Abschnitt findest Du alle Ableitungsregeln dieses Artikels noch einmal kurz zusammengefasst.
Alle Ableitungsregeln – Übersicht mit Formeln
Um Dir den Umgang mit den Ableitungsregeln zu erleichtern, hast Du hier alle übersichtlich aufgeführt.
| Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
| Faktorregel | \(\displaystyle f(x)=c\cdot g(x)\) | \(\displaystyle f'(x) = c \cdot g'(x)\) |
| Potenzregel | \(\)f(x) = x^n\(\) | \(\displaystyle f'(x) = n \cdot x^{n-1}\) |
| Summenregel | \(\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)\) | \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\) |
| Differenzregel | \(\begin{array}{c} f(x) = g(x) - h(x) \end{array}\) | \(\displaystyle f'(x) = g'(x) - h'(x)\) |
| Kettenregel | \(f(x)=g(h(x))\) | \(\textstyle f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\) |
| Produktregel | \(\textstyle f(x)=u(x)\cdot v(x)\) | \(\displaystyle f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\) |
| Quotientenregel | \(\displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) | \(f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^{2}}\) |
Kleiner Tipp:
Lege Dir die Ableitungstabelle beim Bearbeiten von Übungsaufgaben am Anfang daneben, um alles auf einem Blick parat zu haben! Gerne kannst Du auch Deine eigene Formelsammlung benutzen.
Ableitungsregeln – Aufgaben
Jetzt ist es an der Zeit, das Thema noch etwas zu verinnerlichen.
Aufgabe 10
Betrachtet wird die folgende Funktion \(\displaystyle f(x)\) mit \(f(x) = \frac{(2x - 5)^3}{12x + 7}\). Bilde die erste Ableitung \(f'(x)\) der Funktion \(\displaystyle f(x)\).
Lösung
Auf den ersten Blick fällt auf, dass es sich um einen Quotienten handelt, es muss also die Quotientenregel verwendet werden. Aber auch hier wird die Quotientenregel nicht allein angewandt. In diesem Fall wird zusätzlich noch die Konstanten-, Potenz-, Faktor-, Summen- und Differenzregel benötigt.
Identifiziere zunächst die einzelnen Teilfunktionen \(\displaystyle u(x)\) und \(\displaystyle v(x)\) und leite diese dann einzeln ab.
Erste Teilfunktion: \(\displaystyle u(x) = (2x - 5)^3\)
Hier musst Du zu den bereits angeführten Ableitungsregeln noch die Kettenregel aufgrund der Hochzahl 3 anwenden. Also identifiziere hier auch wieder die äußere und innere Funktion und leite einzeln ab.
Die äußere Funktion wird hier als \(\displaystyle g(x)\) bezeichnet, die innere Funktion als \(\displaystyle h(x)\), um Verwechselungen auszuschließen.
Innere Funktion: \(\textcolor{#00DCB4}{h(x) = 2x - 5}\textcolor{#191919}{\longrightarrow}\textcolor{#00DCB4}{ }\textcolor{#8363E2}{h'(x) = 2}\)
Hier bleibt der Faktor \(\displaystyle c=2 \) aufgrund der Faktorregel bestehen. Die reelle Konstante fällt aufgrund der Konstantenregel weg. Laut der Potenzregel wird x um eins verringert, weshalb x ebenso wegfällt.
Äußere Funktion: \(\textcolor{#1E8CC8}{g}\left(\textcolor{#1E8CC8}{x}\right)=\textcolor{#00DCB4}{h}\textcolor{#00DCB4}{(}\textcolor{#00DCB4}{x}\textcolor{#00DCB4}{)}^{\textcolor{#1478C8}{3}} \Longrightarrow{\textcolor{#FA3273}{g'}}\left(\textcolor{#FA3273}{x}\right)=\textcolor{#FA3273}{3}\cdot\textcolor{#00DCB4}{h}\textcolor{#00DCB4}{(}\textcolor{#00DCB4}{x}\textcolor{#00DCB4}{)}^{\textcolor{#FA3273}{2}}\)
Bei der äußeren Funktion wird \(\textstyle h(x)\)nicht betrachtet und nur die Potenzregel angewandt. Ziehe also den ursprünglichen Exponenten nach vorne und verringere den Exponenten um eins.
Eingesetzt in die Formel der Kettenregel \(\textcolor{black}{u'(x)} = \textcolor{#FA3273}{g'}\textcolor{#FA3273}{(}\textcolor{#00DCB4}{h}\textcolor{#00DCB4}{(x)}\textcolor{#FA3273}{)} \cdot \textcolor{#8363E2}{h'}\textcolor{#8363E2}{(x)}\)lautet die erste Teilfunktion:
\(\displaystyle u'(x) = 3 \cdot (2x - 5)^2 \cdot 2\)
Zweite Teilfunktion: \(\textcolor{black}{v(x) = 12x + 7}\)
Die reelle Konstante 7 fällt wieder weg und der konstante Faktor \(c = 12\) bleibt erhalten. Aufgrund der Potenzregel fällt x weg:
\(\text{v}'(x) = 12\)
Nachdem beide Teilfunktionen abgeleitet wurde, musst Du diese Teilfunktionen in die Formel der Quotientenregel einsetzen:
Zur Erinnerung: Formel der Quotientenregel: \(\displaystyle f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}\)
Für den Überblick sind alle benötigten Teilfunktionen noch einmal aufgeführt:
\begin{align*}
u(x) &= (2x-5)^3 && u'(x) = 3 \cdot (2x-5)^{3-1} = 6 \cdot (2x-5)^2 \\
v(x) &= 12x+7 && v'(x) = 12
\end{align*}
In der Formel eingesetzt:
\begin{equation}
f'(x) = \frac{\left(6\cdot\left(2x-5\right)^2\right)\cdot\left(12x+7\right) - \left(2x-5\right)^3\cdot12}{\left(12x+7\right)^2}
\end{equation}
Anschließend kann der Bruch noch weiter umgeformt werden.
\(\displaystyle f'(x) = \frac{6 \cdot (2x-5)^2 \cdot (12x+7) - 12 \cdot (2x-5)^3}{(12x+7)^2}\)
Frage einfach Deine Lehrerin oder Deinen Lehrer, wie weit der Bruch vereinfacht werden soll.
In den jeweiligen Artikeln kannst Du Dir noch einmal alle Ableitungsregeln im Detail ansehen. Folgende Zusammenfassung gibt Dir einen allgemeinen Überblick über die Regeln des Artikels.
Ableitungsregeln – Das Wichtigste
| Regel | Funktionsform | Formel | Anwendung |
| Ableitung einer Konstanten | \(\displaystyle f(x) = c\) | \(\textstyle{f'(x) = 0}\) | Bei separaten Konstanten |
| Potenzregel | \(\displaystyle f(x)=x^{n}\) | \(f'(x)=n \cdot x^{n-1}\) | Bei Potenzen (auch als Wurzel) |
| Faktorregel | \(\textstyle f(x)=c\cdot g(x)\) | \(f'(x)=c\cdot g'(x)\) | Bei Vorfaktoren |
| Summen-/Differenzregel | \(\displaystyle f(x)=g(x)\pm h(x)\) | \(f'(x) = g'(x) \pm h'(x)\) | Bei Summen/Differenzen |
| Produktregel | \(\begin{equation} f(x)=u(x) \cdot v(x) \end{equation}\) | \(\displaystyle f'(x)=u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x)\) | Bei Produkttermen |
| Quotientenregel | \(\displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) | \(\displaystyle f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - v'(x) \cdot u(x)}{v(x)^2}\) | Bei Quotiententermen |
| Kettenregel | \(\displaystyle f(x)=u(v(x))\) | \(\textstyle f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)\) | Bei Verkettung |
Nachweise
- Papula, Lothar (2000). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Eine Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden
- Jost, Gotthard (2012). Fit fürs Abi: Oberstufenwissen Mathematik. Schroedel Verlag, Braunschweig
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