y-Achsenabschnitt

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 5

Stelle die Gleichung der Geraden $f\left(x\right)$ auf, die durch die Punkte $\mathrm{P}(-2|3)$ und $\mathrm{Q}\left(4\right|-7)$ verläuft. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt dieser Gerade.

Lösung

Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{-7-3}{4-(-2)}=-\frac{5}{3}\end{array}$

Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

$y=-\frac{5}{3}x+t$

Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt $P(-2|3)$ eingesetzt und nach t umgestellt.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}3=-\frac{5}{3}(-2)+t& & \\ & & \\ 3=\frac{10}{3}+t& & |-\frac{10}{3}\\ & & \\ -\frac{1}{3}=t& & \end{array}\end{array}$

Diese Werte werden jetzt in die Gerade $f\left(x\right)$ eingesetzt.

$f\left(x\right)=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$

Dann, beim Berechnen des Y-Achsenabschnitts, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& -\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}\\ & & \\ f\left(0\right)& =& -\frac{5}{3}·0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $y=-\frac{1}{3}$. Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da $x=0$und damit$y=-\frac{1}{3}$ der Schnittpunkt der linearen Funktion $f\left(x\right)$ mit der y-Achse bei $P\left(\begin{array}{c}0|\frac{1}{3}\end{array}\right)$ist.

Abbildung 10: Y-Achsenabschnitt berechnen

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 6

Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion $f\left(x\right)=4x^2+0,5x+3,1$.

Lösung

Der Y-Achsenabschnitt wird berechnet, in dem Du 0 in die quadratische Funktion einsetzt und ausmultiplizierst.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& 4x^2+0,5x+3,1\\ & & \\ f\left(0\right)& =& 4·0^2+0,5·0+3,1=3,1\end{array}$

Der Y-Achsenabschnitt liegt bei $y=3,1$. Nun muss der y-Wert noch in einen Punkt umgewandelt werden, indem für $x=0$ eingesetzt wird.

Der Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion $f\left(x\right)$ liegt an dem Punkt $P\left(0\right|3,1)$.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 7

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion $f\left(x\right)$ mithilfe des Koordinatensystems.

Abbildung 11: Y-Achsenabschnitt bestimmen

Lösung

Du gehst zuerst entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).

Abbildung 12: Y-Achsenabschnitt bestimmen

An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle $y=1$ ist. Das führt zu dem Schnittpunkt $P\left(0\right|1)$.

Die quadratische Funktion $f\left(x\right)$ hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt $P\left(0\right|1)$.

Abbildung 13: Y-Achsenabschnitt bestimmen

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 8

Stelle die Geradengleichung der Gerade$f\left(x\right)$ mithilfe der Punkte $P(-3|5)$ und $Q\left(4\right|2)$ auf. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt der Gerade.

Lösung

Zuerst setzt Du die Werte der Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung m ein.

$\begin{array}{rcl}m& =& \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\frac{2-5}{4-(-3)}=-\frac{3}{7}\end{array}$

Die Steigung der Gerade$f\left(x\right)$ ist $m=-\frac{3}{7}$. Dieser Wert wird jetzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

$\begin{array}{rcl}y& =& mx+t=-\frac{3}{7}x+t\end{array}$

In diese Gerade wird jetzt einer der Punkte P oder Q eingesetzt und nach t umgestellt. In diesem Lösungsansatz wird der Punkt Q verwendet.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}2=-\frac{3}{7}·4+t& & \\ 2=-\frac{12}{7}+t& & |+\frac{12}{7}\\ t=\frac{26}{7}& & \end{array}\end{array}$

Jetzt werden die Werte nur noch in die Funktion $f\left(x\right)$ eingetragen und Du hast die Funktionsgleichung berechnet.

$f\left(x\right)=-\frac{3}{7}x+\frac{26}{7}$

Um nun den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& -\frac{3}{7}x+\frac{26}{7}\\ & & \\ f\left(0\right)& =& -\frac{3}{7}·0+\frac{26}{7}=\frac{26}{7}\end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $y=\frac{26}{7}$. Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da $x=0$und $y=\frac{26}{7}$ ist der Schnittpunkt der linearen Funktion $f\left(x\right)$ mit der y-Achse bei $P\left(\begin{array}{c}0|\frac{26}{7}\end{array}\right)$.