Geradengleichung aufstellen

Q: Wie stellt man eine Geradengleichung mit zwei Punkten auf?

Eine Geradengleichung wird mit zwei Punkten aufgestellt, indem zuerst die Steigung der Geraden berechnet wird. Dann werden die Steigung und ein Punkt in die Geradengleichung eingesetzt. Jetzt kannst du die Gleichung auflösen und den y-Achsenabschnitt t berechnen. Danach musst du nur noch die Geradengleichung angeben.

Q: Wie lautet die allgemeine Geradengleichung?

Die allgemeine Geradengleichung lautet y = mx + t. Dabei ist m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt.

Q: Wie ist eine Gerade aufgebaut?

Eine Gerade ist so aufgebaut, dass sie eine Steigung m und einen y-Achsenabschnitt t hat. Die Geradengleichung lautet damit: y = mx + t.

Q: Wie kann ich eine Geradengleichung aufstellen?

Du stellst eine Geradengleichung auf, indem du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t bestimmst. Dazu gibt es unterschiedliche Vorgehensweisen. Je nachdem, welche Informationen gegeben sind.

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Geradengleichung aufstellen Gerade StudySmarter In der Schule hast du bereits lineare Funktionen kennengelernt. Ihre Funktionsgleichung kann auf unterschiedlichste Art und Weise bestimmt werden. In diesem Artikel wirst du genau das lernen. Du wirst lernen, wie du die Geradengleichung einer linearen Funktion aufstellen kannst.

Geradengleichung aufstellen – Aufbau

Bevor wir mit dem Aufstellen der Geradengleichung beginnen können, schauen wir uns zuerst an, was eine lineare Funktion ist und wie ihre Funktionsgleichung überhaupt aussieht.

Die lineare Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung:

$y = m x + t$

Dabei ist $m$ die Steigung und $t$ der y-Achsenabschnitt.

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Deshalb wird die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auch als Geradengleichung bezeichnet.

Geraden kennst du schon aus der Geometrie. Eine Gerade ist eine unendlich lange, gerade Linie.

y-Achsenabschnitt t

Schauen wir uns zunächst einmal an, was der y-Achsenabschnitt genau ist.

Der y-Achsenabschnitt bestimmt den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.

Der Schnittpunkt von Gerade und y-Achse hat die Koordinaten $(0 | t)$ .

In der Abbildung siehst du ein Beispiel für den y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion.

Geradengleichung aufstellen, y-Achsenabschnitt, Beispiel StudySmarter Abbildung 1: y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion

Steigung m

Neben dem y-Achsenabschnitt ist die Steigung einer linearen Funktion von großer Bedeutung.

Die Steigung m legt fest, wie steil eine Gerade fällt oder steigt.

Die Steigung einer Geraden kann kleiner als 0, gleich 0 oder größer als 0 sein. Der Verlauf des Graphen ist abhängig von der Steigung:

$m > 0$ : Die Gerade steigt. Der Graph der Funktion verläuft von links unten nach rechts oben (Abbildung 2).
$m = 0$ : Die Gerade verläuft parallel zur x-Achse. Diese Art von Funktion wird auch konstante Funktion genannt.
$m < 0$ : Die Gerade fällt. Der Graph der Funktion verläuft von links oben nach rechts unten (Abbildung 3).

Bei einer Steigung, die größer als 0 ist ( $m > 0$ ), kann man von einem Punkt der Geraden aus eine Einheit nach rechts und m Einheiten nach oben gehen und landet so auf einem weiteren Punkt der Geraden.

Geradengleichung aufstellen, positive Steigung, Beispiel StudySmarter Abbildung 2: positive Steigung

Bei einer Steigung, die kleiner als 0 ist ( $m < 0$ ), kann man von einem Punkt der Geraden aus eine Einheit nach rechts und $| m |$ Einheiten nach unten gehen und landet so auf einem weiteren Punkt der Geraden.

Geradengleichung aufstellen, negative Steigung, Beispiel StudySmarter Abbildung 3: negative Steigung

Die Steigung einer Geraden kann aus zwei gegeben Punkten berechnet werden.

Liegen die beiden Punkte $A (x_{a} | y_{a})$ und $B (x_{b} | y_{b})$ auf einer Geraden, so kann die Steigung m der Geraden mit dieser Formel berechnet werden:

$m = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}} = \frac{∆ y}{∆ x}$

Außerdem kannst du die Steigung berechnen, wenn der Steigungswinkel $α$ der Geraden gegeben ist.

Der Steigungswinkel $α$ bezeichnet den Winkel, den die Gerade mit der x-Achse einschließt.

Ist der Steigungswinkel $α$ einer Geraden gegeben, kann die Steigung berechnet werden:

$m = \tan α$

In der Abbildung kannst du das Steigungsdreieck, die beiden Punkte $A (x_{a} | y_{a})$ und $B (x_{b} | y_{b})$ sowie den Steigungswinkel $α$ sehen.

Geradengleichung aufstellen, Steigungsdreieck, Formel Graphik StudySmarter

Abbildung 4: Steigung berechnen

Da du jetzt alle wichtigen Begriffe der linearen Funktion kennst, wollen wir uns anschauen, wie die Geradengleichung einer linearen Funktion mit unterschiedlichen Vorgaben aufgestellt werden kann.

Geradengleichung mit zwei Punkten aufstellen

Du kannst die Geradengleichung einer linearen Funktion aufstellen, wenn du zwei Punkte $A (x_{a} | y_{a})$ und $B (x_{b} | y_{b})$ der Gerade gegeben hast.

Das Vorgehen beim Aufstellen der Geradengleichung aus zwei Punkten ist immer gleich:

Berechnen der Steigung mit der Formel $m = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$
Einsetzen der Steigung m und eines Punktes in die allgemeine Geradengleichung
y-Achsenabschnitt t berechnen
Angeben der Geradengleichung

Schauen wir uns diese Vorgehensweise doch mal an einem Beispiel an.

Aufgabe 1

Gegeben sind die Punkte $A (1 | 5)$ und $B (3 | 11)$ . Bestimme die Gleichung der Geraden g, die durch diese Punkte verläuft.

Lösung

1. Berechnen der Steigung $m = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$

Du musst die entsprechenden Koordinaten in die Formel für die Steigung einsetzen:

$m = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}} = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ .

Die Steigung der Geraden ist also 3.

2. Einsetzen der Steigung m und eines Punktes in die allgemeine Geradengleichung

Wenn du die Steigung in die allgemeine Geradengleichung $y = m x + t$ einsetzt, erhältst du:

$y = 3 x + t$ .

Jetzt musst du noch einen der beiden Punkte in die Geradengleichung einsetzen. Wir setzen jetzt $A (1 | 5)$ ein:

$5 = 3 \cdot 1 + t$ .

3. y-Achsenabschnitt t berechnen

$5 = 3 \cdot 1 + t 5 = 3 + t | - 3 \Rightarrow 2 = t$

4. Angeben der Geradengleichung

$y = 3 x + 2$

Geradengleichung mit einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt t aufstellen

Du kannst die Geradengleichung einer linearen Funktion auch aufstellen, wenn du den y-Achsenabschnitt t und einen Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ der Geraden gegeben hast.

Auch hier gibt es eine bestimmte Vorgehensweise:

Einsetzen des y-Achsenabschnitts t in die allgemeine Geradengleichung
Berechnen der Steigung m
Angeben der Geradengleichung

Du kannst das Vorgehen wieder anhand von einem Beispiel nachvollziehen.

Aufgabe 2

Bestimme die Geradengleichung, die durch den Punkt $A (2 | 5)$ verläuft und den y-Achsenabschnitt $t = 1$ hat.

Lösung

1. Einsetzen des y-Achsenabschnitts t in die allgemeine Geradengleichung

$y = m x + 1$

2. Berechnen der Steigung m

Es gibt zwei verschiedene Varianten die Steigung zu berechnen:

Variante: Berechne die Steigung m mit den zwei Punkten $A (x_{a} | y_{a})$ und $T (0 | t)$ . Das funktioniert dann so wie im Beispiel vorher.
Variante: Setze den Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ in die Gleichung ein und löse die Gleichung nach m auf.

Setze also den Punkt $A (2 | 5)$ in die Gleichung $y = m x + 1$ ein und löse nach m auf.

$5 = m \cdot 2 + 1 | - 1 4 = m \cdot 2 + 1 | : 2 \Rightarrow m = 2$

3. Angeben der Geradengleichung

$y = 2 x + 1$

Geradengleichung mit einem Punkt und Steigung m aufstellen

Du kannst die Geradengleichung einer linearen Funktion aufstellen, wenn du die Steigung m und einen Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ der Geraden gegeben hast.

Du kannst dabei folgendermaßen vorgehen:

Einsetzen der Steigung m in die allgemeine Geradengleichung
Berechnen des y-Achsenabschnitts t durch Einsetzen des Punktes
Angeben der Geradengleichung

Damit du das besser verstehst, kannst du dir das Beispiel anschauen.

Aufgabe 3

Bestimme die Geradengleichung der Geraden, die durch den Punkt $A (3 | - 2)$ verläuft und die Steigung $m = - 2$ hat.

Lösung

1. Einsetzen der Steigung m in die allgemeine Geradengleichung

$y = (- 2) x + t$

2. Berechnen des y-Achsenabschnitts t durch Einsetzen des Punktes

Setze den Punkt $A (3 | - 2)$ in die Funktionsgleichung ein:

$- 2 = (- 2) \cdot 3 + t - 2 = - 6 + t | + 6 \Rightarrow 4 = t$

3. Angeben der Geradengleichung

$y = (- 2) x + 4$

Es gibt aber noch eine weitere Möglichkeit, wie du die Geradengleichung einer linearen Funktion aufstellen kannst, wenn du die Steigung m und einen Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ der Geraden gegeben hast. Dazu musst du allerdings die neben der Normalform $y = m x + t$ auch die Punkt-Steigungs-Form der Geradengleichung kennen.

Eine Gerade mit der Steigung $m$ , die durch den Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ verläuft, kann in Punkt-Steigungs-Form angegeben werden:

$y = m (x - x_{a}) + y_{a}$ .

Wenn du diese Form der Geradengleichung kennst, ist es ganz einfach die Normalform der Geradengleichung zu bestimmen:

Aufstellen der Geradengleichung in Punkt-Steigungs-Form
Umformen in die allgemeine Geradengleichung

Auch das wollen wir uns wieder an einem Beispiel anschauen.

Aufgabe 4

Bestimme die Geradengleichung der Geraden, die durch den Punkt $A (1 | - 2)$ verläuft und die Steigung $m = 2$ hat.

Lösung

1. Aufstellen der Geradengleichung in Punkt-Steigungs-Form

Setze die Steigung $m = 2$ und den Punkt $A (1 | - 2)$ in die Punkt-Steigungs-Form ein:

$y = 2 (x - 1) + (- 2)$

2. Umformen in die allgemeine Geradengleichung

$y = 2 (x - 1) + (- 2) y = 2 (x - 1) - 2 y = 2 x - 2 - 2 \Rightarrow y = 2 x - 4$

In manchen Fällen wird die Steigung nicht direkt angegeben, sondern muss erst noch bestimmt werden, bevor die Geradengleichung berechnet werden kann. Diese Fälle schauen wir uns jetzt nacheinander an.

Bestimmen der Steigung – parallele Gerade

Manchmal ist es der Fall, dass du die Funktionsgleichung einer Geraden aufstellen sollst, die durch einen bestimmten Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ verläuft und parallel zu einer anderen Geraden ist.

Zwei Geraden $y = m_{1} x + t_{1}$ und $y = m_{2} x + t_{2}$ sind parallel, wenn ihre Steigungen übereinstimmen:

$m_{1} = m_{2}$ .

Im folgenden Beispiel wird dir gezeigt, wie dir das beim Lösen von Aufgaben hilft.

Aufgabe 5

Stelle die Geradengleichung der linearen Funktion auf, die parallel zur Gerade $y = - x + 1$ und durch den Punkt $A (1 | 1)$ verläuft.

Lösung

Du musst dir also zunächst überlegen, welche Steigung die gesuchte Gerade hat. Da sie parallel zur Gerade $y = - x + 1$ ist, haben beide Geraden die gleiche Steigung.

Die Steigung beider Geraden ist $m = - 1$ .

Jetzt kannst du mit demselben Vorgehen wie oben die Geradengleichung finden.

Bestimmen der Steigung – senkrechte Gerade

Manchmal musst du aber auch die Funktionsgleichung einer Geraden aufstellen, die durch einen bestimmten Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ verläuft und senkrecht zu einer anderen Geraden ist.

Zwei Geraden $y = m_{1} x + t_{1}$ und $y = m_{2} x + t_{2}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen $- 1$ ergibt:

$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

Wie sieht das jetzt angewandt auf ein konkretes Beispiel aus?

Aufgabe 6

Stelle die Geradengleichung der linearen Funktion auf, die senkrecht zur Gerade $y = 0, 5 x + 1$ ist und durch den Punkt $A (1 | - 1)$ verläuft.

Lösung

Du musst dir also zunächst überlegen, welche Steigung die gesuchte Gerade hat. Da sie senkrecht zur Gerade $y = 0, 5 x + 1$ ist, muss für die Steigung $m$ der gesuchten Gerade $y = m x + t$ gelten:

$0, 5 \cdot m = - 1$ .

Diese Gleichung kann man nach $m$ auflösen:

$0, 5 \cdot m = - 1 | \cdot 2 \Rightarrow m = - 2$

Jetzt ist wieder die Steigung und ein Punkt gegeben und man kann die Geradengleichung mit dem Vorgehen von oben bestimmen.

Ob du im vorletzten Rechenschritt durch 0,5 teilst oder mit der Zahl 2 multiplizierst, ist dasselbe!

Bestimmen der Steigung – Steigungswinkel

In manchen Aufgaben musst du die Steigung erst aus dem Steigungswinkel $α$ berechnen, bevor du die Geradengleichung aufstellen kannst.

Aufgabe 7

Bestimme die Geradengleichung der linearen Funktion, die den y-Achsenabschnitt $t = 2$ hat und die x-Achse mit dem Winkel $α = 45 °$ schneidet.

Lösung

Den y-Achsenabschnitt kannst du direkt in die Normalform der Geradengleichung $y = m x + t$ einsetzen:

$y = m x + 2$ .

Die Steigung kann mit der Formel $m = \tan α$ berechnet werden:

$m = \tan (45 °) = 1$ .

Damit kannst du die Geradengleichung angeben:

$y = 1 x + 2$ .

Normalerweise wird die 1 vor dem x nicht mit aufgeschrieben:

$y = x + 2$ .

Geradengleichung aus Funktionsgraph bestimmen

Du kannst eine Geradengleichung auch anhand des Funktionsgraphen der linearen Funktion bestimmen.

Dazu musst du nur den y-Achsenabschnitt aus dem Graphen und mithilfe von zwei geeigneten Punkten die Steigung bestimmen.

Aufgabe 8

Bestimme die Geradengleichung der im Koordinatensystem abgebildeten Gerade.

Geradengleichung aufstellen, Funktionsgraph, StudySmarterGeradengleichung aufstellen Aufgabe Lösung StudySmarter Abbildung 5: Geradengleichung aus Funktionsgraph bestimmen

Lösung

y-Achsenabschnitt t ablesen

Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. In diesem Beispiel ist $t = 2$ .

Geradengleichung aufstellen, y-Achsenabschnitt ablesen, Aufgabe Lösung StudySmarter Abbildung 6: y-Achsenabschnitt aus dem Graphen ablesen

Es ist nicht immer so einfach möglich den y-Achsenabschnitt aus dem Graphen abzulesen. Manchmal kann man den genauen Wert nur durch Ausrechnen bestimmen. Dann musst du dir zwei Punkte des Graphen aussuchen, die du gut ablesen kannst, und dann y-Achsenabschnitt und Steigung berechnen.

Steigung m bestimmen

Die Steigung der Geraden kannst du bestimmen, indem du dir zwei geeignete Punkte aussuchst und dann die Steigung berechnest. In diesem Beispiel ist die Steigung $m = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{2}{1} = 2$ .

Geradengleichung aufstellen, Steigung Graph, Aufgabe Lösung StudySmarter Abbildung 7: Steigung aus dem Graphen ablesen

Die Geradengleichung ist also:

$y = 2 x + 2$

Geradengleichung aufstellen - Das Wichtigste

Geradengleichung der linearen Funktion in Normalform: y=mx+t
- m ist die Steigung
- t ist der y-Achsenabschnitt
Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten $A (x_{a} | y_{a})$ und $B (x_{b} | y_{b})$ aufstellen:
- Berechnen der Steigung mit der Formel $m = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ .
- Einsetzen der Steigung m und eines Punktes in die allgemeine Geradengleichung.
- y-Achsenabschnitt t berechnen
- Angeben der Geradengleichung
Geradengleichung mithilfe von einem Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ und dem y-Achsenabschnitt t aufstellen:
- Einsetzen des y-Achsenabschnitts t in die allgemeine Geradengleichung
- Berechnen der Steigung m
- Angeben der Geradengleichung
Geradengleichung mithilfe von einem Punkt $A (x_{a} | y_{a})$ und der Steigung m aufstellen:
- Variante 1:
  - Einsetzen der Steigung m in die allgemeine Geradengleichung
  - Berechnen des y-Achsenabschnitts t durch Einsetzen des Punktes
  - Angeben der Geradengleichung
- Variante 2:
  - Aufstellen der Geradengleichung in Punkt-Steigungs-Form
  - Umformen in die allgemeine Geradengleichung
- Steigung bestimmen:
  - Steigungen paralleler Geraden: $m_{1} = m_{2}$
  - Steigungen senkrechter Geraden: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$
  - Steigung aus dem Steigungswinkel berechnen: $m = \tan α$
Geradengleichung aus dem Funktionsgraphen bestimmen
- y-Achsenabschnitt ablesen
- Steigung m bestimmen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geradengleichung aufstellen

Eine Geradengleichung wird mit zwei Punkten aufgestellt, indem zuerst die Steigung der Geraden berechnet wird. Dann werden die Steigung und ein Punkt in die Geradengleichung eingesetzt. Jetzt kannst du die Gleichung auflösen und den y-Achsenabschnitt t berechnen. Danach musst du nur noch die Geradengleichung angeben.

Die allgemeine Geradengleichung lautet y = mx + t. Dabei ist m die Steigung und t der y-Achsenabschnitt.

Eine Gerade ist so aufgebaut, dass sie eine Steigung m und einen y-Achsenabschnitt t hat.

Die Geradengleichung lautet damit: y = mx + t.

Du stellst eine Geradengleichung auf, indem du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t bestimmst. Dazu gibt es unterschiedliche Vorgehensweisen. Je nachdem, welche Informationen gegeben sind.

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Gib die allgemeine Geradengleichung einer linearen Funktion an.

\[f(x)=mx+b\]

Nenne, welche Form hat der Graph einer linearen Funktion hat.

Gerade

Definiere den Begriff $y$-Achsenabschnitt.

Der $y$-Achsenabschnitt bestimmt den Schnittpunkt der Geraden f$f(x)$ mit der $y$-Achse.

Der Schnittpunkt von Gerade und $y$-Achse hat die Koordinaten $(0|t)$.

Erkläre den Begriff der Steigung.

Die Steigung $m$ legt fest, wie steil eine Gerade fällt oder steigt.

Die Steigung einer Geraden kann kleiner als $0$, gleich $0$ oder größer als $0$ sein. Der Verlauf des Graphen ist abhängig von der Steigung:

$m>0$: Die Gerade steigt. Der Graph der Funktion verläuft von links unten nach rechts oben.
- Bei einer Steigung, die größer als $0$ ist, kann man von einem Punkt der Geraden aus eine Einheit nach rechts und $m$ Einheiten nach oben gehen und landet so auf einem weiteren Punkt der Geraden.
$m=0$: Die Gerade verläuft parallel zur $x$-Achse. Diese Art von Funktion wird auch konstante Funktion genannt.
$m<0$: Die Gerade fällt. Der Graph der Funktion verläuft von links oben nach rechts unten.
- Bei einer Steigung, die kleiner als $0$ ist, kann man von einem Punkt der Geraden aus eine Einheit nach rechts und $|m|$ Einheiten nach unten gehen und landet so auf einem weiteren Punkt der Geraden.

Beschreibe, wie die Steigung mithilfe von zwei Punkten berechnet werden kann.

Liegen die beiden Punkte $A(x_a|y_a)$ und $B(x_b|y_b)$ auf einer Geraden, so kann die Steigung $m$ der Geraden mit dieser Formel berechnet werden:

\[m=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Beschreibe das Vorgehen beim Aufstellen einer Geradengleichung aus zwei Punkten.

Das Vorgehen beim Aufstellen der Geradengleichung aus zwei Punkten ist immer gleich:

Berechnen der Steigung
Einsetzen der Steigung $m$ und eines Punktes in die allgemeine Geradengleichung
$y$-Achsenabschnitt $t$ berechnen
Angeben der Geradengleichung

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