y-Achsenabschnitt

Q: Wie wird ein Y-Achsenabschnitt ausgerechnet?

Einen Y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in die Funktion die Zahl 0 eingesetzt und ausmultipliziert wird. Dadurch wird der y-Wert berechnet, der dann noch mit dem x-Wert (x=0) in einen Punkt P umgeformt wird.

Q: Was ist der Y-Achsenabschnitt?

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse. Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate: x=0.

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Stell Dir vor, Du stehst vor einer Straße, die Du überqueren musst, um an Deinem Ziel anzukommen. Die Straße stellt die y-Achse dar, während Du den Verlauf der Funktion vorgibst, wenn Du die Straße überquerst. Der Punkt, an dem Du die Straße überquerst, ist der y-Achsenabschnitt und dieser Punkt kann berechnet oder sogar abgelesen werden. Wie du den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse bestimmen kannst, wird Dir in dieser Erklärung gezeigt.

y-Achsenabschnitt

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.

$y_{0} = f (x)$

Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate $x = 0$ .

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

Eine lineare Funktion ist im Koordinatensystem durch eine Gerade dargestellt.

Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion in der Form $f (x) = m x + t$ mit $D_{f} = ℝ$ .

Dabei stellt m die Steigung der Gerade und t den y-Achsenabschnitt dar.

Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und der Parameter t abliest

( $f (x) = m x + t$ ).

In dieser Abbildung siehst Du den Y-Achsenabschnitt der Funktion $f (x) = 2 x + 4$ .

Y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 1: Y-Achsenabschnitt

y-Achsenabschnitt bestimmen

Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du durch Ablesen bestimmen. Das ist der Vorgang:

Zuerst gehst Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse.
Dann markierst Du die Schnittstelle der Funktion $f (x)$ mit der y-Achse und liest den y-Wert ab.
Den y-Wert wandelst Du dann noch in einen Punkt P um, in dem Du als x-Wert $x = 0$ und als y-Wert die Schnittstelle nimmst.

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion bestimmen

Wie Du einen Y-Achsenabschnitt bestimmst, wird Dir anhand einer linearen Funktion gezeigt.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 1

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion $f (x)$ mithilfe des Koordinatensystems.

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 3: Y-Achsenabschnitt bestimmen

Lösung

Du gehst jetzt entlang der y-Achse (pinkfarbene Linie) und markierst den Schnittpunkt P der linearen Funktion mit der Achse.

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 3: Y-Achsenabschnitt bestimmen

An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle $y = 2$ ist. Das führt zu dem Schnittpunkt $P (0 | 2)$ .

Die lineare Funktion $f (x)$ hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt $P (0 | 2)$ .

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 4: Y-Achsenabschnitt bestimmen

Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und der Parameter t abliest ( $f (x) = m x + t$ ).

Wie gehst Du jetzt bei einer quadratischen Funktion vor?

y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen & ablesen

Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du auch an einer Parabel ablesen. Doch wie funktioniert das?

Du gehst genau so vor, wie bei einer linearen Funktion, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 2

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der abgebildeten Parabel.

y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarter Abbildung 5: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

Lösung

Du gehst jetzt entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).

y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarter Abbildung 6: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle $y = - 1, 5$ ist. Das führt zu dem Schnittpunkt $P (0 | - 1, 5)$ .

Die quadratische Funktion $f (x)$ hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt $P (0 | - 1, 5)$ .

y Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen StudySmarter Abbildung 7: Y-Achsenabschnitt einer Parabel bestimmen

y-Achsenabschnitt berechnen

Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du nicht nur bestimmen, sondern auch berechnen.

Du setzt zuerst eine 0 statt der Variable in die gegebene Funktion ein.
Dann berechnest Du die Funktion.
Die Zahl, die Du berechnet hast, ist der y-Wert, beziehungsweise der Y-Achsenabschnitt.
Den y-Wert wandelst Du dann noch in einen Punkt P um, in dem Du als x-Wert $x = 0$ und als y-Wert die Schnittstelle nimmst.

Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen

In der Praxis sieht das bei einer linearen Funktion $f (x)$ folgendermaßen aus:

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 3

Berechne den Y-Achsenabschnitt, der entsteht, wenn Du die Straße überquerst. Es ist die Funktion $f (x) = 3 x + 5$ vorgegeben.

Lösung

Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktion einsetzen.

$f (x) = 3 x + 5 f (0) = 3 \cdot 0 + 5 = 5$

Der Y-Achsenabschnitt, der entsteht, wenn Du eine Straße überquerst, ist $y = 5$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $P (0 | 5)$ .

y Achsenabschnitt berechnen StudySmarter Abbildung 8: Y-Achsenabschnitt berechnen

y-Achsenabschnitt einer quadratischen Funktion berechnen

Auch bei einer quadratischen Funktion kann der Y-Achsenabschnitt berechnet werden.

Bei einer quadratischen Funktion gehst Du genau so vor, wie bei einer linearen Funktion, nämlich 0 für x in die Funktionsgleichung einsetzen und den gewonnenen y-Wert in einen Punkt P umformen. Als x-Wert des Punktes wird dann $x = 0$ eingesetzt.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 4

Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion $f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 4, 5$ .

Lösung

Um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du statt dem x eine 0 in die Funktionsgleichung einsetzen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{2} + 5 x - 4, 5 \\ f (0) & = & 2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 - 4, 5 = - 4, 5 \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $y = - 4, 5$ . Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da $x = 0$ und $y = - 4, 5$ ist der Schnittpunkt mit der y-Achse bei $P (0 | - 4, 5)$ .

y Achsenabschnitt einer Parabel StudySmarter Abbildung 9: Y-Achsenabschnitt einer Parabel

y-Achsenabschnitt mit zwei Punkten berechnen

Wie gehst Du vor, wenn Du einen Y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen musst, Dir aber nur zwei Punkte gegeben sind?

Dazu gehst Du in diesen Schritten vor:

Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten aufstellen
In der Geradengleichung x durch null ersetzen ( $f (0)$ )
Gleichung berechnen & das Ergebnis gibt die y-Koordinate des y-Achsenabschnitts an ( $y = . . .$ )

Schau Dir gern die Erklärung "Lineare Funktionen" an, wenn Du noch mal nachlesen möchtest, wie genau eine Geradengleichung aufgestellt wird.

Die Formel zur Berechnung der Steigung einer linearen Funktion lautet:

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{2}} \end{array}$

Wie Du eine solche Gerade und den zugehörigen Y-Achsenabschnitt berechnest, siehst Du jetzt in der Praxis.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 5

Stelle die Gleichung der Geraden $f (x)$ auf, die durch die Punkte $P (- 2 | 3)$ und $Q (4 | - 7)$ verläuft. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt dieser Gerade.

Lösung

Zuerst setzt Du die beiden Punktkoordinaten in die Steigungsformel ein.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{- 7 - 3}{4 - (- 2)} = - \frac{5}{3} \end{array}$

Dieser Wert wird jetzt in die Form der linearen Funktion eingesetzt, um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln.

$y = - \frac{5}{3} x + t$

Um den Y-Achsenabschnitt zu ermitteln, wird jetzt der Punkt $P (- 2 | 3)$ eingesetzt und nach t umgestellt.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 3 = - \frac{5}{3} (- 2) + t \\ 3 = \frac{10}{3} + t & | - \frac{10}{3} \\ - \frac{1}{3} = t \end{matrix} \end{array}$

Diese Werte werden jetzt in die Gerade $f (x)$ eingesetzt.

$f (x) = - \frac{5}{3} x - \frac{1}{3}$

Dann, beim Berechnen des Y-Achsenabschnitts, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - \frac{5}{3} x - \frac{1}{3} \\ f (0) & = & - \frac{5}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $y = - \frac{1}{3}$ . Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da $x = 0$ und damit $y = - \frac{1}{3}$ der Schnittpunkt der linearen Funktion $f (x)$ mit der y-Achse bei $P (\begin{matrix} 0 | \frac{1}{3} \end{matrix})$ ist.

y Achsenabschnitt berechnen StudySmarter Abbildung 10: Y-Achsenabschnitt berechnen

y-Achsenabschnitt – Aufgaben zum Üben

Jetzt kannst Du Dein Wissen stärken, in dem Du die Übungsaufgaben rechnest.

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 6

Berechne den Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion $f (x) = 4 x^{2} + 0, 5 x + 3, 1$ .

Lösung

Der Y-Achsenabschnitt wird berechnet, in dem Du 0 in die quadratische Funktion einsetzt und ausmultiplizierst.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 4 x^{2} + 0, 5 x + 3, 1 \\ f (0) & = & 4 \cdot 0^{2} + 0, 5 \cdot 0 + 3, 1 = 3, 1 \end{array}$

Der Y-Achsenabschnitt liegt bei $y = 3, 1$ . Nun muss der y-Wert noch in einen Punkt umgewandelt werden, indem für $x = 0$ eingesetzt wird.

Der Y-Achsenabschnitt der quadratischen Funktion $f (x)$ liegt an dem Punkt $P (0 | 3, 1)$ .

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 7

Bestimme den Y-Achsenabschnitt der linearen Funktion $f (x)$ mithilfe des Koordinatensystems.

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 11: Y-Achsenabschnitt bestimmen

Lösung

Du gehst zuerst entlang der y-Achse und markierst den Schnittpunkt P der Parabel mit der y-Achse (pinkfarbene Linie).

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 12: Y-Achsenabschnitt bestimmen

An der Abbildung erkennst Du, dass der Y-Achsenabschnitt an der Stelle $y = 1$ ist. Das führt zu dem Schnittpunkt $P (0 | 1)$ .

Die quadratische Funktion $f (x)$ hat ihren Y-Achsenabschnitt an dem Punkt $P (0 | 1)$ .

y Achsenabschnitt bestimmen StudySmarter Abbildung 13: Y-Achsenabschnitt bestimmen

y-Achsenabschnitt – Aufgabe 8

Stelle die Geradengleichung der Gerade $f (x)$ mithilfe der Punkte $P (- 3 | 5)$ und $Q (4 | 2)$ auf. Berechne dann den Y-Achsenabschnitt der Gerade.

Lösung

Zuerst setzt Du die Werte der Punkte P und Q in die Formel zur Berechnung der Steigung m ein.

$\begin{array}{rcl} m & = & \frac{y_{Q} - y_{P}}{x_{Q} - x_{P}} = \frac{2 - 5}{4 - (- 3)} = - \frac{3}{7} \end{array}$

Die Steigung der Gerade $f (x)$ ist $m = - \frac{3}{7}$ . Dieser Wert wird jetzt in die Rohform der linearen Funktion eingesetzt.

$\begin{array}{rcl} y & = & m x + t = - \frac{3}{7} x + t \end{array}$

In diese Gerade wird jetzt einer der Punkte P oder Q eingesetzt und nach t umgestellt. In diesem Lösungsansatz wird der Punkt Q verwendet.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 2 = - \frac{3}{7} \cdot 4 + t \\ 2 = - \frac{12}{7} + t & | + \frac{12}{7} \\ t = \frac{26}{7} \end{matrix} \end{array}$

Jetzt werden die Werte nur noch in die Funktion $f (x)$ eingetragen und Du hast die Funktionsgleichung berechnet.

$f (x) = - \frac{3}{7} x + \frac{26}{7}$

Um nun den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, musst Du 0 in die Funktionsgleichung der linearen Funktion einsetzen.

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - \frac{3}{7} x + \frac{26}{7} \\ f (0) & = & - \frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{26}{7} = \frac{26}{7} \end{array}$

Der y-Achsenabschnitt liegt bei $y = \frac{26}{7}$ . Dieser Wert muss noch in einen Punkt umgewandelt werden. Da $x = 0$ und $y = \frac{26}{7}$ ist der Schnittpunkt der linearen Funktion $f (x)$ mit der y-Achse bei $P (\begin{matrix} 0 | \frac{26}{7} \end{matrix})$ .

y Achsenabschnitt – Das Wichtigste

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.
Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate $x = 0$ .
Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du berechnen, indem Du in die Funktion 0 einsetzt und sie ausmultiplizierst.
Einen Y-Achsenabschnitt kannst Du bestimmen, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann die Schnittstelle abliest. Diese Schnittstelle wandelst Du noch in einen Punkt P um.
Y-Achsenabschnitt berechnen mit zwei gegeben Punkten:
Du musst, um den Y-Achsenabschnitt zu berechnen, erst die Geradengleichung bestimmen und danach 0 in die Funktionsgleichung einsetzen. Dann hast Du den y-Wert, der noch in einen Punkt umgewandelt werden muss.

Nachweise

Flotho (2021): Wirtschaftsmathematik. Springer Gabler.
Pampel (2017): Geraden und Parabeln. Springer.

Häufig gestellte Fragen zum Thema y-Achsenabschnitt

Einen Y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in die Funktion die Zahl 0 eingesetzt und ausmultipliziert wird. Dadurch wird der y-Wert berechnet, der dann noch mit dem x-Wert (x=0) in einen Punkt P umgeformt wird.

Der Y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt P einer Funktion mit der y-Achse.

Ein Y-Achsenabschnitt ist immer an der x-Koordinate: x=0.

Den Y-Achsenabschnitt liest Du ab, indem Du im Koordinatensystem entlang der y-Achse gehst und dann den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse abliest.

Ein Y-Achsenabschnitt kann auch bestimmt werden, wenn Du eine Funktion gegeben hast und den Parameter t abliest, denn t ist der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ( f(x)=mx+t ).

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