Die Stammfunktionen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion benötigst Du immer dann, wenn Du ein Integral mit Sinus, Kosinus oder Tangens bilden möchtest.
Trigonometrische Funktionen integrieren – Erklärung
Genauso wie die Ableitungen kannst Du Dir die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion als eine Art Kreislauf vorstellen. Dazu kannst Du Dir die folgende Abbildung anschauen. Diese beinhaltet die Auf- und die Ableitung.
Abbildung 1: Integrationskreis Sinus- und Kosinusfunktion
Da das Integrieren das Gegenteil der Ableitung ist, entsteht durch den Ableitungskreis auch direkt der Integrationskreis – nur in entgegengesetzter Richtung.
Wenn Du Dir diesen Kreislauf merkst, hast Du schon einen Großteil des Integrierens verstanden.
Integrieren ist das Gegenteil von Ableiten und wird in der Schule teilweise auch Aufleiten genannt.
Integrieren der Sinusfunktion
Die Stammfunktion \(F(x)\) der Sinusfunktion \(f(x)=-\sin(x)\) lautet:\[F(x) = -\cos(x) +C\]
Zur Erinnerung: Im Artikel "Stammfunktion bilden" kannst du noch einmal sehen, dass du bei der Stammfunktion immer eine Konstante \(C\) dazu addieren musst, da diese beim Ableiten wegfällt.
Integrieren der Kosinusfunktion
Die Stammfunktion \(F(x)\) der Kosinusfunktion \(f(x) = \cos(x)\) lautet:\[F(x)=\sin(x)+C\]
Integrieren der Tangensfunktion
Die Stammfunktion \(F(x)\) der Tangensfunktion \(f(x)=\tan(x)\) lautet:\[F(x) =-\ln(|\cos(x)|)+C\]
Jetzt kennst du alle Stammfunktionen der reinen trigonometrischen Funktionen. Jedoch hast du in vielen Aufgaben oft nicht diese reine Version vorliegen, sondern mit verschiedenen Parametern.
Trigonometrische Funktionen – Parameter integrieren
Interessanter sind die Stammfunktionen der erweiterten trigonometrischen Funktionen mit den Parametern.
Da du in der Schule hauptsächlich die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion benötigst, werden hier nur diese beiden betrachtet.
Zur Erinnerung:
- Erweiterte Sinusfunktion: \(f(x) = a\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d\)
- Erweiterte Kosinusfunktion: \(f(x) = a\cdot \cos(b\cdot(x-c))+d\)
Stammfunktion der Sinusfunktion mit Parametern
Die Stammfunktion \(F(x)\) der allgemeinen Sinusfunktion \(f(x) = a\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d\) lautet\[F(x) = -\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\]
Die Herleitung dieser Formel erfolgt unter anderem durch Anwendung der linearen Substitution.
Schaue dir das folgende Beispiel an, um die Regel zu verinnerlichen.
Aufgabe 1
Bestimme die Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) mit \(f(x) = 3\cdot \sin (2\cdot(x-100))+9\).
Lösung
Zuerst musst du die Parameter \(a,\,b,\,c,\,d\) identifizieren.
\(f(x) = \underbrace{3}_a\cdot \sin (\underbrace{2}_b\cdot(x-\underbrace{100}_c))+\underbrace{9}_d\)
Als Nächstes brauchst du die Stammfunktion von Sinus – das ist der negative Kosinus. Damit erhältst du folgende Stammfunktion.
\begin{align}F(x) &= -\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\\F(x) &= -\frac{3}{2}\cdot\cos(2\cdot(x-100))+9x+C\end{align}
Stammfunktion der Kosinusfunktion mit Parametern
Das Integrieren der allgemeinen Kosinusfunktion verhält sich wie bei der allgemeinen Sinusfunktion. Dementsprechend erhältst du folgende mathematische Definition:
Die Stammfunktion \(F(x)\) der allgemeinen Kosinusfunktion \(f(x) = a\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d\) lautet:
\(f(x) = \frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d\cdot x + C\)
Schau dir ein Beispiel an, um die Stammfunktion der erweiterten Kosinusfunktion direkt anzuwenden.
Aufgabe 2
Bestimme die Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x) = 20\cdot \cos(5x-30)+32\).
Lösung
Zuerst musst du den Parameter \(b\) identifizieren. Dazu musst du innerhalb der inneren Funktion erst einmal ausklammern.
\(f(x)=20\cdot \cos(5(x-6))+32\Rightarrow b=5 \)
Als Nächstes musst Du nur noch alle anderen Parameter \(a, \,b,\,c\) ablesen und in die Formel einsetzen. Damit erhältst du folgende Stammfunktion:\begin{align}F(x) &= \frac{20}{5}\cdot \sin(5\cdot(x-6))+32x+C\\&= 4\cdot \sin(5\cdot(x-6))+32x+C\end{align}
Zusammenfassend kannst du dir die folgende Tabelle ansehen:
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
| Reine Funktion | \(F(x) = -\cos(x)\) | \(F(x) = \sin(x)\) |
| Erweiterte Funktion | \(F(x)=-\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\) | \(F(x)=\frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\) |
Beim "aufleiten" wird aus Sinus, Minus-Kosinus und aus Kosinus wird Sinus.
Als Abschluss kannst du dir noch ein weiteres Beispiel anschauen.
Aufgabe 3
Berechne das Integral \(\int_\pi^{4\pi}2\sin(3\cdot(x-\pi))+5\).
Lösung
Um das bestimmte Integral zu lösen, wird zuerst die Stammfunktion von \(f(x)\) benötigt. Die Stammfunktion bestimmst Du mit Hilfe der Regel für die Integration der allgemeinen Sinusfunktion.
\( F(x) = -\frac{2}{3}\cos(3\cdot(x-\pi))+5x + C\)
Jetzt kannst Du das bestimmte Integral berechnen:
\begin{align}\int_\pi^{4\pi}2\sin(3\cdot(x-\pi))+5 &=\left[-\frac{2}{3}\cos(3\cdot(x-\pi))+5x \right]_\pi^{4\pi}\\ &= -\frac{2}{3}\cos(3\cdot (4\pi-\pi))-(\frac{2}{3}\cdot\cos(3\cdot(\pi-\pi)))\\&=-\frac{2}{3}\cdot \cos(9\pi)+\frac{2}{3}\\&=-\frac{2}{3}\cdot (-1)+\frac{2}{3}\\&=\frac{4}{3}\end{align}
Trigonometrische Funktionen integrieren – Das Wichtigste
- Die Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen wiederholen sich. Dies kannst du dir mithilfe des Integrationskreises merken.
- Die Stammfunktionen der Sinus- und Kosinusfunktion lauten wie folgt:
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) |
| Reine Funktion | \(F(x) = -\cos(x)\) | \(F(x) = \sin(x)\) |
| Erweiterte Funktion | \(F(x)=-\frac{a}{b}\cdot \cos(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\) | \(F(x)=\frac{a}{b}\cdot \sin(b\cdot(x-c))+d\cdot x+ C\) |
- Die Stammfunktion \(F(x)\) der Tangensfunktion \(f(x) =\tan(x)\) lautet: \(F(x) = -\ln(|cos(x)|)+C\)
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