Die Stetigkeit von Funktionen drückt aus, dass eine Funktion im Definitionsbereich nahtlos gezeichnet werden kann. Diese Stetigkeit wird bei Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben meist vorausgesetzt, daher stellt die Stetigkeit einen wichtigen Bestandteil der Analysis dar.
Stetigkeit – Definition
Was bedeutet Stetigkeit?
Die Stetigkeit ist eine Eigenschaft von Funktionen, vereinfacht kann man sie sich als Sprungfreiheit vorstellen: wenn du den Graphen der Funktion zeichnen kannst, ohne ihn abzusetzen, dann ist die Funktion stetig. Es gibt also keine Unterbrechung und keine Sprünge.
Abbildung 1: stetige Funktion
Wenn ein Funktionsgraph nicht ohne Unterbrechung gezeichnet werden kann, du also dein Stift absetzen und neu ansetzen musst, dann handelt es sich um eine unstetige Funktion.
Es handelt sich also um eine allgemein stetige Funktion, wenn sie an jeder Stelle in ihrem Definitionsbereich stetig ist. Das heißt, ihr Graph weist im gesamten Definitionsbereich der Funktion keine Sprungstellen auf.
Meist musst du in der Schule die Stetigkeit einer Funktion an einem bestimmten Punkt prüfen. Um das zu überprüfen, benötigst du Grenzwerte. Daher wiederholen wir zunächst, was ein Grenzwert ist:
Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer größer wird, so heißt die Zahl c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen \(+\infty\) (sprich "plus unendlich").
Man schreibt: \(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x) = c\).
Betrachtet man dasselbe für immer kleiner werdende x-Werte, so ist c der Grenzwert oder Limes der Funktion gegen \(-\infty\).
Man schreibt dann: \(\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) = c \).
Einen Grenzwert einer Funktion f kann man aber nicht nur im Unendlichen bestimmen. Man kann auch einen Grenzwert an einer bestimmten Stelle berechnen.
Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion x immer näher an einen Wert c kommen, wenn x immer näher an den Wert x0 kommt, so heißt die Zahl c Grenzwert oder Limes der Funktion gegen x0.
Man schreibt: \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = c \).
Dabei kann man den links- und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen:
- für den linksseitigen Grenzwert geht man "von unten" gegen x0, setzt also x-Werte ein, die immer ein wenig kleiner als x0 sind.
- für den rechtsseitigen Grenzwert geht man "von oben" gegen x0, setzt also x-Werte ein, die immer ein wenig größer als x0 sind.
Wenn du mehr über Grenzwerte erfahren möchtest, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen!
Wenn du diese Infos zum Grenzwert verstanden hast, dann kannst du dir nun die Stetigkeit genauer ansehen.
Möchtest du überprüfen, ob eine Funktion an einer gegebenen Stelle x0 stetig ist, musst du dort den links- und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen. Diese beiden Grenzwerte müssen identisch sein, damit die Funktion an der Stelle stetig ist.
Eine stetige Funktion wird also wie folgt definiert:
Eine Funktion \(f(x)\) ist stetig, wenn sie an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Eine Funktion f ist stetig an der Stelle x0, wenn gilt:\[\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)\]
Das sagt aus, wenn x nahe \(x_0\) ist, muss f(x) nahe an \(f(x_0)\) sein.
Unstetigkeit von Funktionen
Auch wenn die meisten Funktionen, die in der Schule behandelt werden, stetig sind, sind das natürlich nicht alle Funktionen, die es gibt. Eine Funktion ist unstetig, wenn ihr Graph nicht in einer Linie gezeichnet werden kann.
Eine Funktion \(f(x)\) ist unstetig, wenn der Graph eine Unterbrechung aufweist.
Dabei müssen folgende Bedingungen gegeben sein:
1. \(f(x_0)\) ist definiert
2. es existiert kein \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\)
3. \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) \neq f(x_0)\).
Im Gegensatz zu einer stetigen Funktion stimmen die Grenzwerte einer unstetigen Funktion meist nicht überein oder nicht mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\). Daher ist die Funktion unstetig, da sie Lücken oder Sprünge aufweist, an denen der Funktionsgraph nicht mehr konstant verläuft. Man muss also mit dem Stift absetzen, um weiter zu zeichnen.
Bekannte unstetige Funktionen sind die sogenannten Treppenfunktionen. In der folgenden Abbildung siehst du eine davon.
Abbildung 2: unstetige Treppenfunktion
Stetigkeit von Funktionen – Beispiele
Die meisten Funktionen, welche du in der Schule kennenlernst, sind stetig und es gibt dahin gehend sehr viele stetige Funktionen. In dieser Tabelle kannst du die wichtigsten finden.
Bei den gebrochen rationalen Funktionen musst du beachten, dass sie unbedingt die graphische Bedingung erfüllen, dass man sie in einer Linie zeichnen kann. Es handelt sich jedoch trotzdem um stetige Funktionen.
Der Grund dafür ist, dass gebrochen rationale Funktion an unstetigen Stellen, wie zum Beispiel Definitionslücken oder Unendlichkeitsstellen, nicht definiert sind. Daher sind die im Definitionsbereich \(\mathbb{D}_f\) stetig, aber nicht auf ganz \(\mathbb{R}\).
Abbildung 3: Gebrochen rationale Funktion
Bei der oben erwähnten Treppenfunktion gilt dies hingegen nicht. Die Treppenfunktion ist im Gegensatz zu gebrochen rationale Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert. Das heißt, auch die Sprungstellen, an denen der Stift abgesetzt werden muss, sind Teil des Definitionsbereichs. Daher sind Treppenfunktionen nicht stetig.
Stetigkeit an einer Stelle beweisen – Beispiele
Nun lernst du, wie man die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle \(x_0\) überprüfen oder beweisen kann.
Für die Stetigkeit an einer Stelle gibt ist drei Bedingungen:
1. Bedingung
Zunächst musst du schauen, ob der Punkt \(x_0\) überhaupt ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.
2. Bedingung
Die zweite Bedingung sagt aus, dass \(f(x)\) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle \(x_0\) besitzt.
Dabei muss sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert gleich sein. Die Grenzwerte bildet man, um zu schauen, ob die Funktion nach rechts und nach links ohne Unterbrechungen weitergeht.
3. Bedingung
Nun musst du prüfen, ob der Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle \(x_0\) übereinstimmt.
Dies muss der Fall sein, damit eine Funktion überhaupt stetig sein kann, da ohne die Übereinstimmung eine Unterbrechung des Funktionsgraphen vorliegt.
Schauen wir uns in zwei Beispielen an, wie du diese Bedingungen überprüfen kannst.
Aufgabe 1
Ist die Funktion \[f(x) =\begin{cases} -1& \text{ für } x \leq 0 \\ 1& \text{ für } x > 0\end{cases} \]
an der Stelle \(x_0\) stetig?
Lösung
1. Bedingung
Überprüfen, ob \(x_0=0\) ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.
Ja, \(x_0 = 0\) gehört zur Definitionsmenge.
2. Bedingung
Überprüfen, ob \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) einen beidseitigen Grenzwert besitzt.
Rechtsseitiger Grenzwert:\[\lim_{x\rightarrow 0+} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0+} 1 = 1\]
Wenn du dich der Stelle \(x_0 = 0\) von größeren Zahlen näherst, geht die Funktion gegen 1.
Linksseitiger Grenzwert:\[\lim_{x\rightarrow 0-} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0-} (-1) =-1\]
Wenn du dich der Stelle \(x_0\) von kleineren Zahlen näherst, geht die Funktion gegen -1.
Da der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert voneinander abweichen und da die 2. Bedingung an der Stelle \(x_0 = 0\) nicht erfüllt wurde, ist die Funktion an dieser Stelle unstetig.
Aufgabe 2
Ist die Funktion \(f(x) = x^3\) an der Stelle \(x_0 = 0\) stetig?
Lösung
1. Bedingung
Überprüfen, ob \(x_0 = 0\) ein Bestandteil der Definitionsmenge ist.
Da die Definitionsmenge nicht eingeschränkt wurde gilt \(\mathbb{D}_f = \mathbb{D}_{max} = \mathbb{R}\) und damit \(0 \in \mathbb{D}\)
2. Bedingung
Überprüfen, ob \(f(x)\) an der Stelle \(x_0 = 0\) der beidseitige Grenzwert übereinstimmt.
Rechtsseitiger Grenzwert:\[\lim_{x\rightarrow 0-} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0-} x^3 = 0\]
Wenn du dich der Stelle \(x_0\) von größeren Zahlen näherst, geht die Funktion \(f(x) = x^3\) gegen 0.
Linksseitiger Grenzwert:\[\lim_{x\rightarrow 0-} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0-} x^3 = 0\]
Wenn du dich der Stelle \(x_0 = 0\) von kleineren Zahlen näherst, geht die Funktion \(f(x) = x^3 \) gegen 0.
Für die Stelle \(x_0 = 0\) stimmt der beidseitige Grenzwert überein.
3. Bedingung
Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.
Funktionswert:
\(f(x_0) = f(0) = 0\)
Grenzwert:
\(\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0 \)
Der Funktionswert und Grenzwert stimmen an der Stelle \(x_0=0\) überein, das heißt, die Funktion ist an dieser Stelle stetig.
Zwischenwertsatz – Definition
Zwischenwertsatz:
Eine stetige Funktion \(f(x)\) besitzt im Intervall \( [a;b]\) mindestens eine Nullstelle, wenn \(f(a) \) und \(f(x)\) verschiedene Vorzeichen besitzen.
Das heißt, es gibt mindestens ein \(c \in [a;b]\) für das \(f(x) = 0\) gilt.
Dies kann man auch mit einer beliebigen Stelle \(f(c) = d\) ausdrücken. Das heißt, jeder Wert d, der zwischen \(f(a)\) und \(f(d)\) liegt, wird auch wirklich angenommen..
Wenn du mehr über den Zwischenwertsatz erfahren möchtest, kannst du dir den dazugehörigen Artikel anschauen!
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Da du nun alles Wichtige über den Begriff Stetigkeit erfahren hast, lernst du nun den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit kennen.
Die Differenzierbarkeit sagt aus, ob sich eine Funktion \(f(x)\) ableiten lässt und an welcher Stelle das möglich ist. Dabei ist eine stetige Funktion \(f(x)\) differenzierbar, wenn die Grenzwerte rechts und links mit der Ableitung der Funktion übereinstimmen:\[\lim_{x\rightarrow x_{0}-}f'(x) = \lim_{x\rightarrow x_0 +}f'(x)\]
Wenn du mehr über die
Differenzierbarkeit erfahren möchtest, dann schau dir den dazugehörigen Artikel an.
Jede Funktion, die an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar ist, ist an dieser Stelle auch stetig:
\(f(x)\) ist an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar \(\rightarrow f(x)\) ist an der Stelle \(x_0\) stetig
Jedoch ist nicht jede stetige Funktion auch gleich differenzierbar:
\f(x)\) ist an einer Stelle \(x_0\) stetig \({\nrightarrow} f(x)\) ist an der Stelle \(x_0\) differenzierbar.
Um zu überprüfen, ob eine Funktion stetig und differenzierbar ist, verwendet man folgende Formel:\[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)\]
Laut der Definition muss also die rechtsseitige und linksseitige Annäherung mit der ersten Ableitung der Funktion übereinstimmen. Wenn diese nicht übereinstimmen, handelt es sich zwar um eine stetige Funktion, jedoch nicht um eine differenzierbare.
Ein Beispiel für eine Funktion, die stetig, aber nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion \(f(x) = |x|\).
Abbildung 4: Nicht differenzierbare stetige Funktion
Die Funktion ist an der Stelle \(x_0 = 0 \) stetig, aber nicht differenzierbar.
Der Grund für die fehlende Differenzierbarkeit bei 0 ist, dass der Graph am Punkt (0|0) plötzlich seine Richtung ändert und es daher keine Tangente gibt.
Aufgabe
Ist die Funktion \(f(x) = |x| \) an der Stelle \(x_0 = 0\) stetig und differenzierbar?
Lösung
1. Schritt
Überprüfen, ob der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmt.
Rechtsseitiger Grenzwert:\[\lim_{x\rightarrow 0+} |x| = 0\]
Linksseitiger Grenzwert:\[\lim_{x\rightarrow 0-} |x| = 0\]
Da die Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion stetig.
2. Schritt
Differenzierbarkeit überprüfen.
Um die Differenzierbarkeit zu prüfen, gibt es eine bestimmte Formel:\[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)\]
Das heißt, die erste Ableitung muss mit der Annäherung übereinstimmen.\[f'(x) = 1\]
Linksseitige Annäherung:\[\lim_{h\rightarrow 0-} \frac{|-0-h+0|-|-0+0|}{h}=\lim_{h\rightarrow 0-} \frac{|h|}{h}=-1\]
Da die erste Ableitung und die linksseitige Annäherung nicht übereinstimmen, liegt keine Differenzierbarkeit vor und du musst nicht die rechtsseitige Annäherung überprüfen.
Stetigkeit – Das Wichtigste
- Eine stetige Funktion hat einen Graphen ohne Sprung.
- Um eine stetige Funktion zu beweisen, musst du den beidseitigen Grenzwert herausfinden und dieser muss mit dem Funktionswert übereinstimmen.
- Eine stetige Funktion ist nicht immer differenzierbar.
- Bei einer stetigen Funktion muss für alle \(x_0\) folgende Bedingung gegeben sein: \(\lim_{x\rightarrow x_0+} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0-} f(x)\).
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